2026年中考数学复习解答题专项集训-三角形

2026年中考数学复习解答题专项集训之三角形 一．解答题（共20小题） 1．（2025•东明县二模）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，动点D以个单位每秒的速度沿B﹣A的线路运动，DE⊥BC交BC于点E．设运动时间为x秒，三角形BDE的周长记为y1，BC与BD的比值记为y2． （1）请直接写出y1、y2分别关于x的函数表达式，并注明x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象； （3）请结合函数图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）． 2．（2025•琼中县一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD为对角线，点E是边AB延长线上任意一点，连接DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G，BD＝6． （1）求证：△ABD≌△CBD； （2）求证：∠DBG＝90°； （3）求菱形ABCD的面积； 3．（2025•杭州模拟）综合与实践 某次“综合与实践”活动课主题为：研究课本133页作业题第二题的图形结构． 【图形结构再认识】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．小澈在分析这个图形后得出下列三个结论，请你选择其中任意一个证明．（若证明多个按照书写的第一个批改） ①AC•BC＝AB•CD；②sinA＝cosB；③AC2﹣BC2＝AD2﹣BD2． 【特殊情况研究】小澄发现，当图中的BC＝AD时，点D是AB的黄金分割点，请你说明理由． 【图形拓展深化】小澈发现，通过添加辅助线，可以得到一条线段的长度与的值相等，请你写出添辅助线的方法，保留作图痕迹，并指明是哪条线段，最后给出证明． 4．（2025•沙坪坝区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝8，D为BC中点，连接AD，AD＝6．动点E以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿折线B→D→A方向运动．动点F以每秒个单位长度的速度从点A出发，沿折线A→C→D→A方向运动，点E，F同时出发，到点A时停止运动，设运动时间为x秒，点E到AB的距离为y1，△ACD的周长与点F的运动路程之比为y2． （1）请直接写出y1，y2关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1≥y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 5．（2025•徐汇区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，点D是边AC的中点，点M、N是射线BD上的动点（点M在左边），以CM为一边作∠MCN＝∠ABC． （1）求BD的长； （2）当点M是△ABC的重心时，求CN：BN的值； （3）如果△MCN是以MN为腰的等腰三角形，求BM的长． 6．（2025•沙坪坝区校级一模）如图，在△ABC中，以AC为边在AC下方作等边△ACD． （1）如图1，BC与AD交于点M，过点M作MN⊥AC交AC于点N．若AD平分∠BAC，∠BCD＝15°，，求点M到直线AB的距离； （2）如图2，连接BD，点E为△ABC所在平面内一点，连接AE交BD延长线于点F，连接ED并延长交AB于点G，若AB＝DE，∠BAD＝∠CDE，∠CBD+∠ADG+∠CAF＝90°，求证：； （3）如图3，连接BD，△ABD为等腰直角三角形，∠ADB＝90°，点I是线段BC上一动点，连接IA，将IA绕点I顺时针旋转60°得到IA′，连接BA′，CA′．点P，Q分别是线段BA′，线段BA上的两个动点，BQ＝A′P，连接PQ，AP，点O是△BPQ的外心，点T是直线AC上一动点，连接OA，OC，OP，OT，当BA′和OP取得最小值且△COT与△BA′C相似时，请直接写出此时的值． 7．（2025•新吴区二模）【问题原型】在数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以BC为斜边作直角三角形BCD，点D，A在边BC同侧，BD与AC交于点O，连接AD，过A作AE⊥BD于点E．求证：BE＝CD+DE（请根据下面的要求完成证明）． 【解决问题】如图②，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BD上截取BF＝CD，连接AF，将线段BE、CD、DE之间的数量关系转化为线段DE与EF之间的数量关系．请根据上述解题思路写出证明BE＝CD+DE的完整过程． 【实践应用】 （1）∠ADC的大小为 　 　 度； （2）若O是AC的中点，且CD＝3，求四边形ABCD的面积． 8．（2025•琼中县一模）三亚南山海上观音是世界上最高的观音像．某数学实践小组利用所学的数学知识测量观音像的高度AB，如图，该数学实践小组在点C处测得观音像顶端A的仰角为45°，然后沿斜坡CD行走40m到点D处．已知∠ACD＝105°（点A，B，C，D在同一平面内）． （1）过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠DCE＝　 　 ；DE＝　 　 m； （2）求CE的长度． 9．（2025•洮南市模拟）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是CA延长线上的一点，EG∥AD，交AB于点F．求证：AE＝AF． 10．（2025•广州）如图，BA＝BE，∠1＝∠2，BC＝BD．求证：△ABC≌△EBD． 11．（2025•路北区二模）如图1是由边长为6cm和8cm的两个正方形拼成的图形，将该图剪成如图所示序号分别为①②③④⑤的五部分，再将它拼成一个大正方形（如图2）． （1）求大正方形的边长，并直接写出图1中等于大正方形边长的线段； （2）求证图1中△ADM≌△MEF； （3）求图1中线段BH的长． 12．（2025•延安模拟）如图，在四边形ABCD中，点E为边BC上一点，BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．求证：∠EAD＝∠EDA． 13．（2025•宁江区一模）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF． （1）求证：CF∥AB （2）若∠A＝70°，∠F＝35°，BE⊥AC，求∠BED的度数． 14．（2025•海南模拟）如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，AB＝DE，∠B＝∠E，线段BC与线段DF交于点G． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠BGF＝38°，∠A＝82°，求∠F的度数． 15．（2025•安徽模拟）如图，△ABC中，∠A＝90°，平面内有点D（点D和点A在BC的同侧），连接DC，DB，∠D＝45°，∠ABD+2∠ABC＝180°． （1）求证：； （2）若∠ABD＝30°，AB＝1，求线段AC的长． 16．（2025•姑苏区校级二模）如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC 于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF． （1）求证：AF＝AD； （2）若BF＝7，DE＝3，求CE的长． 17．（2025•新疆模拟）某学校的学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度． 【素材一】如图1，摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上．拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内． 【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2）． 【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为128米，半径为60米，该团队分成三组分别乘坐1号、4号和10号轿厢，当1号轿厢运动到摩天轮最高点时，三组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处D点，观测数据如表（观测误差忽略不计） 1号轿厢测量情况 4号轿厢测量情况 10号轿厢测量情况 【任务一】初步探究，获取基础数据 （1）如图3，设1号轿厢运动到最高点A时，4号轿厢位于B点，连接AO、BO，则∠AOB＝　 　 °； （2）求出1号轿厢运动到最高点时，4号轿厢所在位置B点的高度．（结果保留根号） 【任务二】推理分析，估算实际高度 （3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度DN．（结果用四舍五入法取整数，1.41） 18．（2025•西藏）用一副直角三角板按图（1）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知DC＝6cm，求四边形ABCD的面积（结果保留根号）． 19．（2025•巴中）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，点P是边AB中点，∠MPN＝90°，∠APN＝θ． （1）点N在线段AC上，点M在线段CB上． ①当θ＝45°时，CM的值是　 　 ； ②当0°＜θ＜90°时，求CM+CN的值； （2）点N在射线AC上，点M在射线CB上．当0°＜θ＜135°时，直线MN与射线PC相交于点F，若CM＝2CN，求的值． 20．（2025•韶关模拟）已知△ABC中AB＝BC，点D和点E是平面内两点，连接BD，DE和BE，∠BED＝90°． （1）如图1，若BD＝BA，∠ABC＝2∠D，BE＝2，求AC的长度； （2）如图2，连接AD和CD，点F为AD中点，点G为CD中点，连接EF和BG，若EF＝BG，求证：∠BAC＝∠DBE； （3）若∠ABC＝60°，AB＝2，当取得最小值，且AE取得最大值时，直接写出△BDE的面积． 2026年中考数学复习解答题专项集训之三角形 参考答案与试题解析 一．解答题（共20小题） 1．（2025•东明县二模）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，动点D以个单位每秒的速度沿B﹣A的线路运动，DE⊥BC交BC于点E．设运动时间为x秒，三角形BDE的周长记为y1，BC与BD的比值记为y2． （1）请直接写出y1、y2分别关于x的函数表达式，并注明x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象； （3）请结合函数图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）． 【考点】三角形综合题．版权所有 【专题】三角形；推理能力． 【答案】（1），； （2） （3）当y1＜y2时x的取值范围为0＜x＜2.9． 【分析】（1）先利用勾股定理求得BC＝5，，，在Rt△BDE中，，利用三角函数的定义求得，，据此求解即可； （2）列表，描点，连线，画出函数图象即可； （3）观察图象分析，找y2图象在y1图象上方及交点的部分． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC5， ∴，， ∵DE⊥BC， ∴∠BED＝90°，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）依题意，列表： x ⋯ 0 1 2 5 6 ⋯ y1 0 y2 ⋯ 10 5 2 ⋯ 描点，连线，函数图象如图所示， （3）由图象可知，当y1＜y2时x的取值范围为0＜x＜2.9． 【点评】本题主要考查了一次函数与几何结合问题、反比例函数的图象与性质、勾股定理及解直角三角形等内容，利用数形结合是解题的关键． 2．（2025•琼中县一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD为对角线，点E是边AB延长线上任意一点，连接DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G，BD＝6． （1）求证：△ABD≌△CBD； （2）求证：∠DBG＝90°； （3）求菱形ABCD的面积； 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；菱形的性质．版权所有 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD＝AD＝BC， 在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD（SSS）； （2）连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DKC＝90°，∠BCD＝2∠ACB，CD∥AB， ∴∠BCD＝∠CBE， ∵BG平分∠CBE， ∴∠CBE＝2∠CBG， ∴∠ACB＝∠CBG， ∴AC∥BG， ∴∠DKC＝∠DBG＝90°； （3）24． 【分析】（1）根据菱形的性质，利用边边边的定理证明即可； （2）如图2，连接AC交BD于点O，根据菱形的性质，平行线的性质，证明AC∥BG即可证明∠DBG＝90°； （3）利用勾股定理，菱形的性质计算即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD＝AD＝BC， 在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD（SSS）； （2）证明：连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DKC＝90°，∠BCD＝2∠ACB，CD∥AB， ∴∠BCD＝∠CBE， ∵BG平分∠CBE， ∴∠CBE＝2∠CBG， ∴∠ACB＝∠CBG， ∴AC∥BG， ∴∠DKC＝∠DBG＝90°． （3）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠AOB＝90°， ∴BO＝DO＝3，AO＝CO， ∴AO， ∴AC＝2AO＝2×4＝8， ∴． 【点评】本题考查了菱形的性质，角的平分线定义，平行线的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质是解题的关键． 3．（2025•杭州模拟）综合与实践 某次“综合与实践”活动课主题为：研究课本133页作业题第二题的图形结构． 【图形结构再认识】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．小澈在分析这个图形后得出下列三个结论，请你选择其中任意一个证明．（若证明多个按照书写的第一个批改） ①AC•BC＝AB•CD；②sinA＝cosB；③AC2﹣BC2＝AD2﹣BD2． 【特殊情况研究】小澄发现，当图中的BC＝AD时，点D是AB的黄金分割点，请你说明理由． 【图形拓展深化】小澈发现，通过添加辅助线，可以得到一条线段的长度与的值相等，请你写出添辅助线的方法，保留作图痕迹，并指明是哪条线段，最后给出证明． 【考点】三角形综合题．版权所有 【专题】几何综合题；推理能力． 【答案】（1）见详解； （2）是，理由见详解； （3）线段CF，证明见详解． 【分析】（1）根据∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，得∠DCB＝∠A，证明△ACB∽△CDB；再结合∠DCB＝∠A，故，根据在Rt△CDB中，；运用勾股定理得AC2﹣BC2＝CD2，AD2﹣BD2＝CD2，结合CD2＝CD2，则AC2﹣BC2＝AD2﹣BD2即可作答． （2）先证明△ACD∽△CBD，再运用，故，结合BC＝AD，整理得AD2＝AB×BD，即可作答．（3）作AB的垂直平分线，则AB的垂直平分线与AB的交点为点E，连接CE，过D作CE的垂线交CE于点F，证明△DEF∽△CED，得，则ED2＝CE×EF，根据CE2﹣ED2＝CB2﹣BD2，所以CE×CF＝BD×AD，运用CE代入化简，即可作答． 【解答】解：（1）①证明如下：∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵CD⊥AB于点D， ∴∠CDB＝90°， ∴∠DCB+∠B＝90°， ∴∠DCB＝∠A， ∴△ACB∽△CDB， ∴， ∴AC•BC＝AB•CD； ②∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵CD⊥AB于点D， ∴∠CDB＝90°， ∴∠DCB+∠B＝90°， ∴∠DCB＝∠A， ∴sin∠A＝sin∠DCB， ∴在Rt△CDB中，， ∴sinA＝cosB； ③∵CD⊥AB于点D， ∴在Rt△ACD中，AC2﹣BC2＝CD2， ∴在 Rt△BCD中，AD2﹣BD2＝CD2； ∴AC2﹣BC2＝AD2﹣BD2； （2）∵CD⊥AB于点D， ∴∠ADC＝∠CDB＝90°， 由（1）得∠DCB＝∠A， ∴△ACD∽△CBD， ∴， 由（1）得， ∴CB2＝AB•BD， ∵BC＝AD， ∴AD2＝AB•BD， ∴点D是AB的黄金分割点； （3）作AB的垂直平分线，则AB的垂直平分线与AB的交点为点E，连接CE，过D作CE的垂线交CE于点F，CF即为所求线段； 在Rt△ABC中，点E是AB的中点， ∴． 由（2）得CB2＝AB×BD， ∵CF⊥CE，∠DFE＝∠CDE＝90°， ∵∠DEF＝∠DEF， ∴△DEF∽△CED， ∴， 则ED2＝CE•EF，CE2﹣ED2＝CD2＝CB2﹣BD2， ∴CE2﹣ED2＝CB2﹣BD2， ∴CE2﹣CE•EF＝AB•BD﹣BD2， 则CE（CE﹣EF）＝BD（AB﹣BD）， ∴CE•CF＝BD•AD， 则， ∴， ∴， ∵AB＝AD+BD， ∴． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．（2025•沙坪坝区校级一模）如图1，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝8，D为BC中点，连接AD，AD＝6．动点E以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿折线B→D→A方向运动．动点F以每秒个单位长度的速度从点A出发，沿折线A→C→D→A方向运动，点E，F同时出发，到点A时停止运动，设运动时间为x秒，点E到AB的距离为y1，△ACD的周长与点F的运动路程之比为y2． （1）请直接写出y1，y2关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出y1≥y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【考点】三角形综合题．版权所有 【专题】一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】（1）y1，y2（0＜x≤6）； （2）函数y1的一条性质：当x＝3时，y1有最大值是4（答案不唯一）； （3）0＜x≤2.1或5.1≤x≤6． 【分析】（1）先根据直角三角形斜边中线的性质得：CD＝BD＝6，计算△ACD的周长＝20，分两种情况根据三角函数计算即可； （2）根据描点法可得函数y1，y2的图象，写出函数y1的一条性质：①当0≤x≤3，y1随x的增大而增大；②当x＝3时，y1有最大值是4（答案不唯一）； （3）根据图象可得y2在y1的上边可得x的取值范围． 【解答】解：（1）过点E作EG⊥AB于点G， ∵∠CAB＝90°，D为BC的中点， ∴ADBC， ∵AD＝6， ∴BC＝12， ∴BD＝CD＝6， ∴△ACD的周长＝8+6+6＝20， ∴y2； 分两种情况： ①当0≤x≤3时，点E在BD上，如图1， ∵sinB， ∴， ∴y1x； ②当3＜x≤6时，点E在AD上，如图2， ∵AD＝BD， ∴∠DAB＝∠B， ∴sin∠DAB＝sinB， ∴， ∴， ∴y1＝8x； 综上，y1，y2（0＜x≤6）； （2）函数y1，y2的图象如图2所示， 函数y1的一条性质：当x＝3时，y1有最大值是4（答案不唯一）； （3）根据函数图象，当y1≤y2时x的取值范围是0＜x≤2.1或5.1≤x≤6． 【点评】本题是三角形的综合题，考查了解直角三角形，一次函数的图象与性质，反比例的图象与性质等知识，正确地画出函数的图象是解题的关键． 5．（2025•徐汇区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，点D是边AC的中点，点M、N是射线BD上的动点（点M在左边），以CM为一边作∠MCN＝∠ABC． （1）求BD的长； （2）当点M是△ABC的重心时，求CN：BN的值； （3）如果△MCN是以MN为腰的等腰三角形，求BM的长． 【考点】三角形综合题．版权所有 【专题】几何综合题；三角形；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【分析】（1）过A、D作BC的垂线，垂足分别为E、F，通过解直角三角形求出CF，BF，利用勾股定理求出DF，即可解答； （2）连接AM并延长交BC于点H，根据题意得到AM是BC的垂直平分线，证明△NCD∽△NBC，列出比例式即可解答； （3）若△MCN是以MN为腰的等腰三角形，分以下两种情况，①当MN＝NC时，证明△DMC∽△DCB，求出DM，即可解答；②当MN＝MC时，证明△BCD∽△BNC，求得BN，NC，过M作MH⊥NC，垂足为H，求出MN，即可解答． 【解答】解：（1）如图，过A、D作BC的垂线，垂足分别为E、F， ∵AB＝AC，AE⊥BC，AB＝AC，BC＝2， ∴CEBC＝1，cosC， ∵点D是边AC的中点， ∴CD， 在Rt△CFD中，cos，CD， ∴， ∴BF＝BC﹣CF＝2， ∴DF1， 在Rt△BDF中，BD； （2）如图，连接AM并延长交BC于点H， ∵点M是△ABC的重心， ∴点M是△ABC的三条中线的交点， ∴AH是△ABC的中线， ∵AB＝AC， ∴AM是BC的垂直平分线， ∴BM＝CM， ∴∠1＝∠4， ∵∠1+∠2＝∠2+∠3， ∴∠1＝∠3， ∴∠3＝∠4， ∵∠N＝∠N， ∴△NCD∽△NBC， ∴， ∴CN：BN； （3）若△MCN是以MN为腰的等腰三角形，分以下两种情况， ①当MN＝NC时，如图， ∵∠1+∠2＝∠3+∠2， ∴∠1＝∠3， ∵MN＝NC， ∴∠NMC＝∠2+∠3， ∵∠NMC＝∠1+∠4， ∴∠2＝∠4， ∵∠MDC＝∠CDB， ∴△DMC∽△DCB， ∴， ∴， ∴DM， ∴BM＝BD﹣DM； ②当MN＝MC时，如图， ∴∠MCN＝∠MNC， ∵∠ACB＝∠MCN， ∴∠ACB＝∠MNC， ∵∠BCD＝∠BCN， ∴△BCD∽△BNC， ∴， 即， ∴BN，NC， 过M作MH⊥NC，垂足为H， ∵MC＝MN， ∴NH， ∵cosN＝cos∠MCN＝cos∠ACB， ∴MN， ∴BM＝BN﹣MN； 综上，BM为或． 【点评】本题考查三角形的综合应用，主要考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 6．（2025•沙坪坝区校级一模）如图，在△ABC中，以AC为边在AC下方作等边△ACD． （1）如图1，BC与AD交于点M，过点M作MN⊥AC交AC于点N．若AD平分∠BAC，∠BCD＝15°，，求点M到直线AB的距离； （2）如图2，连接BD，点E为△ABC所在平面内一点，连接AE交BD延长线于点F，连接ED并延长交AB于点G，若AB＝DE，∠BAD＝∠CDE，∠CBD+∠ADG+∠CAF＝90°，求证：； （3）如图3，连接BD，△ABD为等腰直角三角形，∠ADB＝90°，点I是线段BC上一动点，连接IA，将IA绕点I顺时针旋转60°得到IA′，连接BA′，CA′．点P，Q分别是线段BA′，线段BA上的两个动点，BQ＝A′P，连接PQ，AP，点O是△BPQ的外心，点T是直线AC上一动点，连接OA，OC，OP，OT，当BA′和OP取得最小值且△COT与△BA′C相似时，请直接写出此时的值． 【考点】三角形综合题．版权所有 【专题】三角形；几何直观． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）或2． 【分析】（1）利用等边三角形和角平分线的性质，结合直角三角形的边角关系求解； （2）通过构造全等三角形和特殊角度的直角三角形，转化线段关系； （3）利用等边三角形、等腰直角三角形的性质及旋转特性，结合相似三角形面积比． 【解答】（1）解：∵△ACD是等边三角形， ∴∠CAD＝60°，AD＝AC1， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠CAD＝120°，∠BAD＝∠CAD＝60°， 在△ACD中，∵MN⊥AC，⊥CAD＝60°， ∴∠AMN＝30°， 设AN＝x，那么AM ＝ 2x，MNx，NC1﹣x， ∵△ACD是等边三角形，∠ACD＝60°，又∠BCD＝15°， ∴∠ACB＝75°． 在△CMN中， ∵∠CMN＝180°﹣∠MNC﹣∠MCN＝180°﹣90°﹣75°＝15°， ∴∠CMN＝∠BCD，则MC＝NC1﹣x， ∵AC＝AM+MC， ∴1＝2x1﹣x， 解得x＝1， ∵AD平分∠BAC，MN⊥AC， ∴点M到AB的距离等于MN， MN， 故点M到直线AB的距离为． （2）解：在AF上截取FH＝DF，连接DH． ∵△ACD是等边三角形， ∴AC＝AD，∠CAD＝60°， ∵∠BAD＝∠CDE，AB＝DE，AD＝CD， ∴△ABD≌DEC，则BD＝EC，∠ABD＝∠DEC， ∵∠CBD+∠ADG+∠CAF＝90°，∠ADG＝∠CDE+∠ADB，且∠ADB+∠CAD+∠ACD＝180°， ∴△ACD是等边三角形，∠CAD＝∠ACD＝60°，∠ADB＝60°， ∵FH＝DF，∠ADB＝60°， ∴△DFH是等边三角形，DH＝DF，∠FDH＝60°， ∵∠ADC＝60°， ∴∠ADH＝∠CDF， ∵AD＝CD，DH＝DF， ∴△ADH≌△CDF，则AH＝CF． ∵△ABD≌△DEC， ∴DE＝AB，BD＝EC， 且∠EDC+∠CDE+∠ADB＝180°，∠ADB＝60°． 在∠DEC中，过D作DM⊥EC于M．设DE＝a， ∵∠DEC＝30°， ∴DC＝AD，EC＝BD，CF＝AH． ∵△DFH是等边三角形， ∴AF＝AH+FH，FH＝DF， 延长BD到K，连接AK， ∵DK＝DF， ∴△ADK≌△CDF． ∵△ABD≌△DEC， ∴∠BAK＝30°，∠AKB＝30°，AKAB． ∵AK＝CF，AB＝DE，BD+DK＝BD+DF， ∴DE﹣BD＝2DF； （3）解：∵△ACD是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠ADB＝90°， 将IA绕点I顺时针旋转60°得到IA'， ∴△II'A'是等边三角形． ∵点O是△BPQ的外心，BQ＝A'P， ∴当BA'取得最小值时，AI⊥BC． 设AD＝BD＝a， 则ABa，ACa． ∵△BPQ的外心O， ∴当OP取得最小值时，△BPQ的形状确定， ∵△COT∽△BA'C，设AB＝2， ∴AD＝BD，AC＝2， ∵△II'A'是等边三角形，BQ＝A'P，△BPQ外心O， ∴或2． 【点评】本题是一道综合性强、设计精妙的拔高题，既注重基础知识点的考查，又强调对复杂问题的分析与转化能力． 7．（2025•新吴区二模）【问题原型】在数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以BC为斜边作直角三角形BCD，点D，A在边BC同侧，BD与AC交于点O，连接AD，过A作AE⊥BD于点E．求证：BE＝CD+DE（请根据下面的要求完成证明）． 【解决问题】如图②，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BD上截取BF＝CD，连接AF，将线段BE、CD、DE之间的数量关系转化为线段DE与EF之间的数量关系．请根据上述解题思路写出证明BE＝CD+DE的完整过程． 【实践应用】 （1）∠ADC的大小为 　135　 度； （2）若O是AC的中点，且CD＝3，求四边形ABCD的面积． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】【解决问题】见解析； 【实践应用】（1）135； （2）27． 【分析】【解决问题】通过证明△ABF≌△ACD（SAS）即可得出结论； 【实践应用】（1）：利用三角形全等得到AD＝AF，∠ADC＝∠AFB，∠BAF＝∠CAD，结合三角形内角和定理求出∠AFE的度数进而求出结果； （2）通过证明△AEO≌△CDO（AAS）得到AE＝CD＝3，通过求出角的度数得到∠FAE＝∠AFE，利用等腰三角形的性质即可得出BF＝CD＝AE＝FE＝ED＝3，结合三角形面积公式求出结果即可． 【解答】【解决问题】证明：如图②，在BD上截取BF＝CD，连接AF， ∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AOB＝∠COD， ∴∠ABF＝∠ACD， 在△ABF和△ACD中， ， ∴△ABF≌△ACD（SAS）， ∴AF＝AD， ∵AE⊥DF， ∴FE＝DE， ∵BE＝BF+EF， ∴BE＝CD+DE； 【实践应用】解：（1）∵△ABF≌△ACD， ∴AD＝AF，∠AFB＝∠ADC，∠BAF＝∠CAD， ∵∠BAC＝∠BAF+∠FAO＝90°， ∴∠FAD＝∠CAD+∠FAO＝90°， 在Rt△AFD中，∠AFE（180°﹣∠FAD）＝45°， ∴∠ADC＝∠AFB＝180°﹣∠AFE＝180°﹣45°＝135°， 故答案为：135； （2）解：∵O是AC中点， ∴AO＝CO， ∵AE⊥BD，CD⊥BD， ∴∠AEO＝∠BDC＝90°， 在△AEO与△CDO中， ， ∴△AEO≌△CDO（AAS）． ∴AE＝CD＝3， 由（1）得∠AFE＝45°， ∴∠FAE＝180°﹣∠AFE﹣∠AEF＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∴∠FAE＝∠AFE， ∴FE＝AE， ∵AE是等腰△AFD的高， ∴FE＝ED， ∵BF＝CD， ∴BF＝CD＝AE＝FE＝ED＝3， ∴BD＝BF+FE+ED＝3+3+3＝9， ∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCDBD×AEBD×CD9×39×3＝27． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 8．（2025•琼中县一模）三亚南山海上观音是世界上最高的观音像．某数学实践小组利用所学的数学知识测量观音像的高度AB，如图，该数学实践小组在点C处测得观音像顶端A的仰角为45°，然后沿斜坡CD行走40m到点D处．已知∠ACD＝105°（点A，B，C，D在同一平面内）． （1）过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠DCE＝　30°　 ；DE＝　20　 m； （2）求CE的长度． 【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】（1）30°，20； （2）． 【分析】（1）首先由∠DCE＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD解得∠DCE的值，然后根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”，即可获得答案； （2）在Rt△DCE中，由勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝45°，∠ACD＝105°， ∴∠DCE＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD＝180°﹣45°﹣105°＝30°， 在Rt△DCE中，CD＝40m， ∴． 故答案为：30°，20； （2）∵在Rt△DCE中，CD＝40m，DE＝20m， ∴， ∴CE的长度为． 【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形、勾股定理等知识，正确理解题意是解题关键． 9．（2025•洮南市模拟）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是CA延长线上的一点，EG∥AD，交AB于点F．求证：AE＝AF． 【考点】等腰三角形的判定；平行线的性质．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据角平分线的性质得到∠BAD＝∠CAD，由平行线的性质得到∠AFE＝∠BAD，∠E＝∠CAD，等量代换得到∠AFE＝∠E，即可得到结果． 【解答】证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵GE∥AD， ∴∠AFE＝∠BAD，∠E＝∠CAD， ∴∠AFE＝∠E， ∴AE＝AF 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 10．（2025•广州）如图，BA＝BE，∠1＝∠2，BC＝BD．求证：△ABC≌△EBD． 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】证明见解析． 【分析】由∠1＝∠2，得到∠ABC＝∠EBD，即可证明△ABC≌△EBD（SAS）． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠EBC＝∠2+∠EBC， ∴∠ABC＝∠EBD， 在△ABC和△EBD中， ， ∴△ABC≌△EBD（SAS）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS． 11．（2025•路北区二模）如图1是由边长为6cm和8cm的两个正方形拼成的图形，将该图剪成如图所示序号分别为①②③④⑤的五部分，再将它拼成一个大正方形（如图2）． （1）求大正方形的边长，并直接写出图1中等于大正方形边长的线段； （2）求证图1中△ADM≌△MEF； （3）求图1中线段BH的长． 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力． 【答案】（1）10cm；FM、AM； （2）证明：由（1）得，AM＝FM＝10cm， 根据正方形的性质得，∠D＝∠E＝90°， ∴∠AMD+∠DAM＝90°， 由图2可得，∠AMD+∠EMF＝90°， ∴∠DAM＝∠EMF， 在△ADM和△MEF中， ， ∴△ADM≌△MEF（AAS）； （3）． 【分析】（1）先计算图1的面积为62+82＝100cm2，利用大正方形的面积等于图1的面积，求出大正方形的边长，再结合图2，即可写出图1中等于大正方形边长的线段； （2）利用全等三角形的判定即可证明； （3）利用全等三角形和正方形的性质得到DM＝EF＝8cm，通过证明△MCH∽△MDA得到，代入数据求出CH的长，即可求出BH的长． 【解答】（1）解：∵图1是两个正方形拼成的图形，它们的边长分别为6cm和8cm， ∴图1的面积＝62+82＝36+64＝100cm2， 又∵大正方形的面积等于图1的面积， ∴大正方形的边长为， 由图2得，序号①部分的斜边、序号③④部分的斜边都等于大正方形的边长， ∴图1中等于大正方形边长的线段为FM、AM． （2）证明：由（1）得，AM＝FM＝10cm， 又∵∠D＝∠E＝90°， ∴∠AMD+∠DAM＝90°， 由图2可得，∠AMD+∠EMF＝90°， ∴∠DAM＝∠EMF， 在△ADM和△MEF中， ， ∴△ADM≌△MEF（AAS）． （3）解：由（2）得，△ADM≌△MEF， ∴DM＝EF＝8cm， ∴CM＝DM﹣DC＝8﹣6＝2cm， ∵CH∥DA， ∴△MCH∽△MDA， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了以弦图为背景的计算、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 12．（2025•延安模拟）如图，在四边形ABCD中，点E为边BC上一点，BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．求证：∠EAD＝∠EDA． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】∵∠B＝∠AED， ∵∠AEC＝∠AED+∠DEC，∠AEC＝∠B+∠BAE， ∴∠DEC＝∠BAE． ∵BE＝CD， 在△BAE与△CED中， ， ∴△BAE≌△CED（AAS）， ∴EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA． 【分析】利用∠B＝∠AED＝∠C得到∠DEC＝∠BAE可得△BAE≌△CED，即可解答． 【解答】证明：∵∠B＝∠AED， ∵∠AEC＝∠AED+∠DEC，∠AEC＝∠B+∠BAE， ∴∠DEC＝∠BAE． ∵BE＝CD， 在△BAE与△CED中， ， ∴△BAE≌△CED（AAS）， ∴EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练证明三角形全等是解题的关键． 13．（2025•宁江区一模）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF． （1）求证：CF∥AB （2）若∠A＝70°，∠F＝35°，BE⊥AC，求∠BED的度数． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】证明题；图形的全等；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）求出△AED≌△CEF，根据全等三角形的性质得出∠A＝∠ACF，根据平行线的判定得出即可； （2）根据（1）求出∠A＝∠ACF，根据三角形内角和定理求出即可． 【解答】（1）证明：∵E为AC中点， ∴AE＝CE， 在△AED和△CEF中， ， ∴△AED≌△CEF（SAS）， ∴∠A＝∠ACF， ∴CF∥AB； （2）解：∵∠A＝∠ACF＝70°，∠F＝35°， ∴∠AED＝∠CEF＝180°﹣70°﹣35°＝75°， ∵BE⊥AC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BED＝90°﹣75°＝15°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 14．（2025•海南模拟）如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，AB＝DE，∠B＝∠E，线段BC与线段DF交于点G． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠BGF＝38°，∠A＝82°，求∠F的度数． 【考点】全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理．版权所有 【专题】图形的全等；几何直观；推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）60°． 【分析】（1）先证明∠A＝∠EDF，再根据全等三角形的判定ASA可证得结论； （2）先平行线的性质得到∠B＝∠BGF＝38°，再根据三角形的内角和定理求出∠ACB，最后根据全等三角形的性质即可解答． 【解答】（1）证明：∵AB∥DF， ∴∠A＝∠EDF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）； （2）解：由（1）知：△ABC≌△DEF， ∴∠F＝∠ACB． ∵AB∥DF，∠BGF＝38°，∠A＝82°， ∴∠B＝∠BGF＝38°， 在三角形ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝60°， ∴∠F＝∠ACB＝60°． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 15．（2025•安徽模拟）如图，△ABC中，∠A＝90°，平面内有点D（点D和点A在BC的同侧），连接DC，DB，∠D＝45°，∠ABD+2∠ABC＝180°． （1）求证：； （2）若∠ABD＝30°，AB＝1，求线段AC的长． 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．版权所有 【专题】图形的全等；运算能力；推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）作CL⊥DB交DB的延长线于点L，先证明△CLD是等腰直角三角形，再证明∠LBC＝∠ABC，接着证明△LBC≌△ABC（AAS），得到LB＝AB，借助，得证； （2）先计算出∠ABC＝75°，∠ACB＝15°，在AC上取一点H，连接BH，使BH＝CH，算得∠AHB，然后在Rt△AHB中利用30度所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理算得答案． 【解答】（1）证明：如图，作CL⊥DB交DB的延长线于点L， 则∠L＝∠A＝90°， ∵∠D＝45°， ∴∠LCD＝∠D＝45°， ∴CL＝DL， ∵∠ABD+∠ABC+∠LBC＝180°，∠ABD+2∠ABC＝180°， ∴∠ABD+∠ABC+∠LBC＝∠ABD+2∠ABC， ∴∠LBC＝∠ABC， 在△LBC和△ABC中， ， ∴△LBC≌△ABC（AAS）， ∴LB＝AB， ∵， ∴． （2）解：∵∠ABD+2∠ABC＝180°，∠ABD＝30°， ∴30°+2∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝75°，∠ACB＝15°， 在AC上取一点H，连接BH，使BH＝CH， 则∠HBC＝∠ACB＝15°， ∴∠AHB＝∠HBC+∠ACB＝30°， ∵AB＝1， ∴BH＝CH＝2AB＝2， ∴， ∴， ∴线段AC的长是． 【点评】本题考查了等腰直角三角形得性质，勾股定理，三角形全等得判定与性质，30度所对得直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 16．（2025•姑苏区校级二模）如图，四边形ABCD中，AB＝AC，∠D＝90°，BE⊥AC 于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF． （1）求证：AF＝AD； （2）若BF＝7，DE＝3，求CE的长． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【专题】图形的全等；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）证出∠AED＝∠AEF，由角平分线的性质可得出结论； （2）证明Rt△ABF≌△RtACD（HL），由全等三角形的性质可得出BF＝CD＝7，则可得出答案． 【解答】（1）证明：∵∠D＝90°， ∴AD⊥DE， ∵EA平分∠DEF， ∴∠AED＝∠AEF， 又∵AF⊥EF， ∴AF＝AD； （2）解：在Rt△ABF和△RtACD中， ， ∴Rt△ABF≌△RtACD（HL）， ∴BF＝CD＝7， ∵DE＝3， ∴CE＝CD﹣DE＝7﹣3＝4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 17．（2025•新疆模拟）某学校的学习团队计划在摩天轮上测量一座写字楼的高度． 【素材一】如图1，摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上．拟测算的写字楼与摩天轮在同一平面内． 【素材二】自制工具：使用直角三角板教具和铅锤，制作测角仪器（如图2）． 【素材三】若学生身高和轿厢大小忽略不计，如图3，摩天轮的最高高度为128米，半径为60米，该团队分成三组分别乘坐1号、4号和10号轿厢，当1号轿厢运动到摩天轮最高点时，三组队员同时使用测角仪观测写字楼最高处D点，观测数据如表（观测误差忽略不计） 1号轿厢测量情况 4号轿厢测量情况 10号轿厢测量情况 【任务一】初步探究，获取基础数据 （1）如图3，设1号轿厢运动到最高点A时，4号轿厢位于B点，连接AO、BO，则∠AOB＝　45　 °； （2）求出1号轿厢运动到最高点时，4号轿厢所在位置B点的高度．（结果保留根号） 【任务二】推理分析，估算实际高度 （3）根据观测数据，计算写字楼的实际高度DN．（结果用四舍五入法取整数，1.41） 【考点】三角形综合题．版权所有 【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）45； （2）B点的高度为（68+30）米． （3）写字楼的实际高度DN约为82米． 【分析】（1）由题可知，“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中∠AOB包含了3个桥厢，因此∠AOB360°＝45°； （2）过点B作BE⊥AO于点E，由题可知，点A此时的高度为最高为128米，半径为60米，因此O点高度为68米，根据BE⊥AO，∠AOB＝45°，可得OE＝OB•cos45°＝30，即可； （3）连接OB，OC，BC，由素材1，素材3可得∠COB＝90°，∠OBC＝∠AOB＝45°，则BC＝60，过点D作DF⊥BC于点F，令BF＝n，由素材2，3得：DF＝5BF＝5n，CFDF＝2n，可得BC＝603n，即n＝20，因此F点的高度为：6868+1082（米），即可． 【解答】解：（1）连接AO、BO，如图1所示： ∵“海之跃”摩天轮共有24个轿厢，均匀分布在圆周上，其中∠AOB包含了3个桥厢， ∴∠AOB360°＝45°， 故答案为：45； （2）过点B作BE⊥AO于点E，如图2， ∵点A此时的高度为最高为128米，半径为60米， ∴O点高度为68米， ∵BE⊥AO，∠AOB＝45°， ∴OE＝OB•cos45°＝30， ∴B点的高度为（68+30）米， 答：B点的高度为（68+30）米； （3）连接OB，OC，BC，如图3， 由素材1，素材3可得∠COB＝90°，∠OBC＝∠AOB＝45°， 则BC＝60，过点D作DF⊥BC于点F， 令BF＝n，由素材2，素材3的4号轿厢测量情况和10号轿厢测量情况得：DF＝5BF＝5n，CFDF＝2n， ∴BC＝603n，即n＝20， ∴F点的高度为：6868+1082（米）， 答：写字楼的实际高度DN约为82米． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了勾股定理的应用，锐角三角形函数，解直角三角形等，熟练掌握勾股定理和余弦定理的运用是解题的关键． 18．（2025•西藏）用一副直角三角板按图（1）的位置摆放，抽象成如图（2）的示意图，已知DC＝6cm，求四边形ABCD的面积（结果保留根号）． 【考点】三角形的面积；含30度角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形．版权所有 【专题】三角形；运算能力． 【答案】（54+18）cm2． 【分析】根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”求出BC，在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD，根据等腰三角形的判定与性质、在Rt△ABD中利用勾股定理求出AB、AD，再利用三角形面积公式，根据四边形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BDC的面积计算即可． 【解答】解：∵DC＝6cm，∠DBC＝30°，∠BDC＝90°， ∴BC＝2DC＝2×6＝12（cm）， 在Rt△BDC中利用勾股定理，得BD6， ∵∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴AB＝AD（设为x cm）， 在Rt△ABD中利用勾股定理，得AB2+AD2＝BD2，即2x2＝（6）2， 解得x1＝3，x2＝﹣3（舍去）， ∴AB＝AD＝3cm， ∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDCAB•ADBD•DC3366＝（54+18）（cm2）． 【点评】本题考查三角形的面积、含30度角的直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形，掌握“在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形面积计算公式是解题的关键． 19．（2025•巴中）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠C＝90°，点P是边AB中点，∠MPN＝90°，∠APN＝θ． （1）点N在线段AC上，点M在线段CB上． ①当θ＝45°时，CM的值是　2　 ； ②当0°＜θ＜90°时，求CM+CN的值； （2）点N在射线AC上，点M在射线CB上．当0°＜θ＜135°时，直线MN与射线PC相交于点F，若CM＝2CN，求的值． 【考点】三角形综合题．版权所有 【专题】几何综合题；推理能力． 【答案】（1）①2；②4； （2）． 【分析】（1）①根据三角形中位线定理结合矩形的判定与性质求解；②连结CP，证明△APN≌△PCM（ASA），得出CM＝AN，可推出结果； （2）分两种情况，画出如答图所示图形，分别求解． 【解答】解：（1）①如图， ∵AC＝BC＝4，∠C＝90°， ∴∠B＝45°， 又∵θ＝45°，点P是边AB中点， ∴PN∥BC， ∴PN，∠PNC＝∠C＝∠NPM＝90°， ∴四边形PMCN是矩形， ∴CM＝PN2， 故答案为：2； ②连结CP， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4， ∴∠A＝45°， 又∵点P为AB的中点， ∴CP⊥AB＝AP，∠PCM＝∠A＝45°， ∴θ+∠2＝90°， 又∵∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝θ， ∴△APN≌△PCM（ASA）， ∴CM＝AN， ∴CM+CN＝AN+CN＝AC＝4； （2）解：第一种情况如图所示．设CN＝x．则CM＝2x．（0°＜θ＜90°） ∴2x+x＝4． ∴x， ∴CM＝2x， 过点P作PH⊥BC于H交MN于点G， ∴， ∴， 又∵∠ACB＝90°， ∴PH∥AC． ∴， ∴， ∴， 又∵PH∥AC， ∴； 第二种情况：如图所示，90°≤θ＜135°．连接PM、PN， 则θ＝90°不成立， 由（1）可知：△PMB≌△PCN（ASA）， ∴BM＝CN， ∴CM﹣CN＝CM﹣BM＝BC＝4， 又∵CM＝2CN， ∴CN＝4．CM＝8． ∴MH＝6，CH＝2．CN＝4， ∴ ∴， ∴PG＝PH+HG＝2+3＝5， 又∵PH⊥BC．∠ACB＝90°， ∴PG∥AC， ∴． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，注意分类讨论是解（2）的关键． 20．（2025•韶关模拟）已知△ABC中AB＝BC，点D和点E是平面内两点，连接BD，DE和BE，∠BED＝90°． （1）如图1，若BD＝BA，∠ABC＝2∠D，BE＝2，求AC的长度； （2）如图2，连接AD和CD，点F为AD中点，点G为CD中点，连接EF和BG，若EF＝BG，求证：∠BAC＝∠DBE； （3）若∠ABC＝60°，AB＝2，当取得最小值，且AE取得最大值时，直接写出△BDE的面积． 【考点】三角形综合题．版权所有 【专题】压轴题；运算能力；推理能力． 【答案】（1）4； （2）证明过程详见解析； （3）． 【分析】（1）过点B作BH⊥AC交AC于点H，证明△AHB≌△BED（AAS）即可求解； （2）取BD的中点T，连接TE，TF，TG，根据中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出△TFE≌△TBG（SSS），再证明△TBE∽△TFG，得出∠EBT＝∠GFT，进而即可得证； （3）将△BDC绕点B顺时针转60°得到△BD′A，将△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△BA'D'，连接AA'，根据，当G，F、D、C四点共线时，GC最小，进而确定E的位置，根据点E在O为圆心，为半径的圆上运动，由点到圆上的距离关系，得出当AE取得最大值时，E在AO的延长线上，连接OF，过点E作ES⊥BD于点S，进而解直角三角形，求得SE的长，根据三角形面积公式，即可求解． 【解答】（1）解：如图所示，过点B作BH⊥AC交AC于点H， ∵△ABC中，AB＝BC， ∴∠AHB＝90°，∠ABC＝2∠ABH，AC＝2AH， ∵∠BED＝90°，∠ABC＝2∠D， ∴∠AHB＝∠BED，∠ABH＝∠D， 又∵BD＝BA， ∴△AHB≌△BED（AAS）， ∴AH＝BE＝2， ∴AC＝2AH＝4； （2）解：如图所示，取BD的中点T，连接TE、TF、TG、FG， 又∵F，G是AD，DC， ∴，，FG∥AC，FT∥AB， ∵AB＝BC， ∴FT＝TG， ∵∠BED＝90°，T为BD的中点， ∴TE＝BT， 在△TFE和△TBG中， ， ∴△TFE≌△TBG（SSS）， ∴∠FTE＝∠GTB， ∴∠FTE﹣∠GTE＝∠GTB﹣∠GTE，即∠FTG＝∠ETB， 又∵FT＝TG，TE＝EB，即， ∴△TBE∽△TFG， ∴∠EBT＝∠GFT， ∵FG∥AC，FT∥AB， ∴∠TFB＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠DBE； （3）解：∵△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， 如图所示，将△BDC绕点B顺时针转60°得到△BD′A，将△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△BAD，连接AA'， ∴BD＝BD'，∠DBD'＝60°，AB＝A'B，AB∥AC，则△DBD'是等边三角形，△A'AB是等边三角形， ∵CD＝AD'，AA'＝AC， 取BD'，BA'的中点F，G，则FGA'D'， ∵F是BD的中点， ∴DF⊥BD，， ∴， ∴当G，F，D，C四点共线时，GC最小，此时如图所示， ∴GC⊥BD'， ∵A'D'∥GF， ∴A'D'⊥B'D'， ∴△A'D'B是直角三角形， ∴△ABD是直角三角形， ∴AD⊥BD， ∵∠BDD'＝60°， ∴∠D'DA＝30°， ∴， 设CD＝a，则AD'＝a，AD＝2a， 在Rt△ADD'中，， ∵△BDD'是等边三角形， ∴， 在Rt△ABD中，AB＝2， ∴AB2＝AD2+BD2， ∴， 解得：， ∴，， 取BD的中点O，连接AO，OE， ∵∠BED＝90°， ∴点E在O为圆心，为半径的圆上运动， ∴， 当AE取得最大值时，E在AO的延长线上，连接OF，过点E作ES⊥BD于点S， 在Rt△AOD中，， ∴， ∴sin∠AOD， ∴SE＝sin∠SOE×OE＝sin∠AOD×OE， ∴△BDE的面积为． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，旋转的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，相似三角形的性质与判定，加权费马点问题，点与圆的位置关系，直径所对的圆周角是直角；熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $