专题01：观察物体（三）（解决问题讲义）数学人教版五年级下册

人教版五年级数学下册解决问题 专题01：观察物体（三） （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 一、通用解题核心思路（黄金三步法） 1、分析从上面看到的图形形状，确定底层框架：从上面看到的图形形状能直接看出底层小正方体的行数、列数和分布位置，是还原立体图形的基础； 2、结合从前面看到的图形形状，确定每列层数：从前面看到的图形形状反映立体图形的列数和每列的最大层数，对应到从上面看到的图形的列中，标注每列可有的最大高度； 3、结合从左面看到的图形形状，确定每行层数：从左面看到的图形形状反映立体图形的行数和每行的最大层数，对应到从上面看到的图形的行中，调整并确定每个位置的小正方体层数。 二、分考点解题技巧与方法 考点01：根据从不同方向观察到的图形形状还原立体图形 1、核心技巧：三步还原法 （1）用“从上面看”做地基：根据从上面看到的图形画出小正方形网格，明确底层小正方体的分布位置（每个小正方形代表底层1个小正方体）； （2）用“从前面看”定列高：从前面看到的图形的每一列对应从上面看到的图形的列，在从上面看到的图形的每一列上方标注该列能有的最大层数（如从前面看到的图形第2列高3层，从上面看到的图形第2列所有位置的层数≤3）； （3）用“从左面看”定行高：从左面看到的图形的每一行对应从上面看到的图形的行，在从上面看到的图形的每一行右侧标注该行能有的最大层数（如从左面看到的图形的第1行高2层，从上面看到的图形第1行所有位置的层数≤2）； （4）综合确定层数：每个位置的层数必须同时满足“列高”和“行高”的限制，最终确定每个位置的小正方体个数。 2、关键原则：每个位置的小正方体层数=列高与行高的最小值（不超过两者的限制）。 【易错点拨】 （1）从三个方向观察图形必须结合使用，从一个方向观察图形无法确定唯一立体图形； （2）标注层数时，不能超过从前面看到的图形和从左面看到的图形的最大层数限制。 考点02：确定立体图形的摆法 1、摆法唯一的判断条件：当每个位置的层数被从三个方向观察到的图形唯一确定（即列高=行高）时，摆法只有1种； 2、摆法多样的判断条件：当某位置的层数满足“≤列高且≤行高”，但层数可以取多个值时，摆法有多种； 3、有序列举摆法 ①先确定“必须有”的小正方体（层数≥1 的位置）； ②再找出“可增减”的位置（层数可变化的位置）； ③按“层数从少到多”或“从左到右、从上到下”的顺序列举，避免重复或遗漏。 【易错点拨】 （1）摆法多样时，必须保证“从三个方向观察到的图形不变”，即增减小正方体后，从三个方向观察到的图形的形状不改变； （2）列举摆法时，优先固定底层，再考虑上层的增减。 考点03：通过小正方体的数量还原立体图形 1、求小正方体最少个数 （1）原则：底层必摆满，上层只在“需要的位置”摆1层（满足从前面看到的图形、从左面看到的图形的层数要求即可，不额外增加）； （2）方法： ①底层个数=从上面看到的图形中小正方形的个数； ②上层个数=从前面看到的图形中“层数＞1”的列数（或从左面看到的图形中“层数＞1”的行数）的最少补充数； ③总数=底层个数+上层最少补充个数。 2、求小正方体最多个数 （1）原则：每个位置都摆到“列高和行高的最小值”（不超过从三个方向观察到的图形限制的最大层数）； （2）方法： ①逐个计算从上面看到的图形中每个位置的最大层数（列高与行高的最小值）； ②所有位置的层数相加，得到总数。 3、已知总数还原立体图形 步骤： ①先算最少个数和最多个数，验证已知总数是否在两者之间； ②若在范围内，先按最少个数摆，再在“可增减”的位置添加小正方体，直到总数达标。 【易错点拨】 （1）最少个数的核心是“不浪费”，只在满足关键位置加层； （2）最多个数的核心是“不超限”，每个位置都摆到允许的最大层数； （3）已知总数时，必须先判断总数是否在“最少～最多”区间内，不在则无法还原。 考点1：根据从不同方向观察到的图形形状还原立体图形 【典型例题】“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”是一句很有哲理的诗句，告诉我们要认识事物的真相与全貌，就要从不同的角度去看，不能单方面想问题。有一个用同样大小的正方体摆成的组合体，从上面看是，从左面看是，请你分析一下这个组合体至少需要（ ）个小正方体才能摆成。 【答案】7 【分析】从上面看是说明最底下一层有5个小正方体，从左面看是说明上面一层至少2有个小正方体，据此解答即可。 【详解】从上面看是，说明最底下一层有5个小正方体， 从左面看是，说明上面一层至少有个小正方体， 5＋2＝7（个） 所以这个组合体至少需要7个小正方体才能摆成。 【练习1】下面是乐乐从不同方向观察一个几何体看到的图形，则这个几何体是（     ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】A．从正面看是由4个小正方形拼成的大正方形；从上面看有2行，沙漠化，上面1行2个小正方形，下面1行靠左1个小正方形；从左面看有2行，下边1行2个小正方形，上边1行靠左1个小正方形。 B．从正面看有2行，下边1行2个小正方形，上边1行靠右1个小正方形；从上面看有2行，上面1行2个小正方形，下面1行靠左1个小正方形；从左面看有2行，下边1行2个小正方形，上边1行靠左1个小正方形。 C．从正面、上面、左面看都是由4个小正方形拼成的大正方形。 【详解】A．从正面看是，从上面看是，从左面看是； B．从正面看是，从上面看是，从左面看是； C．从正面看是，从上面看是，从左面看是。 这个几何体是。 故答案为：A 【练习2】小丽用搭成一个几何体，从上面看到的是，从右面看到是，从前面看到是，小丽用了（     ）个。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意，从上面看到的是，从前面看到是，从右面看到是，可知有3层，底层有2个小正方体，上面的两层分别有2个小正方体，右齐，据此解答即可。 【详解】 由分析可得：小丽用搭成一个几何体，从上面看到的是，从右面看到是，从前面看到是，小丽用了4个。 故答案为：B 考点2：确定立体图形的摆法 【典型例题】用小正方体搭一个立体图形，从上面和正面看到的形状分别如下图所示，有（ ）种搭法，最多可以有（ ）个小正方体。 【答案】 3 6 【分析】根据题意可知，从正面看到图形有两层，上面一层有1个正方形且居中，下面是3个正方形，则下面一层最少摆三个正方体，上面最少摆一个正方体； 结合从上面看到的图形可知，正方体要摆两行，前面一行靠左摆两个，后面一行靠右摆两个，则上面一层有一个或者两个正方体摆在中间一列，据此画图解答。 【详解】根据分析画图如下： 所以，有3种搭法，最多可以有6个小正方体。 【练习1】汪杰用10个小正方体拼成了一个立体图形（如图）。如果要使从前面看到的图形不变，他最多可以拿走（ ）个小正方体；如果要使从上面看到的图形不变，他最多可以拿走（ ）个小正方体。 【答案】 3 4 【分析】要使前面看到的图形不变，那么可以将第一行下面右边2个和上面1个拿走；要使从上面看到的图形不变，那么可以将最上面两层的4个拿走。 【详解】据分析可知，如果要使从前面看到的图形不变，他最多可以拿走3个小正方体；如果要使从上面看到的图形不变，他最多可以拿走4个小正方体。 【练习2】如图，用7个同样的正方体摆成一个物体。从标有①、②、③、④的正方体中拿走一个后，剩下的部分从上面、正面和左面看到的图形都是。拿走的是（     ）号正方体。                     A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】分别从标有①、②、③、④的正方体中拿走一个后，判断剩下的部分从上面、正面和左面看到的图形是否都是，如果是，则拿走的是标有对应号码的正方体，据此解答。 【详解】A．如果拿走标有①的正方体，剩余的部分从上面、正面和左面看到的图形都是，符合题意； B．如果拿走标有②的正方体，剩余的部分从上面和正面看到的图形都是，从左面看到的图形是，不符合题意； C．如果拿走标有③的正方体，剩余的部分从上面和左面看到的图形都是，从正面看到的图形是，不符合题意； D．如果拿走标有④的正方体，剩余的部分从上面看到的图形是，从正面和左面看到的图形都是，不符合题意。 因此拿走的是①号正方体。 故答案为：A 考点3：通过小正方体的数量还原立体图形 【典型例题】小明用相同的小正方体摆了一个几何体，从上面看是下图的形状，数字表示在这个位置上所用的小正方体个数。 （1）这个几何体是由（ ）个小正方体组成的。 （2）观察这个几何体，从正面看到的是（ ），从左面看到的是（ ）。（填序号） 【答案】（1）7 （2） ① ④ 【分析】（1）将每个位置小正方体的个数相加即可； （2）根据从上面看到的形状，可以确定底层摆了4个小正方体，以及这4个小正方体的位置，再根据每个位置小正方体的个数，确定这个几何体如图，从正面能看到3列共6个小正方形，从左往右分别是：3个、2个、1个，下齐；从左面能看到2列共5个小正方形，从左往右分别是：2个、3个，下齐；据此得出从正面和左面看到的平面图形。 【详解】（1）2＋1＋3＋1＝7（个） 这个几何体是由（7）个小正方体组成的。 （2），从正面看到的是，从左面看到的是。 观察这个几何体，从正面看到的是（①），从左面看到的是（④）。 【练习1】明明搭的积木从上面看到的图形如下图（图中的数字表示在这个位置上的小正方体个数）。这组积木从前面看到的图形是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】这组积木从前面观察可以看到3列，第一列（最左边）将显示2个小正方体的高度，接下来的第二列将显示3个小正方体，而第三列显示1个小正方体的高度，据此分析。 【详解】根据分析，这组积木从前面看到的图形是 。 故答案为：A 【练习2】 请画出搭的这组积木从正面和左面看到的形状。 【答案】见详解 【分析】根据从上面看到的形状，可知这个几何体由7个小正方体组成；从正面看有3列，从左往右，分别是1个、3个、1个，下齐；从左面看有2列，从左往右，分别是3个、2个，下齐；据此得出这个几何体，画出从正面和左面看到的形状。 【详解】结合从上面看到的形状和每个位置上小正方体的个数，可得出以下几何体： 从正面和左面看到的形状如下图： 夯实基础 1．嘉嘉用4个相同的小正方体搭成一个立体图形，从前面看到的是，从左面和上面看到的是，这个立体图形是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从不同方向观察这四个立体图形，分别得出从前面、左面、上面看到的平面图形，再与原图形比较，找出符合要求的立体图形。 【详解】从前面、左面、上面分别看到的平面图形如下： A． B． C． D． 故答案为：C 2．下图中，搭的这组积木，从左面看是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据从上面看到的形状可以确定底层个数和摆放位置，根据积木上面的数字，画出示意图，再观察从左面看到的形状即可。 【详解】如图，从左面看是。 故答案为：B 3．如图是用小正方体拼成的立体图形，要从左面可以看到，需要移走的小正方体是（     ）号。 A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】C 【分析】从左面看到的图形有两层，第一层有3个正方形，第二层有1个正方形靠最左边，据此解答即可。 【详解】根据分析可知，要从左面可以看到，需要移走的小正方体是③号。 故答案为：C 4．一个由同样大小的小正方体摆成的几何体，从前面看是，从左面看是，这个几何体最多要用（     ）个小正方体摆成。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】 从前面看是，由此可知这个几何体有两层，第一层至少有2个小正方体，第二层至少有1个小正方体；从左面看是，由此可知这个几何体有三排，结合从前面看到的图形每排最多有2个正方体，第二层最多有1个正方体，则这个几何体最多要用2×3＋1＝7个小正方体。 【详解】如图： 1×5＋2 ＝5＋2 ＝7（个） 则这个几何体最多要用7个小正方体摆成。 故答案为：C 5．一个立体图形，从上面看到的形状是图①，从左面看到的形状是图②，摆这样的立体图形最少需要相同小正方体的个数是（     ）个。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】从上面看到的形状是图①，则这个立体图形的底层最少有4个小正方体；从左面看到的形状是图②，则这个立体图形的上层最少有1个小正方体，与底层后排的任意一个小正方体对齐。据此解答。 【详解】4＋1＝5（个），则摆这样的立体图形最少需要相同小正方体的个数是5个。 故答案为：B 6．一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭这样的立体图形，最少需要（ ）个小正方体，最多可以有（ ）个小正方体。 【答案】 5 7 【分析】从上面看到的图形可得，这个图形底层前面一行1个小正方体，后面一行3个正方体，所以至少有4个小正方体； 从左面看到的图形可得，前面一行只有1层，所以前面一行只有1个正方形，后面一行是2层，要使小正方体最少，则上层只有1个正方体；要使小正方体最多，则上层是3个正方体。 【详解】最少有：4＋1＝5（个） 最多有：4＋3＝7（个） 搭这样的立体图形，最少需要5个小正方体，最多可以有7个小正方体。 7．一个立体图形，从正面看到的图形是，从左面看到的图形是，这个立体图形最多是由（ ）个拼成的，最少是由（ ）个拼成的。 【答案】 9 7 【分析】根据题意可知，要使这个立体图形，从正面看到的图形是，从左面看到的图形是，则这个立体图形分2层，第1层最多有6个小正方体（分2排，每排3个），最少有4个小正方体（分2排，第1排3个，第2排1个）；第2层有3个小正方体，且都在第1排，依此解答。 【详解】6＋3＝9（个） 4＋3＝7（个） 这个立体图形最多是由9个拼成的，最少是由7个拼成的。 8．《盲人摸象》的故事大家耳熟能详，说的是一群盲人摸一头大象，每个人把自己摸到的一个部位误认为是整体，后来人们便用“盲人摸象”来形容那些观察事物片面，只见局部不见整体的人，数学学习上也存在这样的问题，比如用6个同样的小正方体摆图形，如果要求从正面看到的是，你能确定这6个小正方体是怎样摆的吗？（ ）（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】用6个同样的小正方体摆图形，如果要求从正面看到的是，只能确定摆成的图形有2层，但每层摆小正方体的行数和每行的个数无法确定。 【详解】通过分析可得：用6个同样的小正方体摆图形，如果要求从正面看到的是，不能确定这6个小正方体是怎样摆的。 9．明明用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数），这个几何体，从前面看是（ ），从左面看是（ ），从右面看是（ ）。 【答案】 ② ③ ④ 【分析】根据从上面看到的形状以及各个位置上的数字可知，这个几何体中间最高，最高有3个小正方体，左右两边比较低，各1个小正方体，那么从前面看是②。这个几何体分为前后两排，第一排最高有2个小正方体，第二排最高有3个小正方体，那么从左面看，左高右低是③；从右面看，左低右高是④。 【详解】这个几何体，从前面看是②，从左面看是③，从右面看是④。 10．仓库里有一堆存放货物的正方体纸箱，从上面和前面看都如图1，从左面看如图2，这堆纸箱最多有（ ）个。    【答案】12 【分析】根据从上面看到的图形可知，这堆纸箱的第一层有8个；根据从前面看到的图形可知，第二层最多有4个，据此解答即可。 【详解】如图所示：   8＋4＝12（个） 则这堆纸箱最多有12个。 11．小刚搭的积木从上面看到的形状是，小正方形上的数表示在这个位置上所用小正方体的个数。从正面看是（ ），从左面看是（ ）。        【答案】 ② ③ 【分析】根据题意可知，从正面看到的图形是2层，下层是3个正方形，上层2个正方形，靠右边；从左面看到的图形是2层，下层2个正方形，上层1个正方形，靠右边；由此即可解答。 【详解】小刚搭的积木从上面看到的形状是，小正方形上的数表示在这个位置上所用小正方体的个数。从正面看是，从左面看是。 12．小明用小正方体搭了一个几何体，从左面看是，从上面看是，搭这个几何体，他最少用了（ ）个小正方体，最多用了（ ）个小正方体。 【答案】 5 7 【分析】根据从上面看到的平面图形可知，这个几何体的下层有4个小正方体；根据从左面看到的平面图形可知，这个几何体有2层，上层最少有1个，最多有3个，据此得出这个几何体最少和最多用到小正方体的个数。 【详解】如图： 搭这个几何体，他最少用了5个小正方体，最多用了7个小正方体。 13．由一些大小相同的小正方体组成的几何体，从上面看到（其中正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数），则从正面看到的是（ ）号图形，从左面看到的是（ ）号图形。 ①    ②    ③    ④ 【答案】 ① ③ 【分析】由题可知，从正面看第一列有1个小正方体，第二列最多有4个小正方体，第三列有3个小正方体；从左面看第一列最多有3个小正方体，第二列最多有4个小正方体。 【详解】分别从正面和左面观察所给几何体，根据看到的形状，可知从正面看到的是①号图形；从左面看到的是③号图形。 14．给添一个小正方体，使物体从上面看形状不变，有（ ）种摆放的方法；若从正面看形状不变，有（ ）种摆放的方法；若从侧面看形状不变，又有（ ）种摆放的方法。 【答案】 4 6 5 【分析】已知图示中的组合体，需要添一个小正方体，使其从上面、正面、侧面看到的形状都不改变，可以先画出组合体的三视图，再结合三视图具体分析，确定添加小正方体的方法。 【详解】①从上面看：，要保证从上面看形状不变，可以放在每一个小正方体的正上方；即可以位于4个小正方体中任意一个的上面；因此一共有4种摆放的方法； ②从正面看：，要保证从正面看形状不变，可以放在组合体的正前方或者正后方：放在前面，即第一排3个小正方体的任意一个的前面；放在后面，即第二排单独一个小正方体的后面或者第一排中间和右侧两个小正方体的任意一个的后面；因此一共有6种摆放的方法； ③从侧面看：，只要保证侧面看到的还是2个小正方体排成一排即可；可以放在组合体第一列两个小正方体的左面；或者组合体第2列1个小正方体的后面；或者第3列一个小正方体的后面；或者第3列一个小正方体的右面；因此一共有5种摆放的方法。 15．摆出的这个立体图形，从正面看到的图形是（ ），从左面看得到的图形是（ ）。 【答案】 ② ④ 【分析】观察图形可知，从正面看到的图形是3层，下层是3个正方形，中层是2个正方形，靠右，上层是1个正方形，居中；从左面看到的图形是3层，下层2个正方形，中层是2个正方形，上层1个正方形，靠左；由此即可解答。 【详解】根据分析可知，从正面看到的图形是，也就是②；从左面看得到的图形是，也就是④。 16．摆出从正面看是；从左面看是；从上面看是的图形。根据从正面、左面和上面看到的图形可知，这个几何体有（ ）层，有（ ）排，摆成的几何体是（ ）。 【答案】 1 2 【分析】（1）从正面看到的是，说明所观察的几何体只有一层，这一层可能有一排，也可能有两排或两排以上。 （2）从左面看到的是，说明所观察的几何体只有一层，前后有两排。 （3）从上面看到的是，说明所观察的几何体有前后两排，前排有两个，后排有1个。 【详解】从正面看是，从左面看是的几何体有：，其中从上面看是的几何体是。所以这个几何体有1层，有2排，摆成的几何体是。 培优拔高 17．已知一个几何体是由若干个形状和大小完全相同的小立方体组成的，分别从不同的角度所看到的形状如下图。请在草稿纸上画图并结合想象来分析该几何体由几个小立方块组成的？      【答案】8个 【分析】由从上面看到的图形可知，这个几何体的第一层有6个小立方块；由左面和正面看到的图形可知，这个几何体的第二层有2个小立方块，则该几何体有6＋2＝8个小立方块。 【详解】如图所示：   6＋2＝8（个） 答：该几何体由8个小立方块组成的。 18．从前面观察一个由同样的小正方体组成的几何体，看到的图形如下图，这个几何体可能是怎样摆的？ （1）这个几何体如果是由4个小正方体组成的，可以怎样摆？ （2）这个几何体如果是由5个、6个、7个或更多的小正方体组成的，可以怎样摆？ 【答案】见详解 【分析】无论用4个、5个、6个、7个或更多的小正方体组成的几何体，从前面看到的形状都是，只要满足这个条件即可。 【详解】（1）这个几何体如果是由4个小正方体组成的，可以这样摆，如图： （答案不唯一） （2）这个几何体如果是由5个、6个、7个小正方体或更多的小正方体组成的，可以这样摆，如图：（答案不唯一） 19．一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，这个立体图形有几种摆法？试画出这几种摆法从正面看到的形状。 【答案】一种；图形见详解 【分析】由题意可知，从上面看到的形状是，则该立体图形有两列，第一列有1个正方体，第二列有2个正方体；从左面看到的形状是，则该立体图形有两层，第一层有2个正方体，第二层和第三层都有1个正方体；据此可知这个立体图形的摆法，从正面观察，可以看到三层，最下面一层2个正方形，上面两层各一个正方形居右，据此作图。 【详解】由分析可知： 这个立体图形有一种摆法。摆法如下： 则个立体图形有一种摆法，从正面看到的形状是：。 20．下面是用小正方体搭建的一些几何体。    （1）从正面看到的是的有（     ），从侧面看到的是的有（ ），从上面看到的是的有（     ）。 （2）如果从正面看到的和⑥一样，用4个小正方体摆一摆，有多少种不同的摆法？ 【答案】（1）④⑤；①③；④ （2）5 【分析】（1）从正面看到的是二行，最下面一行三个小正方形并排，上面一行一个放在中间；从侧面看是一列两个，上下排列；从上面看是二行三列，上下行各两个正方形，呈“Z”型排列。由此分析判断。 （2）几何体⑥从正面看到的形状如右： ，根据此图，展开想象，确定物体的形状。 【详解】（1）从正面看到的是的有（④⑤），从侧面看到的是的有（①③），从上面看到的是的有（④）。 （2）如果从正面看到的和⑥一样，用4个小正方体摆一摆，可以有如下摆法。    共有5种。 思维拓展 21．小林用4个相同的小正方体摆成了一个几何组合体（正方体的面与面相邻），从正面看到的形状如图所示，再增加2块小正方体后，从正面看到的形状不变，一共有（     ）种不同的增加方法。 A．17 B．10 C．11 【答案】A 【分析】如图，从正面看形状如图，总共用6个小正方体拼成，摆法如下： 当后面放4个小正方体时，前面摆2个小正方体，有如下4种摆法： 、、、； 同理，前面放4个小正方体时，后面摆2个小正方体，同样也有4种摆法； 当中间摆4个小正方体时，前后交错摆2个小正方体，有如下9种摆法： 、、； 、、； 、、。 【详解】根据分析得，4＋4＋9＝17（种） 所以一共有17种不同的摆法。 故答案为：A 22．在几何体中添1个小正方体（至少有一个面与原来图形贴合），若从上面看到的形状不变，有（ ）种添法；若从左面看到的形状不变，有（ ）种添法；若从正面看到的形状不变，有（ ）种添法。 【答案】 4 7 6 【分析】若使如图的几何体从上面看到的图形不变，则可以放在已知的4个小正方体的任意一个的上方，有4种摆法； 若从左面看到的图形不变，则可以放在前面第一行的左边或右边，也可以放在前面第二行的后面任意一个位置，也可以放在后面一行的左边（任意一个位置）或右边，有7种摆法； 若从正面看到的图形不变，则可以放在底层4个小正方体的任意一个的前面或后面，有6种摆法，据此即可解答问题. 【详解】若从上面看到的形状不变，有4种添法； 若从左面看到的形状不变，有7种添法； 若从正面看到的形状不变，有6种添法。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版五年级数学下册解决问题 专题01：观察物体（三） （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 一、通用解题核心思路（黄金三步法） 1、分析从上面看到的图形形状，确定底层框架：从上面看到的图形形状能直接看出底层小正方体的行数、列数和分布位置，是还原立体图形的基础； 2、结合从前面看到的图形形状，确定每列层数：从前面看到的图形形状反映立体图形的列数和每列的最大层数，对应到从上面看到的图形的列中，标注每列可有的最大高度； 3、结合从左面看到的图形形状，确定每行层数：从左面看到的图形形状反映立体图形的行数和每行的最大层数，对应到从上面看到的图形的行中，调整并确定每个位置的小正方体层数。 二、分考点解题技巧与方法 考点01：根据从不同方向观察到的图形形状还原立体图形 1、核心技巧：三步还原法 （1）用“从上面看”做地基：根据从上面看到的图形画出小正方形网格，明确底层小正方体的分布位置（每个小正方形代表底层1个小正方体）； （2）用“从前面看”定列高：从前面看到的图形的每一列对应从上面看到的图形的列，在从上面看到的图形的每一列上方标注该列能有的最大层数（如从前面看到的图形第2列高3层，从上面看到的图形第2列所有位置的层数≤3）； （3）用“从左面看”定行高：从左面看到的图形的每一行对应从上面看到的图形的行，在从上面看到的图形的每一行右侧标注该行能有的最大层数（如从左面看到的图形的第1行高2层，从上面看到的图形第1行所有位置的层数≤2）； （4）综合确定层数：每个位置的层数必须同时满足“列高”和“行高”的限制，最终确定每个位置的小正方体个数。 2、关键原则：每个位置的小正方体层数=列高与行高的最小值（不超过两者的限制）。 【易错点拨】 （1）从三个方向观察图形必须结合使用，从一个方向观察图形无法确定唯一立体图形； （2）标注层数时，不能超过从前面看到的图形和从左面看到的图形的最大层数限制。 考点02：确定立体图形的摆法 1、摆法唯一的判断条件：当每个位置的层数被从三个方向观察到的图形唯一确定（即列高=行高）时，摆法只有1种； 2、摆法多样的判断条件：当某位置的层数满足“≤列高且≤行高”，但层数可以取多个值时，摆法有多种； 3、有序列举摆法 ①先确定“必须有”的小正方体（层数≥1 的位置）； ②再找出“可增减”的位置（层数可变化的位置）； ③按“层数从少到多”或“从左到右、从上到下”的顺序列举，避免重复或遗漏。 【易错点拨】 （1）摆法多样时，必须保证“从三个方向观察到的图形不变”，即增减小正方体后，从三个方向观察到的图形的形状不改变； （2）列举摆法时，优先固定底层，再考虑上层的增减。 考点03：通过小正方体的数量还原立体图形 1、求小正方体最少个数 （1）原则：底层必摆满，上层只在“需要的位置”摆1层（满足从前面看到的图形、从左面看到的图形的层数要求即可，不额外增加）； （2）方法： ①底层个数=从上面看到的图形中小正方形的个数； ②上层个数=从前面看到的图形中“层数＞1”的列数（或从左面看到的图形中“层数＞1”的行数）的最少补充数； ③总数=底层个数+上层最少补充个数。 2、求小正方体最多个数 （1）原则：每个位置都摆到“列高和行高的最小值”（不超过从三个方向观察到的图形限制的最大层数）； （2）方法： ①逐个计算从上面看到的图形中每个位置的最大层数（列高与行高的最小值）； ②所有位置的层数相加，得到总数。 3、已知总数还原立体图形 步骤： ①先算最少个数和最多个数，验证已知总数是否在两者之间； ②若在范围内，先按最少个数摆，再在“可增减”的位置添加小正方体，直到总数达标。 【易错点拨】 （1）最少个数的核心是“不浪费”，只在满足关键位置加层； （2）最多个数的核心是“不超限”，每个位置都摆到允许的最大层数； （3）已知总数时，必须先判断总数是否在“最少～最多”区间内，不在则无法还原。 考点1：根据从不同方向观察到的图形形状还原立体图形 【典型例题】“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”是一句很有哲理的诗句，告诉我们要认识事物的真相与全貌，就要从不同的角度去看，不能单方面想问题。有一个用同样大小的正方体摆成的组合体，从上面看是，从左面看是，请你分析一下这个组合体至少需要（ ）个小正方体才能摆成。 【练习1】下面是乐乐从不同方向观察一个几何体看到的图形，则这个几何体是（     ）。 A． B． C． 【练习2】小丽用搭成一个几何体，从上面看到的是，从右面看到是，从前面看到是，小丽用了（     ）个。 A．3 B．4 C．5 D．6 考点2：确定立体图形的摆法 【典型例题】用小正方体搭一个立体图形，从上面和正面看到的形状分别如下图所示，有（ ）种搭法，最多可以有（ ）个小正方体。 【练习1】汪杰用10个小正方体拼成了一个立体图形（如图）。如果要使从前面看到的图形不变，他最多可以拿走（ ）个小正方体；如果要使从上面看到的图形不变，他最多可以拿走（ ）个小正方体。 【练习2】如图，用7个同样的正方体摆成一个物体。从标有①、②、③、④的正方体中拿走一个后，剩下的部分从上面、正面和左面看到的图形都是。拿走的是（     ）号正方体。                     A．① B．② C．③ D．④ 考点3：通过小正方体的数量还原立体图形 【典型例题】小明用相同的小正方体摆了一个几何体，从上面看是下图的形状，数字表示在这个位置上所用的小正方体个数。 （1）这个几何体是由（ ）个小正方体组成的。 （2）观察这个几何体，从正面看到的是（ ），从左面看到的是（ ）。（填序号） 【练习1】明明搭的积木从上面看到的图形如下图（图中的数字表示在这个位置上的小正方体个数）。这组积木从前面看到的图形是（     ）。 A． B． C． D． 【练习2】 请画出搭的这组积木从正面和左面看到的形状。 夯实基础 1．嘉嘉用4个相同的小正方体搭成一个立体图形，从前面看到的是，从左面和上面看到的是，这个立体图形是（     ）。 A． B． C． D． 2．下图中，搭的这组积木，从左面看是（     ）。 A． B． C． D． 3．如图是用小正方体拼成的立体图形，要从左面可以看到，需要移走的小正方体是（     ）号。 A．① B．② C．③ D．都可以 4．一个由同样大小的小正方体摆成的几何体，从前面看是，从左面看是，这个几何体最多要用（     ）个小正方体摆成。 A．5 B．6 C．7 D．8 5．一个立体图形，从上面看到的形状是图①，从左面看到的形状是图②，摆这样的立体图形最少需要相同小正方体的个数是（     ）个。 A．4 B．5 C．6 D．7 6．一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭这样的立体图形，最少需要（ ）个小正方体，最多可以有（ ）个小正方体。 7．一个立体图形，从正面看到的图形是，从左面看到的图形是，这个立体图形最多是由（ ）个拼成的，最少是由（ ）个拼成的。 8．《盲人摸象》的故事大家耳熟能详，说的是一群盲人摸一头大象，每个人把自己摸到的一个部位误认为是整体，后来人们便用“盲人摸象”来形容那些观察事物片面，只见局部不见整体的人，数学学习上也存在这样的问题，比如用6个同样的小正方体摆图形，如果要求从正面看到的是，你能确定这6个小正方体是怎样摆的吗？（ ）（填“能”或“不能”） 9．明明用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数），这个几何体，从前面看是（ ），从左面看是（ ），从右面看是（ ）。 10．仓库里有一堆存放货物的正方体纸箱，从上面和前面看都如图1，从左面看如图2，这堆纸箱最多有（ ）个。    11．小刚搭的积木从上面看到的形状是，小正方形上的数表示在这个位置上所用小正方体的个数。从正面看是（ ），从左面看是（ ）。        12．小明用小正方体搭了一个几何体，从左面看是，从上面看是，搭这个几何体，他最少用了（ ）个小正方体，最多用了（ ）个小正方体。 13．由一些大小相同的小正方体组成的几何体，从上面看到（其中正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数），则从正面看到的是（ ）号图形，从左面看到的是（ ）号图形。 ①    ②    ③    ④ 14．给添一个小正方体，使物体从上面看形状不变，有（ ）种摆放的方法；若从正面看形状不变，有（ ）种摆放的方法；若从侧面看形状不变，又有（ ）种摆放的方法。 15．摆出的这个立体图形，从正面看到的图形是（ ），从左面看得到的图形是（ ）。 16．摆出从正面看是；从左面看是；从上面看是的图形。根据从正面、左面和上面看到的图形可知，这个几何体有（ ）层，有（ ）排，摆成的几何体是（ ）。 培优拔高 17．已知一个几何体是由若干个形状和大小完全相同的小立方体组成的，分别从不同的角度所看到的形状如下图。请在草稿纸上画图并结合想象来分析该几何体由几个小立方块组成的？      18．从前面观察一个由同样的小正方体组成的几何体，看到的图形如下图，这个几何体可能是怎样摆的？ （1）这个几何体如果是由4个小正方体组成的，可以怎样摆？ （2）这个几何体如果是由5个、6个、7个或更多的小正方体组成的，可以怎样摆？ 19．一个立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，这个立体图形有几种摆法？试画出这几种摆法从正面看到的形状。 20．下面是用小正方体搭建的一些几何体。    （1）从正面看到的是的有（     ），从侧面看到的是的有（ ），从上面看到的是的有（     ）。 （2）如果从正面看到的和⑥一样，用4个小正方体摆一摆，有多少种不同的摆法？ 思维拓展 21．小林用4个相同的小正方体摆成了一个几何组合体（正方体的面与面相邻），从正面看到的形状如图所示，再增加2块小正方体后，从正面看到的形状不变，一共有（     ）种不同的增加方法。 A．17 B．10 C．11 22．在几何体中添1个小正方体（至少有一个面与原来图形贴合），若从上面看到的形状不变，有（ ）种添法；若从左面看到的形状不变，有（ ）种添法；若从正面看到的形状不变，有（ ）种添法。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $