5.3.1 函数的单调性-【重难点手册】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习册（人教A版）浙江专用

重难点手册高中数学选择性必修第二册尺A(浙江专用) 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.1函数的单调性 基础过关练 测试时间：20分钟 乃综合提能练 测试时间：40分钟 1.[题型1]已知函数f(x)的图象如图所示，那么 7.[题型2、5](2025·湖北宜昌一中单元检测)若 函数f(x)的导函数f(x)的图象最有可能是 函数y-f(x)在区间D上单调递增，且函数 y=f(x)在区间D上也单调递增[其中f'(x) 是函数f(x)的导函数]，那么称函数y=f(x) 是区间D上的“快增函数”，区间D叫作“快增区 间”，则函数f(x)=sinx十2sinx(x∈[0，π])的 “快增区间”为( A[,] B[0,] 2.[题型2](2025·浙江金华一中月考)函数 c[] D[] f(x)=5+1nx的单调递减区间为( 8.[题型4幻(2025·四川成都七中期中)已知a, b,c∈(0,1)，且3+lna=a+ln3,e+lnb=1十 A.(-∞，5) B.(0,5) b,2+lnc=c+ln2,则(). C.(5,+∞) D.(0,+∞) A.c<b<a B.b<c<a 3.[题型3]若三次函数f(x)=-a.x3一1在R上是 C.a<c<b D.a<b<c 减函数，则(）. A.a=1 B.a=2 C.a≤0 D.a<0 9.[题型4幻（多选）已知定义在[0，)上的函数 4.[题型4](2025·安徽六安期末)已知f(x)是 f(x)的导函数为f'(x),且f(0)=0,f'(x)cosx 定义在(0，十∞)上的函数，其导函数是f(x), +f(x)sinx<0,则( 且当x>0时，总有xf(x)>f(x),则下列各 项表述正确的是(). Af()<9r(）Bf()<0 A.2f(1)≥f(2) B.2f(1)>f(2) C.2f(1)≤f(2) D.2f(1)<f(2) c.f()>f) D.f()>2f(ξ） 5.[题型3]若函数f()=号sin2x十cos在区 10.[题型4幻(2025·山东青岛二中月考)定义在 R上的奇函数f(x)的图象连续，其导函数 间(0，π)上单调递增，则实数a的取值范围是 为f(x),对任意正实数x恒有xf'(x)> 2f(-x).若g(x)=x2f(x),则不等式 6.[题型2、3](2025·山东枣庄三中单元检测)已 g(log(x2-1)十g(-1)<0的解集是(). 知函数f(x)=e一x,则f(x)的单调递增区间 A.(0,2) 为 ;若对任意的x∈(0，十∞)，不等式 B.(-2,2) c一1≥hx十24恒成立，则实数a的取值范围 C.(-√3,2) 为 D.(-2,-1)U(1,2) 18 第五章一元函数的导教及其应用么出 11.[题型2](2025·北京和平街一中月考)写出 14.[题型2、5](2025·福建师大附中单元检测) 一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)= 已知函数f(x)=2 acos x一e受-x十1，f(x)是 fx)的导数，且f()=0。 ①f(x1)f(x2)=f(x1+x2);②f(x)>0; ③f(x)>f(x). (1)求a的值，并讨论f(x)在(0，)上的单 12.[题型4]已知定义在R上的可导函数f(x)的 调性； 导函数f'(x)满足f'(x)<fx),且fx十3)为偶 函数，f(6)=1,则不等式f(x)<e的解集为 (2)讨论函数f(x)在2km十受，2km十元(k∈ N)上的零点个数. 13.[题型2、3](2025·山东菏泽东明一中月考) 在①函数f(x)的图象在点(2，f(2))处的切 线斜率为2a,②函数f(x)的图象在点(1， f1)处的切线与直线2x十y+1=0垂直， ③函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线 与直线4x一y=0平行这三个条件中任选一 个，补充在下面的横线上，并解答问题 已知函数f(x)=x2十2alnx. (1)若 ,求实数a的值； (2)若函数8)-兰+fx)在[1,2]上单调 递减，求实数a的取值范围. ●C拓展拔高练 测试时间：10分钟 15.[题型1]（经典·清华大学中学生标准学术能 力诊断性测试)函数f(x)=(x2一2x)e的图 象可能是(重难点手册高中数学选择性必修第二册RdA( 的交点坐标为(2x0,2xo). 所以曲线y=f(x)在点P(x,o)处的切线与y轴和 直线y一x所围成的三角形的面积为宁·一县引： |2o=6. 即曲线y=f(x)上任意一点处的切线与y轴和直线 y=x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 14.方案一选择条件①. (l)依题意，设f(x)=ax3+bx2十cx十d(a≠0)， 则f(x)=3ax2+2bx十c. f(0)=d=3, (a=1, f(0)=c=0, b=一3， 由已知得 解得 f(1)=3a+2b+c=-3, c=0, (f(2)=12a+4b+c=0, d=3, 所以f(x)=x3-3x2+3. (2)由(1)知f(1)=-3,f(1)=1, 则切线方程为y-1=-3(x-1). 当x=0时y=4:当)y=0时，x=专 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=?× 4X导-8. 方案二选择条件②。 (1)依题意，设f(x)=ax2十bx十c(a≠0)， 则f'(x)=2ax十b. 由x2f'(x)-(2x-1)f(x)=1, 得x2(2a.x+b)-(2x-1)(a.x2+bx十c)=1, 化简得(a-b)x2+(b-2c)x十c=1. 因为上式对任意x都成立， a=b, (a=2, 所以b=2c,解得b=2, c=1, c=1, 所以f(x)=2x2+2x十1. (2)由(1)知f'(x)=4x+2,则f(1)=6. 24 浙江专用) 又f(1)=5,所以切线方程为y-5=6(x-1). 当x=0时，y=-1;当y=0时，x=6: 1 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=号× 合×1=2 15.BD提示：f()=2,g()=士则了(1)=2， g'(1)=1,二者不相等，即在点(1,0)处，f(x)与g(x) 的图象的切线斜率不相等，故在点(1,0)处没有公切 线，A错误；两切线平行即两切线斜率相等，令2x三 ,解得a=号，=-号（合去），因此f(x)与 g(x)的图象有互相平行的切线，B正确；在同一平面 直角坐标系中，作出f(x),g(x)的图象如图所示，观 察图象可知C错误，D正确. 1f(x)=x2-1 一g(x)=lnx 16,名.提示：由题意可得g)=32-2ax十b,g) 6x一2a,因为点(1，一3)为g(x)的“拐点”，所以g(1)= 0,解得a=3.由g(1)=一3，得b=4,所以h(x)= sinx十2cos2x=sinx-2sinx十2.令sinx=t,则t∈ [-1,1],即求y=-2:+t+2,t∈[-1,1]时的最大 值.由二次函数开口向下及对称轴=}∈[一1,1]可 知，当：=十时，y有最大值名故函数A(x)的最大值 为好 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.1函数的单调性 真题演练答案 1C提示：设()=e(0<<0.1D,()=乙0< x≤0.1)，w(x)=-ln(1-x)(0<x≤0.1)， 则当0x0.1时，u(x)>0,v(x)>0,(x)>0. ①设f(x)=ln[u(x)]-ln[v(x)]=lnx十x-[lnx ln(1-x)]=x十ln(1-x)(0<x≤0.1)， 则了)=1-已立千<0在0,0.1止恒成立， 所以f(x)在(0,0.1]上单调递减. 所以f(0.1)<0+ln(1-0)=0, 即ln[u(0.1)]-ln[v(0.1)]<0. 所以ln[u(0.1)]<ln[v(0.1)]. 又函数y=lnx在(0，十o∞)上单调递增， 所以u(o.1<0.1D,即o.1e1<号 所以a<b. ②设g(x)=u(x)-(x)=xe+ln(1-x)(0<x≤ 0.1),则g()=(x+1De-1-z 1=1-)c-10< 1-x x≤0.1). 设h(x)=(1-x2)e-1(0<x≤0.1)， 则h'(x)=(1-2x-x2)>0在(0,0.1]上恒成立， 所以h(x)在(0,0.1]上单调递增， 所以h(x)>(1一0)Xe°一1=0， 即g(x)>0在(0,0.1]上恒成立. 所以g(x)在(0,0.1]上单调递增. 所以g(0.1)>0×e°+ln(1-0)=0, 即g(0.1)=u(0.1)-(0.1)>0, 所以0.1e.1>-ln0.9,即a>c. 综上，c<a<b. 2.D提示：方法一设切点的坐标为(x0,%),因为y= e,所以曲线y=e在点(o,)处的切线方程为y e西=e西(x一xo).又因为点(a,b)在此切线上，所以b e=e(a一)，整理得b=(a-十l)e6.令f(x) (a-x+l)c,则f(x)=(a-x)c.则当x<a时， f(x)>0,f(x)在(-∞，a)上单调递增；当x>a时， 参考答案与提示么 f(x)<0,f(x)在(a,十o∞)上单调递减.所以函数 f(x)在x=a处取得最大值f(a)=e,且当x→+∞ 时，f(x)→一∞，当x→一∞时，f(x)→0，画出函数 f(x)的图象，如图①所示.因为过点(a,b)的切线有两 条，即方程b=(a一xo十1)e有两个不相等的实数根， 所以0<b<e. 方法二画出函数y=e的图象，如图②所示，根据图 象即可判定点(a,b)在曲线y=e下方和x轴上方时 才可以作出两条切线.由此可知0be. y=f(x P(a.b) ① ② 3.一1；(-∞，0].提示：f(x)的定义域为R且为奇 函数，∴.f(0)=0,即e°十ae°=0..a=-1. ,f(x)是R上的增函数，f(x)≥0对Hx∈R恒 成立，即e-是>≥0对Vx∈R恒成立.a≤(e) 恒成立.(e)2>0,∴.a≤0.经检验，a=0符合题 意，a≤0. e-1,x≥0， 4.(0,1).提示：f(x)=|e-1= (1-e,x<0. 当x>0时，f(x)=e,f'(x2)=e中； 当x<0时，f(x)=-e,f'(x1)=-e. 因为函数f(x)的图象在点A,B处的两条切线互相垂 直，所以-e西-=-1，即5+=1.所以x1十x2=0. 因为A(x,1-),B(x2,e-1),所以函数f(x)的 图象在点A,B处的切线方程分别为y一(1一c)= -e(x-x),y-(e-1)=e(x-x2). 分别令x=0,得M(0,e+1-e),N(0,-x2e十 25 重难点手册高中数学选择性必修第二册RdA( e-1), 所以AM=x+(x1e)2,BN2=x+(x2e)2. 所u欲-- x+(x1中)2 1+e24 1十e2z· 令g)=<0. 则gx-2(1+e）+281+2>0, (1+e-2x)2 所以函数g(x)在（一∞，0）上单调递增.所以g(x)<1. 又当x>-o∞时，1十e24→1,1十e2x→十o∞， 所以当x→-o∞时，g(x)→0.所以g(x)∈(0,1). 所以兴的取值范围是(0,1)。 5.D/()-e.In(1+2)+e.z-e[l(1+)+ 十]，故f(0)=e[a1+0+中o]=1,fo= eln(1+0)=0, 因此，曲线y=f(x)在点(0，f0)处的切线方程为y=x (②方法-g)=f)=e[a1+)+十]， 则ga)=e[1++品：a十a] 设a)=h1+0+异zaa∈[o,+o 1 1 2 x2+1 则)=1十x1十+a千->0， 故h(x)在[0，十∞)上单调递增， 故h(x)≥h(0)=1>0, 因此g(x)>0对任意的x∈[0，十∞)恒成立. 故g(x)在[0，十∞)上单调递增. 方法=g)=f()=e[h1+)+十z], 则ga=e[h1++子a十a] 又e>0,当x∈[0，+]时，n(1+x)+1千x 2 26 浙江专用) a>h1++器>0， 故g(x)>0对任意的x∈[0，十o∞)恒成立， 故g(x)在[0，十∞)上单调递增. (3)m(s)=f(s+t)-f(s)-f(t)=e+In(1+s+t)- e'ln(1+s)-e'ln(1+t), 则m)=e[h1+s+0+中+]-e[n1+ ++]-gs+)-g0. 由(2)知g(x)在[0，十∞)上单调递增， 故当s>0,>0时，m(s)=g(s十t)-g(s)>0, 因此，m(s)在(0，十∞)上单调递增， 故m(s)>m(0)=f(0+t)一f(0)-f(t)=一f(0)=0, 因此，对任意的s,t∈(0，十o∞)，有f(s十t)>f(s)+f(t). 6.(1)f(x)的定义域为(0,1)U(1,+∞)， 因为f(a)=2+a2D>0, 2 所以f(x)在(0,1)和(1，十o∞)上单调递增. 因为@=1-<0， e)-2告o, 所以f(x)在(1，十∞)上有唯一的零点，即f(x)=0. 又01，f()=-h+出-f)=0, 故八)在(0,1D上有唯一的零点品 综上，f(x)有且仅有两个零点. (2)因为1=eh6, 所以点B(-n,云)在曲线y一e上 由题意知f()=0,即1n=十 20-1 1一lnxo 连接AB,则直线AB的斜率k=一n- 1x0+1 x00-1=1 x0+1 x0-1 -.xo 又易知曲线y=e在点B(一ln,)处的切线斜率 是】，曲线y=lnx在点A(xo,no)处的切线斜率也 是品，所以曲线y=nx在点A(,h)处的切线也 是曲线y=e的切线. 练习册答案 1.B提示：由函数f(x)的图象可知，函数f(x)在 （一∞，一2)上单调递增，在（一2,0）上单调递减，在(0， 十∞)上单调递增，可得f(x)在（一∞，一2）和(0， 十∞)上大于0，在（一2,0）上小于0，则函数f(x)的导 函数f(x)的图象最有可能是B 2.B提示：函数f(x)的定义域为(0，十∞)，f(x)= 一+上，令a<0,得0C.故e的单调选 减区间为(0,5). 3.D提示：f(x)=3ax2,要使f(x)在R上为减函数，则 f(x)≤0在R上恒成立，即a≤0.又当a=0时，f(x)=0 恒成立，所以a≠0.综上，a<0. 4.D提示：设g(x）=f四，则g()=ffD 当x>0时，总有xf(x)>f(x),∴.当x>0时， g'(x)>0.∴g(x)在(0，十∞)上单调递增.g(1) <g(2,即f0<f2.2f1)<f2. 2 5.(一∞，一1门.提示：因为函数f(x)在区间(0，π)上单 调递增，所以f(x)=cos2x-asin x≥0在(0，r)上恒 成立，所以1-2sinx-asin x>≥0在x∈(0，x)上恒成 立.令t=sinx,因为x∈(0，x),所以t∈(0,1]，所以 -2-a+1≥0对∈(0,1恒成立，所以a≤-2+对 (0,1]恒成立.令g()=-2+},t∈(0,1]，则 参考答案与提示次超 g(d)=-2-是<0，所以g)在(0,1]上单调递减，所 以a≤g(1)=-1,即a∈(-o∞，-1]. 6.(0,+o):(-∞，2]，提示：f)=e-1,令f)> 0,得x>0,即f(x)的单调递增区间为(0，十o∞).e一 1≥h2可化为2a≤e-x-lnx令g(x)=e- x-lnx=e·eax-x-lnx=e+hx-(x十lnx),设 t=x十lnx(t∈R),h(t)=e一t,则由题意得2a≤ h(t)mm.由f(x)=e-x在(0，+o∞)上单调递增，在 (-∞，0)上单调递减，可知h(t)m=h(0)=l,则2a≤ 1,解得a<分 7.A提示：由题意知f(x)=2 sin xcos x十2cosx= 2cos x(sin x+1). 因为sinx+1>≥0恒成立，当x∈[0，受]时，cosx≥0， 所以f'(x)≥0，即f(x)单调递增；当x∈（受，x)时， cosx<0,所以f(x)<0,即f(x)单调递减 令g(x)=f(x)=2 sin cos+2cos,x∈[0，变]， g()=2cos x-2sin x-2sin x=2-Asin x-2sin x. 令t=sinx,则t∈[0，l], 令h(t)=-4-2t+2=-2(2t-1)(t+1)(t∈[0， 1],所以当∈[0,2]时，A(0≥0， 即当x∈[0，否]时，g(x)≥0，g(x)单调递增， 所以函数f(x)=sinx十2sinx(x∈[0，π])的“快增区 间为[0，吾] 8.D提示：3+lna=a+ln3lna-a=ln3-3, e+In b=1+6In 6-6=1-e=In e-e, 2+In c=c++In 2In c-c=In 2-2. 令f)=lnx一x>0,则f)=是-1. 27 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA( 当0<x<1时，f(x)>0,当x>1时，f(x)<0, 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减. 显然3>e>2>1,所以f(3)<f(e)<f(2). 因为f(a)=f(3),fb)=f(e),f(c)=f2), 所以f(a)<f(b)<f(c). 又a,b,c∈(0，l),所以a<b<c. 9,BCD提示：设F(x)=fCD, cos x (-f ()cos f()sin 所以F(x)在[0，受)上单调递减. (倍)>r()图登)，即 f()>r() F(n吾)<F(o),即 (n奇）<f@=0,即 B os(n） f(m吾)<0 (倍)>())、)，园 ()>f()】 F()>F(爱)即2，即 c0scos子 ()>f()】 10.D提示：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以 g(x)为奇函数.因为对于正实数x,有xf(x)> 2f(-x)=一2f(x),即xf(x)+2f(x)>0,所以当 x>0时，g'(x)=2xf(x)+x2f(x)=x[2f(x)+ xf(x)]>0.所以g(x)=xf(x)在(0，+o∞)上单调 递增.易知g(x)的图象在R上连续，因为g(x)为奇 函数，所以g(x)为R上的增函数.由g(log(x2一1) +g(-1)<0得g(Iog3(x2-1)<-g(-1)=g(1), 所以1og(x2-1)<1,即0<x2-1<3,解得-2<x< 28 浙江专用) 一1或1<x<2. 11.e2x(答案不唯一).提示：由①知函数f(x)可以是指 数函数，由②知函数f(x)单调递增.设f(x)=ac(a>0), 由f(x)=alna>a得a>e.满足题意的函数可以 为f(x)=e2a. 120,十o).提示：令g()=f2,因为f()< f),所以g()=f)二f2<0.所以g()在R e 上单调递减.又f(x十3)为偶函数，所以f(3+x)= f(3-x).所以f(0)=f(6)=1. 所以g(o)=f0=1,则不等式f()<c台f四< e0 f0,即g(x)<g(0).所以x>0. 13.(1)方案一选择条件①. 由题意得f(x)=2x+2=2x2+2@ 由已知得f(2=2a,即8士24=2a,解得a=4 2 方案二选择条件②. 由题意得f(x)=2x+20=2z+2 因为直线2x十y+1=0的斜率为一2， 所以f(1)=2,即2十2a=2,解得a=0. 方案三选择条件③. 由题意得f(x)=2x+20=2x+2a x x 因为直线4x一y=0的斜率为4， 所以∫(1)=4，即2+2a=4,解得a=1. （2②由题意得g)=一是+2 x 由函数g(x)在[1,2]上单调递减，可得g(x)≤0在 [1,2]上恒成立，即-是+2x+2<0在[1,2上恒成 立，即a<-t在1,2上恒成立。 令a)=是-xe[1,2]. 则()=一是-2x<0,即A(x)在[1,2]上单调 递减， 所以AC)=A(2)=-子， 故a≤一子，即实数a的取值范围为(-，一名] 14.(1)由题意得f'(x)=-2 asin x+e-z 因为f(受）=0，所以-2a十1=0，解得a=司 所以f'(x)=-sinx十e-. 令p(x)=f(x)=-sinx十et-r, 则g'(x)=-cosx-e登-x. 当x∈(0，)时，p(x)<0, 故f(x)在(0,5)上单调递减， 所以f'(x)>f'(受)=0， 故f()在(0，受)上单调递增。 (2)由(1)知f(x)=cosx-e-x+1, 令h(x)=e登f(x)=(1十cosx)e登-x-1. 因为e受≠0，所以f(x)与h(x)有相同的零点个数. h'(x)=(-sinx十1+cosx)e受 =[1-sin(x-)门]e, 当x∈[2kx+受，2kx十x](k∈N)时，x-于∈ [2kx+子，2kx+7]k∈w, 所以sm(x一晋)[9,1] 则v2sin(x-平)e[1w2],故h()≤o, 所以h(x)在[2kx十乏，2kx十元](k∈)上单调递减。 因为k∈N,h(2kx+5)=e2-1≥0，h(2kπ十)= 参考答案与提示次 一1<0，所以由函数零点存在定理可知，h(x)在 2kx十受，2kx十x]k∈D上只有一个零点， 故函数f(x)在2kx十受，2kπ十x(k∈)上只有一 个零点. 15.B提示：当x→一o∞时，f(x)>0,故排除C. 由f(x)=(x2-2x)e得f'(x)=(x2-2)e. 令f(x)>0,得x>√2或x<-√2；令f(x)<0,得 -√2<x<√2.所以f(x)在(-∞，-√2)和(W2,十∞) 上单调递增，在（一√2，W②）上单调递减，故排除A,D. 5.3.2函数的极值与最大（小）值 真题演练答案 1.AC提示：因为f(x)=x3-x十1，所以f'(x)=3x2- 1,令f()=3-1=0,得x=士由f)=32- 1>0得x>号或K-得，由f)=3-1<0得 -9<<9所以f)=2-x+1在（停，+）， (-0,-号)上单调递增，在(-写，9)上单调递诚。 所以f(x)有两个极值点，故A正确. 因为fx)a=f(得)-（得）'-9+1=1-2 >0,xa=(-得）=-+得+1>0，所以函 数f(x)在R上有且只有一个零点，故B错误. 因为函数g(x)=x3一x的图象向上平移一个单位长度 得函数f(x)=x3-x十1的图象，函数g(x)=x3一x 的图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)=0,所以点 (0,1)是曲线f(x)=x3一x+1的对称中心，故C 正确。 假设直线y=2x是曲线y=f(x)的切线，切点为 (xob),则f(xo)=3x6-1=2,解得xo=士1.若 x=1,则切点坐标为(1,1)，但点(1,1)不在直线y= 29