11.3 一元一次不等式组 课件 2025-2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦一元一次不等式组的概念、解集及解法，通过跷跷板承重、抽水时间等生活情境导入，衔接一元一次不等式知识，搭建从具体问题抽象出不等式组的学习支架。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，用“同大取大”等口诀和数轴法发展数学思维中的推理能力，结合生产方案等应用问题强化数学语言的模型意识。帮助学生直观理解抽象概念，教师可高效开展教学。

第十一章 不等式与不等式组 11.3 一元一次不等式组 人教版 七年级 数学（下） 导入新课 小宝和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板，爸爸体重为72 kg, 体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端, 这时爸爸的一端仍然着地．后来，小宝借来一副质量为6 kg的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被跷起离地．猜猜小宝的体重约是多少？在这个问题中，设小宝的体重为x kg. (1)从跷跷板的状况你可以概括出怎样的不等关系？ (2)你认为怎样求x的范围，可以尽可能地接近小宝的体重？ 2x＋x<72 2x＋x＋6>72 2 探究新知 某工程队用每小时可抽 30 t 水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水超过 1200 t 而不足 1500 t，求将污水抽完所用时间的范围. 设用 x h 将污水抽完，你能列出几个不等式？ 30x > 1200 ① 30x < 1500 ② x 同时满足这两个不等式. 把几个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组. 什么叫一元一次不等式组？ ① 每个不等式都是一元一次不等式； ② 只含有同一个未知数； ③ 不等式的个数最少是2. 特征 如何找不等式组 的解集？ 类比方程组的求解，不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组中 x 可以取值的范围. 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来 0 40 50 所以不等式组中x 的取值范围为 40 < x < 50. 公共部分 由不等式①，解得 x > 40. 由不等式②，解得 x < 50. 由此可知，什么叫一元一次不等式组的解集？ 一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集. 解不等式组就是求它的解集. -1 0 1 2 3 4 5 -1 0 1 2 3 4 5 (1) 求下列不等式组的解集：你能发现什么规律? 解：原不等式组的解集为 x＞5. 解：原不等式组的解集为 x＞2. 同大取大 (2) -1 0 1 2 3 4 5 -1 0 1 2 3 4 5 求下列不等式组的解集：你能发现什么规律? 解：原不等式组的解集为 3＜x＜5. 解：原不等式组的解集为 -1＜x＜2. 大小小大 中间找 (1) (2) -1 0 1 2 3 4 5 -1 0 1 2 3 4 5 求下列不等式组的解集：你能发现什么规律? 解：原不等式组的解集为 x＜3. 解：原不等式组的解集为 x＜-1. 同小取小 (1) (2) -1 0 1 2 3 4 5 -1 0 1 2 3 4 5 求下列不等式组的解集：你能发现什么规律? 解：原不等式组的解集没有公共部分，无解. 解：原不等式组无解. 大大小小 无处找 (1) (2) a b a b a b a b 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 x＞b x＜a a＜x＜b 无解 小 结 知识归纳 1．类似于方程组，把两个含有同一个未知数的一元一次不等式________，组成一个一元一次不等式组． 2．一般地，几个不等式的解集的____________，叫作由它们所组成的不等式组的解集，解不等式组就是求它的解集． 合起来 公共部分 3．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的_______，再求出这些解集的__________，利用_______可以直观地确定不等式组的解集． 解集 公共部分 数轴 4．若a<b，则的解集是________，的解集是__________，的解集是________，的解集是________． x>b a<x<b x<a 无解 例题与练习 例1 解下列不等式组： 解：解不等式①，得 2x -1 > x+1 x > 2 解不等式②，得 x-4x < -1-8 -3x < -9 x > 3 不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 所以不等式组的解集为 x > 3. 0 2 3 (1) 解：解不等式①，得 x ≥ 8，解不等式②，得 x < . 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来. 从图可以看到这两个不等式的解集没有公共部分，不等式组无解. (2) 0 8 分析：使两个不等式都成立的 x 的值，就是两个不等式的公共解，因此求出由这两个不等式组成的不等式组的解集，解集中的整数就是 x 可取的整数值. 例 2 x 取哪些整数值时，不等式5x + 2 > 3(x -1)与 x 都成立？ 解：解不等式组 所以 x 可取的整数值是 -2，-1，0，1，2，3，4. 得 - < x 4 例 3 解下列不等式组： (1) 解：解不等式①，得x>1.　　 解不等式②，得x>5. ∴不等式组的解集为x>5. (2) 解：解不等式①，得x>－2. 解不等式②，得x≤－1. ∴不等式组的解集为－2<x≤－1. 例 4 某公司有甲种原料260 kg，乙种原料270 kg，计划用这两种原料生产A，B两种产品共40件．生产每件A种产品需甲种原料8 kg、乙种原料5 kg，可获利润900元；生产每件B种产品需甲种原料4 kg、乙种原料9 kg，可获利润1 100元． (1)安排生产A，B两种产品的件数有几种方案？ (2)哪种方案利润最大？ 解：设生产A种产品x件，则生产B种产品(40－x)件． 根据题意，得 解得22.5≤x≤25. ∵x为正整数，∴x的值可取为23，24，25， ∴共有三种方案： 方案一：生产A种产品23件，B种产品17件； 方案二：生产A种产品24件，B种产品16件； 方案三：生产A种产品25件，B种产品15件； (1)安排生产A，B两种产品的件数有几种方案？ (2)哪种方案利润最大？ (2)方案一利润：900×23＋1 100×17＝39 400(元)； 方案二利润：900×24＋1 100×16＝39 200(元)； 方案三利润：900×25＋1 100×15＝39 000(元). ∵39 400 > 39 200 > 39 000， ∴方案一利润最大． 1. 解下列不等式组： (1) ① ② 解：解不等式①，得x > .　　 解不等式②，得x > 1. ∴不等式组的解集为x > 1. (2) ① 解：解不等式①，得x ＜ -6.　　 解不等式②，得x ≥ 2. ∴这个不等式组无解. ② (3) ① ② 解：解不等式①，得x > - .　　 解不等式②，得x ≤ . ∴不等式组的解集为- ＜ x ≤ . 2. x 取哪些整数值时，不等式 x+3 > 6 与 2x -1<10 都成立？ 解：不等式 x+3>6 的解集为x>3， 不等式 2x-1<10 的解集为x < 5.5. 它们解集的公共部分为3< x<5.5. 所以x取4，5 时，不等式 x+3>6与2x-1<10都成立. 3. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是(　 　) 4．不等式组 的最小整数解是_________． C x＝－2 5．已知关于x，y的方程组 的解都是负数． (1)求m的取值范围； 解：(1)解原方程组得 由x，y都是负数，得 解得－1< m <1； (2)∵－1<m<1， ∴|m－3|＋|m＋1|＝3－m＋m＋1＝4. ∴m－3<0，m＋1>0， (2)化简|m－3|＋|m＋1|. 课堂小结 一元一次不等式组 一元一次不等式组的概念 解一元一次不等式组 一元一次不等式组的解集 解各个不等式 写出不等式组的解集 利用数轴法或口诀法找出各解集的公共部分 应用 （步骤） 随堂检测 1. 解下列不等式组： 解：（1） 解不等式①得x < 4，解不等式②得x < 2， 所以不等式组的解集为x < 2. （2） 解不等式①得x > 4，解不等式②得x > 2， 所以不等式组的解集为x > 4. (1) ① ② (2) ① ② （3） 解不等式①得x < 4，解不等式②得x > 2， 所以不等式组的解集为2 < x < 4. （4） 解不等式①得x > 4，解不等式②得x < 2， 所以不等式组无解. (3) ① ② (4) ① ② 2. 解下列不等式组： 解：（1） 解不等式①得x > ， 解不等式②得x ≤ 2， 所以不等式组解集为 < x ≤ 2. (1) ① ② （2） 解不等式①得x > 5， 解不等式②得x > -， 所以不等式组解集为x > 5. (2) ① ② （3）解不等式①得x ≤ 1， 解不等式②得x < 4， 所以不等式组解集为x ≤ 1. (3) ① ② （4）解不等式①得x<0， 解不等式②得x > 0， 所以不等式组无解. (4) ① ② 3. x 取哪些整数值时，不等式 4(x - 0.3) < 0.5x + 5.8 与3+x > 都成立？ 解： 不等式 4(x - 0.3) < 0.5x + 5.8的解集为x < 2. 不等式3 + x > x + 1的解集为x > -4. 两个不等式的解集为 -4 < x < 2. 所以 x 可取-3，-2，-1，0，1. 4. x 取哪些整数值时，2 ≤ 3x-7 < 8 成立？ 解： 把不等式 2 ≤ 3x-7＜8 看作一个不等式组 解得 所以不等式组的解集为 3 ≤ x < 5. 故 x 取3，4时， 2 ≤ 3x-7 < 8 成立. 5. 把一些书分给几名同学，如果每人分 3 本，那么剩余 8 本；如果前面的每名同学分 5 本，那么最后一人分到了书但不到 3 本. 这些书有多少本？共有多名同学？ 解：设共有 x 名同学，则有（3x + 8）本书. 由题意得 解不等式①，得x<6.5，解不等式②，得x>5. 所以这个不等式组的解集为5<x<6.5. 因为x为整数，所以x=6. 所以3x+8=3×6+8=26. 答：这些书有26本，共有6名同学. $