5.1 导数的概念及其意义-【重难点手册】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习册（人教A版）浙江专用

重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1导数的概念及其意义 A基础过关练 测试时间：20分钟 4.[题型1、4幻(2025·北京海淀区期中)（多选）已 1.[题型1]若函数y=ax十b在区间[1,2]上的平 知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如 图所示，那么下列说法错误的是(). 均变化率为3，则实数a=( ) A.f(x)在[a,b]上的平均变化率大于g(x)在 A.-3 B.2 C.3 D.-2 [a,b]上的平均变化率 2.[题型2](2025·福建福州一中月考)若f(x)为 B.f(x)在[a,b]上的平均变化率小于g(x)在 可导函数，且f'2)=2,则-f②)-f2-D的 h [a,b们上的平均变化率 值为(). C.对于任意x∈(a,b),函数f(x)在x=xo处 的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=xo处 A.1 B.-1 c D.-2 的瞬时变化率 3.[题型4](2025·浙江杭州外国语学校期末)阅 D.存在x∈(a,b),使得函数f(x)在x=xo处 读下列事件和图象，可得图象与事件最吻合的 的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x。处的 一组是(). 瞬时变化率 甲：小明离开家不久，发现作业忘在家里，于是 返回取了作业再赶到学校； f(a) 乙：小明乘车去学校，车匀速行驶直到学校，但 是途中遇到了一次交通堵塞； 8(x) 丙：小明出发后减速缓慢行驶； 第4题图 第5题图 丁：小明出发后，缓慢行驶，后来赶时间不断 5.[题型3]如图，曲线y=f(x)在点P(1,f(1) 加速， 处的切线l过点(2,0)，且f(1)=一2，则f(1) 离开家的距离 离开家的距离 的值为 时间 时间 6.[题型1、4幻一名男生在扔铅球，扔出后的铅球 ① @ 距离地面的高度y(单位：m)与扔出的水平距 离开家的距离 离开家的距离 离x(单位：m)之间的关系可近似看作二次函 时间 时间 数)=一立+号+号，则铅球落地时，铅球 ③ ④ 的速度方向与地面所成的角是 A.甲与④，乙与①，丙与③，丁与② 乃综合提能练 测试时间：40分钟 B.甲与④，乙与①，丙与②，丁与③ 7.[题型2幻(2025·山东菏泽一中期中)已知函数 C.甲与①，乙与④，丙与③，丁与② f(x)=a.x2+b,若lim fa+△)-fa=4,则 D.甲与①，乙与④，丙与②，丁与③ △x 14 第五章一元函教的导教及其应用次出 a=( 11.[题型3](2025·湖南师大附中月考)已知直 A.2 B.√2 C.-√2 D.土√2 线x十y=b是函数f(x)=ax十2的图象在 8.[题型4幻（多选）为了评估某种治疗肺炎药物的 点(1，m)处的切线，则a十b-m= 疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药 12.[题型3](2025·山东省实验中学月考)设P为 物浓度进行测量.甲、乙两人服用该药物后，血 曲线C:y=x2+2x十3上一点，且曲线C在点 管中的药物浓度c(单位：mg/mL)随时间t(单 位：h)变化的关系如图所示，则下列结论中正 P处的切线的倾斜角的取值范围为[0，]， 确的是( ) 则点P的横坐标的取值范围为 ↑c/(mg/mL) 13.[题型3]已知曲线y=f(x)=x3-3x上一点 P(1,一2)，过点P作直线1. (1)求与曲线y=f(x)相切且以P为切点的 直线l的方程； t/h (2)求与曲线y=f(x)相切且切点异于点P A.在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度 的直线l的方程. 相同 B.在t2时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度的 瞬时变化率相同 C.在[t2,t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中 的药物浓度的平均变化率相同 D.在[t1,t2],[t2,t3]两个时间段内，甲血管中 14.[题型3]已知曲线f(x)=一 3x3+2x2 的药物浓度的平均变化率不相同 3x+1. 9.[题型2](2025·重庆南开中学月考)已知函数 (1)求该曲线的斜率为一3的切线方程； f(x)=ax2十b.x十1(a≠0)在x=0处的导数 (2)当曲线的切线斜率最大时，切点为P,过 f(O)>0,函数f(x)的图象与x轴恰有一个 点P作直线l,分别与x轴、y轴的正半轴 交点，则f得的最小值为( 交于A,B两点，求△AOB面积的最小值. A.2 B号 C.3 D号 10.[题型1](2025·华中师大一附中月考)定义 在区间[a,b]上的函数f(x),其图象是连续不 断的，若3∈[a,b],使得f(b)-f(a) f(E)(b一a),则称为函数f(x)在区间[a, C拓展拔高练 测试时间：10分钟 b们上的“中值点”.则下列函数：①f(x)=x, ②f(x)=x2,③f(x)=ln(x+1),④f(x)= 15.[题型3]（经典·清华大学中学生标准学术能 (红-2》'中，在区间[0,1门上至少有两个中 力诊断性测试)已知函数f(x)=x3一x和点 P(1,一1)，则过点P与该函数图象相切的直 值点”的是(). 线条数为() A.①④B.①③ C.②④ D.②③ A.1 B.2 C.3 D.4 15所以数列{b}为等差数列. (3)由2)知-号(+1D, 所以cm=2√2bn-3=2(n十1)-3=2n-1. 所以cm=2m-1,Gm+5=2(m十5)-1=2m十9，c4=2k-1. 假设存在正整数m,k,使得cm,cm+5,C成等比数列， 则(2m十9)2=(2m-1)(2k-1), 整理得k=m+10十2一 50 因为m,k都是正整数，所以2m一1=1,5,25，即m= 1,3,13,对应的k=61,23,25. m=1, m=3, m=13, 所以存在 或 或 使得cm, k=61 k=23 k=25, cm+5,c成等比数列. 第五章一元函数的导数及其应用 5.1导数的概念及其意义 真题演练答案 1.A提示：在五角星的一个角逐步露出水面的过程中， 面积是逐渐增大的，且增长速度越来越快，故瞬时变化 率S(t)也应逐渐增大；接着面积突然增大，然后增长 速度变慢，但仍为增函数，故瞬时变化率S(t)也应突 然变大，再逐渐变小.整个过程都是S(t)>0,当五角 星全部露出水面后，S(t)的值为常数，即S(t)=0,符 合上述特征的只有选项A. 2.D提示：易知直线l的斜率存在，设直线1的方程为y= x+b,则圆心到直线1的距离为b1=5. √k2+15 ① 设直线l与曲线y=√元的切点坐标为(xo,√) (x0>0), y-归8-a △x 1 m/+△x+2E 参考答案与提示么出 则2左@ √=kxo十b,③ 由②图可得6=号V,将6=2石，k=,代入 2x0 ①得西=1或=一号（舍去）， 所以及=6=号，放直线1的方程为y=分x十分 练习册答案 1.C 提示：根据平均变化率的定义可知是 (2a+b)-(a十b=a=3. 2-1 2.C提示：由于(2)=2，则四K2)二2-)- h f2)=2 3.A提示：对于甲，小明离家不久发现自己的作业忘在家 里了，须回到家里取，这时离家的距离为0，对应图象④. 对于乙，小明乘车去学校，车匀速行驶直到学校，但是 途中遇到了一次交通堵塞，则前、后两段时间所对应的 图象为两条平行直线的一部分，交通堵塞时离家的距离 必为一定值，对应图象为水平直线的一部分，对应图象①. 对于丙，小明出发后减速缓慢行驶说明图象上升得越 来越缓慢，对应图象③. 对于丁，小明出发后，缓慢行驶说明图象缓慢上升，后来 赶时间不断加速，此时函数图象上升较快，对应图象②. 4.ABC提示：对于A,B,,f(x)在[a,b]上的平均变化 率是f⑥)二f@,g(x)在[a,b]上的平均变化率是 b-a gb)二g@,由题图可知，fb)=g(b),fa)=g(a), b-a :fb)二f@=b)二g@,A,B错误； b-a b-a 对于C,D,函数f(x)(g(x)在x=处的瞬时变化率 即为函数f(x)(g(x)在x=处的导数，即函数 f(x)(g(x)在该点处的切线的斜率，由题图知，C错 19 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺dA( 误，D正确。 5.2.提示：因为曲线y=f(x)在点P(1,f(1)处的切 线1过点(2,0)，且f(1)=一2，所以切线方程为y= 一2(x一2).因为切点在曲线上也在切线上，所以f(1)= -2×(1-2)=2. 6冬提示：当-22+号x+号-0时，x=10或 x=一2（舍去），所以铅球落地时，铅球的速度方向 与地面所成的角，即曲线y=-22+号x十号在 x=10处的切线与地面所成的角.因为y= +è+2A2+号-(-b2+号+号） 12 m △x =一x+号，所以曲线)y=一2+号x+号在x 10处的切线的斜率k=y|x-1o=一1.所以铅球的速度 方向与地面所成的角是不。 7.D提示：根据导数的定义可得f(a)= mfa+△）二f@=4,又根据求导公式可得f'()= △ △x 2a.x,所以f(a)=2a2=4,所以a=士√2. 8.ACD提示： 在1时刻，两图象相交，即此时甲、乙两人血管中的 A 药物浓度相同 因为两条曲线在t2时刻的切线的斜率不相等，所以 甲、乙两人血管中的药物浓度的瞬时变化率不相同 根据平均变化率公式可知，在[t2,t3]这个时间段 C√内，甲，乙两人血管中的药物浓度的平均变化率都 是3二c2 t一t妇 在[t1,t2]时间段内，甲血管中的药物浓度的平均变 √化率是二合，在[，山]时间段内，甲血管中的药物 D L2-t1 浓度的平均变化率是二，显然不相等 t3-t2 20 浙江专用) 9.A提示： f(0)=1ima0+△)2+b(0+△)+1-(0+0+1D △x =lim(a△x+b)=b>0. 因为函数f(x)的图象与x轴恰有一个交点，所以b2一 如=0所以得=+81=会+吉+1≥ b 4 2√会·+1=2，当且仅当=即6=2时，等 号成立故得的最小值为2 10.A提示：由题意可知b）f@=f(),即函数 b-a f(x)在区间[a,b]上存在一点(，f(),使得函数 f(x)在此处的切线的斜率等于(a,f(a),(b,f(b)两 点所在直线的斜率.画出各个函数的图象观察可知在 区间[0,1]上至少有两个“中值点”的函数是①④ 11.2.提示：由题意知m=a十2,1十m=b.因为f(1) 四f1+-=画(a-十)=a-,所 △x 以曲线f(x)在点(1，m)处的切线斜率为a一2.由a 2=-1,得a=1,m=3,b=4,所以a十b-m=2. 2[-1,-] 提示：可设点P的横坐标为xo,则 -8器-胸+△+2士A+3-看-2n-3 △ △x =im△）+2：A+2△x=1im(△x+2+2)= △x 2x十2，所以曲线C在点P处的切线斜率为2x十2. 由题意得0<2十+2<1，所以-1≤<-分所以 点P的横坐标的取值范围为[-1，一合] 13.(1ωAy-[+△3-3(x+△]-(z-3 △x △x =3x△x十3.x2十（△x)2-3, 当ax0时，会x3x-3,所以f()=3x-3. 则与曲线y=f(x)相切且以P(1,一2)为切点的直线 1的斜率k1=f'(1)=0, 所以所求直线1的方程为y=一2. (2)设切点坐标为(xo,x一3x)(x0≠1)， 则由(1)知直线1的斜率k2=f'(x0)=3x话一3， 所以直线1的方程为y一(x话一3)=(3-3)(x一). 又直线l过点P(1,一2)， 所以-2-(x8-3)=(3.x-3)(1-x), 解得=1（合去）或。=一分 故所求直线的斜率2=3x6-3=-9 所以所求直线1的方程为y-(一2》=一是(x-1D, 即9x十4y-1=0. 14.①f)=lm+2f@-2+4红-3. Ax 由一x2+4x-3=-3,解得x=0或x=4. 又f0=1,K0=-子 所以所术切线方程为y一1=一3x或y十日=一3红一0， 即3x十y-1=0或9.x+3y-35=0. (2)因为f(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1≤1， 所以当x=2时，切线的斜率取得最大值1， 此时点P的坐标为(2，}). 设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0), 则直线L的方程为后十若=1(a>0,6>0, 所以名十品=1 5m=合b=6(+)°-+岛+号≥ a 当且仅当2=总即a=66时取“=” 将a=6代人名+品=1，解得a=4,6=号 参考答案与提示么出出 所以△AOB面积的最小值为等， 15.B提示：已知函数f(x)=x3-x和点P(1,-1), 因为f(1)=13-1=0, 所以点P(1,一1)不在函数f(x)的图象上. 设切点坐标为(x0,%),则%=x8一x0. 因为f(x)=limz+A)°-(z+Ax)-2+z △x =画2+32：a+3za+aP-2-A-2+E △x =lim3x2·A+3z(Az+(△x-△g △x △x =lim[3x2+3x·△x+(△x)2-1] =3x2-1, 所以过切点的切线的斜率k=3x品一1， 因为过点P(1,一1)和切点(x0,%)的切线的斜率= +1 x0-1’ /y%=8-0, 所以 0十1 化简可得6(2x-3)=0, (-1-3x6-1, 解得0=0或=2， 3 则切点有2个，因而满足题意的切线有2条. 5.2导数的运算 真题演练答案 1C提示：因为f(号-2x)为偶函数，所以f(多 2x=f(号+2x),所以函数f(x)的图象关于直线 x=号对称，f(号-2×)=f(号+2×)， 即f(-1)=f(4),所以C正确.因为g(2+x)为偶函 数，所以g(2十x)=g(2-x),函数g(x)的图象关于直 线x=2对称.因为g(x)=f(x),所以函数g(x)的图 象关于点（号，0）成中心对称.所以g(x)的周期T 21