概率初步-山东省2026年春季高考一轮复习《数学考点双析卷》第107卷 教师讲解卷（原卷版+解析版）

| 编写说明：山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》的第107卷，主要考查概率初步的掌握情况。 山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》 第107卷 概率初步 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列说法正确的是（    ） A．某事件发生的频率为 B．不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1 C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件 D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 2．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互为对立的两个事件是（    ） A．“至少有一个红球”与“都是红球” B．“至少有一个红球”与“都是黑球” C．“至少有一个红球”与“至少有一个黑球” D．“恰好有一个红球”与“恰好有两个红球” 3．甲乙两人下棋，乙胜概率是，甲乙和棋的概率是，则下列说法正确的是（    ） A．甲获胜概率是 B．甲不输的概率是 C．乙输的概率是 D．乙不输的概率是 4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设“两次都击中飞机”，“两次都没击中飞机”，“恰有一次击中飞机”，“至少有一次击中飞机”，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若随机事件A，互斥，A，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．连续抛掷一枚骰子次，则第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大的概率为（ ） A． B． C． D． 7．对某射击运动员在赛前大量训练中命中10环的次数进行统计，计算出该运动员命中10环的频率分别为0.88，0.89，0.88，0.91，0.90，0.91.根据这组数值预测，该运动员在这次比赛中命中10环的概率约为（精确到0.1）（    ） A． B． C． D． 8．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，分别标记两次骰子正面朝上的点数，则事件“两次正面朝上的点数之积大于20”的概率为（    ） A． B． C． D． 9．某兴趣小组由2名男同学与3名女同学组成，他们完成一项活动后，要从这5名同学中选2人写活动体会，则所选男生人数不少于1名的概率为（ ） A． B． C． D． 10．不透明的盒子里面装有五个分别标有数字 1、2、3、4、5 的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．假设，，且与相互独立，则 ． 12．某电路由A、B、C三个部件组成（如图），每个部件正常工作的概率都是，则该电路正常运行的概率为 . 13．任意写出一个两位数，它能被5整除的概率是 ． 14．暑假期间，甲外出旅游的概率是0.5，乙外出旅游的概率是0.4，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间甲乙中至少有一人外出旅游的概率是 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．玩具厂两条生产线生产玩具熊，A生产线每天生产个，其中次品个；B生产线每天生产个，其中次品个. (1)将两条生产线的产品混合，随机抽取个玩具熊，求抽到次品的概率. (2)若从混合产品中随机抽取个玩具熊（有放回抽样），求恰好有个是次品的概率. 16．一名射击运动员，击中10环的概率是，击中9环的概率是，击中8环的概率是. (1)运动员击中环或8 环的概率 (2)运动员一次射击击中不低于 8 环的概率 17．某公司的入职面试中有4道难度相当的题目，王阳答对每道题的概率都是0.7，若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目、则面试通过，否则就一直抽题到第4次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的. (1)求王阳第三次答题通过面试的概率； (2)求王阳最终通过面试的概率. 18．不透明的袋中有9个大小相同、颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任取一个球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是．试求： (1)从中任取一个球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ (2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ | 编写说明：山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》的第107卷，主要考查概率初步的掌握情况。 山东省2026年春季高考《数学考点双析卷》 第107卷 概率初步 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列说法正确的是（    ） A．某事件发生的频率为 B．不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1 C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件 D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 【答案】B 【分析】某事件发生的频率不大于1，判断A错误； 不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1，可知B正确； 小概率事件和大概率事件指这个事件发生的可能性大小，可判断C错误； 某事件发生的概率为一个常数，不会随着试验次数的变化而变化，可判断D错误. 【详解】对于A，某事件发生的频率，A项错误． 对于B，不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1，B项正确. 对于C，小概率事件是指这个事件发生的可能性很小，几乎不发生；大概率事件是指这个事件发生的可能性较大，但并不是一定发生，C项错误． 对于D，某事件发生的概率为一个常数，不会随着试验次数的变化而变化，D项错误． 故选：B 2．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互为对立的两个事件是（    ） A．“至少有一个红球”与“都是红球” B．“至少有一个红球”与“都是黑球” C．“至少有一个红球”与“至少有一个黑球” D．“恰好有一个红球”与“恰好有两个红球” 【答案】B 【分析】根据对立事件的定义逐项分析. 【详解】设红球的编号为1,2，黑球的编号为a，b，取2个球的全集， 对于A，事件A：“至少有1个红球”，事件B：“都是红球”， ，错误； 对于B，事件C：“都是黑球”，，并且，即A与C必然有一个会发生，正确； 对于C，事件D：“至少1个是黑球”，，错误； 对于D，事件E：“恰好1个是红球”，事件F：“恰好2个是红球”， 所以，但，所以E和F不是对立事件，只是互斥事件，错误； 故选：B. 3．甲乙两人下棋，乙胜概率是，甲乙和棋的概率是，则下列说法正确的是（    ） A．甲获胜概率是 B．甲不输的概率是 C．乙输的概率是 D．乙不输的概率是 【答案】A 【分析】利用互斥事件和对立事件的概率公式，逐项计算即可得出答案. 【详解】对于选项A：设甲获胜为事件，“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件， 所以“甲获胜”的概率，故A正确； 对于选项B：设甲不输为事件，“甲不输”是“甲胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件， 所以“甲不输”的概率，故B错误； 对于选项C：设乙输为事件，“乙输”即为“甲赢”，则，故C错误； 对于选项D：设乙不输为事件，“乙不输”是“乙输”的对立事件， 则，故D错误， 故选：A. 4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设“两次都击中飞机”，“两次都没击中飞机”，“恰有一次击中飞机”，“至少有一次击中飞机”，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析射击的可能性为“击中”或“未击中”，那么连续射击两次的可能性有4种情况，分别是两次都击中、两次都没有击中、仅第一次击中、仅第二次击中，根据各事件的定义，即可解得. 【详解】A：事件包含于事件D，正确． B：由事件不能同时发生，所以，正确． C：事件指至少有一次击中飞机，即事件，正确． D：由至少有一次击中飞机，不是必然事件；而为必然事件，所以，不正确， 故选：D． 5．若随机事件A，互斥，A，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合互斥事件概率的性质列出不等式组即可得解. 【详解】随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0， 且，， ，即， 解得，即． 故选：D． 6．连续抛掷一枚骰子次，则第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题可利用枚举法，列出所有结果，直接求概率. 【详解】连续抛掷一枚骰子次，第次正面向上的数字有种，第次正面向上的数字有种， 所以连续抛掷一枚骰子次，基本事件有个； 其中，第次正面向上的数字与第次正面向上的数字相等的基本事件有个， 而第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大的基本事件， 与第次正面向上的数字比第次正面向上的数字小的基本事件数量相同， 所以第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大的基本事件有个， 所以第次正面向上的数字比第次正面向上的数字大的概率为； 故选：A. 7．对某射击运动员在赛前大量训练中命中10环的次数进行统计，计算出该运动员命中10环的频率分别为0.88，0.89，0.88，0.91，0.90，0.91.根据这组数值预测，该运动员在这次比赛中命中10环的概率约为（精确到0.1）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据频率与概率的关系即可求解. 【详解】一般地，在次重复试验中，事件发生的频率总稳定在某个常数附近， 就把这个常数称为事件发生的概率， 该运动员命中10环的频率分别为0.88，0.89，0.88，0.91，0.90，0.91，总稳定在0.9附近， 所以该运动员在这次比赛中命中10环的概率约为0.9. 故选：C. 8．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，分别标记两次骰子正面朝上的点数，则事件“两次正面朝上的点数之积大于20”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定试验的所有可能结果，再找出满足“两次正面朝上的点数之积大于20”的结果，最后根据古典概型的概率公式计算概率． 【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，分别标记两次骰子正面朝上的点数，其结果用表示，其中， 所有可能的结果有： 共36种． “两次正面朝上的点数之积大于20”的结果有：，共6种情况． 则事件“两次正面朝上的点数之积大于20”的概率为． 故选：D． 9．某兴趣小组由2名男同学与3名女同学组成，他们完成一项活动后，要从这5名同学中选2人写活动体会，则所选男生人数不少于1名的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定所有基本事件的个数，求出男同学人数不少于1人的个数，利用概率公式可得结论． 【详解】设2名男生为，3名女生为， 从5人中选2人的总选法为， 共10种不同选法，则没有男生的选法共3种：， 所以所选男生人数不少于1名的选法有7种， 故所求概率为. 故选：D. 10．不透明的盒子里面装有五个分别标有数字 1、2、3、4、5 的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举出所有样本点，然后由古典概型概率公式可得. 【详解】从分别标有数字 1、2、3、4、5 的乒乓球随机摸出两个球的样本空间为： ，共10个样本点， 其中数字之和是偶数的样本点有：，共4个. 所以数字之和是偶数的概率为. 故选：B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．假设，，且与相互独立，则 ． 【答案】 【分析】由并事件的概率公式和相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】∵事件与相互独立，则， 由并事件的概率公式. 故答案为：. 12．某电路由A、B、C三个部件组成（如图），每个部件正常工作的概率都是，则该电路正常运行的概率为 . 【答案】 【分析】先求出、组成的并联电路正常工作的概率，再结合部件正常工作的概率，进而求出整个电路正常运行的概率 【详解】对于、组成的并联电路，只要、中有一个正常工作，该并联电路就能正常工作。 所以、组成的并联电路正常工作的概率为， 所以该电路正常运行的概率为. 故答案为：. 13．任意写出一个两位数，它能被5整除的概率是 ． 【答案】/0.2 【分析】写出该古典概型包含的所有基本事件，再写出能被5整除所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】任意写出一个两位数包含10，11，12，13，…，99，共有90个数， 能被5整除包含10，15，20，25，…，80，85，90，共有18个数， 所以任意写出一个两位数，它能被5整除的概率是. 故答案为：. 14．暑假期间，甲外出旅游的概率是0.5，乙外出旅游的概率是0.4，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间甲乙中至少有一人外出旅游的概率是 . 【答案】0.7/ 【分析】由独立事件、互斥事件和对立事件的概率公式计算可得． 【详解】甲外出旅游的概率是0.5，乙外出旅游的概率是0.4， 假定甲乙两人的行动相互之间没有影响， 暑假期间两人中至少有一人外出旅游的对立事件是甲、乙二人都没有外出旅游， 所以暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率： . 故答案为：0.7. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．玩具厂两条生产线生产玩具熊，A生产线每天生产个，其中次品个；B生产线每天生产个，其中次品个. (1)将两条生产线的产品混合，随机抽取个玩具熊，求抽到次品的概率. (2)若从混合产品中随机抽取个玩具熊（有放回抽样），求恰好有个是次品的概率. 【答案】(1)0.05 (2)0.095 【分析】（1）根据古典概率公式求解； （2）分为两种情形：A产品选1个次品B产品选1个正品，或者B产品选1个次品A产品选1个正品，结合古典概率公式求解. 【详解】（1）总产品数为个，次品总数为个， 根据古典概率公式，抽到次品的概率. （2）恰好有个是次品，有以下两种情形： A产品选1个次品B产品选1个正品，或者B产品选1个次品A产品选1个正品， 则恰好有个是次品的概率为. 16．一名射击运动员，击中10环的概率是，击中9环的概率是，击中8环的概率是. (1)运动员击中环或8 环的概率 (2)运动员一次射击击中不低于 8 环的概率 【答案】(1) (2) 【分析】由互斥事件的加法运算即可得解. 【详解】（1）设该运动员击中10环、9环、8环的事件分别为A，B，C， 故， 故该运动员击中环或8 环的概率为 . （2）运动员一次射击击中不低于 8 环的概率 . 17．某公司的入职面试中有4道难度相当的题目，王阳答对每道题的概率都是0.7，若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目、则面试通过，否则就一直抽题到第4次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的. (1)求王阳第三次答题通过面试的概率； (2)求王阳最终通过面试的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式求解即可. （2）先求王阳未通过面试的概率，再结合对立事件概率公式求解即可. 【详解】（1）记“王阳第三次答题通过面试”为事件， 若王阳第三次答题通过面试，则前次均不通过， 所以王阳第三次答题通过面试的概率为. （2）记“王阳最终通过面试”为事件， 王阳未通过面试的概率为， 所以王阳最终通过面试的概率. 18．不透明的袋中有9个大小相同、颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任取一个球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是．试求： (1)从中任取一个球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ (2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 【答案】(1)得到黑球、黄球、绿球的概率各是，，． (2)． 【分析】（1）从中任取一球，分别记取到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，进而可列出方程组即可求解. （2）求出从9个球中取出2个球的样本空间中共有的样本点，再求出两个球同色的样本点可得答案. 【详解】（1）从中任取一个球，分别记取到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C， 由于A，B，C为互斥事件，根据已知，得， 解得．∴从中任取一个球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是，，． （2）由（1）可知黑球，黄球，绿球的个数分别为3，2，4， 从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点， 其中两个是黑球的样本点有3个，两个是黄球的样本点有1个，两个是绿球的样本点有6个， ∴两个球颜色相同的概率为， 则两个球颜色不相同的概率是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $