第五章三角函数章末综合测试 -2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第五章《三角函数》章末综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 2026°是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 设角终边上的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知半径为的扇形面积为3，则扇形的圆心角为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知是的内角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则的值为（   ） A. B. C. 0 D. 8. 已知函数在上存在零点，且在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列命题中正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 图象的对称中心为 D. 的单调递增区间为 10. 已知，正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若有个零点，记为，且，则下列结论正确的是（） A. B. 的取值范围 C. 的取值范围是 D. 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角终边经过点，则________. 13. 若命题“对任意，函数的值恒小于”为假命题，则的取值范围为______． 14. 如图，摩天轮的半径为，摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动第一次达到最高点时，点距离地面超过的时长为 分钟. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求的值； （2）若是方程的两个根，求的值. 16. 已知角且. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，求函数的值域. 18. 已知函数（，）的图象两相邻对称轴之间的距离是，且函数经过点. （1）求函数的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数的图象在区间（，且）上至少含有30个零点，在所有满足条件的区间上，求的最小值. 19. 已知函数，，恒成立. （1）求的值及的解析式； （2），当时，有两个零点，，求的取值范围； （3）已知，且以，，为边能够组成三角形，对于任意满足上述条件的，，，若以，，为边也能够组成三角形，求的最大值. ( 第 1 页 共 16 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $第五章《三角函数》章末综合测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 0 A D A B 0 ACD ABC AD 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.2026是() A.第一象限角 B.第二象限角 C第三象限角 D.第四象限角 【解析】C因为2026°=5×360°+226°，226°终边在第三象限，所以2026°是第三象限角 2.设角0终边上的点的坐标为3，-4)，则() 3 3 A.sina= B.tand=- 5 4 C.cosa=- 4 4 D.tana=- 5 【解析】D设角a终边所在圆的半径为r,由题意得，r=√9+16=5， 所以sma工生，osa子：，au长士号波D预随 r 5 3.函数y=√2sinx-1的定义域为() A. .5π k∈Z 6 6 5π k∈Z) D. (kEZ) 6 2+号2+ 【解析】A要使y=V2sinx-1有意义，需满足2sinx-1≥0，即sinx之7，解得 5π k EZ 4.己知半径为√5的扇形面积为3，则扇形的圆心角为() A.5 C.1 D.2 第1页共16页 【解析】D设扇形的圆心角为a,依题意，二a(V3)2=3,解得α=2， 所以扇形的圆心角为2 3己A是ABC的内角，对rA定s1<2的( 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】A因为A是ABC的内角，所以0<A<π 所以A<无时，根据正弦函数的性质可知sinA<sin _√2 ,充分性成立： 4 42 当smA<5时，0<A<或3江<A<元，所以必要性不成立 44 故4<及是sin4<5的充分不必要条件 4 2 6.将函数f(x)=sin 2x+ 的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将得到的图象向 右平移兀个单位长度，所得图象的解析式为() 3 A.y=-sin 4x B.y=sinx C.y=sin 3】 D.y-sin 【解析】B将函数f)-sm2x+写) 的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得 y=sinx+ 再将得到的图象向右平移智个单位长皮，得y=s如一子+写)-加x 3 7.已知sin A.4V3 B.2V3 C.0 D.2v3 3 3 3 第2页共16页 【解析】D因为sin + 所m得小[经&小m信 又<x<π，所以- 66 有同降三用关系知n后小一号9 m后小小小子g 8已知函数f=sinm@x+写)@>0)在0写上存在零点，且在 3,元上单调递增，则 2π ⊙的取值范围为() A.(2,3] B 【1B因为>0,当xe0写引时r+e号0+ 由函数f(x)在 上存在零点，所以汇。+工>π，解得0>2： 3 3 [2r 0+T≥-+2km 因为f(在0,3 上单调递增，故 33-2 ,k∈Z, π0+s+2km 32 解得-)+3≤0≤+2k,ke元 h +3k≤ +2k,所以k≤ 6 13 当k≤0时，o无解；当k=1时，可得2<0≤ 满足题意， 6 第3页共16页 即⊙的取值范围为 6 二·多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数f(x)=tan 2x- 则下列命题中正确的有() A∫(x)的最小正周期为乃 B.f(x的定义域为 xreR,x≠+keZ 28 C.f(x图象的对称中心为 k+，0，k∈Z 48 D.fx)的单调递增区间为 k元km+3π，k∈Z 2828 【解析】ACD由题知，函数f(x)=tan 2x-4)月 元元 对于A,所以f(x)的最小正周期为T= 回2，故A正确： 对于B,∫(x)的定义域满足2x-不≠+k江，即x≠3江+，(k∈Z) 42 82 所以f(x)的定义域为 2+&k∈Z列，故B错误， k∈R,x≠7+3π 对于C,f儿)图象的对称中心应满足2-晋经.即=经+，ke乙 48 所以∫(x)图象的对称中心为 k红+元，0，k∈Z,故C正确： 48 对于D.f(纠的单调递增区间应满足-+k红<2x-香+红，即 km-元<x 28 km3π，keZ, 28 所以∫(x)的单调递增区间为 kππkπ，3π 282+8 ,k∈Z,故D正确 第4页共16页 12 l0.已知sina cosa= 25 0<< 4 ,正确的是（) 7 1 A.sina cosa = B.cosa-sina = 5 5 3 4 C.tana= D.sina 4 5 【解析】ABC对于A,因为(sina+cos)2=sina+cos2o+2 sina cos 2449 =1+2525 又因为0<<二 所以sina>0,cosa>0,sina+cos>0, > 所以sina+cosa=二，故A正确； 对于B,因为(cosa-sin)2=sin2a+cos2o-2 sin a cosa 241 =1- 25=25 π 又因为0<a< 所以sina>0,cosa>0,cosa>sina,cosa-sina>0, 1 所以cos-sia=5,故B正确： 4 3 对于C,由A,B可得cosa=亏sina=写 sina 3 所以tan a= =三，故C正确： cosa 4 3 对于D,由C可知sina=二，故D错误. log2(-x,-4≤x<0 11.已知函数f(x)= π 四专中0≤≤24若8-/>0有 6 2nneN)个零点，记为x,2,…x2m1,x2n,且x<x,<…<xn1<x2n,则下列结论正 确的是() A.t∈(0,2) B.x+x的取值范围(-4，-2) 第5页共16页 55 C.xx4的取值范围是 D 3+2(x4+x3+…+m-1）+x2n=182 【解析】AD将函数y=og2x(0<x≤4)的图形关于y轴对称过去， 并将x轴下方部分的图象翻折到x轴上方，即可得到y=log2(-x)-4≤x<0)的图象， y=4sin (0≤x≤24)的最小正周期T= 1二6 x+ 3 6 故在[0,24]上有4个周 3 期， 设工x+卫=km+(k∈Z),解得x=1+3k(k∈Z), 3 6 2 故y=4sin 2 X+ 的图象的对称轴方程为x=1+3k(k∈Z), 3 6 log2(-x,-4≤x<0 由此作出函数f(x) π 的图象，如图： 4sin ,0≤x≤24 3 6 4 -y=t 70T■16 122i 15 13 19 24 g(x)=f(x)-t(t>0)的零点个数问题， 转化为fx)的图象与直线y=t(t>0)的交点个数问题， 由gx=fx)-(t>0)有2n(neN)个零点， 可知函数f(x的图象与直线y=t(t>0)有2n(n∈N)个交点，即偶数个交点， 由图象可知，当t>4时，f(x)的图象与直线y=t(t>0)有1个交点，不合题意； 当t=4时，fx)的图象与直线y=(t>0)有5个交点，不合题意： 当2<t<4时，f(x)的图象与直线y=t(t>0)有S个交点，不合题意； 第6页共16页 当t=2时，f(x)的图象与直线y=t(t>0)有11个交点，不合题意； 当0<t<2时，fx的图象与直线y=t(t>0)有10个交点，符合题意； 故选项A正确； 由题意可知，-4<x<-1<x2<0，则1og2(-x)=-l1og,(-x2), 即l0g2(-x)+log2(-x2)=l0g2[(-x)-x2)】=0, (←xX-5)=1,+5=x+（-4<x<-1. 由对勾函数的性质可得函数y=x+二在-4，-1)上单调递减， 所以x+x的取值范围为 4,2 故选项B错误； 当f(x)=4sin 3 x+=2kx+或x+=2km+5(k∈Z, 6 =2时， 6 63”6 6 5 解得x=6k或x=2+6k(k∈Z),从图中可知2<<2' 由选项A中的分析可知2n=10,故n=5,从图象可知x,x4关于直线x=4对称，故 X3+x4=8, 所以xx4=x3(8-x,x3∈ 所以5∈12,5） ’4 故选项C错误； 同理，x4+x=14,+x6=20,x6+x7=26,x7+x3=32, +x=38,x)+x0=44,故 3+2(x4+x,+x6+…+x2m)+x2n=X3+2(x4+x+6+…+xg)+X10 =8+14+20+26+32+38+44=182,故选项D正确 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知角0终边经过点P1,-2),则tan20= 【解析】由于角0的终边经过点P(1,-2),故tan0=-2 1 -2, 第7页共16页 则tan20 2tan0_2(-2_-4_4 1-tan201-(-2)}2-33 B若命题对任意x∈[，，函数y=sinx+tanx的值恒小于m”为假命题，则m的取 值范围为 【解析)依题意，3x子，函数y=snx+tamx的值不小于m 而正弦西数)=si血x和正切函数)y=ax在区间[-子孕上都单调递增， 则函数y=Sinx+tamx在[-孕上单调递增，当x=子时y= 4’4 +1,则 4 2 √2 m≤ +1, 2 所以m的取值范围为（←0,2 +1] 14.如图，摩天轮的半径为40m,摩天轮的中心点0距地面的高度为50m,摩天轮做匀速转 动，每36min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动第一次达到最 高点时，点P距离地面超过70m的时长为 分钟. 0 【解析】函数了x)的最小正周期T=2红，由函数)的一个零点为元，其图象的一条 6 对称轴为直线x=5π 12 得(2k+)41264 5π不=kEN,解得T=2kEN,则o=22k+,keN一 由在爱孕上单调号之号名音可T≥名因此产君 2k+126 解料太≤面eN,于是e0L2, 第8页共16页 当k=2时，。=10，f)=Asin00x+p),由f爱=Asin(+0)=0. 6 符+9=，aeZ,南p水号测a=20-骨f)=4sn0x+令， 当e后骨时，10r+号e2x',函数fe在后孕上不单调，不将合超意， 6 641 当k=1时，0=6，f)=Asin(6x+p),由f()=Asin(π+p)=0, 得元*+p=mneZ,o水受则n=lp=0,代=4sn6x, 当xe传时，6rea孕、u在爱孕上单调行合题数， 当k=0时，o=2,fx)=Asin(2x+p),由f()=Asin(+p)=0, 得子+p=n,aeZ,而p水受则n=0p=子f)=Asin2r-孕， 当xe(爱孕时，2-骨e0,在爱孕上单调，信合图意。 6’4 61 6’4 因此0=2或0=6，所以0的最大值为6. 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 2sinπ-x-sin 3 15.已知 5cos 3π 13 2 +x+3c0s2π-x) (1)求tanx的值； (2)若sinx,c0sx是方程x2-mx+n=0的两个根，求m2+3n的值 2sinπ-x-sin 3 【解析】(1)因为 3π 13 5cos +x+3c0s2π-x 2 所以 2sinx-cosx 5sinx 3cosx 13 所以 2tanx-1 3 5tanx+3 13 解得tanr=2; (2)因为sinx,cosx是方程x2-mx+n=0的两个根， sinx+cosx=m 所以 sin xcosx=n 第9页共16页 .m2 +3n =(sinx +cosx)2+3sinxcosx =1+5sinxcosx, sinxcosx tanx 22 又sinxcosx= sin'x+cos2x tan2x+1 22+1 5 :m2+3n=1+5×2=3 16.已知角，B 且cosa= 5 I)若anB=3求a-B的值： (2)若sin(B-a)=2S,求sin(a+B)的值 【解析】(1)cos0= 5.a.pel0.3 sina 1-cos2 a 5 .∴.tanc= =2 cosa cosa 5 J 2、1 ∴.tan(a-B）= tana-tan B 3 =1 1+tana tan B 1 1+2× 又ra,Be a-(}a-a- (2):c0sa= 15.) .c0s2=2c0s2a-1=2 5 -1则2a任 故sin2a=V1-cos22a= a-a好 第10页共16页