专题03 力与物体的曲线运动（4大核心考点，举一反三复习讲义）（全国通用）2026年高考物理二轮复习

该高中物理高考复习讲义聚焦曲线运动核心考点，涵盖平抛与斜面/曲面结合、斜抛运动、圆周运动及临界问题，通过思维导图构建知识网络，核心考点精讲分模型梳理解题策略，配合典例与变式真题训练，形成“考点梳理-方法指导-实战应用”的系统复习流程。 讲义以模型建构和科学推理为特色，如平抛与斜面结合时，通过分解速度或位移建立方程，培养学生运动和相互作用观念。设置基础典例与变式提升题，分层突破难点，帮助学生高效掌握曲线运动解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

专题03 力与物体的曲线运动 第一部分 思维导图 第二部分 核心考点精讲 【考点01】 平抛运动与斜面结合问题 【考点02】 平抛运动与曲面结合问题 【考点03】 斜抛运动 【考点04】 圆周运动及其临界 第三部分 题海精炼 考点01 平抛运动与斜面结合问题 常见的模型 已知条件 情境示例 解题策略 已知速度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上(如图所示)，末速度的方向垂直于斜面 分解速度tanθ＝＝，t＝ 从斜面外平抛，恰好从斜面顶点无碰撞切入斜面(如图所示)，末速度方向沿斜面方向 分解速度tanθ＝＝，t＝ 已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面上(如图所示)，位移的方向沿斜面向下 分解位移 tanθ＝＝＝，t＝ 从斜面外平抛，落在斜面上位移最小(如图所示)，位移方向垂直于斜面 分解位移 tanθ＝＝＝，t＝ 【典例1】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图所示为运动员跳台滑雪的情景。运动员从倾角为θ的直滑道顶端以某一水平初速度飞出做平抛运动，阳光垂直于斜面照射。若运动员可视为质点且最终落到斜面上某点，重力加速度为g。在飞行过程中，运动员在斜面上影子的速度逐渐增大，则其影子的速度随时间的变化率大小为（　　） A．g B． C． D． 【变式1-1】（2025·海南·三模）如图所示，将质量为m的小球从倾角为的斜面顶端以速度沿水平方向抛出，忽略空气阻力，斜面足够长。已知重力加速度为g，对于小球落到斜面前的运动，以下说法正确的是（　　） A．小球的速度与斜面平行时最小 B．小球的速度变化越来越快 C．小球从抛出到落在斜面上所用时间为 D．经时间，小球动能为 【变式1-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，磁极和铁芯之间存在辐向磁场，圆弧ABC和位于以O点为圆心的竖直圆周上，圆的半径为，A、C等高，，圆面处的磁感强度为。质量为，长度为1m的导体棒P始终通以垂直纸面向外的大小为1A的恒定电流，导体棒由A点静止释放，经C点时以速度v离开磁场区域，落在倾角为斜面上的E点。不计一切摩擦和空气阻力，重力加速度大小g取，则（　　） A．导体棒离开C点的速度大小为 B．导体棒从C点到E点时间为 C．CE距离为 D．导体棒在E点的速度方向与斜面的夹角为 【变式1-3】（2026·江苏·一模）如题图所示，三角形斜面ABC水平固定，两个相同且可视为质点的小球a、b同时从C、D两点以相同速度水平抛出，先后落点为E、A。已知B、C、D在同一竖直线上，E为AC中点，小球a、b平抛到斜面上时的动能之比为，不计空气阻力。则该过程中，下列说法正确的是（　　） A．斜面的倾角为45° B．高度关系满足BC=1.5CD C．小球a、b距斜面的最远距离之比为 D．小球a、b距斜面最远时的位置在同一竖直线上 考点02 平抛运动与曲面综合 已知条件 情境示例 解题策略 已知速度方向 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道(如图所示)，末速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tanθ＝＝，t＝ 利用 位移 关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上(如图所示)，位移大小等于半径R 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上(如图所示)，水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 【典例2】（2025·广东·模拟预测）如图所示，是四分之一圆弧，固定在竖直面内，是圆心，竖直，是圆弧上的一点，是上一点，水平，、、三点将四等分，在、、、四点分别水平抛出一个小球，小球均落在点，若小球落在点时能垂直打在圆弧面上，则小球的抛出点一定在（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2-1】 （2025·全国·模拟预测）如图，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α＝60°，一小球在圆轨道左侧的A点以速度＝5m/s平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为：（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】 （多选）（2025·吉林松原·模拟预测）如图，一倾角为的斜面顶端与半径为R的圆弧的圆心重合，斜面高度与圆弧半径相等。现使两个相同的小球P、Q（可视为质点）同时由斜面顶端以相等的初速度大小向左、右水平抛出，下列说法正确的是（　　） A．若初速度，两球将同时撞到斜面和圆弧上 B．若初速度，P球将落到斜面的底端 C．若P球恰好落到斜面的底部，则Q球在圆弧上的落点距地面高度高于 D．在小球能落到斜面的条件下，P球落到斜面的动能总是大于Q球落到圆弧上的动能 【变式2-3】（多选）（2025·河南三门峡·一模）如图所示，竖直放置的圆筒内壁光滑，圆筒半径为R，高为h。P、Q为圆筒上、下底面圆上的两点，且连线竖直，一可视为质点的小球由P点沿筒内侧与半径垂直方向水平抛出，小球质量为m，初速度大小为。小球的运动轨迹与的交点依次为上的A、B、C三点，重力加速度为g，不计空气阻力，则以下说法正确的是（　　） A．小球到达C点时下落高度为 B．小球在A、B、C三点时对筒壁的压力大小之比为1∶1∶1 C．A、B间距离为 D．小球在P点时所受合力大小为 考点03 斜抛运动 1．类平抛运动与平抛运动的区别 做平抛运动的物体初速度水平，物体只受与初速度垂直的竖直向下的重力，a＝g；做类平抛运动的物体初速度不一定水平，但物体所受合力与初速度的方向垂直且为恒力，a＝。 2．求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动。 (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。 【典例3】（2026·重庆沙坪坝·一模）郑钦文在澳大利亚的网球公开赛中击球后，网球以一定初速度斜向上方飞出。若忽略空气作用，则网球从飞出到落地的过程中，下列说法正确的是（    ） A．网球做非匀变速曲线运动 B．网球在最高点的速度为0 C．相同时间内网球速度的变化量相同 D．网球速度一直减小 【变式3-1】 （多选）（2025·湖南郴州·一模）在一个倾角为θ的足够长的固定斜面上，一小球以初速度v离开斜面，方向与斜面方向成θ角斜向上。已知重力加速度为g，空气阻力不计，下列说法正确的是（　　） A．小球在空中任意相等的时间内速度变化不相等 B．小球经时间，离斜面最远 C．小球开始运动到第一次落到斜面上时间为 D．小球开始运动到第一次落到斜面上位移为 【变式3-2】 （2025·河北秦皇岛·模拟预测）我国的抛石机最早出现于战国时期，通过人在远离抛石机的地方牵拉连在横杆上的梢抛出石块。如图所示，某次抛石过程简化如下，从Q点抛出一石块，一段时间后，石块落在城楼上的P点，此时石块速度v和P、Q点的连线与水平方向夹角均为30°，已知v=15m/s，重力加速度g=10m/s²，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．石块在空中运动的总时间为4s B．石块运动到的最高点与Q点的高度差为45m C．石块到P、Q连线的距离最远时，速度大小为15m/s D．石块到P、Q连线的最远距离为 【变式3-3】（2026·黑龙江辽宁·一模）滑雪跳台场地可以简化为如图甲所示的模型。图乙为简化后的跳台滑雪雪道示意图，段为助滑道和起跳区，段为倾角的着陆坡。运动员从助滑道的起点由静止开始下滑，到达起跳点时，借助设备和技巧，以与水平方向成角起跳角的方向起跳，最后落在着陆坡面上的点。已知运动员在点以的速率起跳，轨迹如图，不计一切阻力，取。求： (1)运动员在空中运动的最高点到起跳点的距离； (2)运动员离着陆坡面的距离最大时的速度大小； 考点04 圆周运动及其临界问题 1．解决圆周运动力学问题的关键 (1)正确进行受力分析，明确向心力的来源，确定圆心以及半径． (2)列出正确的动力学方程F＝m＝mrω2＝mωv＝mr.结合v＝ωr、T＝＝等基本公式进行求解． 2．求解圆周运动问题的思维流程 【典例4】（2025·河南·模拟预测）如图，游乐场空中飞椅项目惊险刺激，可简化为如下情景：水平转盘可绕竖直轴转动，长度相同的细绳上端固定在转盘同一高度不同的位置，左右对称，下端连接小球。转盘匀速转动稳定后，各绳与竖直方向的夹角保持不变，对于各绳方向的描述，下列四幅图中最符合实际的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】 （2025·宁夏吴忠·二模）随着国产新能源汽车的飞速发展，现在很多车型都会配备空气悬架系统，相较传统仅由弹簧构成的悬架，能大幅提高轿车的舒适性。空气悬架系统的工作原理可简化为如图甲、乙所示的两类，悬架装置的质量、活塞柱与汽缸的摩擦、汽缸壁厚度均忽略不计，汽缸导热性和气密性均良好。现将两套装置分别独立安装到两辆相同的汽车上（四个轮子，不混装），两车静止于水平地面时汽缸内的空气柱长度均为。已知大气压强恒为，环境温度为，每个汽缸活塞的面积为，汽车的质量均为（不含四个车轮），重力加速度为，气体均可看作理想气体，汽缸与车身始终保持相对静止且能正常工作。 (1)甲装置未安装到汽车上时，弹簧长度为（此时为原长），汽缸内的气体压强为，求弹簧的劲度系数； (2)若安装乙装置的汽车所处环境温度从升高到，求四个汽缸内的气体总共对外做的功； (3)环境温度保持不变，三名质量均为人员驾乘安装装置乙的车辆出行，行驶速度始终为，行至半径为的圆弧凹型路面最低处时，求车身相较于在空车静置于水平面时下降的高度。 【变式4-2】（2025·甘肃·模拟预测）三百六十行，行行出状元。最近一段服务员快速摆餐盘的视频火遍全网，服务员把盘子均匀放到餐桌中间的转盘边缘上后，增大转盘转动角速度，餐盘从转盘边缘飞出，落在餐桌上立即停下。已知餐盘和转盘间的动摩擦因数为，餐盘到转盘中心的距离为，忽略餐盘的大小，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，转盘到桌面的高度为，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．餐盘质量越大从转盘边缘飞出时速度越小 B．餐盘落到餐桌上前瞬间的速度大小为 C．转盘加速转动过程中，餐盘受到的摩擦力始终指向转盘中心 D．落到餐桌上的餐盘到转盘中心的水平距离为 【变式4-3】 （2025·吉林·一模）如图（a）所示，某景点有一娱乐项目“玻璃滑道”，图（b）为其轨道侧视图，质量为的人从A处静止下滑，经最终停在G处，已知、、、、都是半径为的圆弧，其对应的圆心角均为60°，段水平，长为，人滑到F点时轨道对人的弹力为自身重力的2倍，重力加速度g取，求： (1)在段人与玻璃滑道间的动摩擦因数μ； (2)在玻璃滑道段滑动过程中人克服阻力做的功。 1．（2025·江苏·模拟预测）如图所示，一底面涂有墨汁的棋子从匀速运动的水平传送带边缘O点垂直弹入，棋子在传送带表面滑行一段时间后随传送带一起运动，棋子在传送带上留下的墨迹（俯视图）为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁丹东·模拟预测）在现代农业中，使用无人机播撒种子成为新的选择，可以大大降低人力成本。若无人机水平匀速飞行，同时每隔相等时间定量播撒种子，相邻两次播撒的种子落地后的水平间距越大种植密度越小，（空气阻力忽略不计）则下列说法中正确的是（　　） A．仅减小无人机匀速飞行速度，不会改变播种过程中的种植密度 B．仅减小无人机匀速飞行速度，会减小播种过程中的种植密度 C．仅升高无人机的飞行高度，会增加播种过程中的种植密度 D．仅升高无人机的飞行高度，不会改变播种过程中的种植密度 3．（2025·四川德阳·一模）某同学练习投篮，通过高速摄影获得篮球在空中的运动轨迹。如图所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·一模）机器人表演扭秧歌时，将左、右手中的手绢同时抛出互换，如图（b）所示。两手绢在空中的运动轨迹分别为轨迹和轨迹，若忽略空气阻力，则（　　） A．沿轨迹运动的手绢加速度更大 B．沿轨迹运动的手绢在空中运动时间更长 C．沿轨迹运动的手绢到最高点时速度更大 D．沿轨迹运动的手绢到最高点时速度更大 5．（2025·贵州六盘水·一模）某同学用玩具枪打靶，该同学站在靶标中央位置正前方较远处，靶标为一个面积较大的竖直平面。射击时保持枪口位置不变，先后沿同一水平面内不同方位射出子弹，子弹初速度大小相等，在空中均做平抛运动，则靶标上出现的弹孔分布可能为（　　） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高三上·河北唐山·期中）如图，质量为的质量分布均匀的圆盘做水平面内的匀速圆周运动，其中三点共线，三点在圆盘边缘上均匀分布，等长且与的夹角均为为悬点，与竖直方向夹角为所能承受的最大拉力均为。下列说法正确的是（　　） A．绳上拉力大小为 B．绳上拉力大小为 C．若角速度增大，绳先断 D．若角速度增大，比绳先断 7．（多选）（2025·河南新乡·模拟预测）羽毛球是学生们课间最为喜爱的一项娱乐减压活动，如图所示是羽毛球在空中飞行的轨迹图。羽毛球被打出后的速度v0与水平方向的夹角为α，到达地面时速度与水平方向的夹角为β。B是羽毛球飞行过程中的最高点，A到B的时间为t1，B到C的时间为t2，不计空气阻力，羽毛球可以看成质点，则下列说法正确的是（    ） A．α=β B．t1<t2 C．羽毛球飞到C点时的速率 D．当α=45°时x有最大值 8．（多选）（2025·四川泸州·一模）如图所示，置于水平地面上仅四个侧面有挡板的正方体，边长，上表面中心放有一个大小可忽略且绕竖直轴线匀速转动的发球机，其转动角速度，每秒向水平方向发射一个质量初速度的小球，开始时水平向右发射第一个小球。小球与挡板碰撞后竖直方向速度分量不变，水平方向速度分量大小不变、方向反向，小球落地后不反弹。忽略小球随发球机做圆周运动的切线速度和空气阻力，重力加速度，。下列判断正确的是（　　） A．第一个小球落到地面过程中动能增加了42J B．第一个小球落地前瞬间重力的功率为 C．发球机转动第一圈有8个小球不碰侧面挡板就直接落地 D．发球机转动第一圈有12个小球不碰侧面挡板就直接落地 9．（2025·河南新乡·模拟预测）公园中常有小朋友用发光转转球进行健身娱乐活动，如图1所示。情境可简化如下：不可伸长的轻绳一端系着质量m=1kg的小球，另一端系在固定竖直轴上。某次锻炼时，小球绕轴做角速度ω1=4rad/s的匀速圆周运动，此时轻绳与地面平行，拉力大小T1=4N，如图2所示。不计小球的一切阻力，小球可视为质点，sin53°=0.8，cos53°=0.6，重力加速度g取10m/s2。 (1)求轻绳的长度L； (2)若小球绕轴做角速度的匀速圆周运动，此时轻绳与轴的夹角，结点为O，如图3所示。求此时小球对地面的压力大小FN； 10．（2025·河南·模拟预测）如图所示，一个质量为m的足球静止在圆形水泥管道最低点，一小学生以水平速度将球踢出，足球沿管道内壁在同一个竖直面内运动，第一次到达管道最高点时足球恰好与管壁无挤压，再转不到一圈，足球从某一位置脱离管道，恰好掉入小学生的背包里（背包口正好在管道圆心处）。已知管道半径为R，重力加速度为g，不计空气阻力，足球可以看作质点。求： (1)足球第一次经过管道最高点时的速度大小v1； (2)足球脱离管道的位置和圆心的连线与水平方向夹角θ的正切值。 11．（2025·四川成都·一模）如图所示，由光滑绝缘圆弧轨道与竖直支架组成的装置固定于竖直面内，C点位于水平地面上，两点的距离。圆心O点与A点等高，轨道半径，圆心角，空间内存在水平向左的匀强电场。现从A点静止释放一质量，电荷量的带负电小球（可视为质点），小球以的速度从B点离开圆弧轨道后落到水平地面上的D点（图中未标出）。，，重力加速度取。求： (1)匀强电场的场强大小E； (2)小球到达B点时轨道对小球的支持力大小N； (3)小球落地点D与C点的距离d。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 力与物体的曲线运动 第一部分 思维导图 第二部分 核心考点精讲 【考点01】 平抛运动与斜面结合问题 【考点02】 平抛运动与曲面结合问题 【考点03】 斜抛运动 【考点04】 圆周运动及其临界 第三部分 题海精炼 考点01 平抛运动与斜面结合问题 常见的模型 已知条件 情境示例 解题策略 已知速度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上(如图所示)，末速度的方向垂直于斜面 分解速度tanθ＝＝，t＝ 从斜面外平抛，恰好从斜面顶点无碰撞切入斜面(如图所示)，末速度方向沿斜面方向 分解速度tanθ＝＝，t＝ 已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面上(如图所示)，位移的方向沿斜面向下 分解位移 tanθ＝＝＝，t＝ 从斜面外平抛，落在斜面上位移最小(如图所示)，位移方向垂直于斜面 分解位移 tanθ＝＝＝，t＝ 【典例1】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图所示为运动员跳台滑雪的情景。运动员从倾角为θ的直滑道顶端以某一水平初速度飞出做平抛运动，阳光垂直于斜面照射。若运动员可视为质点且最终落到斜面上某点，重力加速度为g。在飞行过程中，运动员在斜面上影子的速度逐渐增大，则其影子的速度随时间的变化率大小为（　　） A．g B． C． D． 【答案】B 【详解】将运动员的运动分解为垂直斜面和沿斜面两个分运动，则运动员在斜面上影子的运动与运动员沿斜面方向的运动具有相同的运动情景，而运动员沿斜面方向的加速度大小为 可知影子的加速度大小为，则影子的速度随时间的变化率大小为。 故选B。 【变式1-1】（2025·海南·三模）如图所示，将质量为m的小球从倾角为的斜面顶端以速度沿水平方向抛出，忽略空气阻力，斜面足够长。已知重力加速度为g，对于小球落到斜面前的运动，以下说法正确的是（　　） A．小球的速度与斜面平行时最小 B．小球的速度变化越来越快 C．小球从抛出到落在斜面上所用时间为 D．经时间，小球动能为 【答案】C 【详解】A．小球落到斜面前的运动为平抛运动，速度一直在增大，所以刚抛出时的速度最小，故A错误； B．小球在空中的加速度为重力加速度，所以小球的速度变化快慢恒定不变，故B错误； C．小球从抛出到落在斜面上，有 解得所用时间为 故C正确； D．经时间，小球的竖直分速度为 则此时小球动能为 故D错误。 故选C。 【变式1-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，磁极和铁芯之间存在辐向磁场，圆弧ABC和位于以O点为圆心的竖直圆周上，圆的半径为，A、C等高，，圆面处的磁感强度为。质量为，长度为1m的导体棒P始终通以垂直纸面向外的大小为1A的恒定电流，导体棒由A点静止释放，经C点时以速度v离开磁场区域，落在倾角为斜面上的E点。不计一切摩擦和空气阻力，重力加速度大小g取，则（　　） A．导体棒离开C点的速度大小为 B．导体棒从C点到E点时间为 C．CE距离为 D．导体棒在E点的速度方向与斜面的夹角为 【答案】C 【详解】A．导体棒从A运动到C过程，由动能定理可得 解得，故A错误； B．由几何关系可知，v与斜面垂直，以斜面方向建立x轴，v方向建立y轴，如下图所示。则有，故B错误； C．导体棒可看成沿斜面方向做初速度为零的匀加速直线运动，则 故C正确； D．如下图所示，导体棒可看成沿斜面方向做初速度为零的匀加速直线运动，则导体棒在E点时，沿x轴、y轴的速度分别为， 则导体棒在E点的速度方向与斜面的夹角满足 则，故D错误 故选C。 【变式1-3】（2026·江苏·一模）如题图所示，三角形斜面ABC水平固定，两个相同且可视为质点的小球a、b同时从C、D两点以相同速度水平抛出，先后落点为E、A。已知B、C、D在同一竖直线上，E为AC中点，小球a、b平抛到斜面上时的动能之比为，不计空气阻力。则该过程中，下列说法正确的是（　　） A．斜面的倾角为45° B．高度关系满足BC=1.5CD C．小球a、b距斜面的最远距离之比为 D．小球a、b距斜面最远时的位置在同一竖直线上 【答案】D 【详解】B．平抛运动水平方向有，由于小球a、b做平抛运动的水平位移比为，则小球a、b做平抛运动的时间之比为，根据 可知小球a、b在竖直方向下落的高度之比为，根据几何关系可知BC=CD，故B错误； A．小球a、b在E、A两点的竖直速度之比为，设斜面倾角为θ，由速度偏向角和位移偏向角关系可知 结合已知的动能关系可得 解得，故A错误； C．小球a、b距斜面最远时，两球距斜面投影点的竖直高度之比显然小于，因此两球距斜面的最远距离之比也一定小于，故C错误； D．小球a、b距斜面最远时的速度方向均与AC平行，运动时间相同，水平位移相同，即小球a、b距斜面最远时的位置在同一竖直线上，故D正确。 故选D。 考点02 平抛运动与曲面综合 已知条件 情境示例 解题策略 已知速度方向 从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道(如图所示)，末速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tanθ＝＝，t＝ 利用 位移 关系 从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上(如图所示)，位移大小等于半径R 从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R的圆弧上(如图所示)，水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方 【典例2】（2025·广东·模拟预测）如图所示，是四分之一圆弧，固定在竖直面内，是圆心，竖直，是圆弧上的一点，是上一点，水平，、、三点将四等分，在、、、四点分别水平抛出一个小球，小球均落在点，若小球落在点时能垂直打在圆弧面上，则小球的抛出点一定在（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【详解】小球垂直打在点时，速度方向的反向延长线过点，且交于水平位移的中点，如图所示 由几何关系可知抛出点一定在点。 故选C。 【变式2-1】 （2025·全国·模拟预测）如图，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α＝60°，一小球在圆轨道左侧的A点以速度＝5m/s平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为：（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道可知，小球在B点时的速度方向与水平方向的夹角为。由， 联立解得A、B之间的水平距离为 故选A。 【变式2-2】 （多选）（2025·吉林松原·模拟预测）如图，一倾角为的斜面顶端与半径为R的圆弧的圆心重合，斜面高度与圆弧半径相等。现使两个相同的小球P、Q（可视为质点）同时由斜面顶端以相等的初速度大小向左、右水平抛出，下列说法正确的是（　　） A．若初速度，两球将同时撞到斜面和圆弧上 B．若初速度，P球将落到斜面的底端 C．若P球恰好落到斜面的底部，则Q球在圆弧上的落点距地面高度高于 D．在小球能落到斜面的条件下，P球落到斜面的动能总是大于Q球落到圆弧上的动能 【答案】AC 【详解】A．如图所示 与斜面对称的斜边交圆弧于点，两球只有落到、点的高度和时间相同，可同时撞在斜面与圆弧上；此时有， 解得 故A正确； B．若P球落到斜面底端有， 解得 故B错误； C．当P球落到斜面底端时，Q在圆弧上的落点距地面高度高于，轨迹如图中的抛物线，故C正确； D．当时，P球在斜面上的落点高于Q在圆弧的落点，即重力对Q球做的功更多，由机械能守恒可知此情况下P球落到斜面的动能小于Q球落到圆弧上的动能，故D错误。 故选AC。 【变式2-3】（多选）（2025·河南三门峡·一模）如图所示，竖直放置的圆筒内壁光滑，圆筒半径为R，高为h。P、Q为圆筒上、下底面圆上的两点，且连线竖直，一可视为质点的小球由P点沿筒内侧与半径垂直方向水平抛出，小球质量为m，初速度大小为。小球的运动轨迹与的交点依次为上的A、B、C三点，重力加速度为g，不计空气阻力，则以下说法正确的是（　　） A．小球到达C点时下落高度为 B．小球在A、B、C三点时对筒壁的压力大小之比为1∶1∶1 C．A、B间距离为 D．小球在P点时所受合力大小为 【答案】BC 【详解】A．小球在水平方向上做匀速圆周运动，圆周运动周期为 小球在竖直方向上做自由落体运动，小球到达C点时，经历时间为，则有 解得 故A错误； B．小球在水平方向上做匀速圆周运动，由筒壁对小球的支持力提供向心力，则有 根据牛顿第三定律有 解得 可知，小球在A、B、C三点时对筒壁的压力大小之比为1∶1∶1 故B正确； C．小球在竖直方向上做自由落体运动，小球到达A点、B点经历时间分别为T、，则有 结合上述解得 故C正确； D．小球在水平方向上做匀速圆周运动，由筒壁对小球的支持力提供向心力，则有 小球所受外力的合力 故D错误。 故选BC。 考点03 斜抛运动 1．类平抛运动与平抛运动的区别 做平抛运动的物体初速度水平，物体只受与初速度垂直的竖直向下的重力，a＝g；做类平抛运动的物体初速度不一定水平，但物体所受合力与初速度的方向垂直且为恒力，a＝。 2．求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动。 (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解。 【典例3】（2026·重庆沙坪坝·一模）郑钦文在澳大利亚的网球公开赛中击球后，网球以一定初速度斜向上方飞出。若忽略空气作用，则网球从飞出到落地的过程中，下列说法正确的是（    ） A．网球做非匀变速曲线运动 B．网球在最高点的速度为0 C．相同时间内网球速度的变化量相同 D．网球速度一直减小 【答案】C 【详解】A．忽略空气阻力时，网球在空中运动只受到重力的作用，做的是匀变速曲线运动，故A错误； B．网球在空中只受重力做斜抛运动，水平方向分速度是不变的，所以在最高点处，竖直方向速度为0，水平方向速度不为0，故B错误； C．网球的加速度为重力加速度，根据速度变化量的公式可知，相同时间内的速度变化量相同，故C正确； D．网球做斜抛运动，水平方向分速度不变，竖直方向初速度向上， 根据公式可知竖直方向速度先减小后增大，所以合速度也是先减小后增大的，故D错误。 故选C。 【变式3-1】 （多选）（2025·湖南郴州·一模）在一个倾角为θ的足够长的固定斜面上，一小球以初速度v离开斜面，方向与斜面方向成θ角斜向上。已知重力加速度为g，空气阻力不计，下列说法正确的是（　　） A．小球在空中任意相等的时间内速度变化不相等 B．小球经时间，离斜面最远 C．小球开始运动到第一次落到斜面上时间为 D．小球开始运动到第一次落到斜面上位移为 【答案】BD 【详解】A．小球在空中只受重力作用，加速度为重力速度，速度变化量 可知相等时间内速度变化一定相同，故A错误； B．将小球的运动分解为垂直斜面方向和沿斜面方向两个分运动，小球垂直斜面方向的初速度大小为 加速度大小 当小球垂直斜面的速度减为零时离斜面最远，有 故B正确； C．由斜抛的对称性可知，小球从开始运动到第一次落到斜面上时间为 故C错误； D．小球沿斜面方向的初速度大小为 加速度大小 则小球开始运动到第一次落到斜面上位移为 故D正确。 故选BD。 【变式3-2】 （2025·河北秦皇岛·模拟预测）我国的抛石机最早出现于战国时期，通过人在远离抛石机的地方牵拉连在横杆上的梢抛出石块。如图所示，某次抛石过程简化如下，从Q点抛出一石块，一段时间后，石块落在城楼上的P点，此时石块速度v和P、Q点的连线与水平方向夹角均为30°，已知v=15m/s，重力加速度g=10m/s²，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．石块在空中运动的总时间为4s B．石块运动到的最高点与Q点的高度差为45m C．石块到P、Q连线的距离最远时，速度大小为15m/s D．石块到P、Q连线的最远距离为 【答案】C 【详解】A．将石块的运动分解为沿连线分运动和垂直连线分运动；垂直连线上，根据对称性可知，石块在点垂直连线的分速度为 则石块在空中运动的总时间为，故A错误； B．石块在点沿连线的分速度为 则石块在点的竖直分速度为 则石块运动到的最高点与Q点的高度差为，故B错误； C．石块到P、Q连线的距离最远时，垂直连线的分速度为0，所用时间为 此时石块的速度大小为，故C正确； D．石块到P、Q连线的最远距离为，故D错误。 故选C。 【变式3-3】（2026·黑龙江辽宁·一模）滑雪跳台场地可以简化为如图甲所示的模型。图乙为简化后的跳台滑雪雪道示意图，段为助滑道和起跳区，段为倾角的着陆坡。运动员从助滑道的起点由静止开始下滑，到达起跳点时，借助设备和技巧，以与水平方向成角起跳角的方向起跳，最后落在着陆坡面上的点。已知运动员在点以的速率起跳，轨迹如图，不计一切阻力，取。求： (1)运动员在空中运动的最高点到起跳点的距离； (2)运动员离着陆坡面的距离最大时的速度大小； 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）从O点起跳后运动员做斜抛运动，水平速度分量为 竖直方向分量为 运动员到达最高点时竖直速度减为零，所用时间为 水平位移 竖直位移 运动员在空中运动的最高点到起跳点的距离 （2）运动员离着陆坡面的距离最大时速度的方向应与斜面平行，即 此时的速度为 考点04 圆周运动及其临界问题 1．解决圆周运动力学问题的关键 (1)正确进行受力分析，明确向心力的来源，确定圆心以及半径． (2)列出正确的动力学方程F＝m＝mrω2＝mωv＝mr.结合v＝ωr、T＝＝等基本公式进行求解． 2．求解圆周运动问题的思维流程 【典例4】（2025·河南·模拟预测）如图，游乐场空中飞椅项目惊险刺激，可简化为如下情景：水平转盘可绕竖直轴转动，长度相同的细绳上端固定在转盘同一高度不同的位置，左右对称，下端连接小球。转盘匀速转动稳定后，各绳与竖直方向的夹角保持不变，对于各绳方向的描述，下列四幅图中最符合实际的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】每个摆球均可等效为固定在题图示虚线上端的圆锥摆，设绳长为，虚线长度为，虚线与竖直方向的夹角为，角速度为。对摆球，细绳拉力和重力的合力充当向心力，由牛顿第二定律可得 圆锥摆的摆高 可得 同一个转盘上的四个摆球角速度相同，等效圆锥摆摆高相同。 故选C。 【变式4-1】 （2025·宁夏吴忠·二模）随着国产新能源汽车的飞速发展，现在很多车型都会配备空气悬架系统，相较传统仅由弹簧构成的悬架，能大幅提高轿车的舒适性。空气悬架系统的工作原理可简化为如图甲、乙所示的两类，悬架装置的质量、活塞柱与汽缸的摩擦、汽缸壁厚度均忽略不计，汽缸导热性和气密性均良好。现将两套装置分别独立安装到两辆相同的汽车上（四个轮子，不混装），两车静止于水平地面时汽缸内的空气柱长度均为。已知大气压强恒为，环境温度为，每个汽缸活塞的面积为，汽车的质量均为（不含四个车轮），重力加速度为，气体均可看作理想气体，汽缸与车身始终保持相对静止且能正常工作。 (1)甲装置未安装到汽车上时，弹簧长度为（此时为原长），汽缸内的气体压强为，求弹簧的劲度系数； (2)若安装乙装置的汽车所处环境温度从升高到，求四个汽缸内的气体总共对外做的功； (3)环境温度保持不变，三名质量均为人员驾乘安装装置乙的车辆出行，行驶速度始终为，行至半径为的圆弧凹型路面最低处时，求车身相较于在空车静置于水平面时下降的高度。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）设该车静止于水平地面时，每个汽缸内气体压强为，根据平衡条件可知 气体做等温变化，根据玻意耳定律可得 联立解得此时每个汽缸的压强 弹簧的劲度系数 （2）设此时车身相较于环境温度为时上升的高度为，分析可知该变化为等压变化，设稳定时每个汽缸内的气体压强为，根据盖-吕萨克定律可得 由平衡关系 解得车身高度上升 故气体对外做功 （3）设三名质量为人员以速度驾乘行至半径为的圆弧凹型路面最低处时每个汽缸内气体压强为，汽缸提供的总支持力为，受力分析有 解得汽缸提供的总支持力 根据平衡关系有 两种状态间的变化为等温过程，根据玻意耳定律 联立以上各式得 【变式4-2】（2025·甘肃·模拟预测）三百六十行，行行出状元。最近一段服务员快速摆餐盘的视频火遍全网，服务员把盘子均匀放到餐桌中间的转盘边缘上后，增大转盘转动角速度，餐盘从转盘边缘飞出，落在餐桌上立即停下。已知餐盘和转盘间的动摩擦因数为，餐盘到转盘中心的距离为，忽略餐盘的大小，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，转盘到桌面的高度为，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．餐盘质量越大从转盘边缘飞出时速度越小 B．餐盘落到餐桌上前瞬间的速度大小为 C．转盘加速转动过程中，餐盘受到的摩擦力始终指向转盘中心 D．落到餐桌上的餐盘到转盘中心的水平距离为 【答案】B 【详解】A．餐盘从转盘边缘飞出时，满足 故飞出时速度为，与质量无关，故A错误； B．餐盘飞出后做平抛运动，有，， 餐盘落到餐桌上的速度为，故B正确； C．餐盘随转盘加速转动过程中，速度增大，合外力即摩擦力不指向圆心，故C错误； D．落到餐桌上的餐盘到转盘中心的水平距离为，故D错误。 故选B。 【变式4-3】 （2025·吉林·一模）如图（a）所示，某景点有一娱乐项目“玻璃滑道”，图（b）为其轨道侧视图，质量为的人从A处静止下滑，经最终停在G处，已知、、、、都是半径为的圆弧，其对应的圆心角均为60°，段水平，长为，人滑到F点时轨道对人的弹力为自身重力的2倍，重力加速度g取，求： (1)在段人与玻璃滑道间的动摩擦因数μ； (2)在玻璃滑道段滑动过程中人克服阻力做的功。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）人刚滑到圆弧末端F点时，受到重力和轨道对人的支持力，由牛顿第二定律可得     其中 联立解得 在段由动能定理得     联立解得 （2）人在段滑动过程中，由动能定理可得     解得 1．（2025·江苏·模拟预测）如图所示，一底面涂有墨汁的棋子从匀速运动的水平传送带边缘O点垂直弹入，棋子在传送带表面滑行一段时间后随传送带一起运动，棋子在传送带上留下的墨迹（俯视图）为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对棋子进行受力分析可知，棋子在传送带上滑动时，棋子所受的合外力就是传送带给棋子的滑动摩擦力，而在传送带这个参考系中，滑动摩擦力方向始终与棋子的相对运动方向相反，故棋子的合速度方向和滑动摩擦力的方向在一条直线上，所以棋子的运动轨迹应该是一条直线，又因为棋子相对于传送带往后运动，所以棋子在传送带上留下的墨迹（俯视图）为选项B。 故选B。 2．（2025·辽宁丹东·模拟预测）在现代农业中，使用无人机播撒种子成为新的选择，可以大大降低人力成本。若无人机水平匀速飞行，同时每隔相等时间定量播撒种子，相邻两次播撒的种子落地后的水平间距越大种植密度越小，（空气阻力忽略不计）则下列说法中正确的是（　　） A．仅减小无人机匀速飞行速度，不会改变播种过程中的种植密度 B．仅减小无人机匀速飞行速度，会减小播种过程中的种植密度 C．仅升高无人机的飞行高度，会增加播种过程中的种植密度 D．仅升高无人机的飞行高度，不会改变播种过程中的种植密度 【答案】D 【详解】相邻两次播撒的种子水平间距为（为无人机速度，为播撒时间间隔）。 AB．减小会直接减小，导致种植密度增大，故A、B均错误； CD．种子下落时间，高度改变仅影响单颗种子的水平位移，但相邻种子的间距与无关，故升高不会改变密度，D正确，C错误。 故选D。 3．（2025·四川德阳·一模）某同学练习投篮，通过高速摄影获得篮球在空中的运动轨迹。如图所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，篮球做曲线运动，则合外力应指向轨迹的凹侧。 故选A。 4．（2025·四川成都·一模）机器人表演扭秧歌时，将左、右手中的手绢同时抛出互换，如图（b）所示。两手绢在空中的运动轨迹分别为轨迹和轨迹，若忽略空气阻力，则（　　） A．沿轨迹运动的手绢加速度更大 B．沿轨迹运动的手绢在空中运动时间更长 C．沿轨迹运动的手绢到最高点时速度更大 D．沿轨迹运动的手绢到最高点时速度更大 【答案】D 【详解】A．手绢沿轨迹和运动的加速度相等均为重力加速度，故A错误； B．手绢在空中为斜上抛运动，手绢从手中到最高点（逆向思维）与最高点到手中为对称的平抛运动，设手绢在空中运动时间为，由可知，沿轨迹运动的手绢更大，所以其在空中运动时间更长，故B错误； CD．设手绢在空中运动时间为，由 由图可知相同，沿轨迹运动的手绢在空中运动时间更短，所以沿轨迹运动的手绢到最高点时的速度更大，故C错误，D正确。 故选D。 5．（2025·贵州六盘水·一模）某同学用玩具枪打靶，该同学站在靶标中央位置正前方较远处，靶标为一个面积较大的竖直平面。射击时保持枪口位置不变，先后沿同一水平面内不同方位射出子弹，子弹初速度大小相等，在空中均做平抛运动，则靶标上出现的弹孔分布可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，玩具枪子弹在空中做平抛运动，水平速度大小不变，当枪口正对靶标中心时，子弹运动到靶标的水平位移最小，由平抛运动规律可知，子弹运动到靶标的时间最短，又由公式可知，子弹下落的高度最小； 在水平面左右旋转枪口朝向时，子弹运动到靶标的水平位移变大，运动时间变长，下落的高度变大。 故选B。 6．（多选）（25-26高三上·河北唐山·期中）如图，质量为的质量分布均匀的圆盘做水平面内的匀速圆周运动，其中三点共线，三点在圆盘边缘上均匀分布，等长且与的夹角均为为悬点，与竖直方向夹角为所能承受的最大拉力均为。下列说法正确的是（　　） A．绳上拉力大小为 B．绳上拉力大小为 C．若角速度增大，绳先断 D．若角速度增大，比绳先断 【答案】AC 【详解】AB．对圆盘整体分析，竖直方向则有 对结点受力分析，沿方向则有 联立解得，故A正确，B错误； CD．当角速度增大时，根据向心力可知，圆盘所需的向心力增大，因此和水平方向的分力都随之增大，但竖直方向需要承担在竖直方向的分力（即圆盘的重力），因此首先达到绳子能承受的最大拉力，即角速度增大时，绳先断，故C正确，D错误。 故选AC。 7．（多选）（2025·河南新乡·模拟预测）羽毛球是学生们课间最为喜爱的一项娱乐减压活动，如图所示是羽毛球在空中飞行的轨迹图。羽毛球被打出后的速度v0与水平方向的夹角为α，到达地面时速度与水平方向的夹角为β。B是羽毛球飞行过程中的最高点，A到B的时间为t1，B到C的时间为t2，不计空气阻力，羽毛球可以看成质点，则下列说法正确的是（    ） A．α=β B．t1<t2 C．羽毛球飞到C点时的速率 D．当α=45°时x有最大值 【答案】BC 【详解】A．速度与水平夹角正切 C点竖直方向速度大于A，水平速度不变，则大，即，故A错误； B．羽毛球从最高点开始做平抛运动，具有水平方向的速度和竖直向下的加速度，由运动的可逆性，可得羽毛球从点到点和从点到点都是平抛运动，由 可知，故B正确； C．羽毛球飞行过程中，水平方向做匀速直线运动，由 得，故C正确； D．根据以上分析可知，羽毛球的水平射程为 水平射程与竖直高度有关，并非只与角度有关，故D错误。 故选BC。 8．（多选）（2025·四川泸州·一模）如图所示，置于水平地面上仅四个侧面有挡板的正方体，边长，上表面中心放有一个大小可忽略且绕竖直轴线匀速转动的发球机，其转动角速度，每秒向水平方向发射一个质量初速度的小球，开始时水平向右发射第一个小球。小球与挡板碰撞后竖直方向速度分量不变，水平方向速度分量大小不变、方向反向，小球落地后不反弹。忽略小球随发球机做圆周运动的切线速度和空气阻力，重力加速度，。下列判断正确的是（　　） A．第一个小球落到地面过程中动能增加了42J B．第一个小球落地前瞬间重力的功率为 C．发球机转动第一圈有8个小球不碰侧面挡板就直接落地 D．发球机转动第一圈有12个小球不碰侧面挡板就直接落地 【答案】BC 【详解】A．由于小球与挡板碰撞后没有能量损失，所以第一个小球落到地面过程中只有重力对小球做功，根据动能定理可知第一个小球落到地面过程中动能增加量为，故A错误； B．第一个小球落地前瞬间竖直方向上的速度为，则落地前瞬间重力的功率为，故B正确； CD．小球落地需要的时间为 小球水平方向上的位移为，如图所示，OB=3.6m，OA=4.5m，小球恰好与A点不相碰，此时，即 因此在的范围内，有范围内发出的小球不会与侧面挡板碰撞，发球机的周期为，可知每秒发球机转，所以范围内，发球机用时8s，发球机每秒发出一个小球，所以发球机转动第一圈有8个小球不碰侧面挡板就直接落地，C正确，D错误。 故选BC。 9．（2025·河南新乡·模拟预测）公园中常有小朋友用发光转转球进行健身娱乐活动，如图1所示。情境可简化如下：不可伸长的轻绳一端系着质量m=1kg的小球，另一端系在固定竖直轴上。某次锻炼时，小球绕轴做角速度ω1=4rad/s的匀速圆周运动，此时轻绳与地面平行，拉力大小T1=4N，如图2所示。不计小球的一切阻力，小球可视为质点，sin53°=0.8，cos53°=0.6，重力加速度g取10m/s2。 (1)求轻绳的长度L； (2)若小球绕轴做角速度的匀速圆周运动，此时轻绳与轴的夹角，结点为O，如图3所示。求此时小球对地面的压力大小FN； 【答案】(1)0.25m；(2)4N 【详解】（1）轻绳拉力充当向心力，有 代入数据可得，轻绳的长度 （2）此时小球做圆周运动的半径 绳拉力的水平分力充当向心力 竖直方向上受力平衡，有 可求得， 根据牛顿第三定律 10．（2025·河南·模拟预测）如图所示，一个质量为m的足球静止在圆形水泥管道最低点，一小学生以水平速度将球踢出，足球沿管道内壁在同一个竖直面内运动，第一次到达管道最高点时足球恰好与管壁无挤压，再转不到一圈，足球从某一位置脱离管道，恰好掉入小学生的背包里（背包口正好在管道圆心处）。已知管道半径为R，重力加速度为g，不计空气阻力，足球可以看作质点。求： (1)足球第一次经过管道最高点时的速度大小v1； (2)足球脱离管道的位置和圆心的连线与水平方向夹角θ的正切值。 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）足球第一次经过管道最高点时，重力提供向心力，由牛顿第二定律，有 可得 （2）如图所示 设足球在A处脱离管道，之后做斜抛运动经过圆心O处，设A处足球速度大小为v，由牛顿第二定律有 设斜抛运动时间为t，沿AO方向，有 垂直AO方向，有 联立解得 11．（2025·四川成都·一模）如图所示，由光滑绝缘圆弧轨道与竖直支架组成的装置固定于竖直面内，C点位于水平地面上，两点的距离。圆心O点与A点等高，轨道半径，圆心角，空间内存在水平向左的匀强电场。现从A点静止释放一质量，电荷量的带负电小球（可视为质点），小球以的速度从B点离开圆弧轨道后落到水平地面上的D点（图中未标出）。，，重力加速度取。求： (1)匀强电场的场强大小E； (2)小球到达B点时轨道对小球的支持力大小N； (3)小球落地点D与C点的距离d。 【答案】(1)；(2)9N；(3)0.3625m 【详解】（1）由动能定理得 解得 （2）在B点对小球由牛顿第二定律得 代入数据解得 （3）小球离开B点后，水平方向做匀减速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，则水平方向由牛顿第二定律得 水平方向由运动学公式得， 竖直方向由运动学公式得， 解得，（舍去）， 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $