9.2 用样本估计总体&9.3 统计案例公司员工的肥胖情况调查分析-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习册（人教A版）

9.2 用样 9.3统计案例 公司员 A基础过关练 。测试时间：20分钟 1.[题型2](2025·湖北宜昌一中单元检测)疫情 期间，为了贯彻“停课不停学”的理念，唐老师组 织学生参与了一次网络在线考试，并计算出本次 考试中全体学生的平均分为85，方差为58.后来 有两名学生反映，自己的成绩登记错误，一名学 生的成绩为100分，登记成了80分，另一名学生 的成绩为70分，登记成了90分.唐老师对这两 名学生的成绩进行更正后，得到平均分为x,方 差为s2,则(). A.x=85,s2>58 B.x=85,s2<58 C.x>85,s2<58 D.x=85,s2=58 2.[题型1]某保险公司为客户定制了5个险种： 甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险； 丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相 关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种 的参保客户进行抽样调查，得到如下统计图： ≥54周岁8% 参保费用/元 7000 6000 53周岁 5000 29 4000 033%20% 3000 2000 39% 1000 30~41周岁 0 分≥54 SQ年龄段周岁 参保人数比例 不同年龄段人均参保费用 比例 0.55 0.33 0.09 0.02 0.01E☐ 0甲乙丙丁戊险种 参保险种比例 用样本估计总体，以下四个选项正确的是( A.42~53周岁的参保人数最多 B.随着年龄的增长，人均参保费用越来越低 第九章统计 本估计总体 工的肥胖情况调查分析 C.30周岁以上的参保人数约占总参保人数的 20% D.丁险种最受参保人青睐 3.[题型3、4](2025·浙江金华一中月考)某市 6月1日至14日的空气质量指数变化趋势如图 所示，空气质量指数不大于100表示空气质量优 良，空气质量指数大于200表示空气重度污染， 下列说法不正确的是( 空气质量指数 180 160 163158 140 120 122116 100 102 102 80 76 60 65 55 53387…52 2 33 0 1234567891011121314日期 日日日日日日日日日日日百日日 A.该14天空气质量指数的中位数为78.5 B.该14天空气质量指数的第30百分位数为55 C.该14天空气质量指数的平均值大于100 D.计算连续3天空气质量指数的方差，其中 6日到8日的方差最大 4.[题型2]（多选）某高中有学生500人，其中男生 有300人，女生有200人，学校希望获得全体学 生的身高（单位：cm)信息，按照分层随机抽样的 方法抽取了容量为50的样本.经计算得到男生 身高的样本均值为170，方差为17；女生身高的 样本均值为160，方差为30.下列说法中正确的 是(). A样本中男生的人数为30 B每个女生入样的概率均为号 C.所有样本的均值为166 D.所有样本的方差为22.2 5.[题型2](2025·湖北武钢三中单元检测)有 5个数，它们的平均数为2,50%分位数为3，众 数为4，这五个数可以是 45 铺重难点手册高中数学必修第二册RJA 6.[题型3](2025·湖北部分学校联考)某市举行 “中学生诗词大赛”，某校有1000名学生参加了 比赛，从中抽取100名学生，统计他们的成绩（单 位：分)，并进行适当的分组（每组为左闭右开的 区间)，得到的频率分布直方图如图所示，则估计 该校学生成绩的80%分位数为 4频率/组距 0.0125 0.0075 0.0050 0.0025 30507090110130150成绩/分 B,综合提能练 测试时间：30分钟 1.[题型2](2025·江西九江一中月考)在某学校 开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三年级 派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组各有 10位选手.记录参赛人员失分（均为非负整数） 情况，若小组的每位选手失分都不超过7分，则 该组为“优秀小组”，已知选手失分数据信息如 下，则一定为“优秀小组”的是( A.甲组中位数为3，极差为5 B.乙组平均数为2，众数为2 C.丙组平均数为2，方差为3 D.丁组平均数为2，第85百分位数为7 2.[题型1们将某城市一月份从各气象采集点处得 到的平均气温（单位：℃）的数据制成频率分布直 方图，如图所示，图中有一处因污迹看不清.已知 各采集点的平均气温范围是[20.5,26.5]，且平 均气温低于22.5℃的采集点个数为11，则平均 气温不低于25.5℃的采集点个数为(). ↑频率/组距 0.26 0.22 0.18 0.10 20.521.522.523.524.525.526.5平均气温/℃ A.6 B.7 C.8 D.9 46 3.[题型4幻“学习强国”平台设立了“助农”栏目实 施对口扶贫，销售各种农产品.根据2023年全年 某农产品的销售额（单位：万元）和该产品的销售 额占总销售额的百分比，绘制出了如图所示的双 层饼图.根据双层饼图（季度和月份后面标注的 是销售额或销售额占总销售额的百分比)，下列 说法错误的是( 12月，6%1月，6% 11月 2月 第四季度 第一瘦 3月，11% 10月，12% 28% 260 第卡季度第二季度 9月，6% 166 300 4月，8% 8月Y 7月，5% 5月，10% 6月，12% A.第三季度的销售额为160万元 B.2月份的销售额为90万元 C.12个月的月销售额的众数为60万元 D.12个月的月销售额的极差为60万元 4.[题型2](2025·湖北襄阳四中期末)（多选）已 知样本甲：x1,x2,x3,…,xm与样本乙：y1y2, y3,…,ym满足y:=2x十1(i=1,2,…,n),则 下列叙述中错误的是(). A.样本乙的极差等于样本甲的极差 B.样本乙的众数大于样本甲的众数 C.若某个x:为样本甲的中位数，则y:是样本 乙的中位数 D.若某个x:为样本甲的平均数，则y:是样本 乙的平均数 5.[题型2](2024·浙江宁波镇海中学单元检测) 科研人员在某实验中采集了10个样本数据，这 10个数据的平均数为6，方差为3.后来又增加 了一个数据6，则这11个数据组成的新样本的 方差为 6.[题型2](2025·浙江杭州外国语学校期末)已 知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽 取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m, x,S;n,y,S.记总的样本平均数为m,样本方 差为S2. （0求证.面nm开n十m: m十n (2)求证：S2=1{m[S+(x-0)2]+n[S号 mtn +(y-0)2]}; (3)现已知某高中共有学生1400人，其中男生 800人，体重平均数66kg,方差为180，女生 600人，体重平均数为52kg,方差为90，求出 该校所有学生体重的平均数和方差. 第九章统计 C培优突破练 。测试时间：10分钟 1.(2025·湖北黄冈中学调研考试)已知 样本数据x1,x2,…,xn的平均数x与 方差s2满足如下关系式： 2(x-x)2 xi-n i-1 i-1 若已知15个数x1,x2,…,x15的平均数为6，方 差为9，现从原15个数中剔除x1,x2,x3,x4,x 这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方 差为5，则剩余的10个数x6,x7,…,x15的方差 为 47则x:y:之=0.425(a+b+c):0.475(a+b+c):0.1(a+ b+c)=17:19:4. (2)依题意得n×0.75×0.5=75,解得n=200, 故抽到的A会场的学生总数为50人， 则抽到的A会场高一年级人数为50×50%=25（人）， 高二年级人数为50×40%=20（人）， 高三年级人数为50×10%=5（人）. 思维过程 (1)设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a,b,c, 列表表示出去A,B会场的各年级人数，由此可得比例x: y之的值 (2)由B会场的高二学生人数求得样本容量n,按比例 求得抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数即可 培优突破练 1.(1)不可以估计总体平均数， 需要知道第1,2,3层中分别包含的个体数A,B,C,或第1， 2,3层中分别抽取的个体数a,b,c, A B 则总体平均数的估计式为A+B+C元+A+B+C)+ C A+8+c或a+6++a+6++a+6+e (2)样本平均数为十m四十区 1+m+n +n+n工++m+n+ 1+m+n2, 77 在分层随机抽样中吃一对-及牛十品， L M N 所以L+M+N2+L+M+N+L+M+N2=+m+n云+ m 机 1+m+nJ十+m+n2 思维过程 (1)依据平均数的含义和分层随机抽样的概念即可判 断无法估计总体平均数，需补充三层个体数A,B,C,或者 样本量分别为a,b,c,即可估计总体平均数. (2)利用估计总体平均数的过程即可证得结果。 9.2用样本估计总体 9.3统计案例公司员工的肥胖 情况调查分析 变武孤练 [变式1门C[对于A,因为前3组的频率之和为0.06十0.12+ 0.18=0.360.5,前4组的频率之和为0.36十0.30=0.66>0.5， 所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1050,1100)， 故A不正确.对于B,100块稻田中亩产量低于1100kg的 稻田所占比例为6+12+18+30×100%=6%，故B不正 100 确.对于C,因为1200-900=300,1150-950=200，所以 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间，故 C正确.对于D,100块稻田亩产量的平均值为100×(925× 6+975×12+1025×18+1075×30+1125×24+1175× 10)=1067(kg),故D不正确.] 基础过关练 1.A2.D 求一组数据的中位数、百分位数，一般 都接由小到大的顺序排列 3.C[对于A,将14天的空气质量指数由小到大排列为33， 38,52,53,55,65,76,81,102,102,116,122,158,163,所以该 14天空气质量指数的中位数为76十81-78.5，故A正确，对 2 于B,因为14×30%=4.2，所以该14天空气质量指数的第 30百分位数为55，故B正确，对于C,云=4×(122+102+ 116+81+163+158+76+33+102+65+53+38+55+52)≈ 87,则该14天空气质量指数的平均值小于100，故C错误. 对于D,由题图可知，连续3天空气质量指数中6日到8日 也可根据给出的数据直接计算出方差比较大小 的数值波动最大，即方差最大，故D正确.] 4AC[对于A由题意得样本中男生有职×300=0（人）。 故A正角：对于B每个女生入样的概率为职-。放B错 误；对于C,由分层随机抽样知样本中男生有30人，女生有 20人，所有样本的均值为170X30+160X20=166,故C正 50 确；对于D,设样本中男生的身高分别为x1,x2,…,x0,平 均数元=170，s径=17，样本中女生的身高分别为y1y2,…, y20,平均数y=160,s号=30，总体的平均数为元=166，方差 为则-动2,156+,-166门，因为 立a,-166P=2[,-10+a0-16=立a 170+270-16)+22z-170)170-166,而 z-170170-16)=4X(2,-30X10)=0,所 以2-16-2-170+a0-1860r= 0X17+×30-=0同理可得6-160-6 02t2160-16)2=20×30+62×20=1320,所 49 g=0×(90+1320)=46.2,故D错误] 5.一3,2,3,4,4（答案不唯一）. 6.122.[根据频率分布直方图可知，成绩在130分以下的学 生所占比例为1一0.0050×20=0.9，成绩在110分以下的 学生所占比例为1一(0.0125+0.0050)×20=0.65，因此 80%分位数一定位于[i1o,130内，由10+20×是88g 122,可估计该校学生成绩的80%分位数为122.] 综合提能练先假设一个与条件矛盾的例子存在，再推理 严说明是这类题的常用方法 1.C[A选项，假设存在选手失分超过7分，令最高失分为8 分，根据极差为5，得到最低失分为3分，此时中位数可以为 3,故假设可以成立，故A错误.B选项，假设乙组的失分情况 为0,0,1,1,2,2,2,2,2,8，满足平均数为2，众数为2，但该组 不为“优秀小组”，故B错误.C选项，设丙组的失分情况从小 到大排列依次为x1,x2,…,x10,丙组平均数为2，方差为3， 即(x1一2)2十(x2-2)2+…十(x10-2)2=30,若x10=8,则 (x10一2)2=36>30，不合要求，故x10≤7，所以该组每位选 手失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，故C正确.D选 项，85%×10=8.5，故从小到大第9个数为第85百分位数， 即从小到大第9个数为7，假设丁组失分情况为0,0,0,0,0， 0,0,5,7,8,满足平均数为2，第85百分位数为7，但不是“优 秀小组”，故D错误.] 2.D[由题图可知，平均气温在[21.5,22.5)和[22.5,23.5)的 频率相等，且组距为1，所以平均气温在[21.5,22.5)的频率 是1-(0.10+0.18,0.22+0.26)X1=0.12,低于2.5℃ 2 的频率是0.10十0.12=0.22，又平均气温低于22.5℃的采 11 集点个数是1，所以样本容量为0.22-50，则平均气温不低 于25.5℃的采集点个数为0.18×50=9.] 260+300 3.D[由题意可知，总销售额为1-16%°28%=1000（万 元)，则第三季度的销售额为1000×16%=160（万元），A正 确；2月份的销售额为260一1000×(6%+11%)=90（万 元)，B正确；易得8月份和11月份的销售额占总销售额的百 分比分别为16%-5%-6%=5%，28%-12%-6%=10%， 则12个月的月销售额依次为60万元、90万元、110万元、 80万元、100万元、120万元、50万元、50万元、60万元、 120万元、100万元、60万元，则12个月的月销售额的众数 为60万元，C正确；12个月的月销售额的极差为120-50= 70(万元)，D错误.] 4.ABD[由题意知，样本乙的极差不等于样本甲的极差，故 50 A错误.样本乙的众数不一定大于样本甲的众数，故B错误。 因为y:=2x十1，所以y:关于x:递增，所以若x:为样本 甲的中位数，则y:也为样本乙的中位数，故C正确.若某个 x:为样本甲的平均数，则y:不一定是样本乙的平均数，故 D错误.] 思维过程 因为y=2x3十1是关于x的增函数，所以若某个x:为 样本甲的中位数，则y:是样本乙的中位数，但是样本乙的 极差不一定等于样本甲的极差，样本乙的众数不一定大于 样本甲的众数；若某个x:为样本甲的平均数，但y:不一定 是样本乙的平均数 30 57·[设十x2十十=6则x1+x2++x=60,于是 10 新样本的平均数元=十2++20十6=6，新样本的方差 11 2=tx-到+(，-到+…+(。-+(6-门 -9×b[4,-6y+a,-6r++m-6+6 6]-×3-器] 6.(1)由题意得，在分层随机抽样中，第一层抽取了m个样本， 其数据记为x1,x2,…,xm, 则第一层样本数据总和为 之x:=m9 第二层抽取了n个样本，其数据记为y1y2,…,ym, 则第二层样本数据总和为∑y=应. 总的样本数据总和为宫十会 yj=mz+ny, 总的样本量为m十n. 根据样本平均数的定义，总的样本平均数西一总样本量 总数据和 m+n=m+, m十nm十nm+n 故正-年计n十n皮立 2)由题意得，样本方益s-十n[分云一)十 含， 对于第-层数银，展开平方项公么一回-习【4，-刀 +G-=月a,+G-西会a动十 m(元-)2， 由于2x,-)=成i=-0, 因此上式可化简为空红，西-m十G-可 同理，第二层数据满足y一0)=nS十nG-一0 将两层结果代入总方差公式S-m十，[mS+mG-02十 nS号+ny-)2], 故S2的表达式成立. (3)已知男生人数m=800,平均数元=66，方差S=180, 女生人数n=600,平均数据y=52,方差S=90, 总人数m十n=1400. 则西什+如 m十n 800 600 =1400×66+1400×52 =号×6+号×0 264+156_420=60(kg), 7 7 因为x-0=66一60=6，y-0=52-60=一8. 1 所以S-1400{800×180+6)+600×[90+(-8)]》 1 =1400[800×(180+36)+60×(90+64)] 一1400[800×216+600×154] =1400172800+9240]=26520_1326 1 1400 7 归纳总结 总体方差和标准差 (1)总体方差和标准差：若总体中所有个体的变量值分 别为Y1,Y2,…,YN,总体的平均数为了，则称S2= 是户0出-刀为总体方盖，5=V尽为总体据准盖 (2)总体方差的加权形式：若总体的N个变量值中， 不同的值共有k(≤N)个，不妨记为Y1,Y2,…,Y,其 中Y:出现的频数为f:(i=1,2,…,k),则总体方差为S2= 员2x-别 培优突破练 1.8.[因为15个数x1,x2,…,x15的平均数为6，方差为9， 之2=15×6 故s2= 15 =9,解得月 x=675.又因为x1, x2,x3,x4,x6这5个数的平均数为8，方差为5，故 空-5x 5 =5得=35，所以=65 345=330.又因为21十x++25=6,4十x2十十3 15 5 8,故x6十x7十…十x15=50.所以剩余的10个数x6,x7,…, 6的平均数为6十2十+型=5，所以剩余的10个数 10 x6x7,…,x5的方差为 党x-10×5 =8.] 10 第九章单元学能测评 1.B2.B3.D4.C5.B 6.D[设增加的两个未知数分别为x,y,原来的8个数分别为 a1,a2,…,a8,则a1十a2十…十ag=64,a1十a2+…十ag十x +3y=90,所以x十y=26.因为{立(a,-8=12,即 8 空a,-8=96,则a-9y+-9+g 9]=a--22a-8+8+红-9》+ g9]-+y-202又因为≥- 2 13(当2=y=8时，取=号》，即得+y≥38，所以+ y2-202)≥13.6，即新的样本数据的方差最小值为13.6.] 7.B 8.C 选项正误 原因 当投掷骰子出现的结果为1,2,3,4,6,6,6时 满足平均数为4，中位数为4，可以出现点数6 B 当投掷骰子出现的结果为3,3,3,4,4,5,6时， 满足中位数为4，众数为3，可以出现点数6 若平均数为3，且出现点数6，则方差2>号× (6-3)2=号>1，所以平均数为3，方差为1时。 一定没有出现点数6 当投掷骰子出现的结果为2,2,3,3,6,6,6时 满足中位数为3，平均数为元=号(2+2+3+3+ 0 ×6+6+6)=4,方差为2=7[2-4)2+(2 4)2+(3-4)2+(3-4)2+(6-4)2+(6-4)2+ (6-402]=22, ,可以出现点数6 9.AD[设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大的顺序排 列为x1,x2,x3,x4,x5,则x1≤x2≤x3≤x4≤x5,x3=26, 且24至少出现2次，故x1=x2=24,A正确.设乙球员的5场 篮球比赛得分按从小到大的顺序排列为y1,y2yy4,y, 则y1≤y2≤y3≤y4≤y5,y3=29,取y1=20,y2=23,y4= 51