8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习册（人教A版）

8.4空间点、直线、 A基础过关练 测试时间：20分钟 1.[题型2](2025·湖北枝江一中月考)若a∥a,则 直线a平行于平面a内的( ) A.一条确定的直线B.任意一条直线 C.所有直线 D.无数条直线 2.[题型1](2025·湖南浏阳一中月考)已知&，3 为平面，A,B,M,N为点，a为直线.下列推理 中不正确的是(). A.若A∈a,A∈B,B∈a,B∈B,则aCR B.若M∈a,M∈B,N∈a,N∈B,则MN∈a∩B C.若A∈a,A∈B,则a∩B=A D.若A,B,M∈a,A,B,M∈B,且A,B,M不 共线，则a,B重合 3.[题型2]如果在两个平面内分别有一条直线，且 这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关 系是( A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.以上都不正确 4.[题型2](2025·湖北武汉二中月考)（多选）如图， 在正方体ABCD-A1B1CD1中，M,N分别为棱 CD1,C1C的中点，则以下四个结论中正确的是 A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线 C.直线BN与MB1是异面直线 D.直线AM与DD1是异面直线 5.[题型2](2025·福建龙岩一中月考)已知下列 说法：①两平面a∥3，aCa,bC3,则ab;②若 两个平面a∥B,aCa,bCB,则a与b是异面直 线；③若两个平面aB,aCa,bCβ，则a与b一 第八章立体几何初步 平面之间的位置关系 定不相交；④若两个平面aB,a二a,bCB,则a 与b平行或异面；⑤若两个平面a∩B=b,aCa, 则a与B一定相交.其中正确的有」 (填 序号) B综合提能练 ●测试时间：30分钟 1.[题型2]分别和两条异面直线平行的两条直线 的位置关系是( A.一定平行 B.一定相交 C.一定异面 D.相交或异面 2.[题型2](2025·安徽合肥八中月考)若空间中 有四条两两不同的直线11，l2,l3,l4满足1⊥ l2,l2⊥13，l3⊥14，则下列结论中一定正确的是 (). A.l1⊥L4 B.l14 C.l1与l4既不垂直也不平行 D.11与l4的位置关系不确定 3.[题型2](2025·江西南昌二中单元检测)在正 方体ABCD-A1B1C1D1上有一只蚂蚁，从点A 出发沿正方体的棱前进，若该蚂蚁爬的第n十2 条棱与第n条棱是异面的，则这只蚂蚁爬过第 2022条棱之后的位置是在(). A.点A1处 B.点A处 C.点D处 D.点B处 4.[培优突破1们(2025·淅江杭州二中期中)如图， 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为 棱AB,A1D1的中点，直线DB1与平面EFC的 交点为O,则D0 OB的值为( D A.5 B.5 C. 3 D. 3 27 用重难点手册高中数学必修第二册RJA, 5.[题型2](2025·重庆八中月考)（多选）如图，在 三棱柱ABC-A1B1C1中，E,F分别为BC,BB1 的中点，则() A.EF与A1C1是异面直线 B.EF与B1C1是相交直线 C.AC与B1C1是异面直线 D.AC与AC1是异面直线 6.[题型2](2025·浙江杭州余杭高级中学月考) 如图，平面a∩平面3=直线l,点A,C∈a,点 B,D∈B,且A,B,C,Dl,点M,N分别是线 段AB,CD的中点，则下列四个结论： M ①当直线AC与BD相交时，交点一定在直线L上： ②当直线AB与CD异面时，MN可能与l平行； ③当A,B,C,D四点共面且AC时，BD∥h; ④当M,N两点重合时，直线AC与l不可能相交 其中正确的是 (填序号) 7.[题型2]如图，G,H,M,N分别是正三棱柱的 顶点或所在棱的中点，则表示直线GH,MN是 异面直线的图形有 (填写所有相应图形 的序号) ② ③ ④ 8.[知识点3](2025·安徽安庆一中单元检测)如 图，A是△BCD所在平面外一点，M,N分别是 △ABC和△ACD的重心，已知BD=6. (I)判断MN与BD的位置关系； 28 (2)求MN的长. M-- -N D 9.[题型2](2025·湖北武钢三中月考)已知正方 体ABCD-A1B1C1D1如图所示 (1)各棱、体对角线所在的16条直线中，共有多 少对异面直线？ (2)若三条直线两两异面，则称为一组“Z型线”， 任选12条面对角线中的三条，“Z型线”的组 数为多少？ D C培优突破练 测试时间：10分钟 1.(2024·广东深圳中学竞赛集训)如图， 正方体ABCD-A1BC1D1的棱长为1， P为BC的中点，Q为线段CC1上的动 点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截 面记为S.则下列命题中正确的是 (填 序号) ①当0<cQ<时，s为四 D A B 边形； 0, ②当CQ= 号时，S为等腰 梯形； ③当CQ=时，S与CD,的交点R满足CR =弓④当号<CQ<1时，s为六边形： 当0Q=1时，5的商积为9。 第八章立体几何初步 2.(2025·全国高中数学联赛浙江赛区集 训)如图1，四棱锥P-ABCD是一个水 平放置的装有一定量水的密闭容器（容 器材料厚度不计)，底面ABCD为平行四边形， 现将容器以棱AB为轴向左侧倾斜到图2的位 置，这时水面恰好经过CDEF,其中E,F分别 为棱PA,PB的中点，在倾斜过程中，给出以下 四个结论： B 图1 图2 ①没有水的部分始终呈棱锥形； ②有水的部分始终呈棱柱形； ③棱AB始终与水面所在平面平行； ④水的体积与四棱锥P-ABCD体积之比为5：8. 其中正确结论的序号为 29设球的半径为R,球心为S,如图，连接SA,SB,SC,SD,SP. A B 因为最大球与四棱锥各面都相切，所以三棱锥S-PAB, S-PBC,S-PCD,S-PAD与四棱锥S-ABCD的高都为R, 且它们恰好组成四棱锥P-ABCD】 因为PD为四棱锥P-ABCD的高，PD=AD=BC=a,四边 形ABCD为正方形，且PA=PC=√2a,PB=√3a, 所以PB2=PA2+AB2=PC2+BC2, 所以△PAB,△PCB为直角三角形且全等 所以5ag=Sam=7aX反a-号e, 1 SAPDA=S△Pc=2Q2,SE方形ABD=Q2, 所以Vrm=言d·a=号4以， V测=V=言×号XR-geR 。1 VsA-3a.R-3a'R. 因为VP-ABCD=VS-PAB十VSPC+VS-PAD+Vs-PI+VS-ABCD, 所以写a-号eR+日cR+写cR,即U反+2R-a, 所以R=(1-号）a,即球的最大半径为1-号）a, (2)(四赖锥外接球的球心到P,A,B,C,D五点的距离均为球的半 径，因此只要找出球心的位置即可) 由(1)知△PAB,△PCB为直角三角形，若M为斜边PB的 中点，则MA=MB=MP=MC. 连接BD,因为PD=a,PB=3a,BD=√2a, 所以PB=PD+BD,即△PDB为直角三角形，且PB为 斜边， 所以MD=MB=MP, 所以M为四棱锥P-ABCD外接球的球心， 所以外接球的半径R-PB-。 培优突破练 S.=2x· 1是.[：两圆柱侧面积相等，2x√ S 唇尝后金1 2.如图所示，设线段DE的中点为F,连接AF,所以AF⊥ DE. 设DE=(>0),则有AF= 2t, 所以S等题梯形DBCB √3(1-t2) 4 则有VaAm<行AP·Snm t(1-t2)_√2[2t2(1-t)(1-t)刀 8 16 √2(+1+1y 3 3”此处用到了三元基本不 16 36’ 等式a+6+c≥a 3 当且仅当t= 3 时等号成立，所以四棱锥A-DECB的体积 的脆大值为票 8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 变式训练 [变式1门(1)如图，连接DN并延长交D1C1的延长线于点E, 连接ME交B,C1于点T,延长EM交D1A,的延长线于 点Q,连接DQ交AA1于点R,连接RM,TN, 则五边形DRMTN即为过点D,M,N的截面. 如图，平面DRMTN与平面BB,CC的交线为TN,平面 DRMTN与平面AA1B1B的交线为RM. D B T(P) (2)由(1)可知，点T即点P,由N为CC1的中点，易得 △DCN≌△EC1N,所以DC=EC1=4. 易知AMB,P∽△EC,P,所以Mg_B,P=2=⊥ EC1CP=4=2, 所以CP号B,C=号4=BP=×4= 所以N=VE+(-吕M√E+(T-2 3 29 所以PM+PN=10+2V3 3 基础过关练 1.D2.C 3.C[如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，ABC平面ABCD, C1D1C平面A1B1C1D1,C1D1C平面CDD1C1,AB∥C1D1, 但平面ABCD平面A1B,C,D,平面ABCD与平面CDD,C 相交.] D 4.CD[,直线CC1在平面CC1DD内，而M∈平面 CC1D1D,A平面CCD1D,∴直线AM与直线CC1异 面，故A不正确.同理可知直线BN与直线MB,异面，故 C正确.直线AM与DD1是异面直线，故D正确.平移直线 BN至BN',使B'与A重合，易知N'在DD1上，B'N'∩ AM=A,所以直线AM与直线BN异面，故B不正确.] 5.③④.[①错误，a与b也可能异面；②错误，a与b也可能 平行；③正确，a∥B,∴a与B无公共点，又aCa,bC B,∴.a与b无公共点；④正确，由已知及③知，a与b无公 共点，那么a仍或a与b异面；⑤错误，a与B也可能平行.] 综合提能练 1.D[画出图形即可得出结论.如图1，分别与异面直线a,b 平行的两条直线c,d是相交关系；如图2，分别与异面直线 a,b平行的两条直线c,d是异面关系.综上可知，应选D.] d 图1 图2 2.D[如图所示，在长方体ABCD- ABC,D,中，记L为DD1所在的直A 线，l2为DC所在的直线，l3为DA所 D 在的直线，若14为AA1所在的直线， B 满足11⊥12，l2⊥13，l3⊥14，此时l1∥ l4,可以排除选项A,C.若l4为DC1所在的直线，此时也满 足条件，可以排除选项B.] 3.B[不妨设蚂蚁从点A先沿AB爬，如图，结合正方体的性 质知与直线AB异面的直线有A1D1,B1C1,CC1,DD1,共4 条，由题意可知蚂蚁爬过3条棱的路线是AB→BC→CC1或 AB→BB1→B1C1,即蚂蚁爬过第3条棱后的位置在点C1 30 处.同理，蚂蚁从点A先沿AD或AA1爬，爬过第3条棱后 的位置一定是在点C1处，以此类推，蚂蚁爬过第6条棱后的 位置一定在点A处，如此爬下去，每爬过6条棱后都会回到 起点A.因为2022÷6=337，所以这只蚂蚁爬过第2022条 棱之后的位置是在点A处.] D D B 4.A[如图，交点O既在平面ECF上，又在平面DDBB1 上，.点O在平面ECF与平面D1DBB1的交线上，延展 平面ECF,得到平面ECHF,点H在CD1上，则点K,M 既在平面ECHF上，又在平面D1DBB1上，.KM为平 面ECHF与平面D1DBB1的交线，∴点O在KM上. D :点O在DB1上，∴.DB1∩KM=O.在平面DDBB1 DO DM 内，易得△KOB,∽△MOD.OB,-B1K由△DMC) △BME,得DM= 名DB.设G为CD,的中点，则DS 号B,D,由题意可得A,G/FH,则D,K=名B,D,则 三角形相似可得 B.k-BD DO DM 3DB 5BD.OB B1K 5 DB 5.ABC[连接CB1.因为CB1与AC相交，AC∥A1C1,CB1 与平面ACC1A1相交，所以CB1与A1C1异面.又CB1∥ EF,EF中平面ACCA1,所以EF与A1C1异面，A正确；同 理，AC与B1C1异面，C正确；EF与B1C1在同一平面内， 且延长EF与B1C1可交于一点，故直线EF与B1C1相交， B正确；已知AC∥A1C1,故AC与A1C1是共面直线，D错 误.故选ABC.] 6.①③④.[对于①，当直线AC与BD相交时，则A,B,C,D 四点共面，确定平面为Y,可得交点一定在直线1上，故①正 确.对于②，当AB,CD是异面直线时，MN不可能与l平 行.证明如下：若MN亿，则过点M作CD的平行线EF,分别 交a,B于点E,F,如图所示，可得M为EF中点，△BMF≌ △AME,可得AE∥BF,则AE,BF均与L平行，也就均与 MN平行.而MN与EC共面，则MN与EC平行，则AE, EC共线，同理可得BF,BD共线，而AE与BF平行即可得 A,B,C,D四点共面，这与题设矛盾，故②错误。 对于③，因为A,B,C,D四点共面且AC∥，所以AC∥平面 B,由线面平行的性质得ACBD,所以BD∥1，故③正确.对 于④，若M,N两点可能重合，则AC∥BD,所以ACl,此时 直线AC与直线L不可能相交，故④正确.] 7.②④.[①中HG∥MN;③中连接GM(图略)，则GM∥ HN且GM≠HN,所以直线HG与MN必相交.] 8.(1)MN与BD平行.证明如下： 如图，连接AM,AN并延长，分别与BC,CD交于点E,F. E 由重心的定义知E,F分别为BC,CD的中点，连接EF E,F分别为BC,CD的中点， EF/BD且EF=BD. 又M为△ABC重心，N为△ACD重心， .'.AM:ME=AN:NF=2:1, ∴MN/EF且MN=号ER, ∴.MNBD (2):EF=2BD, MN=号ER, MN=号EF=号BD=2 9.(1)因为体对角线之间不可能异面，所以分两类：①棱和棱之 间共有父2-24：②体对角线与棱共有4X6=24,所以共 48对. (2)把它分三类，把六个平面分成三组互相平行的平面，先在 一组平行平面内选两条异面直线有2对，每对和其他平面互 相异面的有4条，所以共8组，由于有三组平行平面，所以总 共有24组. 思维过程 (1)因为体对角线之间不可能异面，故分成两类，棱与 棱之间的异面和体对角线与棱之间的异面」 (2)把六个平面分成三组互相平行的平面，取一组平行 平面进行分析，发现有8组，故共有24组 培优突破练 1.①@⑧⑥.[对于①，当0<CQ<号时，过点A在面 ADD1A1内作PQ的平行线交线段DD1于一点，故截面S 为四边形，故①正确；对于@，当CQ一号时，同0的作法可 知，此时的裁面为APQD,且D,Q=AP-气，故裁面S为 等腰梯形，放②正确；对于③，当CQ=子时，过点A在面 ADD1A1内作PQ的平行线交线段D1A1于点M,且MD1= 3,然后再过点M在面A1B1C,D1内作AP的平行线交线 段CD,于点R,且满足C,R=子，此时的截面S是五边形 APQRM,.故③正确；对于④，由③可知，当号<CQ<1时，截 面S是五边形，故④错误；对于⑤，当CQ=1时，即点Q在 C1处，取A1D1的中点M,此时过点A,P,Q的截面是菱形 APQM,边长为，其中一条对角线AQ=厅，所以可得裁 面S的面积为号，故⑤正确，综上可知，答案是①②③6.] 2.①③④.[对于①，由棱锥的定义可知，在倾斜的过程中，没 有水的部分始终呈棱锥形，①正确.对于②，由棱柱的定义可 知，在倾斜的过程中，有水的部分的几何体不是棱柱，②错 误.对于③，倾斜前，在题图1中，棱AB与水面所在平面平 行，在倾斜的过程中，容器以棱AB为轴向左侧倾斜到题图 2的位置的过程中，棱AB始终与水面所在平面平行，③正 确.对于④，如图，连接AC,CE,BE,设三棱锥P-ACD的体 积为V,则三棱锥P-ABC的体积也为V.因为E为PA的中 点，则SE=SE,所以VcAE=VemE=2.因为E, F分别为PA,PB的中点，所以EFAB且EF=?AB,所 以SAg=子SAs,所以Vcg=Vep=子V,所以没 有水的部分的几何体的体积为VcE+Vee=合V+V =V,所以有水的部分的儿何体的体积为2V-V= 31 V,所以水的体积与四棱锥P-ARCD体积之比为Y:2V =5:8,④正确.] 8.5空间直线、平面的平行 变武切练 [变式1]BD[对于选项A,如果一个角的两边与另一个角的 两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故A错误.对于 等角定理 选项B,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那 么这两组直线所成的锐角（或直角）相等，故B正确.对于选 项C,如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两 个角的大小关系不确定，既可能相等也可能互补，也可能既 不相等，也不互补，如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ∠A1D1C1与∠A1BC1满足A1D1⊥A1B,CD1⊥CB,但 是∠AD,C=受，∠A:BC,=号，二者既不相等也不互补， 故C错误.对于选项D,如果两条直线同时平行于第三条直 线，那么这两条直线平行，故D正确.] D A D [变式2](1)如图，作MP∥AD,交DD1于点P,作NQ∥BC, 交DC于点Q,连接PQ. 因为四边形ABCD是正方形，所以ADBC,所以MPNQ, 因为N迎/AD,所瓷-0，同是可明设-B浴，因此 MP=NQ,则四边形MNQP为平行四边形，所以MN∥PQ. 又PQC平面DCC1D1,MN在平面DCC,D1,所以MN∥平 面DCCD1. (2)由(1)知四边形MNQP为平行四边形，所以MN=PQ. 因为DD1=AD=DC=BC=1,所以AD1=BD=√2. 因为DM=DN=a,所以D,P=g,DQ_4 12’12 即D,P=DQ-2,所以MN=PQ-V-DP牛D网- √-)'+（份）-√a-'+号o<a<@. 32 时，N的长度有最小值，最小值为号 故当a=2 D A P M N 基础过关练 1.A2.C3.B 4.AB[因为a∥B,CDCB,所以CD∥a,故A正确；设由PC 与PD确定的平面为Y,因为a∥B,a∩y=AB,B∩Y=CD, 所以AB,/CD,所以A_AB, 2 1 PC-C0,即2+AC=3,解得AC=4, 这B正确若PB=1,则PB+AB=PA,故C错误；若PB ±与三角形的三边关系矛盾 则由器-品知PB-PC,但PB与PC的长度关系不 AB 确定，故D错误.] 5.20.[设所求截面四边形为EFGH,且F,G,H分别是 BC,CD,DA的中点，所以EF=GH=4,FG=HE=6.所以 截面四边形EFGH的周长为2X(4十6)=20.] 6.2√2.[因为平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABCD∩ 平面PQNM=PQ,平面A1B,C,D,∩平面PQNM=MN, 所以MNPQ,连接A1C1,AC,则MNA1C1,A1C1∥AC, 所以PQ/AC又AP=1,所以器-怨=号，所以PQ 号4c-号×3w-22.] 综合提能练 1.C[如图，分别取棱BB1,DD1上靠近点B,D1的四等分点 K,Q,取AA1的中点M,连接MB1,MQ,QB1,DE,DF, EK,KF, D D A E B :E,F为所在棱的中点，K为四等分点，EK∥DF, E,K,F,D四点共面，.平面DEF即为平面DEKF. 又MB1∥EK,MQ∥KF,EKC平面DEKF,KFC平面 DEKF,MB寸平面DEKF,MQt平面DEKF,.MB1∥ 平面DEKF,MQ/∥平面DEKF.又，MB,∩MQ=M,且