2026年湖南省对口招生考试《数学高频考点冲刺卷》（二）（原卷版+解析版）

编写说明：本套冲刺卷严格依据湖南省2026年普通高等学校对口招生考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第2卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 高频考点冲刺卷（二） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列函数是指数函数的是（ ） ． ． ． ． 2．已知集合，则集合的个数是 ( ) ．2 ．3 ．4 ．5 3．“”是“”的 ( ) ．充分不必要条件 ．必要不充分条件 ．充要条件 ．既不充分也不必要条件 4．不等式的解集是 ( ) ． ． ． ． 5．在等比数列中，，则（ ） ． ． ． ． 6．已知中，，则（ ） ． ． ． ． 7．函数区间上的值域是 ( ) ． ． ． ． 8．已知直线，，则过点的直线方程为 ( ) ． ． ． ． 9．已知，且是第三象限的角，则（ ） ． ． ． ． 10．正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为，则该棱锥的体积为（ ） ． ． ． ． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．某运动员进行射击练习，射击10次，得分如下表： 得分 7分 8分 9分 10分 次数 1 4 3 2 则该运动员10次的平均分为____________． 12．函数的最小值是____________． 13．四位游客到北京旅游在天安门前合影留念，甲、乙游客相邻且不排在两端，则不同的排法共有__________． 14．正方体中，则体对角线底面所成角的正弦值是___________． 15．设直线与圆相交于两点，且弦长为，则___________． 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16(本小题满分10分) 在数列中，已知． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 17．(本小题满分10分) 已知函数． （1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由． 18．(本小题满分10分) 空间四边形中，点分别是 的中点 （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形， 求异面直线所成角的大小． 19．(本小题满分10分) 某工厂有件电子产品，其中有件合格品，件次品． （1）该厂检验员从中有放回地连续抽取产品次，每次随机抽取件，求两次都取到次品的概率； （2）若该检验员从中任意抽取件，用表示取出的件产品中次品的件数，求的分布列． 20．(本小题满分10分) 已知椭圆的焦距为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若，求直线的方程． 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 在中，内角对应的三边分别为，若，． （1）求的值； （2）若，求的值． 22．(本小题满分10分) 某电子工厂生产甲、乙两种电子管，每种电子管需要A、B两种原料，已知甲电子管A、B原料分别需要10个和30个，乙电子管分别需要A、B两种原料20个和10个；又知A、B两种原料库存不得超过80个和90个，而电子工厂生产甲、乙电子管分别获得利润20元和 30元，试问工厂每天应生产甲、乙电子管各多少个，才能获得利润最大?最大利润是多少． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套冲刺卷严格依据湖南省2026年普通高等学校对口招生考试要求编写，聚焦高三考生冲刺需求，助力高效提分。内容上深度覆盖考纲掌握，既系统梳理构建知识框架，又强化应用能力训练；同时结合近三年高考真题，精准把握高频考点、命题趋势与题型特点，确保贴合高考方向。 本卷为高频考点冲刺卷第2卷，适合于全面模拟考试真实场景，精准把握考试节奏与答题时间，强化知识的综合运用能力，稳步提升应试实战水平。 湖南省2026年普通高等学校对口招生考试 数学 高频考点冲刺卷（二）解析版 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列函数是指数函数的是（ ） ． ． ． ． 【答案】D 【分析】指数函数的严格定义：形如 的函数，需满足：①底数为常数且符合范围；②指数仅为自变量 ；③系数为1 【详解】A选项底是 故选：D 2．已知集合，则集合的个数是 ( ) ．2 ．3 ．4 ．5 【答案】B 【分析】集合间的包含关系（子集、真子集） 【详解】已知，则 M 必须包含元素 1、2、3，且不能包含所有元素 0、1、2、3、4（真子集要求）。就是元素3，4的组成的真子集 故选B 3．“”是“”的 ( ) ．充分不必要条件 ．必要不充分条件 ．充要条件 ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】三角函数值与角的关系、充分必要条件定义。 【详解】充分性：若，则，不一定是，故充分性不成立；必要性：若，则，必要性成立。综上“” 是“”的必要不充分条件。 故选B 4．不等式的解集是 ( ) ． ． ． ． 【答案】D 【分析】一元二次不等式解法（判别式应用） 【详解】对于一元二次函数中的方程的判别式，抛物线开口向上（二次项系数 1>0），且与 x 轴无交点，故f(x)>0恒成立，不等式的解集为∅ 故选D 5．在等比数列中，，则（ ） ． ． ． ． 【答案】D 【分析】等比数列通项公式与前 n 项和公式。 【详解】已知，由等比数列通项公式得；由等比数列前 n 项和公式，代入，，得 故选D 6．已知中，，则（ ） ． ． ． ． 【答案】B 【分析】平面向量坐标运算与数量积公式 【详解】先求向量坐标：，； 由数量积公式： 故选B 7．函数区间上的值域是 ( ) ． ． ． ． 【答案】D 【分析】对数函数单调性与值域求解。 【详解】函数，定义域为，对数函数在(0,+∞) 上单调递增，故当x∈(2,8]时，当x=2时，；当x=8时，，即值域为(3,5] 故选D 8．已知直线，，则过点的直线方程为 ( ) ． ． ． ． 【答案】B 【分析】两直线交点求解与直线方程验证 【详解】先求的交点，由得：故 P (1,4)； 验证选项：将 P (1,4) 代入各选项，只有选项 B满足条件 故选B 9．已知，且是第三象限的角，则（ ） ． ． ． ． 【答案】B 【分析】同角三角函数基本关系 【详解】已知，且是第三象限的角，故，由平方关系得：；则 故选B 10．正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为，则该棱锥的体积为（ ） ． ． ． ． 【答案】D 【分析】正四棱锥的性质（侧棱与底面夹角、体积公式） 【详解】设正四棱锥底面中心为 O，顶点为 P，则PO⊥底面 ABCD， ∠PAO=60°，（侧棱与底面夹角），PA=（侧棱长）； 则在Rt△POA中AO=PA×cos60°，PO=PA×sin60° 底面正方形对角线，设底面边长为 a，则 ，那么底面面积 ；由体积公式得： 故选D 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．某运动员进行射击练习，射击10次，得分如下表： 得分 7分 8分 9分 10分 次数 1 4 3 2 则该运动员10次的平均分为____________． 【答案】8.6 【分析】加权平均数计算 12．函数的最小值是____________． 【答案】-2 【分析】余弦函数的值域与函数最值 【详解】余弦函数，当时，取得最小值-2 13．四位游客到北京旅游在天安门前合影留念，甲、乙游客相邻且不排在两端，则不同的排法共有__________． 【答案】8 【分析】相邻问题（捆绑法）与位置限制排列 【详解】 第一步：将甲、乙捆绑为一个整体，内部排列有种； 第二步：甲、乙整体不排两端，只能排在中间2个位置，有种选择； 第三步：剩余 2 名游客排列，有种； 总排法：2×2×2=8种。 14．正方体中，则体对角线底面所成角的正弦值是___________． 【答案】 【分析】线面角的定义与正方体性质 【详解】设正方体棱长为 a，体对角线AC1与底面所成角为∠C1AC；在Rt△C1中，，则。 15．设直线与圆相交于两点，且弦长为，则___________． 【答案】0 【分析】直线与圆的位置关系（弦长公式、点到直线距离公式） 【详解】已知圆的圆心是（1，2），半径为2，圆心到直线的距离为由垂径定理得d=1则，解得a=0 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16(本小题满分10分) 在数列中，已知． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【分析】构造等比数列求通项、等比数列前 n 项和 【详解】解：（1）由得则数列就是以3为公比的等比数列，而，，所以 （2） 所以数列的前项和 17．(本小题满分10分) 已知函数． （1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由． 【分析】1、 对数函数定义域：真数大于 0； 2、函数奇偶性判断：①定义域关于原点对称；②f(−x)=f(x)（偶函数）或f(−x)=−f(x)（奇函数） 【详解】解：（1）依题意得：解得：故原函数的定义域为，（2）由（1）可得函数的定义域关于原点对称 所以 原函数是偶函数 18．(本小题满分10分) 空间四边形中，点分别是 的中点 （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形， 求异面直线所成角的大小． 【分析】三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边且长度为第三边的一半； 平行四边形判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 异面直线夹角：通过平移转化为共面直线的夹角 【详解】（1）证明：在△ABC 中，E、G 分别是 BC、AB 的中点，由中位线定理： 且 ； ◦ 在△ADC 中，D、F 分别是 AB、CD 的中点？（修正：G 是 DA 中点，F 是 CD 中点）：在△ADC 中，G、F 分别是 DA、CD 的中点，中位线定理： 且 ； ◦ 故 且 ，因此四边形 是平行四边形（一组对边平行且相等） （2）解：四边形DEFG是矩形，故EG⊥GD；由中位线定理：EG∥AC，GD∥BD（G、D 是 DA、AB 中点，GD∥BD且GD= BD ）； 因此AC⊥BD，异面直线AC与BD所成角为90 ∘ 19．(本小题满分10分) 某工厂有件电子产品，其中有件合格品，件次品． （1）该厂检验员从中有放回地连续抽取产品次，每次随机抽取件，求两次都取到次品的概率； （2）若该检验员从中任意抽取件，用表示取出的件产品中次品的件数，求的分布列． 【分析】（1）有放回抽样概率：每次抽样独立，概率相乘；从有限 N 个物件中抽取 n 个，其中含 M 个次品，求抽到 k 个次品的概率，公式：（2）古典概型。 【详解】（1）解：设B=｛检验员从中有放回地连续抽取产品次，每次随机抽取件，求两次都取到次品｝则 答：检验员从中有放回地连续抽取产品次，每次随机抽取件，求两次都取到次品的概率为 ​（2）可能取值分别为0，1，2，则 ，， 的分布列为：​ 0 1 2 20．(本小题满分10分) 已知椭圆的焦距为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若，求直线的方程． 【分析】椭圆中的关系来求椭圆的方程和直线与二次曲线相交的交点问题 【详解】解：（1）依题意得解之得： ∴椭圆的方程为： （2）设直线的方程为与交点，联立组成方程组为消元得：由此得，由得角得，所以直线线的方程为． 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 在中，内角对应的三边分别为，若，． （1）求的值； （2）若，求的值． 【分析】 【详解】解：（1）由得：； （2）由得，得在中，， ∴ 22．(本小题满分10分) 某电子工厂生产甲、乙两种电子管，每种电子管需要A、B两种原料，已知甲电子管A、B原料分别需要10个和30个，乙电子管分别需要A、B两种原料20个和10个；又知A、B两种原料库存不得超过80个和90个，而电子工厂生产甲、乙电子管分别获得利润20元和 30元，试问工厂每天应生产甲、乙电子管各多少个，才能获得利润最大?最大利润是多少． 【分析】线性规划步骤：①设变量；②列约束条件；③列目标函数；④画可行域；⑤找最优解（顶点处取得最值） 【详解】解：设电子厂每天生产甲电子管x个，乙电子管y个，利润为z元；则 目标函数 画出可行域（如阴影部分） 由可行域解得 列表得： 点 z 60 130 120 综上：该电子工厂每天应生产甲、乙电子管各2个和3个时，才能获得利润最大；最大利润是130元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $