4.4.2 平面向量内积的直角坐标运算（教学课件）--北师大版《数学 拓展模块一上册》《上好课》

4.4.2 平面向量内积的 直角坐标运算 第四章 平面向量 北师大版 拓展模块一 上册 学习目标 1.理解并掌握平面向量内积的直角坐标运算公式； 2.能运用内积的直角坐标公准确计算两个向量的内积，判断两个平面向量是否垂直； 3.在将内积的几何意义转化为坐标运算的过程中，深化数学抽象与数学运算的核心素养。 目 录 教学引入 01 新知讲授 02 学以致用 03 课堂练习 04 课堂小结 05 教学引入 4.4.2 平面向量内积的直角坐标运算 教学引入 船帆精神是我国航海文化与竞技品格的交融。在2019年第十三届中国杯帆船比赛中，中国船队在 8 个组别中拿下 6 个冠军，整体表现强势. 以下视频为当时活动的宣传片，请同学们先观看视频，稍后会结合视频进行相关提问。 教学引入 同学们，在国际帆船比赛中，船帆在某赛段是需借助风力航行的。现通过向量来展示船帆在运动的过程中所受的力和运动方向： 其中表示风对帆船的拉力向量；表示帆船在该拉力作用下的位移向量。 思考： 如何计算风力对帆船做的功？ 教学引入 分析： 计算风力对帆船做的功等同于计算、两个向量的内积(内积公式为：). 将两个向量对标到平面直角坐标系中，如图所示。此时等同于向量，等同于向量. 教学引入 假设，. 基于之前学习的内容，我们知道在用坐标表示向量后，向量的加法、减法和数乘运算都可以转换成向量坐标的代数运算. 请同学们思考： 对于两个非零向量与，是否也可以用坐标来计算向量的内积呢？ 教学引入 教学引入 新知讲授 4.4.2 平面向量内积的直角坐标运算 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知讲授 新知速记 1.如何求解两个非零向量的内积？ 2.平面向量模的坐标公式如何表示？ 3.两非零向量垂直转换为坐标公式如何表示？ 4.两非零向量的夹角公式？ 案例分析 案例分析 案例分析 学以致用 4.4.2 平面向量内积的直角坐标运算 学以致用 学以致用 学以致用 知识回顾 1. 两非零向量的内积公式如何表示？ 2.平面向量模的坐标公式是什么？ 3. 如何运用坐标判断两非零向量垂直？ 同学们，我们完成了平面向量内积的直角坐标运算知识点的学习，接下来咱们一起快速回顾一下刚学的内容，大家可以踊跃举手回答： 师生交流 拓展思考互动 同学们，我们已经掌握了平面向量内积的直角坐标计算的相关公式，现在请同学们结合本节课所学知识点回答下列问题：小明在小区散步，小区大门在(0,0)，花园在(3,1)，健身区在(-1,3)，可得向量=(3,1)，=(-1,3)，请计算两向量的内积并判断方向关系。 答案：根据内积的坐标公式得=3×(-1)+1×3=-3+3=0,说明从大门到花园和从大门到健身区的路线垂直。 课堂练习 4.4.2 平面向量内积的直角坐标运算 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂小结 4.4.2 平面向量内积的直角坐标运算 课堂小结 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 Lavf57.71.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 如图，平面直角坐标系的基本单位向量， 的模，，，，因此有 ， ，， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设两个非零向量与，它们的坐标分别为 ，， 其中，，，为实数，从而 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 在平面直角坐标系中，如果两个非零向量 ，，则 这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标的 乘积之和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）设，由于 ， 即， 所以 这就是计算向量的模的坐标公式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）设两个非零向量，， 由于，转化为坐标形式， 即有 可利用向量坐标研究向量垂直的问题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）设两个非零向量，， ， 可利用向量坐标研究两个非零向量的夹角的问题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 两个非零向量，，内积为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）因为，所以。 （2）因为，所以与不垂直。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】判断下列各组向量是否互相垂直. （1），； （2），。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ， 。 ，。 因为 ，， 所以 ，。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知，，求，，，。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知点，，，求证：。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 证明：， ， ， 所以。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为， 则，，， 所以， 因为，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】判断下列各组向量是否垂直： (1) (2) . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1），， 所以. （2） ,， 所以与不垂直. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知，且，求的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 设，已知，则. 又，联立方程组，解得或， 所以的坐标为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】向量，，则与的夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 设与的夹角为， ；，， ∴. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】已知向量，若，则（ ） A．2 B． C． D．4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 向量，且， 则，解得2，则， 所以. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】已知向量，，且，则（ ） A．1 B． C． D．4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为向量，，且， 所以，解得， 所以或，所以. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】已知向量，且，则m=（ ） A．2 B． C．0 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为向量， 所以， 解得. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】已知向量，，若，则m的值为（ ） A．或2 B．或3 C．或3 D．或4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ，即， ∴，解得或． 故选：A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习6】已知向量，，则（ ） A．5 B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 已知向量，，则， 所以， 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $