2026年中考数学复习解答题专项集训-概率

2026年中考数学复习解答题专项集训之概率 一．解答题（共20小题） 1．（2025•澄迈县一模）春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，Deepseek广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外AI模型、机器人都已获得显著的技术突破．目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次共调查了　 　 人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为　 　 ； （2）该学校根据调查结果计划开展一门AI社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为　 　 类（填A，B，C或D）； （3）将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，求抽取到的两张卡片内容一致的概率为　 　 ； （4）从你的角度，写一条对人工智能的看法． 2．（2025•海南一模）某市为了解九年级学生身体素质的情况，组织了全体学生进行跑步测试（男生1000米，女生800米），并从中抽取60名男生和m名女生的成绩进行整理，信息如下． a．成绩频数分布表： 组别 A B C D E 成绩x（分） 0≤x＜6 6≤x＜12 12≤x＜18 18≤x＜24 24≤x≤30 频数 男生 1 2 5 24 28 女生 1 6 n 26 24 b．男生在D组（18≤x＜24）中的成绩分别是（单位：分）： 18，18，18，18，19，19，19，19，19，20，20，20 20，21，21，21，21，22，22，22，22，22，23，23 c．女生成绩扇形统计图 根据以上信息解答下列问题： （1）填空：m＝　 　 ，n＝　 　 ；扇形统计图中，E组所对应扇形的圆心角α＝　 　 度． （2）抽取的60名男生成绩中，中位数为　 　 分． （3）从所有的样本中，随机抽取一名学生的成绩，该成绩恰好在D组的概率为　 　 ． （4）本次测试规定：成绩不低于18分为合格．若该市九年级共有12000名学生，请你估计该市九年级有多少名学生在这次跑步测试中成绩达到合格． 3．（2025•扬州三模）如图是用几个电子元件组成的一个电路系统，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性，每个元件正常工作的概率均为，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路． （1）如图1，只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为　 　 ； （2）如图2，用2个电子元件①、②组成一个电路系统，求系统正常工作的概率．（用画树状图或列表方法求解） 4．（2025•永宁县一模）为更好引导和促进旅游业恢复发展，深入推动大众旅游，文化和旅游部决定开展2024年“5•19中国旅游日”活动．宁夏某旅行社为了解游客喜爱的旅游景区的情况，对“开斋节”假期期间的游客去向进行了随机抽样调查，并绘制如下不完整的统计图，请根据图1，图2中所给的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查的样本容量是 　 　 ； （2）将图1中的条形统计图补充完整； （3）若甲、乙两名游客从四个景区中任选一个景区旅游，请用树状图或列表法求出他们选择同一景区的概率． 5．（2025•江西模拟）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为 　 　 ； （2）若从盒子中任意抽取2张书签，求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表的方法说明理由） 6．（2025•海陵区校级三模）泰州是个好地方，素有“早上皮包水，晚上水包皮”生活习惯，泰州早茶更是闻名遐迩，某天甲、乙两人来泰州旅游，到某茶社吃早茶，他们点一笼杂笼包子，共4个，外形、大小均相同，只是其中的馅不同，2个是肉馅，另2个是秧草馅， （1）若甲先用筷子随机夹了1个，咬开后发现是肉馅的，随后乙用筷子在剩下的3个中随机夹1个，则乙夹的包子是秧草馅的概率为　 　 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人各吃的2个包子的馅均为1个肉馅1个秧草馅的概率． 7．（2025•昆明三模）国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套．其中2025年3月14日（国际圆周率日）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满期待，同时也尝试进行了邮票的设计．如图，小组分别以“刘徽割圆术”、“莫比乌斯环带”、“埃舍尔的平面镶嵌《蝴蝶》”、“黄金分割螺旋线”为素材设计了卡片A，卡片B，卡片C，卡片D等四张卡片作为邮票的图案部分．卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）． （1）将这四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张卡片图案刚好是“刘徽割圆术”的概率是　 　 ； （2）小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”的概率． 8．（2025•浙江模拟）某商场为吸引顾客，举办有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸球兑奖的机会．在两个不透明的箱子中均装有1个红球，2个白球，它们除颜色外其余均相同．兑奖者同时从两个箱子里各摸出1个球，根据摸出两球的颜色完成一次兑奖，兑奖规则如下表所示． 项目 两个红球 一红一白 两个白球 兑奖规则 礼金券20元 礼金券10元 谢谢惠顾 若顾客只有一次摸球兑奖的机会，请分别求出“获得礼金券20元”“获得礼金券10元”的概率． 9．（2025•西安一模）有三部影片在春节档上映，分别是《哪吒2》，《唐探1900》，《熊出没•重启未来》．小西和小名同学分别从三部电影中随机选择一部观看，将《哪吒2》表示为A，《唐探1900》表示为B．《熊出没•重启未来》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小西同学的选择为x，小名同学的选择为y． （1）请用列表或画树状图法求（x，y）所有可能出现的结果总数； （2）求小西和小名两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 10．（2025•莱西市校级模拟）如图，湖边建有A，B，C，D共4座凉亭，某旅游团计划将这4座凉亭全部参观一遍，全体成员从入口处进入，先在凉亭A集合，接下来根据地图路线自由参观，请用列表或画树状图的方法，求成员小亮最后一次参观的凉亭为凉亭D的概率． 11．（2025•峰峰矿区校级一模）某中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试（满分30分），根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图（如图1和图2），已知图2中得28分的人数所对圆心角为90°，回答下列问题： （1）条形统计图有一部分污损了，求得分27分的人数；直接写出所调查学生测试成绩中位数和众数． （2）一同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了，求该名同学的补测成绩． （3）已知体育测试的选考项目有：①足球运球绕杆：②篮球运球绕杆；③排球正面双手垫球，求小明和小亮选择同一项目的概率． 12．（2025•禄丰市一模）“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为 A、B、C、D的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，记卡片上的人物为x，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，记卡片上的人物为y．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，列出（x，y）所有可能出现的结果； （2）你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 13．（2025•淄博）粮食安全，事关国计民生，增强学生粮食安全意识，培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 额数（人数） 1 75≤x＜80 10 2 80≤x＜85 a 3 85≤x＜90 35 4 90≤x＜95 25 5 95≤x≤100 b 根据以上信息．解答下列问题： （1）请直接写出统计表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是　 　 度； （2）请补全上面的结业成绩频数分布直方图； （3）现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 14．（2025•仁寿县一模）为了增进学生对DeepSeek等AI领域知识的了解，某校举行了一场“人工智能知识竞赛”．从竞赛成绩在60～100分的同学中，随机抽取n名同学的成绩（记每名同学的成绩为x分），将数据整理分析，并绘制成以下不完整的统计图表．请根据所给信息，解答下列问题： 成绩分组 频数 A+：90≤x≤100 a A：80≤x≤90 90 B+：70≤x≤80 b B：60≤x≤70 10 （1）计算a、b、n的值； （2）补全频数分布直方图，并计算扇形统计图中“A+”所表示扇形的圆心角的度数； （3）“A+”小组中成绩最好的4名学生由3名女生和1名男生构成，学校从中随机抽取2名同学参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生和1名女生的概率． 15．（2025•白山模拟）数学活动让数学学习更加有趣．在一次数学课上老师设计了一个“配色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°． （1）转动B盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为 　 　 ； （2）若同时转动A盘和B盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率． 16．（2025•金凤区校级一模）某校积极响应推进“文明城市建设”的工作，培养学生的环保意识．为了解学生对环保知识的掌握情况，该校随机抽取了一个班的学生，对他们进行了垃圾分类了解程度的调查（A类表示不了解，B类表示了解很少，C类表示基本了解，D类表示非常了解）．根据调查的结果绘制了如图两幅不完整的统计图： 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）该班的学生共有 　 　 名；在扇形统计图中A类所对的扇形圆心角的度数为 　 　 ； （2）请补全条形统计图． （3）根据统计结果，请估计全校1200名学生中对垃圾分类不了解的学生人数． （4）从D类的10人中选5人，其中2人善于语言表达，3人善于动作表演．现从这5人中随机抽取2人参加班级举行的“文明践行从我做起”主题班会的“双簧”表演，请用列表或画树状图的方法求出所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演的概率． 17．（2025•南安市二模）为帮助同学们正确理解物理变化与化学变化，老师将5种生活现象分别制成无差别的卡片，分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有A、B、C三张卡片，乙口袋中装有D、E两张卡片．其中，没有生成其他物质的变化叫做物理变化（A、D）；生成其他物质的变化叫做化学变化（B、C、E）．课堂上，同学们通过抽卡片来分享对应的科学知识． （1）小南从甲口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是物理变化的概率是 　 　 ． （2）游戏规则如下：老师从两个口袋中各随机抽取1张卡片，若抽取的两张卡片都是化学变化，则由小南分享；若抽取的两张卡片都是物理变化，则由小安分享．这个规则对小南和小安公平吗？请用画树状图或列表法说明理由． 18．（2025•松原模拟）某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“x＜60”记为1分，“60≤x＜70”记为2分，“70≤x＜80”记为3分，“80≤x＜90”记为4分，“90≤x≤100”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 a 第2小组 b 3.5 5 第3小组 3.25 c 3 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为　 　 度； ②请补全第1小组得分条形统计图； （2）a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （3）从第二组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 19．（2025•工业园区校级二模）央视春晚的西安分会场与动画片《长安三万里》形成联动，让李白穿越千年，在古城西安现身，使得除夕夜的西安犹如回到了繁荣兴旺的长安时代．李白是唐朝伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”．《将进酒》是李白不受重用，接连受到打击后满怀愤慨所作的名篇．小明和小刚将这首诗中的四句分别写在编号为A，B，C，D的4张卡片上，如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同，将这4张卡片背面朝上，洗匀放好，玩抽诗句的游戏． （1）小明从中抽取一张卡片，恰好抽到“天生我材必有用”的概率为 　 　 ； （2）小明先抽一张卡片，接着小刚从剩下的卡片中抽一张，用画树状图或列表的方法求两人所抽卡片上的诗句恰好成联（注：A与B为一联，C与D为一联）的概率． 20．（2025•香洲区校级一模） 2024年珠海“中国国际航空航天博览会”某展览馆展厅东面有A，B两个入口，南面、西面、北面各有一个出口，示意图如图所示．小华任选一个入口进入展览大厅，参观结束后任选一个出口离开． （1）求小华从入口B进入展厅的概率； （2）画树状图或列表格分析小华从入口A进入展厅并从北出口离开展厅的概率？ 2026年中考数学复习解答题专项集训之概率 参考答案与试题解析 一．解答题（共20小题） 1．（2025•澄迈县一模）春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，Deepseek广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外AI模型、机器人都已获得显著的技术突破．目前人工智能市场分为A：决策类人工智能，B：人工智能机器人，C：语音类人工智能，D：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次共调查了　400　 人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为　90°　 ； （2）该学校根据调查结果计划开展一门AI社团课，从众数的角度考虑，应将主题定为　D　 类（填A，B，C或D）； （3）将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，求抽取到的两张卡片内容一致的概率为　　 ； （4）从你的角度，写一条对人工智能的看法． 【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图；众数；概率公式．版权所有 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】（1）400，90°； （2）D； （3）； （4）AI是一把双刃剑，有利有弊，要科学合理使用（答案不唯一）． 【分析】（1）用B类的人数除以所占的百分比即可得出总人数，用360°乘以C类所占的比例即可得出圆心角度数； （2）求出D类的人数，再根据众数的定义求解即可； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可； （4）从利弊出发，言之有理即可． 【解答】解：（1）调查总人数为120÷30%＝400（人）， ∴扇形统计图中C类对应的圆心角度数为； 故答案为：400，90°； （2）D类的人数为400﹣50﹣120﹣100＝130（人）， ∵130＞120＞100＞50， ∴D类的人数最多，即众数为D类， 故答案为：D． （3）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有4种， ∴抽取到的两张卡片内容一致的概率为； 故答案为：． （4）AI是一把双刃剑，有利有弊，要科学合理使用（答案不唯一）． 【点评】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、用列表法或树状图法求概率、求扇形统计图圆心角度数，求众数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 2．（2025•海南一模）某市为了解九年级学生身体素质的情况，组织了全体学生进行跑步测试（男生1000米，女生800米），并从中抽取60名男生和m名女生的成绩进行整理，信息如下． a．成绩频数分布表： 组别 A B C D E 成绩x（分） 0≤x＜6 6≤x＜12 12≤x＜18 18≤x＜24 24≤x≤30 频数 男生 1 2 5 24 28 女生 1 6 n 26 24 b．男生在D组（18≤x＜24）中的成绩分别是（单位：分）： 18，18，18，18，19，19，19，19，19，20，20，20 20，21，21，21，21，22，22，22，22，22，23，23 c．女生成绩扇形统计图 根据以上信息解答下列问题： （1）填空：m＝　60　 ，n＝　3　 ；扇形统计图中，E组所对应扇形的圆心角α＝　144　 度． （2）抽取的60名男生成绩中，中位数为　22.5　 分． （3）从所有的样本中，随机抽取一名学生的成绩，该成绩恰好在D组的概率为　　 ． （4）本次测试规定：成绩不低于18分为合格．若该市九年级共有12000名学生，请你估计该市九年级有多少名学生在这次跑步测试中成绩达到合格． 【考点】概率公式；用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；中位数．版权所有 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】（1）60，3，144； （2）22.5； （3）； （4）估计该市九年级有10200名学生在这次跑步测试中成绩达到合格． 【分析】（1）利用B组人数除以所占比即可求出m的值，用m的值乘以C组人数所占比即可求出n的值，用360°乘以E组人数所占比即可求出α； （2）根据中位数的定义可得中位数为第30、31位男生成绩，即落在D组（18≤x＜24）中的第22、23位男生成绩，然后算平均数即可； （3）根据概率公式即可求解； （4）利用样本估算总体即可求解． 【解答】解：（1）m＝6÷10%＝60（人）， ∴n＝60×5%＝3（人）， E组所对应扇形的圆心角， 故答案为：60，3，144； （2）∵中位数为第30、31位男生成绩，即落在D组（18≤x＜24）中的第22、23位男生成绩， ∴中位数为， 故答案为：22.5； （3）随机抽取一名学生的成绩，该成绩恰好在D组的概率为， 故答案为：； （4）根据样本估算总体可得： （人）， ∴估计该市九年级有10200名学生在这次跑步测试中成绩达到合格． 【点评】本题考查了扇形统计图和频数分布表综合运用，中位数，概率，样本估算总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． 3．（2025•扬州三模）如图是用几个电子元件组成的一个电路系统，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性，每个元件正常工作的概率均为，当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路． （1）如图1，只用1个电子元件①，该电路为断路的概率为　　 ； （2）如图2，用2个电子元件①、②组成一个电路系统，求系统正常工作的概率．（用画树状图或列表方法求解） 【考点】列表法与树状图法；概率公式．版权所有 【专题】概率及其应用；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意可直接得出答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及系统正常工作的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得，该电路为断路的概率为． 故答案为：． （2）将2个电子元件①、②正常工作分别记为R1，R2，2个电子元件①、②不能正常工作分别记为，， 列表如下： R2 R1 （R1，R2） 共有4种等可能结果，其中系统正常工作的结果有有：（R1，R2），共1种， ∴系统正常工作的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 4．（2025•永宁县一模）为更好引导和促进旅游业恢复发展，深入推动大众旅游，文化和旅游部决定开展2024年“5•19中国旅游日”活动．宁夏某旅行社为了解游客喜爱的旅游景区的情况，对“开斋节”假期期间的游客去向进行了随机抽样调查，并绘制如下不完整的统计图，请根据图1，图2中所给的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查的样本容量是 　200　 ； （2）将图1中的条形统计图补充完整； （3）若甲、乙两名游客从四个景区中任选一个景区旅游，请用树状图或列表法求出他们选择同一景区的概率． 【考点】列表法与树状图法；总体、个体、样本、样本容量；条形统计图．版权所有 【专题】统计的应用；概率及其应用；运算能力；推理能力． 【答案】（1）200； （2）见解析； （3）． 【分析】（1）用C组的频数除以它所占的百分比得到样本容量； （2）先计算出B组的人数，然后补全条形统计图； （3）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两人选择同一景区的结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】解：（1）此次抽样调查的样本容量为50÷25%＝200； 故答案为：200； （2）B组的人数为200﹣70﹣20﹣50＝60（人）， 条形统计图补充为： （3）画树状图为： 共有16种等可能的结果，其中两人选择同一景区的结果数为4， ∴他们选择同一景区的概率． 【点评】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 5．（2025•江西模拟）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为 　　 ； （2）若从盒子中任意抽取2张书签，求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表的方法说明理由） 【考点】列表法与树状图法；概率公式．版权所有 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】（1）； （2），理由见解析． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节， ∴从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有2种， ∴抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率为． 【点评】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 6．（2025•海陵区校级三模）泰州是个好地方，素有“早上皮包水，晚上水包皮”生活习惯，泰州早茶更是闻名遐迩，某天甲、乙两人来泰州旅游，到某茶社吃早茶，他们点一笼杂笼包子，共4个，外形、大小均相同，只是其中的馅不同，2个是肉馅，另2个是秧草馅， （1）若甲先用筷子随机夹了1个，咬开后发现是肉馅的，随后乙用筷子在剩下的3个中随机夹1个，则乙夹的包子是秧草馅的概率为　　 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人各吃的2个包子的馅均为1个肉馅1个秧草馅的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式．版权所有 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先确定甲夹走一个肉馅后剩下包子的情况，再根据概率公式计算乙夹到秧草馅的概率． （2）通过列表法列出所有可能的结果，再找出符合条件的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【解答】解：（1）甲夹走一个肉馅后，剩下1个肉馅，2个秧草馅，共3个包子． 所以乙夹的包子是秧草馅的概率为， 故答案为：； （2）将2个肉馅包子记为A1、A2，2个秧草馅包子记为B1、B2，列表如下： 甲 乙 结果 A1 A2 （A1，A2） A1 B1 （A1，B1） A1 B2 （A1，B2） A2 A1 （A2，A1） A2 B1 （A2，B1） A2 B2 （A2，B2） B1 A1 （B1，A1） B1 A2 （B1，A2） B1 B2 （B1，B2） B2 A1 （B2，A1） B2 A2 （B2，A2） B2 B1 （B2，B1） 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人各吃的2个包子的馅均为1个肉馅1个秧草馅的结果有8种． P， ∴甲、乙两人各吃的2个包子的馅均为1个肉馅1个秧草馅的概率为． 【点评】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式以及用列表法或树状图法求概率是解题的关键． 7．（2025•昆明三模）国家邮政局发布：2025年纪特邮票发行计划（第一批）共21套．其中2025年3月14日（国际圆周率日）发行的邮票名称为《数学之美》，枚数是4枚．数学兴趣小组的同学对邮票的发布充满期待，同时也尝试进行了邮票的设计．如图，小组分别以“刘徽割圆术”、“莫比乌斯环带”、“埃舍尔的平面镶嵌《蝴蝶》”、“黄金分割螺旋线”为素材设计了卡片A，卡片B，卡片C，卡片D等四张卡片作为邮票的图案部分．卡片背面朝上洗匀放在桌面上（卡片背面完全相同）． （1）将这四张卡片背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张卡片图案刚好是“刘徽割圆术”的概率是　　 ； （2）小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张卡片的图案恰好是“刘徽割圆术”和“黄金分割螺旋线”的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式．版权所有 【专题】统计与概率；数据分析观念． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）列表或画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“刘徽割圆术”的结果有1种， ∴概率为． 故答案为：； （2）利用表格（或树状图）列出所有可能的结果： 第二次 第一次 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到卡片A和D的有2种， ∴P． 【点评】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 8．（2025•浙江模拟）某商场为吸引顾客，举办有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸球兑奖的机会．在两个不透明的箱子中均装有1个红球，2个白球，它们除颜色外其余均相同．兑奖者同时从两个箱子里各摸出1个球，根据摸出两球的颜色完成一次兑奖，兑奖规则如下表所示． 项目 两个红球 一红一白 两个白球 兑奖规则 礼金券20元 礼金券10元 谢谢惠顾 若顾客只有一次摸球兑奖的机会，请分别求出“获得礼金券20元”“获得礼金券10元”的概率． 【考点】列表法与树状图法．版权所有 【专题】概率及其应用；应用意识． 【答案】“获得礼金券20元”的概率为，“获得礼金券10元”的概率为． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及摸出两个红球的结果数、摸出一红一白的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： 红 白 白 红 （红，红） （红，白） （红，白） 白 （白，红） （白，白） （白，白） 白 （白，红） （白，白） （白，白） 共有9种等可能的结果，其中摸出两个红球的结果有1种，摸出一红一白的结果有4种， ∴“获得礼金券20元”的概率为，“获得礼金券10元”的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 9．（2025•西安一模）有三部影片在春节档上映，分别是《哪吒2》，《唐探1900》，《熊出没•重启未来》．小西和小名同学分别从三部电影中随机选择一部观看，将《哪吒2》表示为A，《唐探1900》表示为B．《熊出没•重启未来》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小西同学的选择为x，小名同学的选择为y． （1）请用列表或画树状图法求（x，y）所有可能出现的结果总数； （2）求小西和小名两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式．版权所有 【专题】统计与概率；数据分析观念． 【答案】（1）9种； （2）． 【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可； （2）根据表格列出恰好选择观看同一部电影的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）列表如下， （x，y） A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） ∴由表可知，（x，y）可能出现的结果为：（A，A）、（B，A）、（C，A）、（A，B）、（B，B）、（C，B）、（A，C）、（B，C）、（C，C），它们出现的可能性相等，一共有9种． 答：所有可能出现的结果共有9种； （2）由表可以看出，小西和小名两名同学选择观看同一电影的情况有3种， 即（A，A）、（B，B）、（C，C）． ∴概率． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．熟练掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 10．（2025•莱西市校级模拟）如图，湖边建有A，B，C，D共4座凉亭，某旅游团计划将这4座凉亭全部参观一遍，全体成员从入口处进入，先在凉亭A集合，接下来根据地图路线自由参观，请用列表或画树状图的方法，求成员小亮最后一次参观的凉亭为凉亭D的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式．版权所有 【专题】概率及其应用；应用意识． 【答案】． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及成员小亮最后一次参观的凉亭为凉亭D的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中成员小亮最后一次参观的凉亭为凉亭D的结果有2种， ∴成员小亮最后一次参观的凉亭为凉亭D的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 11．（2025•峰峰矿区校级一模）某中学为了解初三同学的体育中考准备情况，随机抽取该年级某班学生进行体育模拟测试（满分30分），根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图（如图1和图2），已知图2中得28分的人数所对圆心角为90°，回答下列问题： （1）条形统计图有一部分污损了，求得分27分的人数；直接写出所调查学生测试成绩中位数和众数． （2）一同学因病错过考试，补测后与之前成绩汇总，发现中位数变大了，求该名同学的补测成绩． （3）已知体育测试的选考项目有：①足球运球绕杆：②篮球运球绕杆；③排球正面双手垫球，求小明和小亮选择同一项目的概率． 【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图；中位数；众数．版权所有 【专题】数据的收集与整理；统计的应用；概率及其应用；数据分析观念；应用意识． 【答案】（1）得分27分的人数为8人；所调查学生测试成绩中位数为28.5分，众数为29分； （2）这名同学补测成绩为9分或10分； （3）． 【分析】（1）先求出得28分占总人数的比，再将得28分的人数10除以这个比即可求出总人数，将总人数减去得其他分的人数即为得27分的人数；根据中位数和众数的确定方法即可写出所调查学生测试成绩中位数和众数； （2）补测成绩汇总后第21名的成绩应原中位数大于8.5分，从而可得答案； （3）利用列表法和画树状图法即可求出小明和小亮选择同一项目的概率． 【解答】解：（1）∵样本容量为：1040（人）， ∴得分27分的人数为：40﹣（2+10+12+8）＝8（人）； ∵中位数是数据有小到大排列第20，第21个数据的平均数，而第20，第21个数据分别为28分，29分， ∴中位数为（28+29）÷2＝28.5（分）； ∵29分有12人，是人数最多的分数， ∴众数为：29分， 答：得分27分的人数为8人；所调查学生测试成绩中位数为28.5分，众数为29分； （2）补测成绩与原来成绩合并后，将合并后的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第21名的成绩为中位数， ∵成绩的中位数变大了， ∴第21名的成绩大于28.5分， ∴这名同学补测成绩为29分； （3）画树状图如下： 一共有9种等可能的情况，其中小明和小亮选择同一项目有3种可能的情况， ∴P（小明和小亮选择同一项目）． 【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，能用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，能从统计图中获取信息，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． 12．（2025•禄丰市一模）“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为 A、B、C、D的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，记卡片上的人物为x，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，记卡片上的人物为y．若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲． （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，列出（x，y）所有可能出现的结果； （2）你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．版权所有 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】（1）见解答； （2）游戏规则公平，理由见解答． 【分析】（1）列表可得所有等可能结果； （2）从表格中得出取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系的结果数，继而求出小东、小华讲的概率，从而得出答案． 【解答】解：（1）列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 共有12种等可能的结果； （2）游戏规则公平，理由如下： 由表知，他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系的结果有6种， ∴由小东讲的概率为， 则由小华讲的概率为1， ∵， ∴此游戏规则公平． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 13．（2025•淄博）粮食安全，事关国计民生，增强学生粮食安全意识，培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 额数（人数） 1 75≤x＜80 10 2 80≤x＜85 a 3 85≤x＜90 35 4 90≤x＜95 25 5 95≤x≤100 b 根据以上信息．解答下列问题： （1）请直接写出统计表中的a＝　20　 ，b＝　10　 ，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是　90　 度； （2）请补全上面的结业成绩频数分布直方图； （3）现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图；概率公式．版权所有 【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；运算能力． 【答案】（1）20；10；90； （2）； （3）． 【分析】（1）依据题意，根据所给统计图表信息及扇形统计图可以列式计算得解； （2）依据题意，结合（1）所求a，b即可画图得解； （3）依据题意，通过列表法即可计算得解． 【解答】解：（1）由题意，∵第3组人数为35，占比35%， ∴总人数为35÷35%＝100（人）． 又∵第5组的圆心角为36°， ∴第5组占比为36°÷360°＝10%． ∴b＝10%×100＝10． ∴a＝100﹣10﹣35﹣25﹣10＝20． ∵第4组人数为25， ∴第4组对应的圆心角90°． 故答案为：20；10；90． （2）由题意，结合（1），a＝20，b＝10，即可作图． （3）列表如下： 男1 男2 女1 女2 女3 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） （男1，女3） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） （男2，女3） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） （女1，女3） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） （女2，女3） 女3 （女3，男1） （女3，男2） （女3，女1） （女3，女2） 由列表可知：恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 【点评】本题主要考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 14．（2025•仁寿县一模）为了增进学生对DeepSeek等AI领域知识的了解，某校举行了一场“人工智能知识竞赛”．从竞赛成绩在60～100分的同学中，随机抽取n名同学的成绩（记每名同学的成绩为x分），将数据整理分析，并绘制成以下不完整的统计图表．请根据所给信息，解答下列问题： 成绩分组 频数 A+：90≤x≤100 a A：80≤x≤90 90 B+：70≤x≤80 b B：60≤x≤70 10 （1）计算a、b、n的值； （2）补全频数分布直方图，并计算扇形统计图中“A+”所表示扇形的圆心角的度数； （3）“A+”小组中成绩最好的4名学生由3名女生和1名男生构成，学校从中随机抽取2名同学参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生和1名女生的概率． 【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图．版权所有 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】（1）n＝200，b＝40，a＝60； （2）图见解析；108°； （3）． 【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出n的值，即可求出a、b的值； （2）由（1）的结果补全频数分布直方图，再由360°乘以“A+”所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到抽到1名男生和1名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）被调查的总人数为：n＝10÷5%＝200， ∴则B+对应频数b＝200×20%＝40，A+对应的频数a＝200﹣90﹣40﹣10＝60； （2）补全频数分布直方图如下： 扇形统计图中“A+”所表示扇形的圆心角的度数为：； （3）令3名女生和1名男生分别为A、B、C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有6种， ∴恰好抽1名男生和1名女生的概率为． 【点评】此题主要考查了树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 15．（2025•白山模拟）数学活动让数学学习更加有趣．在一次数学课上老师设计了一个“配色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°． （1）转动B盘，则指针指向蓝色扇形区域的概率为 　　 ； （2）若同时转动A盘和B盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动）请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式．版权所有 【专题】概率及其应用；应用意识． 【答案】（1）． （2）． 【分析】（1）由题意知，B盘中红色扇形区域所占的圆心角为360°﹣120°＝240°，相当于2个蓝色部分．转动B盘，共有3种等可能的结果，其中指针指向蓝色扇形区域的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°， ∴B盘中红色扇形区域所占的圆心角为360°﹣120°＝240°，相当于2个蓝色部分， ∴指针指向蓝色扇形区域的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： 蓝 红 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，红） （蓝，红） 黄 （黄，蓝） （黄，红） （黄，红） 红 （红，蓝） （红，红） （红，红） 共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的结果有（蓝，红），（蓝，红），（红，蓝），共3种， ∴同时转动A盘和B盘，配成紫色的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 16．（2025•金凤区校级一模）某校积极响应推进“文明城市建设”的工作，培养学生的环保意识．为了解学生对环保知识的掌握情况，该校随机抽取了一个班的学生，对他们进行了垃圾分类了解程度的调查（A类表示不了解，B类表示了解很少，C类表示基本了解，D类表示非常了解）．根据调查的结果绘制了如图两幅不完整的统计图： 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）该班的学生共有 　40　 名；在扇形统计图中A类所对的扇形圆心角的度数为 　144°　 ； （2）请补全条形统计图． （3）根据统计结果，请估计全校1200名学生中对垃圾分类不了解的学生人数． （4）从D类的10人中选5人，其中2人善于语言表达，3人善于动作表演．现从这5人中随机抽取2人参加班级举行的“文明践行从我做起”主题班会的“双簧”表演，请用列表或画树状图的方法求出所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演的概率． 【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．版权所有 【专题】统计的应用；数据分析观念． 【答案】（1）40；144°； （2）作图见解析； （3）480人； （4）． 【分析】（1）根据C类所对应的圆心角可得C类所占百分比，再根据C类人数可得该班学生的人数，用360°乘以A类人数所占比例即可； （2）用该班学生数减去A、C、D人数求出B类人数即可补全条形图； （3）求出A类所占调查人数的百分比，估计为总体所占的百分比，进而求出相应的人数； （4）通过画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵72°÷360°＝0.2， ∴该班的学生共有：8÷0.2＝40（名）， ∴， 故答案为：40；144°． （2）B类人数有：40﹣16﹣8﹣10＝6（人）， 补全条形统计图如下： （3）（人）， 答：估计全校1200名学生中对垃圾分类不了解的学生人数为480人． （4）设善于语言表达的2人分别用Y1，Y2表示，3人善于动作表演的3人分别用D1，D2，D3，画树状图如下： 从这5人中随机抽取2人共有20种等可能结果，所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演有12种结果， ∴所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演的概率为：， 答：所选2人恰好1个善于语言表达1个善于动作表演的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合条件的结果数目m，然后利用概率公式计算该事件发生的概率．也考查了条形统计图和扇形统计图． 17．（2025•南安市二模）为帮助同学们正确理解物理变化与化学变化，老师将5种生活现象分别制成无差别的卡片，分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有A、B、C三张卡片，乙口袋中装有D、E两张卡片．其中，没有生成其他物质的变化叫做物理变化（A、D）；生成其他物质的变化叫做化学变化（B、C、E）．课堂上，同学们通过抽卡片来分享对应的科学知识． （1）小南从甲口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是物理变化的概率是 　　 ． （2）游戏规则如下：老师从两个口袋中各随机抽取1张卡片，若抽取的两张卡片都是化学变化，则由小南分享；若抽取的两张卡片都是物理变化，则由小安分享．这个规则对小南和小安公平吗？请用画树状图或列表法说明理由． 【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法．版权所有 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】（1）； （2）这个规则对小南和小安不公平，理由见解析． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有6种等可能的结果，其中抽取的两张卡片都是化学变化的结果有2种，抽取的两张卡片都是物理变化的结果有1种，再概率公式求出由小南分享的概率≠由小安分享的概率，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵甲口袋中装有A、B、C三张卡片，其中物理变化的有1种，即A， ∴小南从甲口袋中随机抽取一张卡片，抽到的是物理变化的概率是， 故答案为：； （2）这个规则对小南和小安不公平，理由如下： 列表如下： D E A （A，D） （A，E） B （B，D） （B，E） C （C，D） （C，E） 共有6种等可能的结果，其中抽取的两张卡片都是化学变化的结果有2种，即BE、CE； 抽取的两张卡片都是物理变化的结果有1种，即AD， ∴由小南分享的概率，由小安分享的概率， ∵， ∴由小南分享的概率≠由小安分享的概率， ∴这个规则对小南和小安不公平． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 18．（2025•松原模拟）某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“x＜60”记为1分，“60≤x＜70”记为2分，“70≤x＜80”记为3分，“80≤x＜90”记为4分，“90≤x≤100”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 a 第2小组 b 3.5 5 第3小组 3.25 c 3 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为　18　 度； ②请补全第1小组得分条形统计图； （2）a＝　5　 ，b＝　3.5　 ，c＝　3　 ； （3）从第二组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图；加权平均数；中位数；众数；概率公式．版权所有 【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；数据分析观念；应用意识． 【答案】（1）①18． ②见解答． （2）5；3.5；3． （3）． 【分析】（1）①用360°乘以扇形统计图中1分的百分比可得答案． ②求出第1小组得分为4分的人数，补全第1小组得分条形统计图即可． （2）根据众数、中位数、平均数的定义可得答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为360°×（1﹣30%﹣15%﹣10%﹣40%）＝18°． 故答案为：18． ②第1小组得分为4分的人数为20﹣1﹣2﹣3﹣8＝6（人）． 补全第1小组得分条形统计图如图所示． （2）由条形统计图可得，a＝5， 由扇形统计图可得，b＝1×（1﹣30%﹣15%﹣10%﹣40%）+2×30%+3×15%+4×10%+5×40%＝3.5， 将第3小组的20人的得分按照从小到大的顺序排列，排在第10和11名的分数为3分，3分， ∴c＝（3+3）÷2＝3． 故答案为：5；3.5；3． （3）列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 共有12种等可能的结果，其中所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果有8种， ∴所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、加权平均数、中位数、众数、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、加权平均数、中位数、众数的定义、概率公式是解答本题的关键． 19．（2025•工业园区校级二模）央视春晚的西安分会场与动画片《长安三万里》形成联动，让李白穿越千年，在古城西安现身，使得除夕夜的西安犹如回到了繁荣兴旺的长安时代．李白是唐朝伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”．《将进酒》是李白不受重用，接连受到打击后满怀愤慨所作的名篇．小明和小刚将这首诗中的四句分别写在编号为A，B，C，D的4张卡片上，如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同，将这4张卡片背面朝上，洗匀放好，玩抽诗句的游戏． （1）小明从中抽取一张卡片，恰好抽到“天生我材必有用”的概率为 　　 ； （2）小明先抽一张卡片，接着小刚从剩下的卡片中抽一张，用画树状图或列表的方法求两人所抽卡片上的诗句恰好成联（注：A与B为一联，C与D为一联）的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式．版权所有 【专题】概率及其应用；运算能力． 【答案】（1）． （2）． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好抽到“天生我材必有用”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人所抽卡片上的诗句恰好成联的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好抽到“天生我材必有用”的结果有1种， ∴恰好抽到“天生我材必有用”的概率为． 故答案为：． （2）列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中两人所抽卡片上的诗句恰好成联的结果有：（A，B），（B，A），（C，D），（D，C），共4种， ∴两人所抽卡片上的诗句恰好成联的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 20．（2025•香洲区校级一模） 2024年珠海“中国国际航空航天博览会”某展览馆展厅东面有A，B两个入口，南面、西面、北面各有一个出口，示意图如图所示．小华任选一个入口进入展览大厅，参观结束后任选一个出口离开． （1）求小华从入口B进入展厅的概率； （2）画树状图或列表格分析小华从入口A进入展厅并从北出口离开展厅的概率？ 【考点】列表法与树状图法；概率公式．版权所有 【专题】概率及其应用；应用意识． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据总的入口数，即可求出小华从入口B进入展厅的概率； 根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果，再求得小华从入口A进入展厅并从北出口离开的情况，利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：（1）根据题意得： 小华从入口B进入展厅的概率是； （2）设北出口为C，西出口为D，南出口为E， 画树状图为： 共有6种等可能的结果，其中小华选择从入口A进入，从出口E离开的情况有1种， ∴小华选择从入口A进入，从北出口离开的概率为． 【点评】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $