第四章指数函数与对数函数 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册期末考点串讲(知识点梳理+典型例题+变式练习)

该高中数学讲义通过表格对比系统构建指数与对数函数知识体系，梳理根式与分数指数幂、对数运算等知识要点，用图象性质表格呈现指数函数单调性、定义域等核心内容，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，从指数基础运算到对数型复合函数综合问题，结合换元法等技巧指导，培养运算能力与推理意识。典型例题如指数函数定点问题、对数函数零点问题，帮助学生掌握解题方法，支持教师实施分层教学，提升复习效率。

2025-2026学年数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 2025-2026学年高一上学期期末考点大串讲二 第4章 指数函数与对数函数【解析】 内 容 概 括 一、指数与指数函数 二、对数与对数函数 知识要点 知识要点 1、根式与分数指数幂 （一）对数及其运算 2、指数幂的运算性质 （二）对数函数及其性质 3、指数函数的图象与性质 （三）反函数 典型例题 典型例题 题型一：指数基础运算及特殊运算 题型一：对数函数的定义域、值域问题 题型二：根式、指数幂的条件求值 题型二：对数型复合函数的单调性与值域问题 题型三：指数函数性质的应用 题型三：对数函数的奇偶性及应用 题型四：指数函数的图象及其应用 题型四：函数的零点问题 题型五：指数函数的性质及其应用 题型五、对数型函数的综合问题 一、指数与指数函数 1、根式与分数指数幂 （1）根式的定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）根式的性质（，且）：； （3）分数指数幂的表示 正分数指数幂：规定： 负分数指数幂：规定： 性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 2、指数幂的运算性质 （1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （2）指数幂的运算性质 ①． ②． ③ 二、指数函数的图象与性质 1、指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2、指数函数的图象与性质 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 3、指数函数的常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论； （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象， 底数与1的之间的大小关系为； 规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 题型一：指数基础运算及特殊运算 例1-1.计算：①＝________. ②＝________. 【答案】①1；②102. 【分析】利用指数幂的运算法则求解. 【详解】①原式＝. ②原式=. 故答案为：1；102 例1-2.化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造平方差公式来逐步化简，关键在于通过“乘除同一个式子”补齐平方差的因式，从而层层消去中间项. 【详解】 = = = = = = = 故选：B 例1-3.已知，则的值是（    ） A．15 B．12 C．16 D．25 【答案】A 【详解】因为，所以， 又由立方差公式，， 故选：A． 【规律方法】 1.化简原则： ①化根式为分数指数幂； ②化负指数幂为正指数幂； ③化小数为分数； ④注意运算的先后顺序． 2.结果要求： ①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示； ②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示； ③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂． 变式1.计算化简： （1）＝________； （2）＝________. 【答案】（1） 0.09； （2）. 【详解】（1）＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09. （2）＝＝＝ 故答案为：0.09； 【方法归纳】指数的逆运算过程 特殊运算：形如，求下列各种形式的值的思路． （1）；根据计算即可； （2）；根据计算即可； （3）．由于，进而根据即可求解. （4）；根据计算即可 （5）根据计算即可 （6）根据计算即可 题型二：根式、指数幂的条件求值 例2-1.已知，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，所以，故A正确； 易知，，由基本不等式得，所以， 当且仅当时取等号，又因为， 即，所以等号不成立，所以，故B正确； ，故C正确； 由，得，故D错误． 故选：ABC 例2-2. 已知函数，则对任意实数x，有（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 题型三：指数函数性质的应用 例3-1. 函数的图象恒过定点，且点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C． D． 【答案】C 【详解】在中，当时，，故， 将代入直线方程中，化简得， 故， 当且仅当‘’时取等，即的最小值为. 故选：C 例3-2. 已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的解析式； (2)求当时，函数的值域． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由函数是上的奇函数， 则有，解得，即， ，， 即，，解得，经验证得，时，是奇函数， 所以. （2）由（1）知，， 当时，，因此当时，，当时，， 所以所求值域为. 例3-3. 【多选题】对任意实数，函数的图象必过定点，的定义域为[0，2]，，则下列结论正确的是（ ） A．， B．的定义域为[0，1] C．的值域为[2，6] D．的值域为[2，20] 【答案】ABC 【详解】令，得，此时， 所以函数的图象过定点，即，，故选项A正确； 因为，，所以，， 所以， 由得，所以的定义域为[0，1]，故B正确； 易知在[0，1]上单调递增， 所以当时，取得最小值2，当时，取得最大值6， 所以的值域为[2，6]，故选项C正确，选项D错误． 故选:ABC． 【方法归纳】 指数函数相关定义域、值域问题，一般要结合函数的图象和性质，特别是函数的单调性；另外，含 的复合函数问题，一般利用“换元法”转化求解. 题型四：指数函数的图象及其应用 例4-1．【多选题】已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由图象可知，函数（且）在上单调递增，则， 且当时，，可得. 对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，，C错； 对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对. 故选：ABD. 例4-2．已知函数，其中为常数，若函数的图象如图所示，则（   ） A．的图象与坐标轴有三个交点 B．的图象的对称轴在轴左侧 C．关于的方程有两个不等实根 D．在区间上单调递增 【答案】D 【分析】分析函数的图象，确定的范围，再逐一分析选项. 【详解】因，函数的图象在上为减函数，则，即得， 又图象经过点，即，故得，解得， 于是，，易得该抛物线开口向上，顶点坐标为， 对于A，因函数在上单调递增， 则，即的图象与轴没有交点， 又的图象与轴有唯一交点，即的图象与坐标轴只有一个交点，故A错误； 对于C，关于的方程的实根个数，等于直线与曲线的交点个数， 由A项，因，则直线与曲线的交点个数为0，故C错误； 对于B，的图象的对称轴是直线，在轴右侧，故B错误； 对于D，因的图象对称轴：，在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 例4-3．已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的解析式，将方程转化为图象交点问题，再结合图象分析截距的范围. 【详解】当时，，当时，，当时，， 出函数的图象，如图： 因为方程有两个不同实根， 所以函数和函数的图象有两个不同的交点. 由直线过，得； 由直线过，得； 由直线过，得； 而函数不过， 因此有当时，函数和函数的图象有两个不同的交点.， 即方程有两个不同实根. 故选：A 【方法归纳】 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较． 3.识图的三种常用方法 （1）抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性． ⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算： 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法： ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 4.过定点的图象 (1)画指数函数(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）； (2)与的图象关于y轴对称； (3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减． 变式4.函数和（其中且）的大致图象只可能是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析两个函数的性质，分情况讨论并匹配选项. 【详解】由于过点，故D选项错误. 当时，过且单调递增；过点且单调递增，过且.所以A选项错误. 当时，过且单调递减，过点且单调递增，过且.所以B选项错误.综上所述，正确的选项为C. 故选：C 题型五：指数函数的性质及其应用 例5-1.已知函数．记，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以，综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 例5-2.已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，， 故， 故函数的图象关于中心对称， 当时，，，单调递减， 故在上单调递减，且， 函数的图象关于中心对称，在上单调递减，， 而，故或或， 解得或， 故所求不等式的解集为， 故选：B. 例5-3.设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是____________.【答案】 【详解】由函数， 均为在上的增函数，故函数是在上的单调递增函数， 且满足，所以函数为奇函数， 因为，即， 可得恒成立，即在上恒成立， 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 例5-4.已知函数且. (1)若，求函数的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1；(2) 【详解】（1）若，则， 令， 故原式化为， 若时，可知在上单调递增， 可知在上单调递增，可知； 若时，可知在上单调递减， 可知在上单调递减，可知； 综上所述：， 可知当时，取到最小值为1. （2）因为， 设， 由题意得即恒成立，即恒成立， 且，则，解得， 所以实数的取值范围为. 二、对数与对数函数 （一）对数及其运算 1.对数的概念 （1）如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数； （2）对数的性质：①负数和零没对数；②；③； （3）对数恒等式alogaN＝N. 2.对数的运算法则: 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). 3.对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. ③logaab＝b(a>0，且a≠1) （二）对数函数及其性质 1.概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 2.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图 象 性 质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 3.对数函数的图象规律 (1)不管a>1还是0<a<1，底大图低； (2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴． （三）反函数 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 题型一：对数函数的定义域、值域问题 例1-1．已知（且），且. (1)求a的值及的定义域； (2)求在上的值域. 【答案】(1),的定义域为; (2). 【详解】（1）解：由得，即，所以，解得， 所以，由，解得，故的定义域为； （2）解：由（1）及条件知， 设，，则当时，， 当时，；当时，， 所以当时，，即， 所以，， 所以在的值域为. 例1-2．【多选题】已知函数，则（     ） A．当时，的定义域为R B．一定存在最小值 C．的图象关于直线对称 D．当时，的值域为R 【答案】AC 【详解】对于A：若，则，则二次函数的图象恒在轴的上方， 即恒成立，所以的定义域为R，故A正确； 对于B：若，则的定义域为，值域为R，没有最小值，故B错误； 对于C：由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称， 将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象， 此时对称轴为直线，故C正确； 对于D：若，则，故的值域不是R，故D错误. 故选：AC 题型二：对数型复合函数的单调性与值域问题 例2-2．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反； 【详解】由函数在上单调递增， 可得在上单调递增， 且在上恒成立，故需满足，解得. 故选：B. 例2-2．设函数且． (1)若，求实数的值及函数的定义域； (2)若，求函数的最大值． 【答案】(1)，定义域为；(2)2 【详解】（1）由，解得． 所以， 由得，所以函数的定义域为． （2）若， 由（1）知，函数的定义域为， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在定义域内为增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以． 【方法归纳】 1、对数型复合函数的单调性问题的求解策略 （1）对于型函数的单调性：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反． （2）研究型函数的单调性：一般用换元法，即令，则只需研究与的单调性即可． 2、对数型复合函数的值域问题的求解策略 （1）对于函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域． （2）对于函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域． 题型三：对数函数的奇偶性及应用 例3-1．若是偶函数，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题，可得，即， ， ，即 因不恒为0，故. 故选：B. 例3-2.已知函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为偶函数， 所以， 所以， 所以， 所以，所以， 所以且，则. 故选：A. 例3-3．设，若函数为奇函数，则 . 【答案】 【详解】由可得，又因为为奇函数， 由定义域关于原点对称，可知， 即当时，无意义，即，解得， 又，可得，所以， 故经检验满足题意，所以. 故答案为：. 【方法归纳】 对数函数的奇偶性分析是函数性质中的特殊考点，因其定义域天然不对称（），标准对数函数本身无奇偶性，实际题目常通过构造复合函数或对称变换来设计，需要灵活应对． 类型（1）复合函数，如，需先分析的性质． 类型（2）对称变换，如或，通过构造对称定义域． 题型四：函数的零点问题 例4-1．已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由题意，令，解得或， 作出的图象，如图， 由图可知，直线与图象有3个交点， 直线与图象有4个交点， 所以原方程有7个解， 即函数有7个零点. 故选：C 例4-2．已知偶函数，当时，，若关于的方程有8个不同的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为偶函数，且当时，， 所以的大致图象如题所示， 令，则方程化为， 结合图象可知当时，有4个不同的实根， 所以原问题转化为关于的方程在上有两个不相等的实根， 令，则，解得， 即实数的取值范围为， 故选：A 例4-3．已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分析分段函数的图象特征，将方程的实数解的个数转化为图象的交点个数. 【详解】当时，函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为； 当时，在上递增，函数值集合为R， 在直角坐标系内作出函数的图象与直线， 由图象知，当或时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程有两个实数解. 故选：C. 题型五、对数型函数的综合问题 例5-1．已知，则满足的实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知函数确定函数的定义域、奇偶性和单调性. 【详解】由，易知其定义域为， 由 ，则函数为偶函数， ， 由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 由，则，即， 整理可得，化简可得，解得. 故选：A 例5-2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)利用奇函数的性质求解；(2)利用换元法求复合函数的值域. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以； （2）， 令，问题等价于求的值域， 函数图象开口向上，对称轴为直线， ， 函数的值域为． 例5-3．已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若，求的值域； (3)讨论的定义域． 【答案】(1)；(2)；(3)答案见解析 【分析】(1)利用换元法求出函数的解析式； (2) 利用对数函数的单调性求出值域； (3) 分三种情况讨论函数的定义域. 【详解】（1）令，得， 则， 所以． （2）若，则， 令，当且仅当时，u取得最小值，且最小值为4． 因为为减函数，所以， 故的值域为． （3）． 当时，，则的定义域为； 当时，，则的定义域为； 当时，由，得或， 则的定义域为． 综上，当时，的定义域为； 当时，的定义域为． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 2025-2026学年高一上学期期末考点大串讲二 第4章 指数函数与对数函数【解析】 内 容 概 括 一、指数与指数函数 二、对数与对数函数 知识要点 知识要点 1、根式与分数指数幂 （一）对数及其运算 2、指数幂的运算性质 （二）对数函数及其性质 3、指数函数的图象与性质 （三）反函数 典型例题 典型例题 题型一：指数基础运算及特殊运算 题型一：对数函数的定义域、值域问题 题型二：根式、指数幂的条件求值 题型二：对数型复合函数的单调性与值域问题 题型三：指数函数性质的应用 题型三：对数函数的奇偶性及应用 题型四：指数函数的图象及其应用 题型四：函数的零点问题 题型五：指数函数的性质及其应用 题型五、对数型函数的综合问题 一、指数与指数函数 1、根式与分数指数幂 （1）根式的定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）根式的性质（，且）：； （3）分数指数幂的表示 正分数指数幂：规定： 负分数指数幂：规定： 性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 2、指数幂的运算性质 （1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （2）指数幂的运算性质 ①． ②． ③ 二、指数函数的图象与性质 1、指数函数的概念：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2、指数函数的图象与性质 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 3、指数函数的常用技巧 （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情况讨论； （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（1）；（2）；（3）；（4）的图象， 底数与1的之间的大小关系为； 规律：在轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大． （3）指数函数与的图象关于轴对称． 题型一：指数基础运算及特殊运算 例1-1.计算：①＝________. ②＝________. 例1-2.化简的结果为（    ） A． B． C． D． 例1-3.已知，则的值是（    ） A．15 B．12 C．16 D．25 【规律方法】 1.化简原则： ①化根式为分数指数幂； ②化负指数幂为正指数幂； ③化小数为分数； ④注意运算的先后顺序． 2.结果要求： ①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示； ②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示； ③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂． 变式1.计算化简： （1）＝________； （2）＝________. 【方法归纳】指数的逆运算过程 特殊运算：形如，求下列各种形式的值的思路． （1）；根据计算即可； （2）；根据计算即可； （3）．由于，进而根据即可求解. （4）；根据计算即可 （5）根据计算即可 （6）根据计算即可 题型二：根式、指数幂的条件求值 例2-1.已知，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 例2-2. 已知函数，则对任意实数x，有（ ） A． B． C． D． 题型三：指数函数性质的应用 例3-1. 函数的图象恒过定点，且点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C． D． 例3-2. 已知函数是定义在R上的奇函数． (1)求的解析式； (2)求当时，函数的值域． 例3-3. 【多选题】对任意实数，函数的图象必过定点，的定义域为[0，2]，，则下列结论正确的是（ ） A．， B．的定义域为[0，1] C．的值域为[2，6] D．的值域为[2，20] 【方法归纳】 指数函数相关定义域、值域问题，一般要结合函数的图象和性质，特别是函数的单调性；另外，含 的复合函数问题，一般利用“换元法”转化求解. 题型四：指数函数的图象及其应用 例4-1．【多选题】已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 例4-2．已知函数，其中为常数，若函数的图象如图所示，则（   ） A．的图象与坐标轴有三个交点 B．的图象的对称轴在轴左侧 C．关于的方程有两个不等实根 D．在区间上单调递增 例4-3．已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【方法归纳】 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较． 3.识图的三种常用方法 （1）抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性． ⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算： 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法： ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 4.过定点的图象 (1)画指数函数(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）； (2)与的图象关于y轴对称； (3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减． 变式4.函数和（其中且）的大致图象只可能是( ) A． B． C． D． 题型五：指数函数的性质及其应用 例5-1.已知函数．记，则（ ） A． B． C． D． 例5-2.已知函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 例5-3.设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是____________. 例5-4.已知函数且. (1)若，求函数的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 二、对数与对数函数 （一）对数及其运算 1.对数的概念 （1）如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数； （2）对数的性质：①负数和零没对数；②；③； （3）对数恒等式alogaN＝N. 2.对数的运算法则: 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). 3.对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. ③logaab＝b(a>0，且a≠1) （二）对数函数及其性质 1.概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 2.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图 象 性 质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 3.对数函数的图象规律 (1)不管a>1还是0<a<1，底大图低； (2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴． （三）反函数 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 题型一：对数函数的定义域、值域问题 例1-1．已知（且），且. (1)求a的值及的定义域； (2)求在上的值域. 例1-2．【多选题】已知函数，则（     ） A．当时，的定义域为R B．一定存在最小值 C．的图象关于直线对称 D．当时，的值域为R 题型二：对数型复合函数的单调性与值域问题 例2-2．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2-2．设函数且． (1)若，求实数的值及函数的定义域； (2)若，求函数的最大值． 【方法归纳】 1、对数型复合函数的单调性问题的求解策略 （1）对于型函数的单调性：函数的单调性与函数的单调性在时相同，在时相反． （2）研究型函数的单调性：一般用换元法，即令，则只需研究与的单调性即可． 2、对数型复合函数的值域问题的求解策略 （1）对于函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域． （2）对于函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性，求出的值域． 题型三：对数函数的奇偶性及应用 例3-1．若是偶函数，则（    ） A．0 B． C． D． 例3-2.已知函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 例3-3．设，若函数为奇函数，则 . 【方法归纳】 对数函数的奇偶性分析是函数性质中的特殊考点，因其定义域天然不对称（），标准对数函数本身无奇偶性，实际题目常通过构造复合函数或对称变换来设计，需要灵活应对． 类型（1）复合函数，如，需先分析的性质． 类型（2）对称变换，如或，通过构造对称定义域． 题型四：函数的零点问题 例4-1．已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 例4-2．已知偶函数，当时，，若关于的方程有8个不同的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例4-3．已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 题型五、对数型函数的综合问题 例5-1．已知，则满足的实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例5-2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 例5-3．已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若，求的值域； (3)讨论的定义域． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $