【大题专项】专题3 解三角形与数列求和（讲义）-2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第3个专题，内容为解三角形与数列求和 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》大题专项 专题3 解三角形与数列求和 一、考纲解读 内容 要求 难易度 说明 直线与圆的位置关系 1. 理解正弦定理、余弦定理并能进行简单的应用 D A对应容易；B对应较易；C对应较难；D对应难。 2.掌握等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。 D 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 22 等差数列的首项和公差求解 7 （1）题型：解答题 （2）分值：12-15分 （3）内容：重点考正余弦定理解三角形（求角、边及周长），等差数列前n项和及等差数列通项公式 解答题 24 解三角形（正弦定理以及两角和的正弦公式求三角形的一条边） 8 2024 解答题 20 等差数列的通项公式及计算 6 解答题 22 正弦定理的应用（利用正弦定理求解角） 6 2023 解答题 23 等差数列的通项公式与前n项和公式 6 解答题 24 解三角形（1.求角的大小；2.求三角形的周长） 8 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年山西省对口招生考试解答题仍然考查用正余弦定理求三角形的角、边、周长，而数列专题考等差数列的通项公式、求公差或前n项和公式依然是高频考点，备考时重点放在正余弦定理的应用（解三角形）等差（比）数列公式及前n项和公式与应用。具体考点可能涉及如下内容： · 正余弦定理求三角形的角、边和周长 · 等差数列的性质、通项公式及前n项和公式 · 等比数列的性质、通项公式及前n项和公式 四、知识梳理 （一）正余弦定理及应用 1、正、余弦定理与变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 2、解三角形中的常用结论 （1）三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. （2）三角形中的三角函数关系 ①sin(A＋B)＝sin C； ②cos(A＋B)＝－cos C； ③sin ＝cos ； ④cos ＝sin . （3）三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. （4）三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 3、三角形常用面积公式 （1）S＝a·ha(ha表示边a上的高)； （2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （3）S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 2.解三角形的实际应用 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 五、10分钟小测验 1.在中，. (1)若，求； (2)若，求. 2. 在中，，求 3. 已知数列的前n项和．求： (1)数列的通项公式； (2)的值． 参考答案 1.【答案】(1)或 (2) 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】（1）中，，由正弦定理可知，， 于是，， 又因为，所以或， 当时，， 当时，. 因此，或. （2）由正弦定理可知，， 于是，， 又因为，所以或， 当时，，不合题意， 因此，. 从而. 2.【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理可得，即可求出A的大小. 【详解】因为，可得， 由余弦定理知，又A为三角形内角， ∴. 3.【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列片段和的性质及应用、由Sn求通项公式 【分析】（1）根据前项和减前项和得到的通项公式即可. （2）将部分和转换成再代值求解即可. 【详解】（1）易知， 且时，， 满足上式， 则数列的通项公式为. （2） 六、经典例题解析 （一）正余弦定理解三角形 【考试题型1】利用正余弦定理求角 【例1】（2024年•山西省对口升学考试数学试题）在中，所对的边分别为，已知求. 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角、正弦定理解三角形 【分析】根据题意结合正弦定理求出的值即可得解. 【详解】由正弦定理得，，所以， 又 ∴， 即，又， ∴或， 因为，则不成立， ∴. 【例2】（2022届•山西省太原文赢教育培训学校对口升学高三下学期终极考前模拟）在中，所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且，求角A． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、等比中项的应用 【分析】由a，b，c成等比数列可得，再利用余弦定理即可解. 【详解】因为a，b，c成等比数列，所以， 又，所以，即， 所以， 又，所以. 【考试题型2】利用正余弦定理求边 【例3】（2025年•山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试）在中，，，所对的边分别为，，，已知，，，求． 【答案】26 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、诱导公式二、三、四、正弦定理解三角形、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】根据同角三角函数关系求出，，再利用正弦的和角公式求出，最后利用正弦定理即可求出a． 【详解】∵，∴， ∵在中，∴； 同理，∵，∴， ∵在中，； ∴ ， ∴在中，由正弦定理得， 即． 【例4】（2024届•山西省第五届沃米杯高三期中职生对口升学第二次联考）在中，已知，且的面积为，求边． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及应用、余弦定理解三角形 【分析】根据三角形的面积公式求，再由余弦定理求值即可. 【详解】已知，且的面积为， 根据三角形的面积公式可知， 即，解得， 根据余弦定理可知 ，即． 【归纳总结】利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 过程 思路 1.选定理 （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2.巧转化 化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3.得结论 利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等. 【考试题型3】利用正余弦定理求周长与面积 【例5】（2023年•山西省2023年对口升学考试数学真题）在中，的对边分别是，且， (1)求锐角的大小； (2)若且，求三角形的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理得边角互化求解角的大小即可. （2）由余弦定理求解a，b的值进而求解周长即可. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得：， 解得， 又因为在中，为锐角， 所以. （2）由余弦定理， ， ， 解得或（舍）， 三角形的周长为：. 【例6】（2025届•湖南省湘潭市职业高中对口高考前最一后卷数学试题）在中，. (1)求的值； (2)若，求b以及的值. 【答案】(1) (2)， 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角形面积公式及应用 【分析】（1）由余弦定理及已知即可求得； （2）先求得，，再由正弦定理得，根据余弦定理求得，进而由三角形面积公式求得面积. 【详解】（1）由余弦定理及已知， 得. （2）因为，为三角形内角，所以， 因为，， 所以， . 又因为，所以由正弦定理得， 又因为， 所以，解得（舍）. 所以. 【归纳总结】 1、三角形面积公式的使用原则：对于面积公式,一般是使用哪一个角就使用哪一个公式. 2、与面积有关的问题：一般要用到正弦定理和余弦定理进行边角互化. （二）等差数列与等比数列 【考试题型3】等差数列通项、求和以及求基本量 【例7】（2024年•山西省对口升学考试数学试题）设等差数列满足，求该数列第10项． 【答案】. 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列的通项公式、等差数列前n项和的基本量计算、利用等差数列的通项公式求数列中的项 【分析】根据等差数列的求和公式及通项公式列出方程组求出首项及公差即可得解. 【详解】等差数列满足， 则，解得， 所以， 则. 【例8】（2025年山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试数学试题）等差数列满足，，求数列首项和公差. 【答案】首项，公差 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的通项公式与前n项和公式求解即可. 【详解】由等差数列的求和公式，即， 即， 又，即， 联立，解得， 所以数列数列首项，公差. 【例9】（2025届•山西省中等职业学校高三下学期第三次对口升学模拟联考）已知为等差数列的前n项和，，求. 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解即可. 【详解】解法一：设等差数列的公差为d， 由题知， 解得，          所以， .     解法二：因为，     ，得，             所以，                  ，                     所以. 【归纳总结】等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝. 3．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. 【考试题型4】等比数列通项、求和以及求基本量 【例10】（2025届•山西省朔州市怀仁市云洲职业中学高三下学期第四次模拟）已知等比数列中，，. (1)求通项； (2)若，试求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】指数式与对数式的互化、求等比数列的通项公式、求等差数列前n项和 【分析】（1）利用等比数列通项公式，即可求解. （2）利用等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）设等比数列首项为公比为q， 由题意知，， 所以， 解得：， 所以. （2）由（1）知， 所以， 则. 综上所述，数列的前n项和为. 【例11】（2023届•山西省长子县职业技术学校高三模拟）在等比数列中，已知，，成等差数列，求公比q. 【答案】 【知识点】等比数列的定义及判定、等差中项的应用 【分析】利用等差中项公式得到，进而整理得，再利用等比数列的定义即可得解. 【详解】因为，，成等差数列，所以， 即，整理得，即， 因为在等比数列中，，所以. 【例12】（2023届•山西省对口升学五月份押题密卷模拟考试联考）在等比数列中，若，且成等差数列，求数列的通项公式． 【答案】. 【知识点】等差中项的应用、求等比数列的通项公式 【分析】由等差中项公式及等比数列的通项公式即可得解. 【详解】因为为等比数列. 设. 又因为成等差数列. 所以. 所以. 解得. 所以即. 综上所述的通项公式为. 七、专题归纳小结 一、利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理； 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简. 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。 二、证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数.即作差法，将关于an-1的an代入an-an-1，在化简得到定值. (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立. (3)判定一个数列是等差数列还常用到的结论： ①通项公式：an=pn+q（p,q为常数）是等差数列. ②前n项和公式：Sn=An2+Bn（A,B为常数）是等差数列. 问题的最终判定还是利用定义. 三、等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 =(公式一). =(公式二). 四、证明数列是等比数列的主要方法： (1)定义法：（常数）为等比数列； (2)中项法：为等比数列； (3)通项公式法：（k，q为常数）为等比数列； 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 【注】在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n=1的情形进行验证 五、等比数列的前n项和公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则等比数列{}的前n项和公式为 =. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $