5.3.2 函数的极值与最大(小)值-【重难点手册】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习册（人教A版）浙江专用

令a)=是-xe[1,2]. 则()=一是-2x<0,即A(x)在[1,2]上单调 递减， 所以AC)=A(2)=-子， 故a≤一子，即实数a的取值范围为(-，一名] 14.(1)由题意得f'(x)=-2 asin x+e-z 因为f(受）=0，所以-2a十1=0，解得a=司 所以f'(x)=-sinx十e-. 令p(x)=f(x)=-sinx十et-r, 则g'(x)=-cosx-e登-x. 当x∈(0，)时，p(x)<0, 故f(x)在(0,5)上单调递减， 所以f'(x)>f'(受)=0， 故f()在(0，受)上单调递增。 (2)由(1)知f(x)=cosx-e-x+1, 令h(x)=e登f(x)=(1十cosx)e登-x-1. 因为e受≠0，所以f(x)与h(x)有相同的零点个数. h'(x)=(-sinx十1+cosx)e受 =[1-sin(x-)门]e, 当x∈[2kx+受，2kx十x](k∈N)时，x-于∈ [2kx+子，2kx+7]k∈w, 所以sm(x一晋)[9,1] 则v2sin(x-平)e[1w2],故h()≤o, 所以h(x)在[2kx十乏，2kx十元](k∈)上单调递减。 因为k∈N,h(2kx+5)=e2-1≥0，h(2kπ十)= 参考答案与提示次 一1<0，所以由函数零点存在定理可知，h(x)在 2kx十受，2kx十x]k∈D上只有一个零点， 故函数f(x)在2kx十受，2kπ十x(k∈)上只有一 个零点. 15.B提示：当x→一o∞时，f(x)>0,故排除C. 由f(x)=(x2-2x)e得f'(x)=(x2-2)e. 令f(x)>0,得x>√2或x<-√2；令f(x)<0,得 -√2<x<√2.所以f(x)在(-∞，-√2)和(W2,十∞) 上单调递增，在（一√2，W②）上单调递减，故排除A,D. 5.3.2函数的极值与最大（小）值 真题演练答案 1.AC提示：因为f(x)=x3-x十1，所以f'(x)=3x2- 1,令f()=3-1=0,得x=士由f)=32- 1>0得x>号或K-得，由f)=3-1<0得 -9<<9所以f)=2-x+1在（停，+）， (-0,-号)上单调递增，在(-写，9)上单调递诚。 所以f(x)有两个极值点，故A正确. 因为fx)a=f(得)-（得）'-9+1=1-2 >0,xa=(-得）=-+得+1>0，所以函 数f(x)在R上有且只有一个零点，故B错误. 因为函数g(x)=x3一x的图象向上平移一个单位长度 得函数f(x)=x3-x十1的图象，函数g(x)=x3一x 的图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)=0,所以点 (0,1)是曲线f(x)=x3一x+1的对称中心，故C 正确。 假设直线y=2x是曲线y=f(x)的切线，切点为 (xob),则f(xo)=3x6-1=2,解得xo=士1.若 x=1,则切点坐标为(1,1)，但点(1,1)不在直线y= 29 重难点手册高中数学进择性必修第二尺UA( 2x上，若x=一1，则切点坐标为(-1,1)，点(-1,1) 也不在直线y=2x上，所以假设不成立，故D错误. 2.D提示：f(x)=cosx+(x+1)sinx十1，x∈[0,2π]， 则f'(x)=-sinx十sinx十(x+l)cosx=(x+1)cosx. 令f()=0,解得x=-1(舍去)，x=受或x= 因为f()=cos受+（变+1）sin吾+1=2+变， f(z)=cos要+（经+1）sim要+1=-经， 又f(0)=cos0+(0+1)sin0+1=2,f(2π)=cos2π+ (2π+1)sin2π+1=2， 所以f(x)u=f(受）=2+，f(x)血=f(经) 路 3.(日1 ,提示：由f(x)=2a-ex2得f(x)= 2alna-2ex.令f(x)=0,得alna=ex. 因为a>0且a≠1，显然x≠0，所以e=h0. 令g(x)=alna x 则g(x）=lha)2x-ana=alha[na)z-] x x 令g()=0,得x=。故当>da时，g(x)>0, 1 gx)单调递增：当<a时，g(<0,8g)单调递减。 所以ge=g()=应e-a点（mo,也 In a 是最小值.因为f(x)有极小值点x=和极大值点 x=2,故f(x)=0有两个不同的根x=,x=x2,故 gx)的图象与直线y=e有两个交点，所以g(a)< e,即a点(na)2<e又a=a=ase=e,所以 (lna)2<1.又x1<x2,所以易知当x∈(-o∞，1)， (x2,十∞)时，f'(x)<0;当x∈(，x2)时，f'(x)>0. 30 浙江专用) 若a>1,则当x→十o∞时，f(x)→十o∞，不符合题意. 所以0<a<1,则-1<lna<0,所以a∈（日，1）， 4()当a=2时，f)=若(>0， fx）=z(2-xn22(x>0. 2 令∫(x>0,则0<r<n2此时函数f(x)单调递增； 令f(x)<0,则x>n2,此时函数fx)单调递减。 所以函数✉)的单调递增区间为(0，品2)，单调递减 区间为（品2十o∞）力 (2)曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点， 可转化为方程二=1(x>0)有两个不同的解，即方程 工=山有两个不同的解。 x a 设g()=h(x>0),则g()=1-h(x>0). x 令g(x)=1-h=0,得x=c 当0<x<e时，g(x)>0,函数g(x)单调递增； 当x>e时，g(x)<0,函数g(x)单调递减. 故g(x)==g(e)=日，且当x>e时，g(x)∈ (0,). 又g1)=0,所以0<a<名.所以>1且a≠e, a 即a的取值范围为(1，e)U(e,十o∞). 5.(1)f'(x)=一2x,设切点坐标为(x0,). :f'(x0)=-2x0=-2,.x0=1,%=11. .切点坐标为(1,11). .切线方程为y-11=-2(x-1),即2x十y-13=0. (2)由题意知≠0. f(x)=-2x, 曲线y=f(x)在点(t,f(t)处的切线的斜率为 f(t)=-2t. 又f(t)=12-2,.曲线y=f(x)在点(t,f(t)处的 切线方程为y-(12-)=-2t(x-t),即y=一2tx十 2+12. 令x=0,则y=P+12;令y=0,则x=12 2t .切线与坐标轴的交点坐标分别为(0,2+12)， (2o) ∴s0=2e+10.2|=2,0 2t ,S(t)为偶函数，∴仅需考虑>0即可. 则s)=(e+24+14)0, 50=(3+24-4)）=是+2-20G+12. 令S(t)>0,得t>2;令S'(t)<0,得0<t<2. S(t)在(0,2)上单调递减，在(2，十∞)上单调递增， S(t)mn=S(2)=32. 由S()为偶函数，知当t=士2时，S(t)取得最小值，最 小值为32. 6.(1)f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(0，十∞). f)=e-a,g)=a-子 ①当a≤0时，∫(x)>0恒成立，所以f(x)在R上单调 递增，即f(x)没有最小值，不符合题意。 ②当a>0时，因为在(-∞，lna)上，f(x)<0,在 (lna,+o∞)上，f(x)>0,所以f(x)在(-c∞，lna)上 单调递减，在(lna,十o∞)上单调递增. 所以f(x)在x=lna时取得极小值，即为最小值，最小 值为f(lna)=a-alna. 因为在(0，）上，g)<0,在（日，+∞）上，g()>0, 所以g(x)在(0，)上单调递减，在（日，十∞）上单 调递增， 参考答案与提示次 所以g)在x=日时取得极小值，即为最小值，最小 值为g(合)=1+na 因为f(x)=e一a.x和g(x)=ax一lnx有相同的最小值， 所以fna)=g(合)，即a-alna=1+lna 因为a>0,所以上式等价于ha8号-0， 令A()=hx->0. 则A)品>0恒成立， 所以h(x)在(0，十∞)上单调递增 又因为h(1)=0=h(a)且a>0,所以a=1. (2)由(1)知f(x)=e-x,g(x)=x-lnx. f(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增， 且f(0)=1>0; g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，且 g(1)=1>0. 所以曲线y=f(x),y=g(x)的大致形状如图所示. y=f(r) y=g(x) y=b x21 设直线y=b与曲线y=f(x),y=g(x)三个交点的横 坐标分别为1，x2,x3(<x2<x3), 所以x1<0,0<x2<1,x3>1, 且f(x)=f(x2)=e西-x=e西-x2=b, g(x2)=g(xs)=x2-In x2=x3-In xs=b. 所以e-lnx2=ehx-nx3=b, 即f(lnx2)=f(lnx3)=b. 又lnx2<0,lnxa>0, 所以x=lnx2,x2=lnxa,① 且e-x2=x2-lnx2,即e十lnx2=2x2.② 31 重难点手册高中数学选择性必修第二册RdA( 由①②得x1十x3=lnx2十e中=2x2, 所以存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y= g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点 的横坐标成等差数列： 7.(1)由题意得f(x)=x(e-2a), 当a≤0时，令f(x)>0,得x>0;令f(x)<0,得x0. 所以f(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，+∞)上单调 递增。 当a>0时，令f(x)=0,得x=0或x=ln2a. ①当0<a<2时，令f(x)>0,得x<ln2a或x>0, 令f(x)<0,得ln2a<x<0. 所以f(x)在(-o∞，ln2a),(0,十o∞)上单调递增，在 (ln2a,0)上单调递减. ②当a=时，f(x)=x(e-1D>0且等号不恒成立， 所以f(x)在R上单调递增. ③当a>7时，令f(x)>0,得x<0或x>ln2a;令 f(x)<0,得0<x<ln2a. 所以f(x)在(-oo,0),(ln2a,+oo)上单调递增，在 (0,ln2a)上单调递减. (2)选择条件①，证明如下： 由(1)知，当a>2时，f(x)在(-oo,0),(n2a,十∞) 上单调递增，在(0，ln2a)上单调递减，所以f(x)在 x=0处取得极大值f(0),在x=ln2a处取得极小值 f(ln2a),且f(0)=-1+b,fln2a)=(2a-aln2a)· In 2a+b-2a 由于g<a<号，b>2a, 所以f(0)>0,ln2a>0,b-2a>0. 令g(x)=2x-xln2x, g'(x)=2-In 2x-1=1-In 2x. 令g(x)=0,得x=气. 32 浙江专用) 当2<<号时，g()>0:当号<x<号时，g()<0, 所以g(x)在(2，号）上单调递增，在（号，号]上单 调递减。 所以gx)在x=号处取得极大值g(号) 由于g(号)=号>0，g(2)>0,g(号)=0， 所以g≥0在（合，号]上恒成立 所以f(ln2a)>0. 当x→一∞时，f(x)一∞， 所以f(x)有一个零点，得证. 选择条件②，证明如下： 由(1)知，当0<a<2时，fx)在(-o∞，lh2a),(0,十∞) 上单调递增，在(ln2a,0)上单调递减， 所以f(x)在x=ln2a处取得极大值f(ln2a),在x=0 处取得极小值f(0). 由于0<a<2b62a,所以f0<0.6-2a≤0，lh2a<0, -aln2a>0,则2a-aln2a>0,所以f(ln2a)<0. 当x十o时，f(x)→十∞， 所以f(x)有一个零点，得证. 8.(1)当x1=-1时，f(-1)=0, 所以切点坐标为（一1,0）. 由f(x)=x3-x得f'(x)=3x2-1, 所以切线斜率=f(-1)=2. 所以切线方程为y=2(x十1)，即y=2x十2. 将y=2x十2代入y=x2+a得x2-2x十a-2=0. 由切线与曲线y=g(x)相切得△=（一2）2-4(a一2)=0， 解得a=3. (2)由f(x)=x3-x得f'(x)=3x2-1, 所以切线斜率=f(x1)=3x-1. 所以切线方程为y一(x-)=(3x-1)(x一)，即 y=(3x1-1)x-2x. 将y=(3-1)x-2x1代入y=x2+a得x2-(3x7- 1)x+a+2x=0. 由切线与曲线y=g(x)相切得△=(3x一1)2一4(a十 2x)=0, 整理得4a=9x-8x-6x+1. 令h(x)=9x4-8x3-6.x2+1, 则h(x)=36x3-24x2-12x=12x(3x+1)(x-1), 由)=0得x=令01 h(x),'(x)随x的变化如表所示： h'(x) h(x) (-∞，-3） 单调递减 -子 0 极小值 (-30) + 单调递增 0 0 极大值 (0,1) 单调递减 1 0 极小值 (1,十∞) 单调递增 由上表知，当x=一号时，A()取得极小值a(一号） 当x=1时，h(x)取得极小值h(1)=一4. 易知当x→-∞时，h(x)→十o∞； 当x→十o∞时，h(x)→十o∞. 所以函数h(x)的值域为[一4，十∞). 所以由4a∈[-4，十o∞)，得a∈[-1，十∞). 故实数a的取值范围为[一1，十o∞). 9.(1)当a=1时，f(x)=x-(lnx)2,x>0, 则f(x)=1-2h,则f(1)=1,且f)=1, x 则切点坐标为(1,1)，且切线的斜率为1， 参考答案与提示出型 故函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=x. (2)①令f)=ax-(nx）2=0,x>0,得a=hx). 设g(x)=nx)2 x>0, x 2In z.-(In In(2 则g'(x)=x 23 x2 由g(x)=0解得x=1或e, 其中g1)=0,g(e)-专 当0<x<1时，g'(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减； 当1<x<e2时，g'(x)>0,g(x)在(1，e2)上单调递增； 当x>e2时，g(x)<0,g(x)在(e2,十∞)上单调递减. 当x→0时，g(x)→十o∞；当x十o∞时，g(x)0. 如图，作出函数g(x)的图象. y=g(x) 4 e y=a O1 e 要使函数f(x)有3个零点， 则方程a=g(x)在(0，十∞)上有3个根，即直线y=a 与函数g(x)的图象有3个交点， 结合图象可知，0<a<号 故a的取值范围为(0，专)， ②由图象可知，0<x1<1<x2<e2<x3. 设lnx=t,lnx2=t,lnxg=t,则t<0<t2<2<t, (ac=,① lna十t2=2lntz, 满足a-=号，②由②③可得 In a+ts =2In ts, ac=t号，③ 两式作差可得t3一t2=2(lnt3一lnt2), t3一t2 则由对数均值不等式可得2=n名-h>√有， 则66<4，放要证n-nh云<。号， 33 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺dA( 即证4一4么<。号，只需证4一≤。号 即证一46<。号 又因为h<0,片=ae<a,则|h|=-t<√a, 所以-s<a。=冬，故只精世e喜e、 设函数p(0= e>2, 2aet-2re(2-2加p 则p(t) ez 当2<t4时，9(t)>0,则p(t)在(2,4)上单调递增； 当>4时，0(t)<0,则p(t)在(4，十o∞)上单调递减. 故p0as=g4)=9,即g0<号 而由4e2-16e十16=4(e-2)2>0, 可知9<。一成立，故命题得证 练习册答案 1.C提示：f(x)=(x+2cosx)'=1-2sinx.当x∈ [0,看)时fx)>0,fx)单调递增：当x∈[晋] 时，f)<0,f)单调递减；当x(元]时，f'()> 0,f)单调递增.又f(0)=2>f()=-3, “当x=时，f(x)取得最小值 2.D提示：由题意可得f(x)=3x2-12,所以当x<-2 时，f(x)>0,当-2<x<2时，f(x)<0,当x>2时， f(x)>0,所以x=2是f(x)的极小值点.又a为f(x) 的极小值点，所以a=2. 3.ACD提示：f(x)的定义域为R,f(x)=x2-4.令 f(x)=0得x=-2或x=2,所以f(x)在(-∞，一2) 和(2，十∞)上单调递增，在[一2,2]上单调递减，故C 正确影f(x大=f(-2)=号×(-2)3-4×(-2)十 34 浙江专用) 2=号，f0s=f2)=号×2-4×2+2=-9， 39 故A正确，因为f3)=}×3-4X3+2=-1,f4④= 号×-4X4+2=号，所以当x∈[3,4时，f)的最 大值为号，最小值为-1，故B不正确：(0)=一4，曲 线在点(0,2)处的切线的方程为y一2=一4(x一0)，即 y=一4x十2，故D正确. 4.一4.提示：由题意有f(x)=(x-1)(x一2)(x一a), 所以f(x)=(x-a)(x-1)十(x-1)(x-2)十(x-a)· (x-2), 因为2是函数f(x)的极值点， 所以f(2)=2-a=0,解得a=2, 当a=2时，f(x)=2(x-2)(x-1)十(x-2)2=(x 2)(3x-4). 当x∈(-o∞，号)，f()>0,f)单调递增， 当x∈（号，2），f(x)<0,fx)单调递减， 当x∈(2，十o∞)，f(x)>0,f(x)单调递增， 所以x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极小 值点，符合题意. 所以f(0)=-1×(-2)×(-a)=-2a=-4. 5.(0,是）.提示：易知f'(x)=2xe+xe=xe(x+ 2),令(x)=0,解得x=0或x=-2,则f(x)在 (-2,0)上单调递减，在（一∞，一2）和(0，十∞)上单调 递增.所以0和一2是函数f(x)的极值点，函数的极小 值为f0)=-a,极大值为f(-2)=4e2-a=号-a. 4 函数f(x)=xc一a恰有三个零点， f(-2)=是-a>0 则 解得0<a<专， f(0)=-a<0, 故实数a的取值范国是(0，专)】 6(-∞，1.提示：当a=1时，函数f(x)- -x2+2x,x<1, （-2x十2，x<1, 所以f(x)= ≥1， 1-lnx,x≥1. 当x<1时，f(x)>0,即f(x)在(-o∞，1)上单调递 增；当1<x<e时，f(x)>0,即f(x)在(1，e)上单调 递增；当x>e时，f(x)<0,即f(x)在(e,十∞)上单 调递减.故当x=e时，函数f(x)取得极大值，为f(e) =.当x<1时，fa)=-t+2ax=-(红-a)+ a2,若函数f(x)有且只有一个极值点，则a<1. 7.ACD提示： 因为f(x)的定义域为(1，+∞)，所以|ln(x一1)|≥0， 号>0，即(x)>0在定义域内恒成立 当1<z<2时，f(x)=-lh(x-1D+号与f)= =一品所以f(1+) 1 -(e3+e) 当x>2时，f(x)=1n(x-1)+号，f(x)- Cz-(e+1) 是，令f(x)>0,则x>e+1,所以f()在 (2,e十1)上单调递减，在(e十1，+∞)上单调递增.结 合B选项知f(x)在(1,2)上单调递诚，分析可得 f(x)在(1，e十1)上单调递减，在(e十1，十o∞)上单调 D√ 递增，所以x=e十1是f(x)的极小值点，也是最小值 点，即f(x)的最小值为f(e十1)=2 8.B提示：由F(x)=g(x)-f(x)得F(x)=g(x) f(x).由题图可知F(x)有3个零点，分别为x,x2, x.当x∈(-∞，x2)时，g(x)≥f(x),即F'(x)≥0： 当x∈(x2,x)时，g'(x)<f(x),即F(x)<0;当x∈ (x3,十∞)时，g(x)>f(x),即F(x)>0.所以x=x2 为F(x)的极大值点，x=x为F(x)的极小值点，即 F(x)有1个极大值和1个极小值. 参考答案与提示次超 9.-.提示：令f(x)=e2+(2a十x)e+a2,则 f(x)=2e2x+(x+2a+1)e=e(2e+x+2a+1).令 h(x)=2e+x+2a+1,则h(x)=2e+1>0,所以 h(x)在R上单调递增.因为f(x)有最小值，所以h(x) 有唯一零点xo,即h(xo)=2e中十x十2a十1=0.① 所以f(x)在（一∞，0）上单调递减，在(xo,十∞)上单 调递增.所以f(x)的最小值为f(xo)=e2,十(2a十 xo)et +a2,g(a)=e+(xo+2a)eto +a2=a2+ 2e·a十e2十xe-.所以当a=-e西时，g(a)取得最 小值，为g(-c)=(-e西)2+2·(-e西)+e2+ xoe=e的.当a=一e时，由①得2e-十w-2e+1= 0,解得=-1，所以g@的最小值为-已 10(4g++o∞).提示：易得f()=1n二当 是<<e时，f(x)>0,此时函数)单调递增：当 e<x≤e时，f(x)<0,此时函数f(x)单调递减.所 以f(x)m=f(e)=m+。.又f(3)=m-2e, fe)=m十是，所以fx)m=m-2e2,由题意可得 2f(x)i>f(x)mx’ 1 即 [2(m一2e)>m+。'解得 f()min>0, (m-2e2>0, m心4e+日 11.方案一选择条件①. 易知f'(x)=3.x2-3a. f'(1)=0,（a=1, 由 得 所以f(x)=3x2-3. f(1)=2,(b=4, 令f(x)>0,得x<-1或x>1; 令f(x)<0,得-1<x<1. 所以f(x)的单调递减区间为（一1,1），单调递增区间 为(-∞，-1)和(1，十∞). 35 重难点手册高中数学选择性必修第二册RdA( 方案二选择条件②。 易知f'(x)=3x2-3a. f'(-1)=0,a=1, 由 得 所以f(x)=3x2-3. f(-1)=6,b=4, 令f(x)>0,得x<-1或x>1; 令f(x)<0,得-1<x<1. 所以f(x)的单调递减区间为（一1,1），单调递增区间 为(-00，-1)和(1，十∞). 方案三选择条件③. 易知f(x)=3x2-3a. 令f(x)=3x2-3a=0,得x=土√a, 则f(x),f(x)随x的变化情况如表所示. x f(x) f(x) (-∞，-√a) + 单调递增 -√a 0 极大值 (-√a,√a) 单调递减 哈 0 极小值 (Wa,+o∞) 单调递增 [(-√a)3-3a(-√a)+b=6, a=1, 所以 解得 (Wa)3-3aVa+b=2, b=4. 所以f(x)的单调递减区间为（一1,1），单调递增区间 为(-∞，-1)和(1，十∞). 12.(1)易得f1)=0, 所以1-0+n=0,解得n=-1. 因为f'()=血x+1)z+m）-n工(x>0),曲线 (x十m)2 y=f)在x=1处的切线的斜率为2， m+1 1 所以f()=+m=z,解得m=1 (2)设h(x)=e-x-1,则h'(x)=e-1. 当x>0时，h(x)>0,所以h(x)在(0，十o∞)上单调递增. 所以当x>0时，h(x)>h(0)=0,即e>x十1>1. 所以当>0时，< 36 浙江专用) 要证f(x)>2g(x)-1,即证h>2-1, x+1ex 只需证华一1骨即证h≥x一1 令m(x)=xlnx-x+l,则m'(x)=lnx. 所以当x∈(0,1)时，m'(x)<0; 当x∈(1，十∞)时，m'(x)>0. 所以m(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增. 所以m(x)mn=m(1)=0,即m(x)≥0. 所以xlnx≥x-1,所以f(x)>2g(x)-1. 13.(1)f(x)=e"sin x+ecos x=e (sin x+cos x)= V2esin(x+平). 当2km≤x+平≤x+2kx(k∈Z),即-于+2km≤x≤ +2x(∈2时，f()≥0，fx)单调递增； 当x+2km≤x+T≤2x+2km(k∈ZD,即+2kx≤ x≤+2kπ(k∈Z)时，f()<0,f()单调递减。 综上，f的单调递增区间为[-至+2x,3+2r] (k∈D,单调递减区间为[不+2kx,F+2x]k∈ZD. (2)f(x1)+g(x2)≥m,即f(x)≥m-g(x2). 令t(x)=m一g(x), 由题意可得f)m≥()mz∈[0，受] 由(1)可知，x)在0，受]上单调递增， 所以f(x）m=f0)=0. 因为t(x)=m-(x+l)cosx十√2e, 所以t'(x)=-cosx+(x+1)sinx十√2e. 因为x∈[0，]，所以-osxe[-1,0]wW2e>2. 所以-cosx十√2e>0. 又(x十1)sinx>≥0，所以当x∈[0，受]时，t(x)>0, 所以()在[0，受]上单调递增， 故t(x)min=t(0)=m-l十√2. 所以m-1+√2≤0，即m≤1一√2， 故实数m的取值范围是（一o∞，1一√2]. 14.(1)易知f(x)的定义域为（一1，十∞）. 因为f)=中+2mx, 所以f(1)=合+2m=号，解得m=3， 所以f)-+6x-6欲++， x+1 令fx)=0,得西=-3.5-1，=-3+5 6 6 令∫(x)>0,得-1<x<x1或x>x2;令f(x)<0, 得0<x<x2. 所以f(x)在(-1，x),(x2,十∞)上单调递增，在 (x,x2)上单调递减，即∫(x)的单调递增区间为 （-1,一3。)，（仁35，+∞），单潤递减区间为 (3.5,-3)月 (2)由题意知g(x)=ln(x十1)十mx2-sinx, 则g0=0,g)=士z十2m-casx,g0）=0. 令h(x)=g'(x),则h'(x)=2m- 1 (14)+sin x, h(0)=2m-1. ①若0<m<,因为当x∈(-1，受)时y 一a十及y=sinx单调递增， 所以(x)在(-1，受)上单调递增。 又k(0)=2m-1<0,k(5)=2m+1- 所以存在∈(0，受），使得()=0. 所以当x∈(-1，xo)时，h(x)<0, 参考答案与提示么出出 所以g'(x)在（一1，xo)上单调递减， 又g(0)=0,所以当x∈(-1,0)时，g(x)>0,当x∈ (0,o)时，g'(x)<0, 所以g(x)在（一1,0）上单调递增，在(0，xo)上单调递 减，此时x=O是g(x)的极大值点. ②若m>2,当x∈(0，受)时， h()）=2ma十+sin≥1-a+z+sin> 0,所以h(x)在(0，乏)上单调递增， 所以g(x)>g(0)=0, 所以g(x)在(0，)上单调递增， 因此x=0不可能是g(x)的极大值点. 综上，实数m的取值范围为(0，号)）】 15.(1)f'(x)=a2e- 1 2 则fu)=ade-司=e- 当x=1时，f(1)=ae-1=e-1, 所以切点坐标为(1，e一1)， 则切线方程为y=(e-?)(x-1D+e-1, 即y=(e-)x-2 (2)f(x）=a2eg-1=2ae-1 2√x 2Vz 记g(x)=2a2Vrer-1. 因为a>0,所以g(x)在(0，十o∞)上单调递增. 记p(x)=e-ex(x≥0)，p'(x)=e-e, 令p'(x)=0,则x=1. 当x>1时，p'(x)>0,p(x)单调递增；当0≤x<1时， p'(x)<0,p(x)单调递减. 故p(x)的最小值为p(1)=e-e=0. 则(x)≥(1)=0，故e≥ex,故有e“≥eax. 37 重难点手册高中数学进择性必修第二尺UA( 所以g(x)≥2a2√元(ea.x)-1=2eax音-1， 可得(2亮云)>0 又g(0)=-1<0,g(x)在(0，十∞)上单调递增， 所以g(x)存在唯一正根t, 使得g(t)=0,且在(0，t)上，g(x)<0,在(t,十∞)上， g(x)>0. 故在x∈(0，t)时，f(x)<0,在x∈(t,十oo)时，f(x)> 0,且f(t)=0,即f(x)存在唯一正根t. 故f(x)一定有极小值点o=t. 由g(xn)=0可知g(x)=2a2V√e,-1=0, 所以ae=2a√五 1 又f(x)=aer一√元存在零点x1,x2(x1<x2), 所以fm)=ae,一√= 1 -√=1-2a< 2a√Jx0 2avxo 0,即am>2: 1 所以0=2vx·ae-1>2√2a·aet-1= /1 2at-1,可得0a<2e 由题意可得ae=√石，a2e=。1 将两式相除可得ea-马)=2a√c1. 记r(x)=e2-x-1,令r'(x)=e-1=0,得x=0. 当x>0时，r(x)>0,r(x)单调递增；当x<0时， r'(x)<0,r(x)单调递减. 则r(x)≥r(0)=e°-0-1=0，即e≥x十1. 所以eaa-）=2a√x1o≥1十a(a-0)>2e· a十a(x1-xo). 因为a>0,所以2e+(x-x0)<2√x0. 因为>2>器所以2e>,所以>是，是十 (a-o)<2e十(a1-xo)<2√. 38 浙江专用) 因为2a≤2a+受（当且仅当2知=受时等号 成立)， 所以号+(1-)<2+受，即有2a+3>3. 16.(1)易知函数的定义域为(0，十∞)，f(x)=1-n三 令f(x)=0,解得x=e. 因为当0<x<e时，f(x)>0, 所以f(x)在(0，e)上单调递增； 当x>e时，f'(x)<0, 所以f(x)在(e,十o∞)上单调递减. 所以fo)=fe=。-a 因为f(x)有且只有两个零点，所以a< e 当x>0且x→0时，f(x)<0,满足题意 当x→十∞时，若a=0,则f(x)>0,不符合题意； 若a<0,则limf(x)=一a>0,不符合题意； 若a>0,则limf(x)=一a<0,符合题意. 综上，实数a的取值范围为(o,二)： (2)不妨设1<x<e<x2,因为f(x)=f(x2), 所以h-血立，即=h2 "x In x 设=ta(>1),所以t=nt_血t+ina In x In x1 In t 所以n=二 因为h=lh(a)=lh+h=n+号-号， 所以h十l恤e告hL 因为士>国， 所以要证x1十x2>2e, 只需证1x2>e2, 即证n+nx=h>2,重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 5.3.2函数的极值与最大（小）值 基础过关练 测试时间：20分钟 乃综合提能练 测试时间：40分钟 1.[题型5](2025·河南郑州一中月考)当函数 7.[题型1、5]（多选）已知函数f(x)=|1n(x-1)川+ f(x)=x十2cosx在[0，π]上取得最小值时，x 气其中e是自然对数的底数，则下列结论 的值为(). 正确的是( A.0 B晋 c D.π A.f(x)的图象恒在x轴上方 2.[题型3](2025·西南大学附中单元检测)已知 B.f(1+是)=e-e a为函数f(x)=x3一12x的极小值点，则a= C.x=e十1是f(x)的极小值点 () D.f(x)的最小值为2 A.-4B.-2 C.4 D.2 8.[题型1]已知函数f(x),g(x)的导函数f(x), 3.[题型2、5]（多选）已知函数f(x)= 323 g'(x)的图象如图所示，则F(x)=g(x)一 4x十2，则下列说法中正确的是( f(x)的极值情况为( A函数f(x)的极大值为号，极小值为一9 =x) B当x∈[3，时，函数f)的最大值为号， 最小值为9 A.2个极大值，1个极小值 B.1个极大值，1个极小值 C.函数f(x)的单调递减区间为[一2,2] C.1个极大值，2个极小值 D.曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线的方程为 D.1个极大值，无极小值 y=-4x+2 9.[题型5、6](2025·河南南阳一中月考)若函数 4.[题型3](2025·全国二卷)若x=2是函数 y=e2x+(2a+x)e2十a2的最小值为g(a),则 f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点，则 函数g(a)的最小值为 f(0)= 10.[题型7]若函数g(x)在区间D上，对任意a, 5.[题型4幻(2025·浙江杭州二中单元检测)若函 b,c∈D,g(a),g(b),g(c)为一个三角形的三 数f(x)=xe-a恰有三个零点，则实数a的 边长，则称函数g(x)为“稳定函数”已知函 取值范围是 数f)x+m在区间[己，e2]上是稳定 -x2+2a.x,1, 6.[题型2、3]已知函数f(x)= 当 函数”，则实数m的取值范围为 alnz,x≥l, 11.[题型2、3](2025·山东菏泽一中月考)在 a=1时，函数f(x)的极大值是 ;当 ①f(x)在x=1处取得极小值2，②f(x)在 x<1时，若函数f(x)有且只有一个极值点，则 x-一1处取得极大值6，③f(x)的极大值为 实数a的取值范围是 6,极小值为2这三个条件中任选一个，补充 20 第五章一元函款的导教及其应用么出 在下面的问题中，并解答 14.[题型1、3](2025·浙江杭州金华一中月考) 问题：已知函数f(x)=x3-3a.x+b(a>0), 已知函数f(x)=ln(x十1)+m.x2,m>0. 且 ,求f(x)的单调区间. (1)若f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线的 斜率为，求函数f()的单调区间； (2)若g(x)=f(x)-sinx,x=0是g(x)的 极大值点，求实数m的取值范围. 12.[题型8](2025·河南郑州十一中月考)已知 函数fx）)-品go)=总且曲线y f(x)在x=1处的切线方程为x一2y十n=0. C拓展拔高练 测试时间：20分钟 (1)求实数m,n的值； 15.[题型1、4、8]（经典·清华大学中学生标准 (2)证明：f(x)>2g(x)-1. 学术能力诊断性测试)设a为正实数，函数 f(x)=aem-√元存在零点x1,x2(x1<x2), 且存在极值点xo (1)当a=1时，求曲线f(x)在(1，f(1))处的 切线方程； (2)求a的取值范围，并证明：2x1十3x>3. 13.[题型7](2025·重庆巴蜀中学月考)已知函 f(x)=e'sin x,g(x)=(x+1)cos x- √2e. (1)求f(x)的单调区间； 16.[题型4、8]（经典·清华大学中学生标准学术 (2)若v∈[0，]，3x∈[0，]，使得 能力诊断性测试)已知函数f(x)=lnx一a匹， f(x1)+g(x2)≥m成立，求实数m的取 a∈R. 值范围。 (1)若函数f(x)有且只有两个零点，求实数a 的取值范围； (2)设函数f(x)的两个零点为x1,x2,且x1≠ x2,证明：01十x2>2e. 21