专题十 导数与单调性、极值和最值 课件-2026届高三数学二轮复习

专题十　导数与单调性、极值和最值 命题热度： 本专题是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，具有一定的难度，三种题型都有所考查，分值约为11~26分. 考查方向： 考查重点一是判断函数的单调性以及单调性应用，如求参数范围、比较大小、解不等式等，二是函数极值，主要是求函数的极值，由极值求参数的值、范围等，三是函数的最值以及最值的应用. 考点一　利用导数研究函数的单调性 　已知函数f(x)=(x-2)ex+x2-ax，讨论函数f(x)的单调性. 例1 考向1　利用导数求函数的单调区间 由题意得函数f(x)的定义域为R， f'(x)=(x-1)ex+a(x-1)=(x-1)(ex+a). ①当a≥0时， 若x∈(-∞，1)，则f'(x)<0， 所以f(x)在(-∞，1)上单调递减； 若x∈(1，+∞)，则f'(x)>0， 所以f(x)在(1，+∞)上单调递增. ②当-e<a<0时，ln(-a)<1， 若x∈(-∞，ln(-a))∪(1，+∞)，则f'(x)>0， 解 所以f(x)在(-∞，ln(-a))，(1，+∞)上单调递增； 若x∈(ln(-a)，1)，则f'(x)<0， 所以f(x)在(ln(-a)，1)上单调递减. ③当a=-e时，ln(-a)=1， 对∀x∈R，f'(x)≥0，所以f(x)在R上单调递增. ④当a<-e时，ln(-a)>1， 若x∈(-∞，1)∪(ln(-a)，+∞)，则f'(x)>0， 所以f(x)在(-∞，1)，(ln(-a)，+∞)上单调递增； 解 若x∈(1，ln(-a))，则f'(x)<0， 所以f(x)在(1，ln(-a))上单调递减. 综上所述，当a≥0时，f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增； 当-e<a<0时，f(x)在(-∞，ln(-a))，(1，+∞)上单调递增，在(ln(-a)，1)上单调递减； 当a=-e时，f(x)在R上单调递增； 当a<-e时，f(x)在(-∞，1)，(ln(-a)，+∞)上单调递增，在(1，ln(-a))上单调递减. 解 　(1)若函数f(x)=ln x+ax2-2在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是 A. B. C.(-2，+∞) D.(-8，+∞) 例2 考向2　单调性的应用 √ 由f(x)=ln x+ax2-2可得，f'(x)=+2ax. 因为函数f(x)=ln x+ax2-2在区间内存在单调递减区间， 所以f'(x)<0在x∈时有解，即a<-在x∈时有解. 设g(x)=-，x∈， 显然g(x)在上单调递增，所以g<g(x)<g(1). 所以a<g(1)=-，故实数a的取值范围是. 解析 (2)(2025·长沙模拟)已知y=f(x)是定义在(1，+∞)上的连续可导函数，其导函数为y=f'(x)，若xf'(x)<f(x)，且f(3)=6，则不等式f(ln x)>2ln x的解集为 A.(1，3) B.(3，e2) C.(1，e3) D.(e，e3) √ 令g(x)=(x>1)， 则g'(x)=， 因为xf'(x)<f(x)，则xf'(x)-f(x)<0， 所以g'(x)<0， 则g(x)=在区间(1，+∞)上单调递减，又f(3)=6，由f(ln x)>2ln x，ln x>1， 得即 所以1<ln x<3，解得e<x<e3，故原不等式的解集为(e，e3). 解析 (1)讨论函数的单调性一般可以归结为参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在x∈D上恒成立. (3)若函数y=f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f'(x)=0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号). (4)函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f'(x)>0(或f'(x)<0)在x∈D上有解. 规律方法 跟踪演练1　(1)(2025·菏泽模拟)已知函数f(x)=(x-a-1)ex-bx是R上的增函数，则 A.a=b B.a= C.a=ln b D.a=eb √ 由f(x)=(x-a-1)ex-bx， 得f'(x)=(x-a)ex-bx+ab=(x-a)(ex-b)， 因为f(x)是R上的增函数，则f'(x)≥0对x∈R恒成立，即(x-a)(ex-b)≥0对x∈R恒成立， 当b≤0时，ex-b>0，此时x-a≥0对x∈R不恒成立，不满足题意； 当b>0时，等价于(x-a)(x-ln b)≥0对x∈R恒成立，则a=ln b. 解析 (2)(2025·张掖模拟)已知a=9eln 2，b=18，c=4eln 3，则a，b，c的大小关系为 A.b>a>c B.a>c>b C.a>b>c D.b>c>a √ 令f(x)=，x∈(1，e)， 则f'(x)=>0对任意的x∈(1，e)恒成立， 所以函数f(x)在(1，e)上单调递增， 所以f(e)>f(2)>f(1)=0， 即>>0，故2>eln 2>0， 所以9eln 2<9×2=18，即a<b， 又因为a=9eln 2=eln 29=eln 512>eln 81=eln 34=4eln 3=c，即a>c，因此b>a>c. 解析 考点二　利用导数研究函数的极值 　(2025·郑州模拟)已知函数f(x)=xln(ax)(a≠0). (1)若直线y=-与曲线y=f(x)相切，求a的值； 例3 设直线y=-与曲线y=f(x)的切点为，则x0ln(ax0)=-. ① f'(x)=ln(ax)+1，则ln(ax0)+1=0. ② 由①②解得x0=，a=1. 解 (2)若f(x)有极大值，且极大值大于1，求a的取值范围. 当a>0时，f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=ln(ax)+1是增函数. 令ln(ax)+1=0，解得x=. 当x∈时，f'(x)<0， 当x∈时，f'(x)>0， 所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，则f(x)有极小值，没有极大值，不符合题意，所以a<0； 解 因为a<0，所以f(x)的定义域为(-∞，0).当x∈时，f'(x)>0， 当x∈时，f'(x)<0， 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，则f(x)有极大值f ，没有极小值. 因为f(x)的极大值大于1，所以f =->1，解得-<a<0. 故a的取值范围为. 解 f'(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件，即f'(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f'(x)=0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性. 规律方法 跟踪演练2　(1)(多选)(2025·重庆模拟)已知函数f(x)，x∈[-a，a]的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为f'(x)，函数g(x)=(x2-x)f'(x)的图象如图，则下列说法正确的是 A.f(x)在x=-1处取极大值 B.x=1是f(x)的极大值点 C.f(x)没有极小值点 D.x=1可能不是导函数f'(x)的极大值点 √ √ √ 由题图知， 解析 ∴f(x)在(-a，-1)上单调递增，在(-1，a)上单调递减， ∴f(x)在x=-1处取得极大值，无极小值点，故A，C正确，B错误； 又当0<x<1，1<x≤a时，f'(x)<0， x [-a，-1) (-1，0) (0，1) (1，a] g(x) + - + - x2-x + + - + f'(x) + - - - g(1)=0， 当x=1时，x2-x=0，所以f'(1)不一定等于0， 当f'(1)=0时，x=1是导函数f'(x)的极大值点， 当f'(1)≠0时，x=1不是导函数f'(x)的极大值点，故D正确. 解析 (2)(2025·哈尔滨模拟)若函数f(x)=xln x-(m-1)ln 2x存在唯一极值点，则实数m的取值范围是 A.(1，+∞) B.[1，+∞) C.∪[1，+∞) D. √ 由f(x)=xln x -(m-1)ln 2x，x>0，求导可得f'(x)=ln x+1-， 由题意得函数f'(x)存在唯一变号零点， 令f'(x)=0得，m-1=xln x+x， 令g(x)=xln x+x，x>0，求导可得g'(x)=ln x+2，由g'(x)=0，解得x=， 当0<x<时，g'(x)<0；当x>时，g'(x)>0， 所以函数g(x)在上单调递减，在上单调递增，则 解析 g(x)min=g=-， 画出函数g(x)的大致图象如图所示， 由图知，当m-1=-，即m=1-时，x=为f'(x)的不变号零点，不符合题意；故m-1≥0，即m≥1，故实数m的取值范围是[1，+∞). 解析 考点三　利用导数研究函数的最值 　(1)(2022·全国甲卷)当x=1时，函数f(x)=aln x+取得最大值-2，则f'(2)等于 A.-1 B.- C. D.1 例4 √ 因为函数f(x)的定义域为(0，+∞)， 所以依题意可知 而f'(x)=-， 所以即 所以f'(x)=-+， 解析 因此函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 当x=1时取最大值，满足题意. 所以f'(2)=-1+=-. 解析 (2)(2025·石家庄模拟)如图所示，圆锥的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则该圆锥体积的最小值为 A.4π B. C.5π D. √ 设圆锥的高为h，底面半径为r(r>1)，则圆锥内接的圆柱上面的小圆锥的高为h-2， 由图易知=， 即=，∴h=， ∴该圆锥的体积V=πr2h=， 则V'=， 令V'=0，则r=， 解析 当1<r<时，V'<0；当r>时，V'>0， 即V在上单调递减，在上单调递增， 当r=时，V取得最小值为. 解析 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，一般要根据函数的单调性和极值画出函数的大致图象，借助图象求解.求最值时不能想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较再下结论，图象上最高点和最低点的函数值即为函数的最大值和最小值. 规律方法 跟踪演练3　(2025·长沙模拟)已知函数f(x)=3x2-2ln x+(a-1)x+3在区间(1，2)上有最小值，则实数a的取值范围是 A.a>-3 B.-<a<-10 C.-<a<-3 D.-10<a<-3 √ 函数f(x)=3x2-2ln x+(a-1)x+3，求导得f'(x)=6x-+a-1=， 由f(x)=3x2-2ln x+(a-1)x+3在区间(1，2)上有最小值， 得f'(x)在区间(1，2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正， 令h(x)=6x2+(a-1)x-2，h(0)=-2<0，则h(x)在区间(1，2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正， 因此 解得-10<a<-3，所以实数a的取值范围是（-10，-3）. 解析 $