4.2.2 等差数列的前n项和公式-【重难点手册】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习册（人教A版）浙江专用

4.2.2等差数列 A基础过关练 测试时间：20分钟 1.[题型1]已知数列{an}为等差数列，a1o=10,前 10项和S0=70,则公差d=( ) A-号 B-吉 ct 2.[题型2]若等差数列{an}和{bn}的前n项和分 别是S.和工且避晓-则哈=( n A号 B员C品 3.[题型1、3](2025·重庆模拟)（多选）设等差数 列{an}的前n项和为Sm,公差d>0,若Sg= S0,则下列结论中正确的是(). A.a15=0 B.当且仅当n=15时，Sm取得最小值 C.a10十a22>0 D.当Sm>0时，n的最小值为29 4.[题型1](2025·浙江金华二模)已知数列 {an}为等差数列，Sm为其前n项和，满足S3= 5,S12=32,则ag的值为 5.[题型2](2025·浙江嘉兴期末)已知某等差数 列共有10项，其奇数项之和S奇=15，偶数项 之和S偶=30，则其公差为 6.[题型3](2025·湖北武汉二中月考)在等差数 列{an}中，a1=7,公差为d,前n项和为Sm,当 且仅当n=8时S.取得最大值，则d的取值范 围为 乃综合提能练 测试时间：30分钟 7.[题型2](2025·辽宁名校联考)已知数列{an} 是等差数列，前n项和为Sm,若a1十a2十a3十 a4=3,a17十a18十a19十a20=5,则S2o=(). A.10 B.15 C.20 D.40 8.[题型3](2025·四川成都七中月考)已知等差 数列{an}的公差d<0,a5a7=35,a4十ag=12, 第四章散列么出 的前n项和公式 前n项和为Sn,则Sn的最大值为(). A.66 B.72 C.132 D.198 9.[题型2、4幻(2025·湘东四校联考)（多选）已知 两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为 s与工2-5则( A.a3十ag=2b3 B.当Sn=2n2时，bn=6n+2 C.a4十au<2 D.Hn∈N*,使得Tm>0 10.[题型6](2025·江苏南京调考)（多选）如图 所示的形状出现在中国南宋数学家杨辉所著 的《详解九章算法》中，后人称为“三角垛”. “三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球， 第三层有6个球，第四层有10个球…设 第n层有am个球，从上往下n层球的总数为 Sm,则(). A.S5=35 B.ant1一am=n C.S-S.-1=nm,+1D,n≥2 2 D.1+1+1++1=20g al a2 a3 a10101 11.[题型4、6](2025·江西南昌六校期末联考) 设数列a}的前n项和为5者子为常数， 则称数列{an}为“吉祥数列”.已知等差数列 {bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为 “吉祥数列”，则数列{bn}的通项公式为bn= U 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA( 12.[题型3、4](2025·湖南师大附中单元检测) 已知数列{am}满足2an+1=am十am+2(n∈ N*),它的前n项和为Sm,且a3=10,S6=72, 则数列{an}的通项公式an= ;若数 列亿.满足6，=0，-30，其前n项和为T, 则Tm的最小值为 13.[题型3、5](2025·河北唐山一中月考)记等 差数列{an}的前n项和为Sm,已知S5=一35， S2=-21. (1)求数列{an}的通项公式，并求S的最 小值； (2)设bn=|an,求数列{bn}的前n项和Tm 14.「题型4、5(2025·华中师大一附中单元检 测)已知各项均为正数的数列{a.},其前n项 和为Sm.数列{bn}为等差数列且满足b2=12, b5=30,从①a2+an=2Sn,②a1=9,a2=2,当 n≥2时，am+1=an十2这两个条件中任选一个 作为已知条件，求解下列问题： 6 浙江专用) (1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sm; (2)若对任意的n∈N*,不等式kSm≥bn恒成 立，求实数的取值范围。 C拓展拔高练测试时间：20分钟 15.[题型3、6]（经典·复旦大学强基计划招生考 试)向量数列{an}满足a+1=am十d,且满足 a=3ad=-令5=a·(2a) 则当Sn最大时，n的值为 16.[题型4幻（经典·清华大学中学生标准学术能 力诊断性测试)已知数列{an}的前n项和Sn 满足2Sm=nan十n(n∈N*). (1)求a1的值，并证明数列{an}是等差数列； （2者a-2,正明5+a5+十a ant2S重难点手册高中数学选择性必修第二册RdA( 即a+(n-1)a+2m2-2m-100<0, .△=(n-1)2-4(2n2-2n-100) =-7m2+6n+401>0. 又.'n∈N*,∴.1≤n≤8. ∴.该数列可能的项数为1~8. 4.2.2等差数列的前n项和公式 真题演练答案 1.B提示：设等差数列{an》的公差为d, 3a1+3d=6, (d=-3, 则 解得 5a1+10d=-5, a1=5, 所以S6=6a1+15d=6×5+15×(-3)=-15. 2.3m2-2m.提示：数列{2m一1}表示首项为1，公差为2 的等差数列，各项均为正奇数，而数列{3一2}表示首 项为1，公差为3的等差数列，各项分别为交替出现的 正奇数与正偶数，它们的公共项为数列{3一2}中的奇 数项，所以{an}是首项为1，公差为6的等差数列，其前 n项和S.=nX1+mn,)×6=3m2-2m 2 3.(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)， fa+2d=5a+10d, 由题意得 (a1+d)(a1+3d)=4a1+6d, a1=一4， 解得 d=2. 所以an=a1十(n-1)d=2m-6. (2)S.=nai十a）=2m210）=t-5m, 2 2 则由n2-5n>2n-6,整理得n2-7n+6>0, 解得n<1或n>6. 因为n∈N,所以使Sm>an成立的n的最小值为7. 4.(1)设{an}的公差为d. 由Sg=-a5得a1+4d=0, 由a3=4得a1十2d=4,于是a1=8,d=-2. 因此{an}的通项公式为an=10-2m. 6 浙江专用) (2)由(1)得a1=-4d, an=(n-5)d,S=n(n 9)d 2 由a1>0知d<0,故Sn≥a,等价于n2-11n+10≤0， 解得1≤n10. 所以n的取值范围是{n1≤m≤10，n∈N}. 练习册答案 1.D提示：由S=10a,十a2得70=5(a十10)，解得 2 a4=4,所以d=40-4=10-4=2」 10-1 9 31 1541四 2 2.B提示：6一6+X11Tm2×1+2岁 2 3.AC提示：·数列{an}是等差数列，且S=So, ∴.a10十a11十…十a20=11a15=0,即415=0，故A正确； d>0,.当n≤14时，an<0,当n≥16时，an>0, 故当n=14或n=15时，Sm取得最小值，故B错误； ,a10十a22=2a16>0,.C正确； :S29=29a1s=0,.D错误. 4.3.提示：设等差数列{an}的公差为d, s=3a+324=5, 则 5a=12a+121d=32, 13 3a1+3d=5, a19’ 化简得 解得 6a1+33d=16, d=9, 2 所以a8=a1+7d=3. 5.3.提示：设该数列的公差为d,由等差数列前n项和 的性质，得s一S4-9×d,即30-15=5d,解得d=8 6.（-1,一日).提示：由当且仅当n=8时S最大，知 f7+7d>0 as>0且ag<0,于是 解得-1<dK-名， (7+8d<0 故d的取值范围为(-1，-日) 7.C提示：由题意知S4,S8一S4,S2-S8,S16一S2, S20-S16成等差数列，又S4=3,S20-S16=5,则S0= (S20-S6)+(S16-S2)+(S12-S8)+(S8-S4)+ s4=5+3)X5=20. 2 8.A提示：因为d<0,a5a?=35,a4十ag=a5十a7=12, 所以as=7,a=5,则d=-1,所以an=a?+(n-7)d -十12，所以a2=0,所以当n=11或12时，S.取得最 大值，最大值为S1=S2=12(a,+a2)=12X(11+0) 2 2 =66. 10(a1+a10) 9AB提示：由产=5蜘是-56子2 2 a十a0-Q3十a=0=2,即a十as=2h,故A正确； 20 同理可得安-》-器>2，放C错误当8=2 时，有S2m=8m2,则Tn=n(3n十5)，易得bn=6n十2，故 B正确；当Sn=-2n2时，有S2n=一8n2,则Tn= -n(3n十5)<0，则不存在n∈N,使得Tn>0,故D 错误 10.ACD提示：因为a1=1,a2-a1=2,a3一a2=3,, a,一am-1=n,以上n个式子相加可得an=1十2+ 3+…十m=n1D,所以S,=a1十a2十ag十a4+ 2 a5=1十3+6+10十15=35，故A正确；由递推关系可 知a+1-an=n十1，故B不正确；当n≥2时，Sn s1=a,=nn,故C正确：因为2-nn片D 2 2(日），所以+++-2x[(1-) +(合-号)++(0)]=2×(1-） -8故D正确， 参考答案与提示次出出 11.2n一1.提示：设等差数列(bn}的公差为d(d≠0)，前 n项和为S,且导=(k∈R.因为=1，所以十 nnDd=[2r+号×22m-1Dd],即2+n-1d- 2 4k+2k(2n-1)d,整理得(4k-1)dn+(2k-1)(2 d)=0.因为对任意的正整数n,上式均成立.所以 (4k-1)d=0, d=2, 得 1 所以数列{b.}的通 (2k-1)(2-d0=0,k= 项公式为b.=1+2(n-1)=2n-1. 12.4n-2;-225.提示：因为2an+1=an十a+2,所以 a+1一an=a+2一an+1,故数列{an}为等差数列.设 数列{an}的公差为d.由ag=10,S=72得 a+2d=10, a=2, 解得 所以an=4n-2,所以b (6a1+15d=72, (d=4, 6≤0， 2m—31≤0， =2a-30=2m-31.令 即 b+1≥0， (2(n+1)-31≥0， 解得空≤n≤头因为nEN,所以数列么)的前 15项均为负值且第16项为正值，所以T最小.因为 数列{b.}的首项为一29，公差为2，所以T5= 15×(-29+2×15-31)=一225，所以数列{b:}的前 2 n项和Tm的最小值为一225. 13.(1)设数列{an}的公差为d, 5a1+54d=-35, 2 (a1=-15, 则 解得 7a+79d=-21 d=4, 所以am=-15+4(n-1)=4n-19. 由a,=4-19≥0，得m≥只。 所以当n=1,2,3,4时，an<0, 当n≥5时，am>0, 所以S.的最小值为S4=4a+43d=-36. 2 7 重难点手册高中数学选择性必修第二册RdA( (2)由(1)知，当n≤4时，bn=an|=-an; 当n≥5时，bn=|an|=an. 因为S.=a1+nn,Dd=2r-17m, 2 所以当n≤4时，Tn=一Sn=17n一22， 当≥5时，Tn=Sn-2S4=2n2-17n-2×(一36)= 2n2-17n+72, 17n-2m2,n≤4， 即Tn= 2n2-17n+72,n5. 14.方案一选择条件①， (1)由a2+an=2Sn, 得a1十aw-1=2Sm-1(n≥2)， 两式相减，可得a忌一a品-1十an一am-1=2am, 即(an十aw-1)(an-a-1-1)=0. 因为an>0,所以an-am-1-1=0,即an-am-1=1, 所以数列{an}为等差数列. 当n=1时，a1=1,所以am=a1十(n-1)×1=n. 所以S。=n1十m-+n 2 2 (2)因为数列{b.}为等差数列，且b2=12,bs=30 所以数列6，}的公差d=s,b=30,12=6, 3 3 所以bn=b2+(n-2)X6=6n. 若对任意的n∈N*,不等式Sn≥b.恒成立， 则，心字≥6，即≥=片对任意的n N*恒成立， 所以>≥6，即k的取值范围是[6，十∞). 方案二选择条件②， (1)因为当n≥2时，an+1=an+2,即an+1一an=2, 所以当n≥2时，数列{an}为等差数列， 又因为a2=2, 所以当n≥2时，an=a2十(n-2)X2=2n-2, f9,n=1, 所以an= (2n-2,n≥2， 8 浙江专用) S=9+n-1)(2,+2n-2=2-n+9. 2 (2)因为数列{bn}为等差数列，且b2=12,b5=30, 所以数列{6，的公差d=,=30,12=6, 3 3 所以bn=b2十(n-2)X6=6n. 若对任意的n∈N”,不等式kSm≥b.恒成立， 6n 则之2十g,+9一对总的N恒成立. 因为叶员-1≥2Vn,g-1=5,当且仅当n=3 n 时取等号， 6 所以 +- 所以≥号，即k的取值范围是[号，十∞)力 15.6或7.提示：因为a+1=an十d,所以向量数列{a》 为等差数列，则8=a(户4)=·[a1十 2Da]-9m-3D-(-i+13m.又因 4 为n∈N*,所以当n=6或n=7时，Sn取得最大值， 16.(1)因为2Sn=nan+n,① 所以令n=1,得2a1=a1十1，即a1=1. 当n≥2时，2Sm-1=(n-1)am-1+n-1.② ①-②，得2an=an-(n-1)am-1+1, 即(n-2)an-(n-1)aw-1+1=0.③ 又(n-1)am+1-nan+1=0,④ ④-③，得(n-1)a+1-2(n-1)a.+(n-1)an-1= (n-1)(ar+1-2am十a-1)=0. 因为n-1≠0，所以a+1十a-1=2au. 所以数列{am}是等差数列 (2)由(1)知数列{an}是等差数列. 因为a1=1,a2=2,所以a.=n,S,=nn 2 所以aa+i品n+万一年说2 2 (n十2)-n 1 1 n(n+1)(n+1)(n+2) 1 +a+2S.=1X2-(n+1)(n+2 <2 4.3等比数列 4.3.1等比数列的概念 真题演练答案 1.C提示：因为函数f(x)=a.x2十b,所以f(s一t)= a(s-t)2+b,f(s)=as2+6,f(s+t)=a(s+t)2+6. 为f(s一)，f(s),f(s十t)成等比数列，所以f(s)= f(s-t)f(s+t),(as2+6)2=[a(s-t)2+6][a(s+ t)2+b],化简得-2a2s2+a2t+2abt2=0.所以t=0 或2as2-a=2b,易知点(s,t)的轨迹为一条直线和一 个双曲线。 2.D提示：设等比数列{a}的首项为a1,公比为q,由题 a1+a2+ag=168,a(1+q+2)=168, 意可得 即 a2-a5=42, (a1q(1-q)=42, [a1=96, 解得 所以a6=a1q=3. 1 9=2’ 3.①③④.提示：因为anSn=9,所以a1S1=a=9,又因 为an>0,所以a1=3,所以a2S2=a2(a1十a2)=9,即 8十3a-9=0,得a2=-3+35_3W5,-)<3,所 2 以①正确：当≥2时，由S.=品得S1=（≥ 2),两式作差可得a,=9-9(m≥2)，即a= an an-1 9(a.1一a2(m≥2)，整理得a=9。(n≥2)，若数 anan-1 an-1 9 列（口.）为等比数列，则当n≥2时，。为常数，即数 列{an}从第2项起各项均为同一个常数，易知当n=3 时不成立，所以②不正确；因为anSn=a+1S+1=9,所 以，-之，由数列。的各项均为正数，得安> 参考答案与提示次超 1,所以an>a+1>0,所以③正确；对于④，若数列{an} 的所有项均大于等于0，取m>9000,由a,≥0且 an>an+1>0,得Sn>an>900,所以anSm>9,与已知 矛盾，所以④正确， 4.(1)设数列{a.}的公比为q,由题意得2g=4g+16,即 q-2q-8=0. 解得q=一2（舍去）或q=4. 因此数列{an}的通项公式为an=2×4”-1=22m-1. (2)由(1)得bn=(2m-1)log22=2n-1, 因此数列{b}是以1为首项，2为公差的等差数列， 故数列{6.}的前n项和为n十nn1卫×2=. 2 81油经+=2a十1，得2S+2=2aa+,① 所以2Sn+1+(n+1)2=2a+1(n+1)+(n+1),② ②-①，得2a+1+2n+1=2a+1(n+1)-2ann+1, 化简得a+1一an=1, 所以数列{an}是公差为1的等差数列. (2)由(1)知数列{am}的公差为1. 由a号=a4ag,得(a1+6)2=(a1十3)(a1+8), 解得a1=一12. 所以S。=-12+n(n-1)=-n2-25n 2 =(m)-, 所以当n=12或13时，S.取得最小值，最小值为一78. 练习册答案 1.C提示：因为a十a2=a1(1十q)=2, a1-a3=a1-a1q=a1(1-gd)=a1(1+q)(1-q)= 21-g1=3,所以g=一克 [a2019十a2020=2, 2.A提示：由题意得 9