5.1.1 椭圆的概念和标准方程（教学设计）--北师大版《数学 拓展模块一上册》《上好课》

北师大版《数学拓展模块一 上册》 第五章 圆锥曲线 5.1.1 椭圆的概念和标准方程 一、教材 北京师范大学出版社《数学》（拓展模块一上册） 二、教学时长 1课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 “椭圆的概念和标准方程”是圆锥曲线章节的开篇内容，核心知识点包括椭圆的定义、焦点在x轴与y轴上的两种标准方程，为后续学习椭圆的性质、其他圆锥曲线提供了概念与代数框架基础。教材以生活中椭圆物体为逻辑主线，既衔接了学生对轨迹图形的认知，又深化了“从几何定义到代数方程”的数学思维，提升学生用代数方法描述几何轨迹的能力。 五、学情分析 多数学生已具备对平面几何轨迹的认知基础，并且对与椭圆相关的生活物体有明确认知，这为他们学习椭圆的概念和标准方程打下了基础。但如果只采用纯代数推导的讲解可能无法引起学生的学习兴趣，还容易出现对椭圆定义中“定值大于两定点间距”的限制条件理解不透彻的问题。因此可以通过与生活关联的场景帮助学生掌握椭圆的概念，帮助他们突破思维难点。 六、教学目标 1.理解并掌握椭圆的定义和标准方程； 2.能根据已知条件求解椭圆的标准方程； 3.通过分析椭圆在生活场景中的应用，培养学生从实际情境中构建椭圆模型的能力，同步深化其数学抽象与 直观想象的核心素养。 七、教学重点 1.椭圆的定义； 2.椭圆的标准方程。 八、教学难点 能根据已知条件准确求解椭圆的标准方程。 九、教学方法 案例法：通过案例来帮助学生理解椭圆的概念和标准方程，激发学生的学习兴趣。 讲授法：对椭圆的概念和标准方程进行系统讲解，使学生准确理解和掌握。 探究法：引导学生自主探究椭圆的概念和标准方程相关知识点，培养学生的推理能力。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 国家大剧院位于北京市中心西长安街沿线，比邻人民大会堂和天安门广场，是一座总建筑面积达 21.75 万平方米的大型公益性文化艺术机构国家大剧院。 下方视频呈现出了国家大剧院的外观特征。请同学们先观看视频并思考其外观有什么样的特点。 通过观察发现，国家大剧院的外观近似椭圆。其实椭圆在生活中的应用非常广泛，例如油罐车横截面都近似椭圆，那么我们如何画出椭圆，椭圆又是如何定义的？ 我们今天就来学习椭圆的概念。 我们来做一个实验。取一条一定长度的线绳、两枚图钉、一支笔和一小块木板，按照下面的步骤画一个椭圆。 (1)如图，将线绳的两端固定在木板的两点和，并使线绳的长大于到的距离。 （2）用笔尖把线绳拉紧，让线绳保持拉紧状态，笔尖在木板上慢慢移动一周，观察画出的图形。 从这个实验中可以看到，笔尖（动点）在移动过程中，到两个定点和的距离之和始终保持不变（等于线绳绷紧时的长度）。 通过生活举例分析推导出新知识点：椭圆的概念和标准方程。 新知讲授 椭圆的概念和标准方程 平面内与两个定点，的距离之和为常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点，叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距. 实验画出的图形就是椭圆. 现在我们根据实验步骤来研究椭圆的标准方程.以过焦点，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 设为椭圆上的任意一点，点到两个定点，的距离之和为定长，设椭圆的焦距为，则，两个定点的坐标分别为，. 由椭圆定义，得. 根据两点间的距离公式，分别代入点及两定点，的坐标，得 ， 移项得， 等式两边同时平方得， 经整理得，等式两边同时平方后，化简得 ， 根据椭圆的定义，即，所以，令，代入上式得， 等式两边同时除以，得. 该方程叫作椭圆的标准方程. 它表示焦点在轴上的椭圆，焦点坐标分别为，，且. 如图所示，若焦点，在轴上，焦点坐标分别为，. 用上述方法，可以得到焦点在轴上的椭圆方程为，该方程也是椭圆的标准方程. 总结椭圆的概念和标准方程。 案例分析 【例题】已知椭圆的两焦点坐标分别是，，椭圆上的点到焦点，的距离和是20，求此椭圆的标准方程. 【解析】根据题意，椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为 由题知，，得，又因为， 所以. 将，代入方程中，得此椭圆的标准方程为 【例题】求椭圆的焦点坐标和焦距. 【解析】将椭圆方程化为标准方程. 根据椭圆定义得此椭圆的焦点在y轴上，，. 又因为，所以， 得焦点坐标为，，焦距. 【案例】已知椭圆上一点到两焦点，的距离之和等于12，求的值. 【解析】由题意得，所以， 因为，所以， 解得，所以， 故或. 通过案例来帮助学生更好地理解椭圆的概念和标准方程。 学以致用 【练习】已知椭圆的焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为8，求椭圆的标准方程. 【解析】因为椭圆的焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为8， 所以，即， 所以， 所以椭圆的标准方程为或. 【练习】分别求椭圆：与： 椭圆的焦点. 【解析】因为椭圆：， 所以，所以， 解得，因为焦点在轴上， 所以椭圆：焦点坐标为， 椭圆： ， 所以，所以， 解得，因为焦点在轴上， 所以椭圆： 焦点坐标为. 同学们，我们完成了椭圆的概念和标准方程知识点的学习，接下来咱们一起快速回顾一下刚学的内容，大家可以踊跃举手回答： 1. 椭圆的概念是什么？ 2.椭圆的表达式有哪几种？ 3. 如何计算椭圆的焦距？ 同学们，刚刚我们已经掌握了椭圆的核心概念和标准方程。现在请同学们观察椭圆标准方程的两种形式并思考： 我们如何通过标准方程判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上？ 答案： 通过观察椭圆的标准方程中含x项和含y项的分母，哪个分母大，则焦点就在哪个数轴上。 通过及时练习以及知识回顾，进一步加强学生对椭圆的概念和标准方程的记忆和运用。 课堂练习 【练习1】椭圆的焦距为（ ） A． B． C． D． 【解析】在椭圆中，， 故，进而焦距. 故选：A. 【练习2】椭圆的焦点坐标为（ ） A．， B．， C．， D．， 【解析】椭圆，化为标准方程为， 所以焦点在轴上，且，，则， 解得， 所以焦点坐标为，， 故选：. 【练习3】椭圆上一点到一个焦点的距离等于5，则它到另一个焦点的距离为（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 【解析】对于椭圆方程，因为， 所以该椭圆的焦点在轴上，其中，可得， 由椭圆的定义可知，椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于， 因为椭圆上一点到一个焦点的距离等于5， 所以它到另一个焦点的距离为， 故选：B. 【练习4】椭圆的焦点坐标为和，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ） A．＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1 【解析】∵椭圆的焦点坐标为和，椭圆上一点与两焦点的距离和是26， ∴椭圆的焦点在轴上，，∴＝12， ∴椭圆的方程为＝1． 故选：A. 【练习5】到点和的距离之和为的点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【解析】因为和两点间的距离， 所以由椭圆的定义知动点的轨迹是以和为焦点， 长轴长为的椭圆， 所以，，即， 所以，， 所以所求动点的轨迹方程为． 故选：A. 【练习6】如图所示，点和点分别为椭圆的焦点和短轴顶点，则椭圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【解析】由图可知，点和点的坐标分别为和， 点和点分别为椭圆的焦点和短轴顶点， 所以椭圆的焦点在轴上，且，即， 可得椭圆的标准方程为. 故选：C. 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺 知识梳理 椭圆的定义： 平面内与两个定点，的距离之和为常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆. 椭圆的标准方程： 焦点在轴上：. 焦点在轴上：为 培养学生总结学习过程能力. 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 学而时习，夯实所学. 板书设计 椭圆的定义： 平面内与两个定点，的距离之和为常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆.两个定点，叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距. 椭圆的标准方程： 焦点在轴上：. 焦点在轴上：为 主板书分模块呈现，重点内容用彩色粉笔标注. 11、 教学反思 在本节教学中，通过实例引入椭圆概念，多数学生能初步理解椭圆的定义，掌握两种标准方程的形式。但在课堂检测中也发现：个别学生对两种标准方程的焦点位置判断易混淆，因此在课后练习中，需增加相关的专项练习，提升其对新知识的运用能力。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $