4.2.2 等差数列的前n项和公式-【重难点手册】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）浙江专用

第四章 数列出型 4.2.2等差数列的前n项和公式 重点和难点 课标要求 1.掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通 重点：等差数列的前n项和公式及其应用. 项公式与前n项和公式的关系， 难点：等差数列的前n项和公式的推导. 2.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能 解决相应的问题， 01一必备知识梳理。 基础梳理 知识点1等差数列的前n项和公式 1.等差数列前n项和公式的两种形式 刀划重点 (1)首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和为 在等差数列的前n项和 Sn=n(a十an) 公式中，涉及a1,am,Sm,n,d 2 五个量，通常已知其中三个 (2)首项为a,公差为d,项数为n的等差数列的前n项和为 量，结合通项公式可求另外两 S.=na1+n(n Dd. 个量，即“知三求二”的方程思 2 想（上述内容解答了教材第21 2.等差数列前n项和公式的理解 页【？】). (1)等差数列的前n项和公式S.=a1十nn,Dd与三个基 2 自敲黑板 本量“首项a1、公差d和项数n”有关，而公式S.=n(a十a)与三 2 我们也可以根据梯形面积 个基本量“首项a1、末项an和项数n”有关，其中a1十am不只是首 公式的两种推导方法(“补形”和 尾两项之和，也可以是a十a,（p十q=n+1,p∈N*,q∈N*),应 “分割”)来理解等差数列的两个 前n项和公式，如图所示. 根据题目中的已知条件灵活选择， (2)S,=n(a,十a)反映了等差数列的前n项和与它的首项、 2 未项之间的关系：S。=0十”2》1反映了等差数列的前n项 S.=n(a+a.) 2 补成平行四边形 和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的二次函数.两者 从不同的角度反映了等差数列的性质， 知识点2等差数列前项和公式的推导方法—倒序相加法 a-1 倒序相加法：设Sm是等差数列{an}的前n项和，则Sn=a1十 a,=a1+(n-1)d S.=na+n(n-1) 2 a2+…十am. 分割成一个平行四边形 和一个三角形 根据等差数列的通项公式，得 25 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d], 司敲黑板 再把项的次序反过来，Sm可以写成 (1)倒序相加法实际上是 Sn=am+(an-d)+(am-2d)+…+[am-(n-1)d]. 一次函数图象中心对称性的 上述两式两边分别相加，得 反映，即若函数f(x)的图象 2Sn=(a1+an)+(a1十an)+…+(a1+an)=n(a1+an), 关于点(a,b)中心对称，则 由此得到等差数列{a,的前n项和公式：S=na,a）】 f(x)十f(2a-x)=2b,对应 2 ① 到等差数列{an}中，则是an十 如果代入等差数列的通项公式an=a十(n一l)d,S.也可以 a2m-n-2am. 用首项a1与公差d表示，即S。=a1十n(n,)d, ② (2)若一个数列满足任意 2 的第饣项与倒数第k项的和 ②式也可以由以下方法求出： 等于首项与末项的和，则求该 .an=a1+(n-1)d, 数列的前n项和常用倒序相 ∴.Sn=a十a2+…+an=a+(a1十d)+…+[a+(n-1)d] 加法 na1+[d+2d+…+(n-1)d]=na1+[1+2+…+(n-1)]d= na+nn Dd. 2 重难拓展 重难点1等差数列前n项和公式的函数特征 圆问题探究 般地，如果a1,d是确定的，那么等差数列的前n项和Sm 一般地，如果一个数列 是定义在正整数集上且关于n的函数，即S.一号十(a一号)， {an}的前n项和为Sn=pn十 qn十r,其中p,q,r为常数，且 其图象由函数)y=号+(a一号)x上一系列的点(m,S.)组成，横 p≠0，那么这个数列一定是等 差数列吗？ 坐标为正整数， 当r=0时，该数列是以 设A=号，B=a1一号，则上式可写成S.=A+Bm p十q为首项，2p为公差的等 差数列： 当A=0,B=0(即d=0,a1=0)时，Sn是关于n的常函数，数 当r≠0时，该数列不是 列是各项为0的常数列 等差数列.（上述内容解答了 当A=0,B≠0（即d=0,a1≠0）时，Sm=Bn是关于n的正比 教材第22页【探究】) 例函数，数列是各项为a1的常数列. 由此，我们得到等差数列 当A≠0（即d≠0）时，Sn=An2十Bm是关于n的二次函数. 的另一种判定方法—前n项 由此可见，如果数列{an}是等差数列，那么其前n项和Sn= 和公式法 An2+Bn(A,B为常数). 反之，若Sn=An2+Bn(A,B为常数)，则 n=1时，a1=S1=A十B, 刀记方法7 n≥2时，an=Sm-Sm-1=A(2n-1)+B=2An十B-A. 设等差数列{an}的首项 经验证，an=2An十B一A对a1也适用. 为a1,公差为d,则： 26 第四章 数列 ∴.am=2An十B一A.而am+1一am=2A为常数， 条件 S最值的存在情况 ∴.{an}为等差数列， a<0,Sn有最大值S1=a1,无 综上，若{an}是等差数列，则其前n项和Sm可以写成An2十 d<0 最小值 Bn(A,B为常数)的形式；反之，若数列{an}的前n项和能写成 数列{an}只有前面的有 21>0,限项为非负数，从某项开 An2十Bn(A,B为常数)的形式，则数列{an}为等差数列. d<0始所有项均为负数，故 例I(多选)设S.是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的 Sn有最大值，无最小值 前n项和，则下列命题中正确的是(). 数列{an}只有前面的有 A.若d<0,则数列{Sn}有最大项 a1<0,限项为负数，从某项开始 d>0其余项均为非负数，故 B.若数列{Sm}有最大项，则d0 Sn有最小值，无最大值 C.若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*,均有Sm>0 a1>0,有最小值S1=a1,无最 D.若对任意n∈N*,均有Sm>0,则数列{Sm}是递增数列 d>0大值 数列{am}为常数列，S, 而因为S。-号r+(a一号)，d≠0，显然S。对应的二次 d=0 的最值取决于a1的取值 函数有最大值时d<0,所以若d<0,则Sn有最大值，故A,B正 P提个醒 确.令Sn=n2一2n,则数列{Sn}是递增数列，但S1=一1<0，故C 公差决定数列{an}的单 不正确.若对任意n∈N*,均有Sm>0,则a1>0,d>0,所以数列 调性，单调性决定S有最大 值还是最小值；首项和公差共 {Sn}是递增数列，故D正确. 同决定数列{Sn}的哪一项取 [答案ABD 到最值. 重难点2等差数列前n项和的性质 利用等差数列的通项公式及前n项和公式，不难推出等差数 列的前n项和具有如下性质. (1)项数的“等和”性质：S,=n(a十am）_n(am十am1) 2 2 冒敲黑板 (2)若等差数列共有2m一1项，则S2m-1=(2n一1)an;若等差 对于性质(2)，运用Sn= 数列共有2m项，则S2n=n(an十an+1). n(am十amm+1)及与等差中项 2 (3)项的个数的“奇偶”性质： 的有关性质，可以得到： ①若等差数列的项数为2n(n∈N*),S偶，S奇分别表示所有 偶数项的和与所有奇数项的和，则S奇十S偶=S2m,S偶一S奇=nd, S1=(②m-1Da2-1十a) 2 S查=am =(2n-1)am; S偶an+1 Sn=2n(a.十at1 2 ②若等差数列的项数为2n一1(n∈N*),S,S奇分别表示所 =n(an十an+1). 有偶数项的和与所有奇数项的和，则S奇十S偶=S2m-1,S奇一S偶= 由此可知，当an确定时 .S-m5x-(a-1o.h S2m-1便确定了. (4)已知等差数列{a,}和.的前n项和分别为S.,工，则会： 27 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) Sin-1 am2n-1.Sim-1 T2-1'bm2m-1T2m- (5)“片段和”性质：在等差数列{an}中，公差为d,前项的和 为S,则S6,S2k一Sk,S3一S2k,…,Sk一S(m-1),…构成公差为 d的等差数列. (6)Smtn=Sm+Sn十mnd(m,n∈N*); 卫提个醒 S..=m+n)(S。-S)(m,m∈N,且m≠m. 对于性质(6)，特别地，若 nm Sm=Sn(m≠n),则Sm+n=0; ()由公式S,=a+nn21Da,得8=a十”2d,因此数 若Sm=n,Sm=m(m≠n),则 2 Sm+n=-(m十n). 列S)是等差数列，首项为a1,公差为等差数列{a公差的一半. 由等差数列的函数特性知，点(，云）n∈N~)在同一条直线上 从而及-”2m,meN): n m 各-，。c--ag]eN,且≠2 9 例②在项数为2m十1的等差数列中，若所有奇数项的和为 165,所有偶数项的和为150，则n等于( A.9 B.10 C.11 D.12 缸旅洛等差数列前项和的性质可得登=”中-德。 解得n=10. [答案B ☐-02-关健能力提升-。 题型方法 例3(2025·山东济南二中月考)在等差 题型1等差数列前n项和的基本量的计算 数列{an}中，前n项和为Sm. 1.“知三求二”的基本问题 (1)已知a6=10,S5=5,求a8; (2)已知S12=84,S20=460,求S28; 在等差数列前n项和的问题中共涉及五 个量：a1,d,n,an,S.利用等差数列的通项公式 (3)已知a十a-0求S. 及前n项和公式可“知三求二”，其求解方法可 解析(1)方法一因为a6=10,S5=5, 概括为设出基本量a1,d,构建方程（组）.因此， a1+5d=10,. a1=-5, 所以 。解得 利用方程的思想求出基本量是解决这类问题 5a1+10d=5,d=3. 的基本途径 所以a8=a6+2d=16. 28 第四章 数列出型 方法二因为S6=S,十a6=15, 例④(2025·江苏张家港高级中学期中) 所以15=6a+a）,即3(a1+10)=15. 已知等差数列{an}的前三项为a一1,4,2a,记前 2 n项和为Sm. 所以a1=-5,d=06二a1=3. 5 (1)设S%=2550,求a和k的值； 所以ag=a6+2d=16. (2)设么-各求十6十b十…十r (2)方法一设等差数列{an}的公差为d, 的值. 则S,=a+nn2Dd. 2 解析由已知得4×2=a-1十2a,解得 将S12=84,S20=460代入得 a=3. 12a1+12X1d=84, .a1=2,公差d=a2一a1=2. 2 a1=-15, 解得 20a1+2019d=460, d=4. (1)由S&=ka+bk1d,得2k+ 2 2 k(k-1DX2=2550, 所以5=28a1+2X274=28×(-15)+ 2 即k2+k一2550=0，解得k=50或k= 14×27×4=1092. -51(舍去). 方法二设等差数列{a.}的前n项和Sn= ∴.a=3,k=50. an2bn. (2)由S.=a1+un21Dd,得S.=2m十 因为S12=84,S20=460, 2 aX122+b×12=84, 所以 nn21DX2=m+,6,=S=n+1. 2 a×202+b×20=460, 又b3,b,b11,…,b4m-1仍是等差数列，且共 「a=2, 解得 有n项， (b=-17. 所以Sn=2n2一17n. 六6十b,+h十…十b1=n6tb=2= 2 所以S28=2×282-17X28=1092. n(4+4n）=2n2+2n. (3)方法一因为a2+a4=a1十d十a1十 2 3d=2a+2d-9,所以a1+2d= 题型2等差数列前n项和的性质及其应用 5· 1.构造等差数列求数列的前若干项的和 所以S5=5a1+10d=5(a1+2d)=18. 已知等差数列{an}的前n项和Sn,可以构 方法二因为a2十a4=a1十a5,所以a1十 造出新的等差数列，从而利用等差数列的相关 a,=5所以S,=5a士a）-8×0-18, 2 25 知识解题.常见的构造方法有：(1)S.,S2k一S, 2.“知三求二”的综合问题 S3k一S2k,…是等差数列，公差为数列{an}的公 求等差数列的基本量的基本方法是建立 差的处倍：(2)数列{贷是等差数列，公差为 方程组或者运用数列的相关性质整体处理，以 达到简化求解过程、优化解法的目的 数列a的公差的2：事实上，=An十B(A, 29 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) B为常数)各为等差数列，且有云，需 S10一S90,S110一S100成等差数列，设其公差为 n 成等差数列，其实质是等差数列S,Sm d,前10项不为105十10X9=Sw=10,解 3m 得d'=-22. Sm,S3m-S2m的变形， ∴.S10-S100=S0+(11-1)d'=100+ 例5(2025·湖北宜昌一中月考)若等差 10×(-22)=-120. 数列{am}的前10项的和为100，前100项的和 ∴.S110=-120+S100=-110 为10，则前110项的和为 答案-110. [解析方法一设等差数列{an}的首项为 2.等差数列前n项和的比值问题 a1,公差为d,根据题意可得 (1)涉及一个有限的等差数列的奇数项和 10a+10X94=10,0 与偶数项和之比的问题，通常用重难点2中等 100a1+100X994=10. 差数列前n项和的性质来求解. 2 ② (2)涉及两个等差数列有限项和之比的问 ①×10-②，整理得d=- 0代入①，得 1 题，通常是将其转化为两个等差数列前项和 之比来处理. a,=1099 100 例6(2025·北大附中月考)若一个等差 故So=10a+110X109d=10×109 数列的前12项的和为354，前12项中偶数项 100 的和与奇数项的和之比为32：27，则该数列的 10X109×(-)=10×109009X11- 公差为 2 100 解析方法一设该等差数列的首项为 10×10991199=-110. 100 a1,公差为d,由题意可得 方法二设这个等差数列的前n项和Sn= 12a1+1214=354, 2 An2十Bn.由题设条件可知 11 6a+d0+5x2d 32 解得d=5. A= 100A+10B=100, 100? 解得 7 10000A+100B=10, B111 6a455x2d 10 方法二（利用等差数列前n项和的性质求 故Sw=品×10+ ×110=-110. 解)记该等差数列的前12项中偶数项的和 为S偶，奇数项的和为S奇： 方法三S10-S10=a1十a12十…十 aw=90(an十aiw）_90(a,十aIo） S奇十S偶=354， 由已知条件得 2 S偶：S奇=32：27， 又S100-S10=10-100=-90, (S偶=192， 解得 .a1十a110=-2. S寺=162. So-10ca,aw）_110Xy-2》=-110, 又S4-S4=6d,所以d=192162-=5. 2 2 6 方法四数列S10,S20一S10,S30一S20,…, 答案5. 30 第四章 数列宝超 题型3等差数列前n项和的最值问题 解析(1)由a3=12,S12>0,S13<0,得 已知等差数列{an}的前n项和为Sm. a+2d=12, (1)利用Sm与函数的关系求最值，主要方 12a+12X1D0, 2 法如下： ①画出与S对应的二次函数的图象，由 13a1+13124<0, 2 图象确定函数的最值， a+2d=12, ②利用函数的性质判断：当d=0时，若 整理得12a十6d>0,解得头dK3 a1=0,则Sn=0,无最值；若a1>0,则Sn=na1, 13a1+78d0, 有最小值S1=a1,无最大值；若a1<0,则Sn= na1,有最大值S1=a1,无最小值. 故公差d的取值范国是（兰，-3】 当d≠0时，Sm是关于n的二次函数，可利 (2)方法一由题意可得d<0,.{an》 用二次函数求最值的方法求S,的最值，此时 为递减数列.由S12>0,S13<0,可知在1≤n≤ 应注意自变量n的取值范围为n∈N*, 12中，必存在自然数n,使得am≥0，an+1<0,此 (2)利用等差数列的单调性，由通项公式 时对应的Sm就是S1,S2,…,S12中的最大值. 及“正负转折项”求最值 /Sg=6(as+ag)>0, '.a<0,a6>0. 当a1≤0，d<0时，Sn有最大值S1=a1,无 (S13=13a<0, 最小值； ∴.前6项和最大 当a1>0,d<0时，{an}只有前面的有限项 方法二解关于n的不等式组 为非负数，从某项开始其余所有项均为负数， am=a3+(n-3)d≥0， n≤3- d, 得 所以由a∠ am≥0， 可得Sm的最大值为Sm,无最 an+1=a3+(n-2)d≤0， a≥2-是 小值； 由4←K3,得3号<3+号 当a1<0,d>0时，{an}只有前面的有限项 为非正数，从某项开始其余所有项均为正数， 7n2是>2+2是-5.55.57. 24 所以由/a≤0， 7 可得Sm的最小值为Sm,无最 amt1≥0 .n∈N*,∴.n=6. 大值： 故当n=6时，Sn最大，即前6项和最大. 当a1≥0，d>0时，Sn有最小值S1=a1,无 方法三S.=a,+nn21Dd=n12 2 最大值； 当d=0时，结论同(1)中的相应结论， 2a+n2Da=号r+(12-dn-号引 例7(2025·福建福州二中月考)设等差 数列{an}的前n项和为Sm,已知a3=12,且 6- 2d S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围； 由4←dK-3,知6<5-)<65， (2)该数列的前几项和最大？ ∴.当n=6时，Sm最大，即前6项和最大. 31 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) 点评方法一和方法二主要利用了函数单 1)2,则数列{an}的通项公式为 调性的思路，结合数列的特征可知，当一个数 解机令n=1,得a=S,-(a1十1)2，解 列递减，且第k项为非负数，第k十1项为负数 时，一定会有a1,a2,…,a都是非负数，而 得a1=1.当n≥2时，a.=S。-S.-1=}(a.十 a+1,a+2,…都是负数这一情形，显然n=k时 Sm最大.方法三是利用二次函数求最值的思 1D2-a1+13, 想，但需注意，由于n取正整数，所以Sm不一定 即(am十an-1)(am-an-1-2)=0. 是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近 因为a,>0,所以an十am-1≠0，于是有 的横坐标取整数的点处取得最值 an-an-1=2. 题型4等差数列前n项和Sn与an的关系的 所以数列{am}是以1为首项，2为公差的 应用 等差数列. 1.由Sn与amn的关系判定数列为等差数列 因此am=1十(n-1)×2=2n-1. 例⑧(2025·辽宁锦州二中月考)已知数 答案an=2n一1. 列{an}的前n项和为S,若4S,=(2m一1)a+1十 题型5与等差数列相关的求和问题 1,且a1=1,证明：数列{an}为等差数列， 1.倒序相加法求和 证明令n=1,则a2=4S1一1=3；令n= 如果在一个数列{an}中，与首末两项等距 2,则3a3=4S2一1=15，所以a3=5. 离的两项之和等于首末两项之和，可将正着写 当n≥2时，4Sm-1=(2n-3)am+1,从而 和倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列 (2n+1)an=(2n-1)am+1. 的和，这一求和方法叫作倒序相加法。 方法一由(2n十1)am=(2m-1)am+1,得 例10(2024·湖北武汉部分学校联考) an+1 an 已知定义在R上的函数f(x)的图象的对称中 2n+12n-1 心为(1012,2).设数列{am}的前n项和为Sm, 因为号-9=1，所以数列22}是常数列。 且满足an=f(n),n∈N*,则S2o23= 所以22-14=1.所以a=2m-1, 解析由已知条件得f(2×1012一x)+ f(x)=2×2,即f(2024-x)+f(x)=4. 因为am+1一an=2,所以数列{an}是以1为 于是有a2o24-m十an=4,n∈N*. 首项，2为公差的等差数列. 又S2023=a1+a2十…十a2020+a2021+ 方法二由(2m十1)an=(2n-1)am+1, a2022十a2023, 得(2n十3)am+1=(2n十1)am+2. S2023=a2023+a2022+…十a2十a1y 两式相减，得an十a+2=2an+1,且a1十 两式相加，得 a3=2a2, 2S2023=(a1+a2023)+(a2十a2022)十…十 所以数列{an}为等差数列. (a222+a2)+(a223+a1)=2023(a1十a223)= 2.由Sm与am的关系求数列的通项公式 2023×4, 例9(2025·黑龙江哈尔滨六中段考)设 故S2023=2023X2=4046. 正项数列a的前n项和S,满足S。=}(a,十 答案4046. 32 第四章 2.已知等差数列{am},求数列{|am1}的前 2n+70 2 n项和 对于这类数列的求和问题，首先考虑去掉 含r+5, 绝对值符号，所以要弄清数列{αn}中哪些项为 ∴.Tn= am≥0， 2n2、2 2n+70,n≥6. 正，哪些项为负，一般是由不等式组 或 lam+1≤0 点评啊(1)本题容易出错的地方是当n≤5 an≤0， 找出满足条件的临界值n进行确定 时，直接把S当作Sm,实际上，当n≤5时，n是 an+1≥0 一个变量，它可以取1到5之间的任意一个正 的.由于am的符号与n有关，但不知道n与使 整数 a.≥0中k的关系，因此应分类讨论.其次是要 (2)当所求的前n项和的表达式不能用统 将绝对值的和的问题转化为等差数列的求和 一的形式表示时，其结果务必要写成分段函数 问题.特别要注意用分段函数的形式表示 的形式。 结果 例11(2025·东北师大附中单元检测) 题型6等差数列前n项和的创新应用问题 已知数列{an}的前n项和Sn=一 r+， 1.等差数列在实际问题中的应用 例12从4月1日开始，一新款服装投入 bn=anl. 某商场销售.4月1日该款服装售出10件，第 (1)证明：数列{an}为等差数列； 二天售出25件，第三天售出40件，以后每一天 (2)求数列{bn}的前n项和Tm. 售出的服装都比前一天多15件，直到4月12日 解析(1)当n≥2时，an-S.-S-1=一 日销售量达到最大，然后每一天售出的服装都 +2-[-0m-1P+9oa-1D]=16-3, 比前一天少9件 (1)记从4月1日起该款服装日销售量为 当n=1时，a=5,=一昌十罗=13将合 am,销售天数为n,l≤n≤30，求am关于n的函 上式 数关系式 ∴.am=16-3n,n∈N*. (2)求4月份该款服装的总销售量. ∴.a+1-an=16-3(n+1)-(16-3n)=-3, (3)按规律，当该商场销售此服装超过 ∴.数列{an}是以13为首项，一3为公差的 1200件时，该款服装在社会上就开始流行；当 等差数列. 该款服装的销售量连续下降，且日销售量低于 16-3n,n≤5， 100件时，该款服装在社会上不再流行.试问： (2)bn=|16-3nl= 3n-16,n≥6. 该款服装在社会上流行是否超过10天？请说 当n≤5时，Tm=a1十a2十…十an=Sm 明理由. 号0+9，且T=-3X+29X5-35； 解析(1)设从4月1日起该款服装的日 2 2 当n≥6时，Tn=T+(②+3n-16)m-5) 销售量构成数列{an}.由题意知，数列a,a2,…, 2 a12是首项为10，公差为15的等差数列，所以 33 重难点手册高中数学选择性必修第二册尺UA(浙江专用) am=15n-5(1≤n≤12且n∈N*). 2.数学文化背景下的等差数列求和问题 而a13,a14,a15,…,a30是首项为a13=a12 例13《张丘建算经》是我国古代内容极 9=166,公差为一9的等差数列，所以am= 为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女 166+(n-13)×(-9)=-9n+283(13≤n≤ 子不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一 尺，今三十日织迄，问织几何.”其大意为：有个 30且n∈N*). 女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的 15n-5(1≤n≤12且n∈N*), 所以an= 布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织 、-9十283(13≤n≤30且n∈N*). 完，问三十天共织布(). (2)4月份该款服装的总销售量为 A.30尺B.90尺C.150尺D.180尺 12(a,+a2）+18ag+18X17X(-9）= 解析由题意知，该女子每天织布的数量 2 构成等差数列{an},其中a1=5,a30=1, 12X(10+175)+18×166+18X×17X(-9) 2 2 “S=30X(5+1》=90,即该女子三十天 2 2721(件) 共织布90尺. (3)4月1日至4月12日的销售总量为 答案B S2= 12(a1+a22=12×(10+175) 2 易错警示 2 1110(件)<1200（件），S13=S12+166=1276 ●易错题5（错误率25%）(2025·湖北 (件)>1200（件）， 武汉二中月考)求和：1+3+5+…+(2n+ 1)= 故4月13日前该款服装在社会上还没有 ◆易错题6（错误率30%）(2025·湖南长 流行.由-9n+283<10,得n>0故从4月 沙调研)已知等差数列{a,}的通项公式为an= 21日开始该款服装在社会上不再流行，即该款 5n一105，当S.取最小值时，n= 参考答案见《全书易错题集》第2页 服装在社会上流行没有超过10天， 03一核心素养聚焦。 考向分类 45×3=95. 考向】等差数列前n项和的计算 答案95. 例14(2024·新课标Ⅱ卷)记S.为等差 命题意图：考查等差数列前n项和公式的 数列{an}的前n项和，若a3十a4=7,3a2十a5= 命题规律 应用以及运算求解这一关键能力 5,则S1= 真题探源：与教材第21页例6类似 解析因为数列{an}为等差数列，则由题 常考题型选填题难度系数0.7高考热度 ★★ a1+2d+a1+3d=7, 解得一4， 核心素养 数学运算 素养水平水平 意得 3(a1+d)+m1+4d=5 d=3, 考向2等差数列前n项和的最值问题 则Se=10a+10X91=10×(-4)+ 例15（经典·北京卷）设等差数列{am} 34