2026年河南省对口招生考试《数学高频考点冲刺卷》（三）（原卷版+解析版）

编写说明：本套冲刺卷严格依据河南省对口招生考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握、理解层级考点，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第3卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 河南省2026年普通高等学校对口招收中等职业学校 毕业生考试试卷 数学 高频考点冲刺卷（三） 考试时间：150分钟，满分：100分 考生注意：所有答案都要写在答题卡上，写在试题卷上无效 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内） 1．已知集合且，则集合的子集的个数为（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是，则的值是（    ） A． B．0 C． D．1 3．下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．若，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 6．函数在区间上取得最大值时，对应的（   ） A．0 B． C． D． 7．向量，，则与的关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相等 D．相反 8．在《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧.如图，正方形的边长为4，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点作第3个正方形，依此方法一直继续下去，记第1个正方形的面积为，第2个正方形的面积为，…，第个正方形的面积为，则前5个正方形的面积之和为（    ）    A．30 B． C． D． 9．若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为（ ） A． B．9 C． D．3 10．盒子中有4只螺丝钉，其中有2只是坏的，现从盒中随机地抽取2个，那么等于（   ） A．恰有1只是坏的概率 B．2只都是坏的概率 C．恰有1只是好的概率 D．至多1只是坏的概率 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．已知集合，则 . 12．已知方程在复数集范围内的一个虚根为，则实数 ． 13． ． 14．在中，，则的值为 ． 15．数列中，其前项和，则 ． 16．已知圆锥展开图的侧面积为，且为半圆，则底面半径为 ． 17．已知点，则线段的垂直平分线方程为 . 18．在的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为，则展开式的项数为 三、解答题（每小题8分，共24分） 19．已知函数的定义域为，求实数的取值范围． 20．已知圆上有两点、，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与直线垂直，且与圆相切，求直线的方程. 21．已知在中，，，，为边上的一点．    (1)若为边上的高，求的长； (2)若为的角平分线，求的长． 四、证明题（每小题6分，共12分） 22．如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面．    23．已知函数. (1)求函数的定义域; (2)判断函数的奇偶性,并用定义证明你的结论. 五、综合题（共10分） 24．已知函数．求： (1)的值； (2)的最大值及最小正周期． ( 34 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套冲刺卷严格依据河南省对口招生考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握、理解层级考点，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第3卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 河南省2026年普通高等学校对口招收中等职业学校 毕业生考试试卷 数学 高频考点冲刺卷（三） 考试时间：150分钟，满分：100分 考生注意：所有答案都要写在答题卡上，写在试题卷上无效 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内） 1．已知集合且，则集合的子集的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先列举出集合的元素，确定元素的个数，再由集合A的子集的个数为求值即可. 【详解】已知集合且， 共有个元素，所以集合的子集的个数为， 故选：D. 2．不等式的解集是，则的值是（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据韦达定理求出，再相加即可. 【详解】已知不等式的解集是， 所以当时，分别是方程的两个根， 则根据韦达定理得， 解得， 所以. 故选：B. 3．下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合一次函数、余弦函数、幂函数、对数函数的奇偶性和单调性，即可判断求解. 【详解】因为是一次函数，，故该函数在定义域上单调递增， 又得定义域关于原点对称， 但，故该函数不是奇函数，故选项A不符合题意； 因为是余弦函数，定义域为R， 又，所以该函数是偶函数，不是奇函数， 且余弦函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减， 故选项B不符合题意； 因为是幂函数，在定义域R上单调递增， 因为函数定义域为R，关于原点对称， 又，所以该函数是奇函数， 故选项C符合题意； 因为是对数函数，定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数， 又底数为，故该函数在定义域上单调递增， 故选项D不符合题意； 故选：C. 4．已知函数，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据题意，结合分段函数求函数值，及对数的运算，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：D. 5．若，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据商数关系的分式变形，求解即可. 【详解】分子分母同除以，得， 即， 解得：. 故选：A. 6．函数在区间上取得最大值时，对应的（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦函数的最大值求解即可． 【详解】当在上最大值为1，则或， 所以取最大值1，对应的或. 故选：A． 7．向量，，则与的关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相等 D．相反 【答案】A 【分析】根据题意结合垂直，平行，相等，相反向量的坐标表示即可得解. 【详解】向量，， 因为，所以，故正确； ，所以与不平行，故错误； ，故错误； ，所以，故错误， 故选：A. 8．在《庄子·天下》中提到：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，蕴含了无限分割、等比数列的思想，体现了古人的智慧.如图，正方形的边长为4，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点作第3个正方形，依此方法一直继续下去，记第1个正方形的面积为，第2个正方形的面积为，…，第个正方形的面积为，则前5个正方形的面积之和为（    ）    A．30 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合等比数列的定义及求和公式即可得解. 【详解】设第个正方形的边长为，由题意可知：， 则，， 所以， 正方形面积的规律是首项16，公比为的等比数列， 前5个正方形的面积之和为. 故选：B. 9．若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为（ ） A． B．9 C． D．3 【答案】A 【分析】根据题意，结合双曲线方程表示出渐近线方程，结合两直线平行斜率相等，即可求解. 【详解】因为的渐近线方程为， 又一条渐近线与直线平行， 所以，故. 故选：A. 10．盒子中有4只螺丝钉，其中有2只是坏的，现从盒中随机地抽取2个，那么等于（   ） A．恰有1只是坏的概率 B．2只都是坏的概率 C．恰有1只是好的概率 D．至多1只是坏的概率 【答案】B 【分析】根据古典概型公式可求解. 【详解】4只螺丝钉分别记做a，b，c，d；其中a，b是坏的．现从盒中随机地抽取2个，所有的情况有，，，，，共6种，其中2只都是坏的有一种． 所以2只都是坏的概率， 同理，恰有1只是坏的概率，恰有1只是好的概率，至多1只是坏的概率. 故选：B 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．已知集合，则 . 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法求得集合，根据绝对值不等式的解法求得集合，然后由交集的概念求得答案. 【详解】， . 故， 故答案为：. 12．已知方程在复数集范围内的一个虚根为，则实数 ． 【答案】5 【分析】根据题意求得方程的另一虚根，结合韦达定理即可求解. 【详解】由题意得，方程的另外一个虚根为. 所以，解得. 故答案为：5. 13． ． 【答案】2 【详解】利用指数幂和对数的运算性质计算即可。 【分析】原式， 故答案为：2． 14．在中，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合余弦的二倍角公式，三角函数诱导公式，求解即可． 【详解】在中，， 所以，， 所以． 故答案为：. 15．数列中，其前项和，则 ． 【答案】11 【分析】根据，即可求解. 【详解】，， . 故答案为：. 16．已知圆锥展开图的侧面积为，且为半圆，则底面半径为 ． 【答案】1 【分析】根据圆锥展开图的侧面积公式以及圆心角公式，建立方程即可解得. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， 则，解得. 故答案为：1. 17．已知点，则线段的垂直平分线方程为 . 【答案】 【分析】根据已知条件先求中点和斜率，代入直线的点斜式方程即可求解. 【详解】因为点， 所以线段的中点坐标： 又线段的斜率： ，所以垂直平分线的斜率为， 由点斜式得垂直平分线方程： ，整理得. 故答案为：. 18．在的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为，则展开式的项数为 【答案】7 【分析】先表示出二项式系数和与各项系数和，再由比例求出n的值，即可求解展开式的项数. 【详解】由题意，二项式的展开式的二项式系数之和为， 令，可得展开式的各项系数之和为， 因为二项式系数之和与各项系数之和比为， 所以可得，即，解得， 所以二项式展开式的项数为. 故答案为：. 三、解答题（每小题8分，共24分） 19．已知函数的定义域为，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由根式有意义的条件及一元二次不等式恒成立的条件即可得解. 【详解】要使函数有意义，则， 因为函数的定义域为， 所以的解集为， 当，即时，的解集为，不满足题意； 当，即时， ，解得， 所以不等式组的解集为. 综述，实数的取值范围为. 20．已知圆上有两点、，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与直线垂直，且与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意假设圆心的坐标，再利用半径相等得到关于的方程，进而得解； （2）先求得直线AB的斜率，进而利用两直线垂直求得直线的斜率，再利用直线与圆相切的性质求得参数，从而得解. 【详解】（1）因为圆的圆心在直线上，设圆心坐标为， 易知圆心到的距离相等， 所以，解得，即圆心为， 则半径， 故圆的标准方程为：. （2）依题意，得直线AB的斜率为， 因为，故直线的斜率为， 设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以，解得， 故直线的方程为：或. 21．已知在中，，，，为边上的一点．    (1)若为边上的高，求的长； (2)若为的角平分线，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理与面积公式求解即可； （2）利用面积公式求解即可； 【详解】（1）因为中，，，， 所以由余弦定理可得， 所以. 因为， 所以，解得. （2）因为为的角平分线， 所以， 即， 解得. 四、证明题（每小题6分，共12分） 22．如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面．    【答案】证明见解析 【分析】根据线面垂直的判定证明即可； 【详解】∵在中，D是的中点，， ∴,∵E是的中点，D是的中点， ∴，∴， 又，，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴， 又，，平面，平面， ∴平面． 23．已知函数. (1)求函数的定义域; (2)判断函数的奇偶性,并用定义证明你的结论. 【答案】（1）（2）是奇函数，证明见解析 【解析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可； （2）根据函数奇偶性的定义进行判断． 【详解】(1)由,解得,∴,∴函数的定义域. (2)函数是奇函数. 证明:由(1)知定义域关于原点对称.因为函数. ∵， 所以函数是奇函数. 五、综合题（共10分） 24．已知函数．求： (1)的值； (2)的最大值及最小正周期． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将代入解析式求值即可. （2）运用二倍角的正余弦公式结合辅助角公式化简，再由正弦公式的最值公式和周期公式即可解答. 【详解】（1）已知函数， 则 . （2） ， 所以当时，的最大值为， 最小正周期． ( 34 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $