第02讲空间向量的坐标表示讲义（知识清单+6题型讲解举三反三+强化训练）-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（苏教版选择性必修二）数学高二重难点讲义与测试

第02讲空间向量的坐标表示 知识清单 知识点01：空间向量运算的坐标表示 知识点02：空间向量垂直的坐标表示 知识点03：空间向量平行（共线）的坐标表示 知识点04：空间向量长度的坐标表示 知识点05：空间向量夹角的坐标表示 题型讲解 （举三反三） 题型1：空间向量的坐标表示 题型2：空间向量的坐标运算 题型3：空间向量模长的坐标表示 题型4：空间向量平行的坐标表示 题型5：空间向量垂直的坐标表示 题型6：空间向量夹角余弦的坐标表示 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01空间向量运算的坐标表示 设，. 向量表示 坐标表示 数量积 a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点02空间向量垂直的坐标表示 设，. 向量表示 坐标表示 垂直 ＝0(≠0，≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 知识点03空间向量平行（共线）的坐标表示 设，. 向量表示 坐标表示 共线 ，， 知识点04空间向量长度的坐标表示 设，. 向量表示 坐标表示 模 知识点05空间向量夹角的坐标表示 设，. 向量表示 坐标表示 夹角 题型1：空间向量的坐标表示 【例1-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（25-26高二上·贵州黔东南·期中）已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例1-3】（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 . 【变式1-1】（25-26高二上·陕西宝鸡·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量的坐标是（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·四川成都·月考）在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为 ． 题型2：空间向量的坐标运算 【例2-1】（25-26高二上·江苏南通·期中）若空间向量，则下列向量能与构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高二下·江苏淮安·月考）已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为 【例2-3】已知，求和. 【变式2-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 【变式2-2】已知，则 . 【变式2-3】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 题型3：空间向量模长的坐标表示 【例3-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间向量，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．2 D． 【例3-2】已知向量，则在上的投影向量的模为 . 【例3-3】已知，，求 (1)； (2) 【变式3-1】已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知点，则在上的投影向量的模为 【变式3-3】已知点 (1)表示出，并求 (2)证明：与四点共面 题型4：空间向量平行的坐标表示 【例4-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）设向量则（   ） A． B． C． D． 【例4-2】已知空间向量，若，则 . 【例4-3】已知空间三点，，，设.若，求实数k的值． 【变式4-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知 ，且，则（    ） A．-5 B． C．4 D． 【变式4-2】已知向量，，且与平行，则 . 【变式4-3】已知向量． (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 题型5：空间向量垂直的坐标表示 【例5-1】（24-25高二下·江苏南通·月考）已知向量，且，则（   ） A．5 B．11 C．-5 D．-11 【例5-2】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知向量，，若，则实数的值为 . 【例5-3】已知空间三点，，，设，． (1)若与互相垂直，求实数的值； (2)若，，求． 【变式5-1】（24-25高二下·江苏·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知空间向量，若，则 【变式5-3】已知空间向量，. (1)若，求的值； (2)若，求的最小值及此时的值. 题型6：空间向量夹角余弦的坐标表示 【例6-1】已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C． D． 【例6-2】（25-26高二上·江苏无锡·月考）向量与的夹角是 . 【例6-3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【变式6-1】（25-26高二上·江苏镇江·月考）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若为锐角，则 D．若在上的投影向量为，则 【变式6-2】已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 【变式6-3】已知空间中三点，，. (1)求； (2)求中边上中线的长度. 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏南通·期末）已知向量，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．（25-26高二上·江苏·期中）在平行六面体中，与的交点为.若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏盐城·月考）已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A． B． C．3 D． 6．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏无锡·期中）在平行六面体中，，为的中点，则其中错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D．4 二、多选题 9．（24-25高二下·江苏南京·月考）已知空间向量，则（       ） A． B．可以为空间的一组基底 C． D． 10．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面 三、填空题 12．（24-25高二上·江苏南通·月考）已知空间向量，若共面，则实数 13．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知向量，，且，则 . 14．（2025高二上·江苏·专题练习）如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，则 ；    四、解答题 15．已知向量，，. (1)当时，若向量与垂直，求实数的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值. 16．已知空间内三点，，． (1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积； (2)若向量与向量，都垂直，且，求向量的坐标． 17．已知空间中三点，，，设，． (1)若，且，求向量； (2)已知向量与互相垂直，求的值； (3)若点在平面上，求的值． 18．（24-25高二下·江苏盐城·月考）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．若，，，求：    (1)； (2)． 19．（24-25高二下·江苏盐城·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，． (1)用，，表示，，； (2)求异面直线AC与所成角的正切值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲空间向量的坐标表示 知识清单 知识点01：空间向量运算的坐标表示 知识点02：空间向量垂直的坐标表示 知识点03：空间向量平行（共线）的坐标表示 知识点04：空间向量长度的坐标表示 知识点05：空间向量夹角的坐标表示 题型讲解 （举三反三） 题型1：空间向量的坐标表示 题型2：空间向量的坐标运算 题型3：空间向量模长的坐标表示 题型4：空间向量平行的坐标表示 题型5：空间向量垂直的坐标表示 题型6：空间向量夹角余弦的坐标表示 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01空间向量运算的坐标表示 设，. 向量表示 坐标表示 数量积 a1b1＋a2b2＋a3b3 知识点02空间向量垂直的坐标表示 设，. 向量表示 坐标表示 垂直 ＝0(≠0，≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 知识点03空间向量平行（共线）的坐标表示 设，. 向量表示 坐标表示 共线 ，， 知识点04空间向量长度的坐标表示 设，. 向量表示 坐标表示 模 知识点05空间向量夹角的坐标表示 设，. 向量表示 坐标表示 夹角 题型1：空间向量的坐标表示 【例1-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由投影向量的定义可求得结果. 【详解】向量在坐标平面上的投影向量是. 故选：C. 【例1-2】（25-26高二上·贵州黔东南·期中）已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基底法和坐标表示的关系，利用待定系数法，即可求解. 【详解】在基底下的坐标为，得， 设向量在基底下的坐标是， 则， 所以解得， 所以向量在基底下的坐标是. 故选：B. 【例1-3】（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 . 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意可得，设， 则，解得，所以坐标为. 故答案为：. 【变式1-1】（25-26高二上·陕西宝鸡·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用、表示，根据系数可得坐标. 【详解】由题意可知，，则， 则用基底表示向量的坐标是. 故选：D 【变式1-2】（25-26高二上·四川成都·月考）在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点的坐标，再求出向量的坐标. 【详解】因为点与点关于平面对称且，所以点， 又，所以 故选：D 【变式1-3】已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标表示直接写出作答. 【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则有. 所以向量用坐标形式表示为. 故答案为： 题型2：空间向量的坐标运算 【例2-1】（25-26高二上·江苏南通·期中）若空间向量，则下列向量能与构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算及空间基底的意义判断即得. 【详解】对于A，，向量共面，A不是； 对于B，，向量共面，B不是； 对于C，，向量共面，C不是； 对于D，假设，则，于是，方程组无解， 即向量不共面，能构成空间的一个基底，D是. 故选：D 【例2-2】（24-25高二下·江苏淮安·月考）已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为 【答案】 【分析】由向量数量积的几何意义即可求. 【详解】向量量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影的数量为. 故答案为：. 【例2-3】已知，求和. 【答案】， 【分析】由空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为， 所以 ， 所以，. 【变式2-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 【答案】A 【分析】先根据空间向量的线性运算得出，再应用数量积公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选： 【变式2-2】已知，则 . 【答案】2 【分析】由空间向量的坐标运算即可； 【详解】由题意可得， 故答案为：2 【变式2-3】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 【答案】(1)2 (2)－1 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示即可求解； （2）由平行得到，构造等式求解即可. 【详解】（1）， 所以 （2）因为， 若，则存在，使得 即， 所以，解得， 所以实数k的值为－1. 题型3：空间向量模长的坐标表示 【例3-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知空间向量，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】由向量，得，， 则在上的投影向量为， 所以在上的投影的模为． 故选：A 【例3-2】已知向量，则在上的投影向量的模为 . 【答案】/ 【分析】利用向量的数量积公式及投影向量的模即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以在方向上的投影向量的模为. 故答案为：. 【例3-3】已知，，求 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由空间向量的模长公式求解即可； （2）由空间向量的坐标运算求解即可. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，， 所以，所以. 【变式3-1】已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求，再由投影向量的定义，结合数量积的坐标运算，模的坐标运算公式求解. 【详解】因为，，， 所以， 所以，， 所以向量在上的投影向量是， 所以向量在上的投影向量的坐标是， 故选：D. 【变式3-2】已知点，则在上的投影向量的模为 【答案】 【分析】根据投影向量的定义结合向量的坐标运算求解. 【详解】因为， 可得，， 所以在上的投影向量的模为. 故答案为：. 【变式3-3】已知点 (1)表示出，并求 (2)证明：与四点共面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解， （2）根据平面向量基本定理，即可根据坐标运算求解. 【详解】（1）,所以，故， （2）设， 解的， ，则共面 又因为为公共点，所以这四个点共面 题型4：空间向量平行的坐标表示 【例4-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）设向量则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共线得，解出即可求解. 【详解】，，x=-2y=-1，x+y=-1 故选：D. 【例4-2】已知空间向量，若，则 . 【答案】 【分析】利用空间向量共线的坐标运算，即可求出结果. 【详解】因为，， 所以，解得， 故答案为：. 【例4-3】已知空间三点，，，设.若，求实数k的值． 【答案】. 【分析】求出的坐标，再利用空间向量线性运算的坐标表示，结合向量共线的条件列式计算作答. 【详解】三点，，，则， ，因为， 则有，解得， 所以实数k的值是. 【变式4-1】（24-25高二下·江苏南京·期中）已知 ，且，则（    ） A．-5 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据向量平行得对应坐标成比例可列方程求解. 【详解】因为 ，且， 所以，解得. 故选：D. 【变式4-2】已知向量，，且与平行，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由空间向量平行的坐标公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】，， 因为与平行，所以当时，，解得； 当时，，. 综上，. 故答案为： 【变式4-3】已知向量． (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的坐标运算及向量平行的坐标表示即可求解； （2）根据已知条件及（1）的结论，利用数量积为正求出的范围，再去掉两向量共线的情形即可. 【详解】（1）因为， 所以，， 因为， 所以，解得. （2）由（1）知，，， 因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 又当时，， 所以实数的范围为. 题型5：空间向量垂直的坐标表示 【例5-1】（24-25高二下·江苏南通·月考）已知向量，且，则（   ） A．5 B．11 C．-5 D．-11 【答案】C 【分析】根据两个向量垂直其数量积为及向量数量积的坐标运算即可得解. 【详解】因为，且， 所以，得. 故选：C. 【例5-2】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知向量，，若，则实数的值为 . 【答案】7 【分析】由向量垂直的坐标表示计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为：7. 【例5-3】已知空间三点，，，设，． (1)若与互相垂直，求实数的值； (2)若，，求． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据空间向量垂直得到方程，求出答案； （2）设，根据平行和模长得到方程组，求出答案. 【详解】（1）， 故， ， 因为互相垂直，所以， 解得或； （2）， 设，则且， 解得或， 故或； 【变式5-1】（24-25高二下·江苏·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求，再由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】向量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 【变式5-2】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知空间向量，若，则 【答案】16 【分析】首先求向量，再根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】，因为，所以， 所以. 故答案为： 【变式5-3】已知空间向量，. (1)若，求的值； (2)若，求的最小值及此时的值. 【答案】(1) (2)时，的最小值为. 【分析】（1）根据两向量平行，可求，的值，再求. （2）根据向量垂直，得到，的关系，结合二次函数的性质求的最小值及此时的值. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，，所以，不存在，所以； 当时，可得，解得，，所以. （2）因为，所以，即， 所以当时，的最小值为. 题型6：空间向量夹角余弦的坐标表示 【例6-1】已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B．与夹角的余弦值为 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的坐标运算，即可判断选项. 【详解】对于A：，因为，所以与不平行，故A错误； 对于B：与夹角的余弦值为，故B错误； 对于C：，，则，即，故C正确； 对于D：，，故D错误； 故选：C 【例6-2】（25-26高二上·江苏无锡·月考）向量与的夹角是 . 【答案】 【分析】根据空间向量夹角余弦值的坐标表示即可得到答案. 【详解】，因为 则其夹角为. 故答案为：. 【例6-3】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出后，运用向量夹角公式计算即可； （2）若两个向量夹角为锐角，则两者的数量积大于0，并且要注意排除共线的情况. 【详解】（1）解：(1)因为, 所以. . 所以, 所以与的夹角余弦值为. （2）, 因为与的夹角为锐角，故两者不共线，且数量积大于0. 当与共线时，有,得, 故当时，与不共线. ,得,解得 综上，. 【变式6-1】（25-26高二上·江苏镇江·月考）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若为锐角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】C 【分析】设，得出方程组无解，即可判断A，根据判断B，根据判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A：因为，且，所以， 即，方程组无解，故不存在使得，故A错误； 对于B：若，则，解得，故B错误； 对于C：因为与不可能共线，若为锐角，则，解得，故C正确； 对于D：因为，， 若在上的投影向量为，即，则，解得，故D错误； 故选：C 【变式6-2】已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，求得，再由向量与所成角为锐角，得到，求得，当向量与共线时，求得，即可得到实数的范围. 【详解】由向量，，可得， 因为，可得，解得， 所以，所以与， 又因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 若向量与共线，则，解得， 所以实数的范围是. 故答案为：. 【变式6-3】已知空间中三点，，. (1)求； (2)求中边上中线的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量的夹角公式运算即可得解； （2）先根据中点坐标公式求出边的中点坐标，可得坐标，再利用向量模长公式求解即可. 【详解】（1）由题，，， . （2）设边的中点为，则点的坐标为，又， ， . 所以边的中线长为. 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏南通·期末）已知向量，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标公式列式求解. 【详解】因为向量，，且，所以，解得. 故选：A 2．（25-26高二上·江苏·期中）在平行六面体中，与的交点为.若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的平行四边形法则、平行六面体的性质即可得出． 【详解】. 故选：C． 3．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的公式计算. 【详解】在上的投影向量为. 故选：D. 4．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用投影向量的定义即可求解. 【详解】已知空间向量，， 向量在向量上的投影向量为： 故选：D 5．（24-25高二下·江苏盐城·月考）已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】通过向量的坐标运算求出与的坐标，再利用向量的数量积公式求出两向量夹角的余弦值，进而求出正弦值，最后根据平行四边形面积公式求出面积. 【详解】已知，，，根据向量坐标运算可得，. 根据向量数量积坐标运算：可得. 根据向量模长公式：可得，. 根据向量夹角公式可得. 因为. 根据平行四边形面积公式，可得. 则邻边的平行四边形的面积为. 故选：B. 6．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，由为钝角，可得，得到不等式，解不等式，可得出答案. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， ，，， 故， ， 则 ， 因为， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 7．（25-26高二上·江苏无锡·期中）在平行六面体中，，为的中点，则其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算判断A；根据A的结果计算数量积可判断B；利用基底表示，再代入向量数量积运算求模可判断C；根据几何图形可判断D. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，因为， 所以 ，故B正确；    对于C， ，故C错误； 对于D，， 所以平行六面体六个面全等，所以， 即为正三角形，故，故D正确. 故选：C 8．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据空间向量共面求解即可. 【详解】若三向量不能构成空间向量的一组基底，则共面， 即存在唯一一组实数，使得， 可得，解得， 故选：A 二、多选题 9．（24-25高二下·江苏南京·月考）已知空间向量，则（       ） A． B．可以为空间的一组基底 C． D． 【答案】AC 【分析】A选项，利用空间向量模长的坐标计算出A正确；B选项，求出，所以，，共面，B错误；C选项，计算出，C正确；D选项，利用空间向量数量积运算法则得到D错误. 【详解】对于A，，故A项正确； 对于B，设，即，解得，， 即，所以，，共面，不能作为空间的一组基底，B错误； 对于C，，所以，故C项正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 10．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A：因为，共面，不能构成基底； 对于B：设，所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C：设，显然无解，所以能构成空间的一个基底，C正确； 对于D：设，则， 所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 11．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面 【答案】ACD 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角，判断A的真假；判断数量积是否为0，判断B的真假；求投影向量，判断C的真假；根据的线性关系，判断D的真假. 【详解】对A：，所以，故A正确； 对B：因为，所以不成立，故B错误； 对C：因为，即向量在向量上的投影向量为，故C正确； 对D：因为，即，所以向量与向量共面，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（24-25高二上·江苏南通·月考）已知空间向量，若共面，则实数 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理列式求出值. 【详解】空间向量共面，则存在实数，使得， 即，则，解得. 故答案为：1. 13．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知向量，，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据向量平行可知存在实数，使得，结合向量坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，， 若，则存在实数，使得， 可得，解得. 故答案为：. 14．（2025高二上·江苏·专题练习）如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，则 ；    【答案】 【分析】设，以，，为基底表示，由，，，共面，求出可得的值. 【详解】， 设， 由，，，共面，有，解得，故. 故答案为：. 四、解答题 15．已知向量，，. (1)当时，若向量与垂直，求实数的值； (2)若向量与向量，共面，求实数的值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据向量的模长的坐标表示和两个向量垂直的坐标表示求解即可. （2）根据共面定理列方程组求解即可. 【详解】（1）因为，所以 解得，即， 由，且得 ，解得， 即的值为. （2）因为向量与向量，共面，所以设，R， 因此， 即解得， 所以的值为. 16．已知空间内三点，，． (1)求以向量，为一组邻边的平行四边形的面积； (2)若向量与向量，都垂直，且，求向量的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由空间向量夹角公式求出，再根据三角形面积公式计算即可； （2）设，由，，列出方程组，求解即可． 【详解】（1），， ， 又，，． （2）设，由，，得，， 解得或， 或． 17．已知空间中三点，，，设，． (1)若，且，求向量； (2)已知向量与互相垂直，求的值； (3)若点在平面上，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由向量的坐标表示共线和模长计算求出即可； （2）由向量垂直的坐标表示求出参数即可； （3）由点在平面上，设，解方程组求出即可. 【详解】（1），设， 因为，而，所以； 故或 （2），，， 由与互相垂直得：， 解得. （3）点在平面上，， ， ， 解得：. 18．（24-25高二下·江苏盐城·月考）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．若，，，求：    (1)； (2)． 【答案】(1)23 (2)7 【分析】（1）根据正六边形与六棱柱的几何性质，利用向量的线性运算，用统一基底表示向量，结合数量积的定义以及运算律求解. （2）利用统一基底表示向量，结合数量积的定义以及运算律，可得答案. 【详解】（1）依题意，底面为正六边形，连接对角线且交点记为，如图：    ， ， 由，则， 由，则， ，， . （2）由（1）知， 因此 ， 所以. 19．（24-25高二下·江苏盐城·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，． (1)用，，表示，，； (2)求异面直线AC与所成角的正切值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算求解即可； （2）利用空间向量的数量积定义计算，再根据空间向量数量积的运算分别求，，，根据向量夹角余弦公式求解，即可异面直线AC与所成角的余弦值，根据同角三角函数关系求正切值即可. 【详解】（1）， ， ； （2）因为， ， 又，， 所以， ， ， 设异面直线AC与所成角为， 则， 所以，故， 所以异面直线AC与所成角的正切值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $