10.1 随机事件与概率-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习册（人教A版）

思维过程 (1)根据样本数据在[160,165]范围内的占比易求得女 生总体在此范围内的人数。 (2)先利用加权平均数公式求出总样本的平均数X, 再利用混合样本的方差公式计算S2,最后对：，0进行计算 即可 18.(1)样本中“阅读爱好者”的出现频率为(0.16十0.10+0.06)× 0.5=16%, “阅读爱好者”的人数为200×16%=32（万）， “读书迷”人数为200×(0.06×0.5)=6（万）， 所以32万“阅读爱好者”中，“读书迷”约有6万人。 (2)由题意知，至多有45%的成年人每天读书时长少于a, 即找到45%分位数. 因为0.5×0.72=0.36<45%， 0.5×(0.72+0.44)=0.58>45%, 所以0.72×0.5+0.44×(a-0.5)=45%, 可得a一裂0.。 即参考标准a不能高于0.7小时. (③)阅谈爱好者中非“读书迷”约有26(1-)万人， “读书迷”约有61-n千)万人， 令2s16）+61-n千) =32-13In z_6In 5hx+17≤20， 化简得13(lnx)2+113lnx-660≥0， 郁得h2<一管或h4,所以≥e, 所以会费参数x至少定为e时，才能使入会的人员不超过 20万人 19.(1)由频率分布直方图得一刀宣纸有正牌100×0.1×4= 40(张)，副牌100×0.05×4×2=40（张）， 废品100×0.025×4×2=20（张）， 所以该公司一刀宣纸的利润的估计值为40×15十40×8一 20×20=520(元)， 所以估计该公司的年利润为520万元 (2)由频率分布直方图得元=42×0.025×4+46×0.05× 4+50×0.1×4+54×0.05×4+58×0.025×4=50. 由表格数据可得一刀宣纸中正牌的张数估计为 100×0.6827=68.27(张)， 54 废品的张数估计为100×(1-0.9545)=4.55（张）， 副牌的张数估计为100X(0.9545-0.6827)=27.18(张)， 所以一刀宜纸的利润为68.27×12+27.18×5-4.55×20= 864.14(元)， 10000刀宣纸的利润为10000×864.14=8641400（元）= 864.14(万元)， 所以购买这种机器后该公司的年利润为864.14一100= 764.14(万元)， 因为764.14>520，所以建议该公司购买这种机器 第十章概率 10.1随机事件与概率 变式训练 [变式1门（从集合角度分析）令“只订甲报”为①，“只订乙报”为 ②，“订甲、乙两种报”为③，“一种报纸也不订”为④，则样本 空间2={①，②，③，④}. (1)A={①}，C={①，②，④}，A∩C=A,所以A与C不是 互斥事件： (2)B={①，②，③}，B∩C={①，②}，所以B与C不是互斥 事件。 (3)D={②，④}，B∩D={②}，所以B与D不是互斥事件 (4)E={④}，B∩E=心，BUE=2,所以B与E是对立事件 (5)A∩E=⑦，但AUE={①，④}≠2，所以A与E是互斥 事件，但不是对立事件. [变式2]记“得到红球”为事件A,“得到黑球”为事件B,“得到 白球”为事件C,“得到绿球”为事件D,显然事件A,B,C,D 彼此互斥，则由题意可知，PCA)=子， ① PB+C)=P(B+P(C=高 ② P(C+D)=P(C)+P(D)- ③ 由事件A和事件B十C十D是对立事件可得 P(A)=1-P(B+C+D)=1-[P(B)+P(C)+P(D)], 即P(B)+P(C+P(D)=1-PA)=I-}-号④ 联立@③④可得P(B)=,P(C)=石，P(D)=, 一运用了方程思想，利用互斥事件的概率加法公式列出相关等 式，通过解方程组求出相关嫉率， 111 即得到黑球、白球，绿球的概率分别是4,6,4 基础过关练 1.D[试验F的样本空间2={(A,C),(A,D),(A,E),(B,C), (C,D),(C,E),(D,E),(A,B,C),(A,B,D),(A,B,E), (A,C,D),(A,C,E),(A,D,E),(B,C,D),(B,C,E), (B,D,E)(C,D,E),(A,B,C,D),(A,B,C,E),(A,B,D,E), (A,C,D,E),(B,C,D,E),(A,B,C,D,E)},共有23个样 本点.] 2.ABD [选项正误 原因 事件A:选出的两人是1个男生和1个女生，或 者是2个女生，事件D:选出的两人是2个女生， 所以D二A 事件C和事件E均为选出的两人是1个男生和 B 1个女生 事件D与事件E不包含相同的样本点，故D∩ C E=财 事件B:选出的两人是1个男生和1个女生，或 D 者是2个男生，BUD包含了样本空间中所有的 样本点，故BUD=2 3.ABC[记3个红球分别为A,B,C,2个蓝球分别为a,b,则 =AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab). 选项正误 原因 A “取不到红球”的有{b),概率为0 、1 “取出的两球均为红色”的有{AB,AC,BC},概率 B L 为高 “至多取到一个红球”的有{Aa,Ab,Ba,Bb,Ca, C L 0o61,瓶库为日 “取出一个红球、一个蓝球”的有{Aa,Ab,Ba,Bb, D Ca,Cb,概率为亏 4.D[设三人能力分别为强，中，弱，则三人参加面试的次序 为（强，中，弱），（强，弱，中），（中，强，弱），（中，弱，强）， (弱，中，强)，（弱，强，中），总数n=6.按“不录用第一个接受面 试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力强，就录用第 二个人，否则就录用第三个人”的规定，该公司录用到能力最 强的人包含的结果有（中，强，弱），（中，弱，强），（弱，强，中）， 共3种情况，所以该公司录用到能力最强的人的概率p= 名该公司录用能力中等的人包含的结果有强，弱，中， (弱，中，强)共2种情况，所以该公司录用到能力中等的人的 概率g-号-合门 5手.[三位数的回文数为ABA,A有1到9共9种可能，即 1B1,2B2,3B3,…,B有0到9共10种可能，即A0A,A1A, A2A,A3A,·,则共有9×10=90（个）.其中A是偶数，共4种 可能，即2B2,4B4,6B6,8B8,B共有0到9共10种可能，即 A0A,A1A,A2A,A3A,…,共有4X10=40(个)，所以三位 数的回文数中，偶数的藏率P一铝-言] 综合提能练 1.A[不超过16的素数有2,3,5,7,11,13，随机选取两个不同 的数的基本事件有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)，(3， 5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11), (7,13),(11,13),其和等于16的事件有(3,13)，(5,11)，所 以概率为P=品] 2.CD [选项正误 原因 因为中奖名额不限，当A发生时，B也可能发 A 生，即A与B不为互斥事件 B 当B发生时，若甲中奖，则C也能发生 A∩B为甲、乙都中奖，C为甲、乙都不中奖， C A∩B与C不可能同时发生，即A∩B与C为 互斥事件 A∩B为甲、乙都不中奖，C为甲、乙中至少有 D 人中奖，A∩B与C不可能同时发生，且(A∩ B)UC为必然事件，即A∩B与C为对立事件] 3.BC [选项正误 原因 “所需时间小于50min”与“所需时间为60min A 是互斥但不对立事件 线路一所需的平均时间为30×0.5十40×0.2+ 50X0.2+60×0.1=39(min),线路二所需的平 B 均时间为30×0.3+40×0.5+50×0.1+60× 0.1=40(min),所以线路一比线路二更节省时间 走线路一上班所需时间超过30min的概率为 C 0.2+0.2+0.1=0.5(或1-0.5=0.5) 线路一所需时间小于45min的概率为0.5+ 0 × 0.2=0.7,线路二所需时间小于45min的概率 为0.3十0.5=0.8，因而小张应该走线路二 4令[马，到、成功四个字的笔画数分别为38,65，只需 考虑A,B两个方格的填法.若不考虑笔画数的多少，则A, B两个方格有16种填法.要使填人A方格的字的笔画数多 55 于B方格的字的笔画数.则从马、到、成、功中选两个字，笔 画数多的放入A格，笔画数少的放入B格，有（到，马），（成， 马)，（功，马），（到，成），（到，功），（成，功），共6种，故所求概 率为号号] 5.①②④.[①“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”不 能同时发生，是互斥事件，故①正确.②“至少有1件正品”和 “全是次品”，不能同时发生，是互斥事件也是对立事件，故② 正确.③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”都包含“恰 有一件正品和一件次品”，不是互斥事件也不是对立事件，故 ③不正确.④“至少有1件次品”和“全是正品”不能同时发 生，是互斥事件也是对立事件，故④正确.] 思维过程 不能同时发生的两个事件为互斥事件，如果两个事件 为互斥事件，且其中必有一个发生，即为对立事件，对选项 一一判断，即可得到正确结论， 63,9 5510 [把3道选择题记为x1,x2,x3,把2道判断题记 为p1,p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有(x1,p1), (x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,1),(x3,p2),共6种 “甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有(p1,x1),（p1, x2),(p1,x3),(p2x1),(p2,x2),(p2,x3),共6种；“甲、乙 都抽到选择题”的情况有(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2, x3),(x3,x1),(x3,x2),共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情 况有(p1,p2),(p2,p1),共2种.因此基本事件的总数为6十 6+6+2=20. 记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A,则P(A)=0 6 记“甲抽到判断题，乙抽到选择题”为事件B,则P(B)= 3 易品放“甲，乙两人中有一人抽到选择题，另一人抽到判 断题“的概率为PA+B)=PA)十P(B)=品+品-号 记“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”为事件C,则C为 甲，乙两人都轴到判断题？由题意得P(C)=易-0：故 “甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为P(C)=1一 p©=1-0-品 7.(1)由频率和为1得(0.005+0.010+0.025十a+0.020)× 10=1,解得a=0.040. 设综合评分的平均数为x, 56 则x=10×(55×0.005+65×0.010+75×0.025+85×0.040+ 95×0.020)=81, 所以综合评分的平均数为81. (2)由题意抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有 2个， 一等品记为a,b,c,非一等品记为D,E. 从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间 =ab,ac,aD,aE,bc,6D,bE,cD,cE,DE),n()=10. 记事件A=“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”， A={aD,aE,6D,bE,cD,cE,DE),n(A)=7, 所以所求的概率为P(A)=0 7 (3)由题意知，落在[50,60)的频率为0.05，落在[60,70)的 频率为0.1， 0.05 0.1 所以2=0.05+0.X54+0.05+0.X63=60, 0.05 0.1 =0.0510.3+(54-60)2]+0.05+0.3+(63-60)] =21. 培优突破练 7 112 [抛两枚骰子，所有的情况有36种，因为x,y,3构成 三角形的三边长，所以有|x一y|<3<x十y. 先考虑x=y,则有5种情况：x=y=2,3,4,5,6. 再考虑x<y的情况，若x=1,则y=3;若x=2,则y=3,4; 若x=3,则y=4,5;若x=4,则y=5,6;若x=5,则y=6. 共有8种情况. 同理，x>y时，亦有8种情况. 所以符合条件的共有5+2×8=21种情况， 故概率为P-器-品] 2.BC[对于题图(1)，图中出现了△ABC,则该三角形必然有 一条边的两个顶点分在一个子集内，这显然不符合二部图的 定义，题图(4)也是如此，所以图(1)与图(4)不是二部图，除 若图形中出现三角形，刚不是二部图，不能满足图中的 每一条边上的两个关联结点分别在V,和V2中 了这两个图，其他四个图都是二部图，例如，对于图(3)，当 V1={E,H,K,J},V2={F,G,I,L}时，图中的每一条边的 一个关联结点在V1中，另一个关联结点必在V2中 对于图(5)，当V1={W,X},V2={T,U,V}时，图中的每一 条边的一个关联结点在V1中，另一个关联结点必在V2中， 从这六个图中任选两个，所有的选择为{(1)，(2)}，{(1)，(3)}， {(1),(4)},{(1),(5)},{(1),(6)},{(2),(3)},{(2),(4)}, {(2),(5)},{(2),(6)},{(3),(4)},{(3),(5)},{(3),(6)}, {(4),(5)},{(4),(6)},{(5),(6)},共15种， 这两个图都是二部图的选择共有6种，这两个图至少有一个 是二部图的选择共有14种，这两个图不都是二部图的选择 共有9种，这两个图恰有一个是二部图的选择共有8种， 62 故这两个图都是二部图的概率为一，故A错误这两个 图至少有一个是二部图的概率为普，故B正确，这两个图不 都是二部图的救率为品-子放C正确这两个因恰有-个 是二部图的概率为，故D错误] 10.2事件的相互独立性 变式孤练 [变式1们记事件A:表示“电流能通过T:”,i=1,2,3,4, 事件A表示“T1,T2,T3中至少有一个能通过电流”， 事件B表示“电流能在M与N之间通过”， (1)A=A1A2A3,A1,A2,A3相互独立， 所以P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3) =(1-P)3 又P(A)=1-P(A)=1-0.999=0.001, 所以(1-P)3=0.001,解得P=0.9. (2)因为B=A4十A4A1A3十A4A1A2A3,(切勿遗漏)】 所以P(B)=P(A4)十P(A4A1A3)+P(A4A1A2A3) 电流通过T1,T3时，是否通过T2不影响电路的畅通 =P(A4)+P(A4)P(A1)P(A3)+P(A4)P(A1)· P(A2)P(A3) =0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9 =0.9891. 基础过关练 1.A 2BC[因为PAB)=号≠0，所以事件A与B能同时发生， 故事件A与B不是互斥事件，A错误，B正确；因为P(A)= 号，所以PA)=},又P(B)=},所以PAB)=PA) P(B)成立，所以事件A与B相互独立，故C正确，D错误. 故选BC.] 3.A[设5个箱子分别被断开的事件为A,B,C,D,E,则由 题意知P(A)=号，P(B)=3P(C)=,P(D)=, P(E)=日，所以前两个箱子畅通的概率为2×号-=了，所 以不畅通的概率为P(0=1一号号，则的三个箱子畅道 的概率为1-P00P(C)=1-号×}-1日日后两 个箱子畅通的概率为1-PCD)P(E)=1-号×日1一动 1 -器所以当开关合上时，电路畅通的概率是器×吾 29 29 36J 思维过程 前两个箱子为串联线路，求出它们不畅通的概率，利用 对立事件的概率求出前3个畅通的概率，后2个箱子为并 联线路，求出它们不畅通的概率，前3个箱子和后2个箱子 又是串联线路，利用独立事件同时发生的概率公式，即可求 电路畅通的概率， 4【4个人都有完成任务的概率为子×××日 4个人中有3个没有完成任务的概率为子×合×号× 1 12-8] 少2人完成任务的概率为1一24一9=72 综合提能练 利用对立事件的概单计第公式能 求出至少2人完成任务的板率 1.B[因为至少通过一个社团考核的概率为，所以三个社 团考核都没有通过的概率为，依题意有 1 1 3mn=24' mn= 8 即 1-m(-3）1-n)=, 3 1-(m+n)+mm=8, 解得m十n= ,即他通过书法或轮滑社团考核的概率为子.] 3 2.AC 选项正误 原因 第一次抛掷的点数对第二次没有影响，故A与B A 相互独立 因为抛掷该正四面体两次共有16个样本点且 AC=1,3,所以P(A)=子，P(C)=0 B PAC)=i16,P(A)P(C)≠P(AC),所以A与 C不相互独立 57第十章 10.1随机 A基础过关练 测试时间：20分钟 1.[题型1]现有如表所示的五项运动供选择，记试 验F“某人运动的总时长大于或等于60min的 运动组合方式”，则该试验中样本点的个数为 ) 类型A运动B运动C运动D运动E运动 时长30min20min40min30min30min A.7 B.6 C.10 D.23 2.[题型2]（多选）从5个女生和4个男生中任选 两人参加某项活动.若事件A一“至少有一个女 生”，事件B=“至少有一个男生”，事件C=“恰 有一个男生”，事件D=“两个都是女生”，事件 E=“恰有一个女生”，则(). A.DCA B.C=E C.D∩E≠必 D.BUD=0 3.[题型3]（多选）有5个形状、大小相同的球，其 中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个 球，则下列说法中正确的是( A“取不到红球”的概率为0 取出的两球均为红色”的概率 C“至多取到一个红球”的概率为。】 D“取出一个红球和一个蓝球”的概率为} 4.[题型4](2025·湖南雅礼中学单元检测)有能 力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序 依次接受面试，经理决定“不录用第一个接受面 试的人，如果第二个接受面试的人比第一个能力 强，就录用第二个人，否则就录用第三个人”，记 该公司录用到能力最强的人的概率为p,录用到 能力中等的人的概率为q,则(p,q)=(). A(后，)（分，）C(2,)D.(2,) 概率 事件与概率 5.[题型4]数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中 有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可 以逆读.数学中有回文数，如343,12521等，两 位数的回文数有11,22,33，…，99共9个，则三 位数的回文数中，偶数的概率是 B综合提能练 。测试时间：30分钟 1.[题型4](2025·浙江五校联考)哥德巴赫猜想 是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的 和”，如16=3+13，在不超过16的素数中，随机选 取两个不同的数，其和等于16的概率是(). 2 A.15 B员 c D房 2.[题型2]（多选）甲、乙两人参加某商场举行的抽 奖活动，中奖名额不限，设事件A为“甲中奖”， 事件B为“乙中奖”，事件C为“甲、乙中至少有 一人中奖”，则( ) A.A与B为互斥事件 B.B与C为对立事件 C.A∩B与C为互斥事件 D.A∩B与C为对立事件 3.[题型4]（多选）小张上班从家到公司开车所需 时间（单位：min)随交通堵塞状况有所变化，其 概率如下表所示， 所需时间/min 30 40 50 60 线路一 0.5 0.2 0.2 0.1 概率 线路二 0.3 0.5 0.1 0.1 则下列说法正确的是( ). A.任选一条线路，“所需时间小于50min”与“所 需时间为60min”是对立事件 B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节 省时间 C.若某天只能走线路一，上班所需时间超过 30min的概率为0.5 D.如果要求在45min以内从家赶到公司，小张 53 铺重难点手册高中数学必修第二册RJA 应该走线路 4.[题型4]在如图所示的每个小方格中填入一个 字，可以是马、到、成、功四个字中的任何一个，允 许重复，则填人A方格的字的笔画数多于B方 格的字的笔画数的概率为 5.[题型2]从一堆产品（正品与次品都多于2件） 中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列 说法： ①“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”是 互斥事件； ②“至少有1件正品”和“全是次品”是对立事件； ③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”是互 斥事件但不是对立事件； ④“至少有1件次品”和“全是正品”是互斥事件 也是对立事件， 其中正确的有 (填序号). 6.[题型3、4幻甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有 5题，选择题3道，判断题2道，甲、乙两人各抽 一题.甲、乙两人中有一人抽到选择题，另一人抽 到判断题的概率是 ,甲、乙两人中至少 有一人抽到选择题的概率是 7.[题型4、5]为了估计一批产品的质量状况，现对 100个产品的相关数据进行综合评分（满分 100分)，并制成如图所示的频率分布直方图.记 综合评分为80分及以上的产品为一等品. 个频率/组距 0.025 0.020 0.010 0.005 05060708090100综合评分分 (1)求图中a的值，并求综合评分的平均数； (2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随 机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取 5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个 54 产品记录有关数据，求这2个产品中最多有 1个一等品的概率； (3)已知落在[50,60)的平均综合评分是54，方 差是3，落在[60,70)的平均综合评分为63， 方差是3，求落在[50,70)的总平均综合评分 之和总方差s2. C培优突破练 ●测试时间：10分钟 1.(经典·复旦大学强基计划)抛两枚质 地均匀的骰子，向上的点数分别为x, y,则x,y,3能够构成三角形三边长的 概率为 2.(2025·南京大学强基计划训练)（多 选)若图G的关联结点（加黑的粗点） 构成的点集记为V,V可划分为两个子 集V1和V2,V1∩V2=必，V1UV2=V,且图中的 每一条边的一个关联结点在V1中，另一个关联 结点必在V2中，则将图G称为二部图.现有下 列六个图，若从这六个图中任选两个，则(). (1) (2) (3) (4) (5) (6) A.这两个图都是二部图的概率为5 B,这两个图至少有一个是二部图的概率为 4 C这两个图不都是二部图的概率为号 D,这两个图恰有-个是二部图的概率为号