2026年中考数学一轮复习知识点训练营——根式方程

2026年中考数学一轮复习知识点训练营——根式方程 一、选择题 1．下列方程为无理方程的是（　　） A． B． C． D． 2．在下列方程中，有实数根的是（　　） A． B． C． D． 3．数学思想方法是数学的灵魂和精髓，而转化思想是数学思想方法中最基本、最重要的一种方法，我们可以用因式分解把方程转化为或，从而求出方程的三个根：，，，再如，我们可以用两边平方的方法把方程转化为，从而求出方程的根为：，通过转化还可以求出方程的根为（　　） A．3 B． C．3或 D．3或1 4．在下列方程中，有实数根的方程的个数有（　　） ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．个 B．个 C．个 D．个 5．已知实数a满足，那么的值是（　　） A.2023 B．2024 C．2025 D．2026 6．如果关于 的方程 有实数根 ，那么m的值是（　　） A． B． C． D． 7．下列方程中，判断中不正确的是（　　） A．方程 是分式方程 B．方程 是二元二次方程 C．方程 是无理方程 D．方程 是一元二次方程 二、填空题 8．方程的解是　 　． 9．方程的解是　 　． 10．方程的根是　 　． 11．方程的根是　 　． 12．方程的解是　 　． 13．当 　 　时， 的值为 0 ． 14．方程的根是　 　． 三、计算题 15．解下列方程： （1） . （2） . 16．． 四、解答题 17．我们将与称为一对“对偶式”．可以应用“对偶式”求解根式方程．比如小明在解方程时，采用了如下方法： 由于， 又因为①，所以②，由①+②可得， 将两边平方解得，代入原方程检验可得是原方程的解． 请根据上述材料回答下面的问题： （1）若的对偶式为，则________；（直接写出结果） （2）方程的解是________；（直接写出结果） （3）解方程：． 18．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式． （1）请根据以上信息，写出根分式中的取值范围：　 　； （2）已知两个根分式与． ①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； ②当是一个整数时，求无理数的值． 19．小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法.下面是她解方程 ＋ ＝5的过程. 解：设 ﹣ ＝m，与原方程相乘得： （ ＋ ）×（ ）＝5m， x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1， ∴ ﹣ ＝1，与原方程相加得： （ ＋ ）+（ ）＝5＋1， 2 ＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根. 学习借鉴解法，解方程 ﹣ ＝1. 20．阅读小明用下面的方法求出方程2 ﹣3x＝0的 解法1：令 ＝t，则x＝t2 原方程化为2t﹣3t2＝0 解方程2t﹣3t2＝0，得t1＝0，t2＝ ； 所以 ＝0或 ， 将方程 ＝0或 两边平方， 得x＝0或 ， 经检验，x＝0或 都是原方程的解. 所以，原方程的解是x＝0或 . 解法2：移项，得2 ＝3x， 方程两边同时平方，得4x＝9x2， 解方程4x＝9x2，得x＝0或 ， 经检验，x＝0或 都是原方程的解. 所以，原方程的解是x＝0或 . 请仿照他的某一种方法，求出方法x﹣ ＝﹣1的解. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】无理方程 2．【答案】C 【知识点】分式方程的增根；无理方程；一元整式方程；高次方程 【解析】【解答】A： ，∵∴无意义，故方程无实数根； B： ，∵ 根的判别式=，故方程无实数根； C：，两边平方得：，整理得：，（舍），方程有实数根； D： ，分式方程两边同时乘以（x-1）得：x=1，此时x-1=0，分母为0 ，x=1是方程的增根，不是实数根，故方程无实数根； 故答案为C 【分析】本题考查方程的实数根情况。解分式方程，要注意检验根，分母不能为0.解无理方程时，使无理方程有理化，转化成有理方程，要结合二次根式的意义求出无理方程未知数的取值范围，进而得到方程的实数根。一元二次方程的实数根情况，根据根的判别式与0 的大小可知。 3．【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程；无理方程 4．【答案】B 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解分式方程；无理方程 【解析】【解答】解：①∵， ∴， ∵不论x为何值，不能为-3， ∴此方程无实数根； ②∵， ∴x-4≥0，3-x≥0， 解得：x≥4且x≤3， ∴此方程无实数根； ③∵， ∴x+1=x2， ∴x2-x-1=0， ∴， 又∵x+1≥0， ∴， ∴此方程有实数根； ④∵， ∴2x-3≥0，3-2x≥0， ∴， ∴此方程有实数根； ⑤∵， ∴， ∴此方程无实数根； ⑥∵， ∴2(x-1)+3（x+1)=6， 解得：x=1， ∴（x+1)(x-1)=0， ∴此方程无实数根； 综上所述： 有实数根的方程的个数有2个； 故答案为：B. 【分析】利用解方程的方法以及根的判别式计算求解即可。 5．【答案】C 【知识点】绝对值及有理数的绝对值；二次根式有意义的条件；无理方程 【解析】【解答】解：∵ 实数a满足 ， ∴a-2025≥0，即a≥2025， ∴2024-a＜0， ∴， ∴24， ∴a-2025=20242， ∴a-20242=2025. 故答案为：C. 【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得a-2025≥0，即a≥2025，然后根据绝对值的性质化简绝对值并整理得，最后两边平方即可得出答案. 6．【答案】A 【知识点】无理方程 【解析】【解答】解：把 代入方程 ， 得： ， 两边平方得： ， 解得： ， 经检验 是方程 的解， 即 ， 故答案为：A． 【分析】先求出，再求出，最后检验求解即可。 7．【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；分式方程的概念；无理方程；二元二次方程与方程组的认识 【解析】【解答】A. 方程 是分式方程，故该选项不符合题意； B. 方程 是二元二次方程，故该选项不符合题意； C. 方程 是一元二次方程，故该选项符合题意； D. 方程 是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故答案为：C． 【分析】逐一进行判断即可． 8．【答案】 【知识点】无理方程 【解析】【解答】解：原方程两边同时平方得，即 ∴ ∴或， 又由题意可得 解得，， ∴当时不满足题意， ∴ 故答案为：. 【分析】 先将原方程两边同时平方可得到关于x的一元二次方程，利用因式分解法解得x，再结合原方程中二次根式的双重非负性得出x的取值范围，从而判断得出结果． 9．【答案】无实数根 【知识点】无理方程 10．【答案】x＝﹣4 【知识点】无理方程 11．【答案】x=2 【知识点】无理方程 12．【答案】 【知识点】无理方程 13．【答案】​​​​​​​ 【知识点】二次根式有意义的条件；无理方程 【解析】【解答】解：由得4x+5=0， 解得x= 故答案为：. 【分析】二次根式值为零，也即被开方数为零，据此列出方程，解方程求解即可. 14．【答案】 【知识点】无理方程 15．【答案】（1）解： ， 两边平方得，18-7x=x2， 即x2+7x-18=0， 移项得，x2+7x=18， 配方得，x2+7x+=18+， 即（x+）2=， 开平方得，x+=±， ∴ x=±-， ∴ x1=2，x2=-9， 经检验，x2=-9是原方程的增根， 故原方程的解是x=2； （2）解：， 移项得， ， 两边平方得，4（x-5）=（6-x）2， 整理得，x2-16x+56=0， 移项得，x2-16x=-56， 配方得，x2-16x+64=-56+64， 即（x-8）2=8， 开平方得，x-8=±， ∴ x1=+8，x2=+8， 经检验，x1=+8是原方程的增根， 故原方程的解是x=+8. 【知识点】配方法解一元二次方程；无理方程 【解析】【分析】（1）先两边平方，将方程转化为一元二次方程，利用配方法求解，再检验方程的解，即可求得； （2）先移项，再两边平方，方程转化为一元二次方程，利用配方法求解，再检验方程的解，即可求得. 16．【答案】解： 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【知识点】无理方程 【解析】【分析】利用完全平方公式求出 ，再利用配方法解方程求解即可。 17．【答案】（1）1 （2） （3） 【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；无理方程 18．【答案】（1）且 （2）解：不存在，理由如下： 由得， 解得， 经检验，是原方程的增根， 原方程无解， 不存在； ， 是一个整数， 是整数， 或， 解得或x=1或或， 为无理数，且， ． 【知识点】二次根式有意义的条件；无理方程 【解析】【解答】解：（1）根据题意可知，x-1≥0且x-2≠0， 则且. 故答案为：且. 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件以及分母不能为零得到x-1≥0且x-2≠0，即可求解； （2）根据题意列出方程得到，解方程即可得到答案； 计算得到，根据是一个整数，得到或，解方程取无理数且的x值，即可得到答案. 19．【答案】解：设 + ＝m，与原方程相乘得： （ ﹣ ）×（ + ）＝m， x﹣3﹣（x﹣6）＝m，解之得m＝3， ∴ + ＝3，与原方程相加得： （ ﹣ ）+（ + ）＝3＋1， 2 ＝4，解之得，x＝7，经检验，x＝7是原方程的根. 【知识点】平方差公式及应用；无理方程 【解析】【分析】借鉴题中的方法，即可计算求解. 20．【答案】解：移项，得x+1＝ ， 方程两边平方，得x2+2x+1＝2x+5，即x2＝4， 解方程，得x＝2或x＝﹣2， 经检验：x＝2或x＝﹣2都是原方程的解， 所以原方程的解是x＝2或x＝﹣2. 【知识点】无理方程 【解析】【分析】把不含根号的项移到方程的一半，含根号的项移到方程的另一边，移项后两边平方得到关于x的整式方程，解之求出x的值，再代回原方程检验即可得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $