5.1.1 椭圆的概念和标准方程（教学课件）--北师大版《数学 拓展模块一上册》《上好课》

5.1.1 椭圆的概念和标准方程 第五章 圆锥曲线 北师大版 拓展模块一 上册 学习目标 1.理解并掌握椭圆的定义和标准方程； 2.能根据已知条件求解椭圆的标准方程； 3.通过分析椭圆在生活场景中的应用，培养从实际情境中构建椭圆模型的能力，同步深化其数学抽象与直观想象的核心素养。 目 录 教学引入 01 新知讲授 02 学以致用 03 课堂练习 04 课堂小结 05 教学引入 5.1.1 椭圆的概念和标准方程 教学引入 国家大剧院位于北京市中心西长安街沿线，比邻人民大会堂和天安门广场，是一座总建筑面积达 21.75 万平方米的大型公益性文化艺术机构国家大剧院。 下方视频呈现出了国家大剧院的外观特征。请同学们先观看视频并思考其外观有什么样的特点。 教学引入 通过观察发现，国家大剧院的外观近似椭圆。其实椭圆在生活中的应用非常广泛，例如油罐车横截面都近似椭圆，那么我们如何画出椭圆，椭圆又是如何定义的？ 我们今天就来学习椭圆的概念。 教学引入 我们来做一个实验。取一条一定长度的线绳、两枚图钉、一支笔和一小块木板，按照下面的步骤画一个椭圆。 (1)如图，将线绳的两端固定在木板的两点和，并使线绳的长大于到的距离。 教学引入 （2）用笔尖把线绳拉紧，让线绳保持拉紧状态，笔尖在木板上慢慢移动一周，观察画出的图形。 从这个实验中可以看到，笔尖(动点)在移动过程中，到两个定点和的距离之和始终保持不变(等于线绳绷紧时的长度)。 新知讲授 5.1.1 椭圆的概念和标准方程 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知速记 1.什么是椭圆？ 2.椭圆的标准方程如何书写？ 3.椭圆的焦点、焦距指的是什么？ 案例分析 案例分析 案例分析 学以致用 5.1.1 椭圆的概念和标准方程 学以致用 学以致用 学以致用 知识回顾 1. 椭圆的概念是什么？ 2.椭圆的表达式有哪几种？ 3. 如何计算椭圆的焦距？ 同学们，我们完成了椭圆的概念和标准方程知识点的学习，接下来咱们一起快速回顾一下刚学的内容，大家可以踊跃举手回答： 师生交流 拓展思考互动 同学们，刚刚我们已经掌握了椭圆的核心概念和标准方程。现在请同学们观察椭圆标准方程的两种形式并思考： 我们如何通过标准方程判断椭圆的焦点在哪个坐标轴上？ 答案：通过观察椭圆的标准方程中含x项和含y项的分母，哪个分母大，则焦点就在哪个数轴上。 课堂练习 5.1.1 椭圆的概念和标准方程 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂小结 5.1.1 椭圆的概念和标准方程 课堂小结 椭圆的标准方程： 椭圆的定义： 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 Lavf58.29.100 Bilibili VXCode Swarm Transcoder v0.6.4 平面内与两个定点，的距离之和为常数 （大于）的点的轨迹叫作椭圆. ①这两个定点，叫作椭圆的焦点； ②两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距. 实验画出的图形就是椭圆. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 现在我们根据实验步骤来研究椭圆的标准 方程.以过焦点，的直线为轴，线段 的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如 图所示. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设为椭圆上的任意一点，点到两个定 点，的距离之和为定长，设椭圆的焦 距为，则，两个定点的坐标分别为 ，.由椭圆定义，得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 根据两点间的距离公式，分别代入点及两定点， 的坐标，得， 移项得， 等式两边同时平方得 ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 经整理得，等式两边 同时平方后，化简得. 根据椭圆的定义，即，所以 ，令，代入上式得 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 等式两边同时除以，得 . 该方程叫作椭圆的标准方程.它表示焦点在轴上 的椭圆，焦点坐标分别为 ，，且. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 如图所示，若焦点，在轴上，焦点坐标 分别为，.用上述方法，可以得到 焦点在轴上的椭圆方程为 ， 该方程也是椭圆的标准方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 平面内与两个定点，的距离之和为常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 两个定点，叫作椭圆的焦点；两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 焦点在轴上的椭圆： 焦点在轴上的椭圆： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 根据题意，椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为 由题知，，得，又因为， 所以. 将，代入方程中，得此椭圆的标准方程为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知椭圆的两焦点坐标分别是，，椭圆上的点到焦点，的距离和是20，求此椭圆的标准方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 将椭圆方程化为标准方程. 根据椭圆定义得此椭圆的焦点在y轴上，，. 又因为，所以， 得焦点坐标为，，焦距. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】求椭圆的焦点坐标和焦距. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由题意得，所以， 因为，所以， 解得，所以， 故或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【案例】已知椭圆上一点到两焦点，的距离之和等于12，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知椭圆的焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为8，求椭圆的标准方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为椭圆的焦距为6，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为8， 所以，即， 所以， 所以椭圆的标准方程为或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】分别求椭圆：与： 椭圆的焦点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为椭圆：， 所以， 所以， 解得，因为焦点在轴上， 所以椭圆：焦点坐标为， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 椭圆： ， 所以， 所以， 解得，因为焦点在轴上， 所以椭圆： 焦点坐标为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 焦点在轴上的椭圆：焦点在轴上的椭圆： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】椭圆的焦距为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 在椭圆中，， 故，进而焦距. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】椭圆的焦点坐标为（ ） A．， B．， C．， D．， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 椭圆，化为标准方程为， 所以焦点在轴上，且，，则，解得， 所以焦点坐标为，， 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】椭圆上一点到一个焦点的距离等于5，则它到另一个焦点的距离为（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 对于椭圆方程，因为， 所以该椭圆的焦点在轴上，其中，可得， 由椭圆的定义可知，椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于， 因为椭圆上一点到一个焦点的距离等于5， 所以它到另一个焦点的距离为， 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】椭圆的焦点坐标为和，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ） A．＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ∵椭圆的焦点坐标为和，椭圆上一点与两焦点的距离和是26， ∴椭圆的焦点在轴上，， ∴＝12， ∴椭圆的方程为＝1． 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】到点和的距离之和为的点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为和两点间的距离， 所以由椭圆的定义知动点的轨迹是以和为焦点， 长轴长为的椭圆，所以，，即， 所以，， 所以所求动点的轨迹方程为． 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习6】如图所示，点和点分别为椭圆的焦点和短轴顶点，则椭圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 由图可知，点和点的坐标分别为和， 点和点分别为椭圆的焦点和短轴顶点， 所以椭圆的焦点在轴上，且，即， 可得椭圆的标准方程为. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 焦点在轴上的椭圆： 焦点在轴上的椭圆： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 平面内与两个定点，的距离之和为常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $