2026年中考数学二轮复习专题突破课件：专题三圆及其切线的相关证明与计算

该初中数学中考复习课件聚焦“圆及其切线的相关证明与计算”专题，覆盖切线判定、线段与角度关系证明、线段长及阴影面积计算等核心考点，对接中考说明分析考点权重，归纳出“连半径证垂直”“作垂直证半径”等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于中考真题训练与应试技巧结合，如通过2025年济南中考真题示范切线判定，用推理意识分析全等与相似，借助几何直观构建直角三角形，指导学生用勾股定理或三角函数求线段长，帮助学生掌握解题逻辑，教师可依此高效规划复习，提升学生中考得分率。

专题三　圆及其切线的相关证明与计算 类型1 切线的判定 考向1　交点确定，连半径，证垂直 典例精析 例1 (2025·济南节选)如图，AB是☉O的直径，C为☉O上一点，P为☉O外一点，OP∥AC，且∠OBP＝90°，连接PC．求证：PC与☉O相切． 【解答】如答图，连接OC．∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA．∵OP∥AC， ∴∠OAC＝∠BOP，∠OCA＝∠COP， ∴∠COP＝∠BOP．∵OP＝OP，OC＝OB， ∴△COP≌△BOP(SAS)，∴∠OCP＝∠OBP＝90°，∴OC⊥PC． 又∵OC是☉O的半径，∴PC与☉O相切． 答图 针对训练 1．(2025·齐齐哈尔节选)如图，△ABC内接于☉O，AB为☉O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD＝∠A．求证：CD是☉O的切线． 证明：如答图，连接OC． ∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°．∴∠A＋∠ABC＝90°． ∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB． ∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD＋∠OCB＝90°， 即∠OCD＝90°，∴OC⊥CD． ∵OC为☉O的半径，∴CD是☉O的切线． 答图 考向2　交点不确定，作垂直，证半径 例2 如图，△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，∠A＝60°，点E在AB的延长线上，BE＝OB．过点E作ED⊥AC，交AC的延长线于点D．求证：DE是☉O的切线． 典例精析 【解答】如答图，过点O作OF⊥DE于点F． ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°． ∵∠A＝60°，∴∠ABC＝30°． ∵ED⊥AC，∴∠D＝90°＝∠ACB，∴BC∥DE，∴∠E＝∠ABC＝30°， ∴OF＝OE．∵BE＝OB，∴OB＝OE， ∴OF＝OB，即OF是☉O的半径，∴DE是☉O的切线． 答图 针对训练 2．如图，△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，过点O作OD⊥AB于点D，以点O为圆心，OD的长为半径作☉O．求证：AC是☉O的切线． 证明：如答图，连接OA，过点O作OF⊥AC于点F． ∵△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC． ∵OD⊥AB，OF⊥AC，∴OD＝OF， 即OF是☉O的半径，∴AC是☉O的切线． 答图 类型2 典例精析 证明线段关系 例3 (2025·湖北节选)如图，☉O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°． 过点O作DE⊥AB，垂足为E，交AC于点D，延长DE交☉O于点F．过点F作☉O的切线，交CA的延长线于点G．求证：FD＝FG． 【解答】∵GF是☉O的切线，∴DF⊥GF，即∠DFG＝90°． 由题可得，DF⊥AB，∴AB∥GF， ∴∠BAC＝∠G＝45°， ∴∠FDG＝180°－∠DFG－∠G＝45°， ∴∠FDG＝∠G，∴FD＝FG． 方法指导 证明线段相等的方法：考虑将两条线段放到同一个三角形中，利用等腰三角形“等角对等边”“三线合一”的性质，或利用直角三角形“斜边上的中线等于斜边的一半”的性质证明．若所证的两条线段平行，则考虑利用特殊四边形对边相等的性质证明． 针对训练 3．如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，OD平分∠AOC，连接BC．求证：OD∥BC． 证明：连接AC． ∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC． ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠COD， ∴，∴OD⊥AC，∴OD∥BC． 类型3 典例精析 证明角度关系 例4 (2025·兰州节选)如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是☉O的直径，过点B的切线交AC的延长线于点D，连接DO并延长，交☉O于点E，连接AE，CE．求证：∠ADB＝∠AEC． 【解答】∵BD为☉O的切线， ∴AB⊥BD，∴∠ABD＝90°，∴∠ADB＋∠BAD＝90°． ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°． ∵∠ABC＋∠BAD＝90°，∴∠ADB＝∠ABC． ∵∠ABC＝∠AEC，∴∠ADB＝∠AEC． 方法指导 证明角相等的方法：可利用等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的性质，或利用“同角或等角的余角相等”的性质证明． 针对训练 4．如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠A＝90°，D为的中点，AD，BC的延长线交于点E，过点D作☉O的切线交BE于点F．求证：DF是∠CDE的平分线． 证明：连接BD． ∵∠A＝90°，∴BD是☉O的直径，∴∠BCD＝90°． ∵DF 是☉O的切线，∴∠BDF＝90°． ∵D是的中点，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠BDA＝∠BDC． ∵∠BDF＝90°，∴∠BDA＋∠FDE＝90°，∠BDC＋∠CDF＝90°， ∴∠FDE＝∠CDF，∴DF是∠CDE的平分线． 类型4 典例精析 求线段长 例5 如图，AB是☉O的直径，C，E为☉O上的点，过点C作☉O的切线，与AE的延长线交于点D，且AD⊥CD．若AB＝10，CD＝4，求DE的长． 【解答】如答图，连接OC，BE交于点H． ∵AB是☉O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠DEB＝90°． ∵CD是☉O的切线，∴∠DCO＝90°． ∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°＝∠DEB＝∠DCO， ∴四边形EHCD是矩形，∴CD＝EH＝4，DE＝CH，∠CHE＝90°， ∴BH＝EH＝4．∵AB＝10，∴OB＝OC＝5． ∴在Rt△OBH中，OH＝＝3． ∴CH＝OC－OH＝5－3＝2，∴DE＝2． 答图 方法指导 求线段长的方法：求线段长时，常连接切点与圆心或寻找直径所对的圆周角，构造直角三角形，在直角三角形中，利用锐角三角函数或者勾股定理求解．有时也可通过圆中相等的角得到一组相似三角形，根据相似三角形对应边成比例建立方程求解． 针对训练 5．如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆O相切于点C，延长PC与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，DC＝DE．若OA＝2OE，DF＝2，求PB的长． 解：连接OC．设OE＝x． ∵OA＝2OE，∴OC＝OB＝OF＝OA＝2x， ∴EF＝OF－OE＝x，OD＝2x＋2，∴DC＝DE＝x＋2． ∵PC是半圆O的切线，∴OC⊥PD，∴∠OCD＝∠PCO＝90°， ∴在Rt△COD中，OC2＋DC2＝OD2，∴(2x)2＋(x＋2)2＝(2x＋2)2， 解得x＝4或x＝0(不符合题意，舍去)， ∴OD＝10，OC＝OB＝8，DC＝6． ∵∠OCD＝90°， ∴∠DCE＋∠ACO＝90°，∠D＋∠DOC＝90° ∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO． 易得∠DCE＝∠DEC＝∠AEO， ∴∠A＋∠AEO＝90°，∴∠DOA＝90°，∴∠DOP＝90°， ∴∠DOC＋∠COP＝90°，∴∠D＝∠COP，∴△CDO∽△COP， ∴，即，∴OP＝， ∴PB＝OP－OB＝－8＝． 类型5 典例精析 求阴影部分面积 例6 如图，A是半径为2的☉O外一点，OA＝4，AB是☉O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，求图中阴影部分的面积． 【解答】如答图，连接OB，OC． ∵AB是☉O的切线，∴∠ABO＝90°． 在Rt△ABO中，OB＝2，OA＝4，∴∠OAB＝30°，∠AOB＝60°． ∵BC∥OA，∴∠CBO＝∠AOB＝60°，S△AOC＝S△AOB， ∴易得S阴影＝S扇形BOC，易得△BOC是等边三角形，边长是2， ∴∠BOC＝60°，∴S阴影＝S扇形BOC＝． 答图 方法指导 求阴影部分面积的方法：见本书P98知识点4. 针对训练 6．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，以BC为直径作半圆O，交AC于点D，交AB于点E．若BC＝6，求图中阴影部分的面积． 解：连接OE．∵OB＝OE， ∴∠ABC＝∠BEO＝45°， ∴∠BOE＝90°．∵BC＝6， ∴OB＝OE＝3， ∴S阴影＝S扇形BOE－S△BOE＝×3×3＝． 综合训练 1．(2025·银川灵武二模)如图，已知☉O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是上一点，E是DC延长线上一点，连接AD，AE，且AD＝AE，CA＝CE． (1)求证：直线AE是☉O的切线； (1)证明：∵∠ACB＝90°，∴AB是☉O的直径． ∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠E． ∵ ，∴∠B＝∠ADE，∴∠E＝∠B． ∵CA＝CE，∴∠E＝∠CAE，∴∠CAE＝∠B， ∴∠OAE＝∠CAE＋∠CAB＝∠B＋∠CAB＝90°，即AE⊥OA． ∵OA是☉O的半径， ∴直线AE是☉O的切线． (2)若sinE＝，CE＝4，求AE的长． (2)解：如答图，过点C作CQ⊥AE于点Q． ∵CA＝CE，CQ⊥AE，∴AQ＝EQ＝AE． 在Rt△EQC中，sinE＝，∴，∴CQ＝， ∴EQ＝，∴AE＝2EQ＝． 答图 2．(2025·银川第十七中一模)如图，AC是☉O的直径，BC是☉O的弦，P是☉O外一点，连接PB，AB，∠PBA＝∠C． (1)求证：PB是☉O的切线； (1)证明：如答图，连接OB． ∵AC是☉O的直径， ∴∠ABC＝90°，∴∠C＋∠BAC＝90°． ∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA． ∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA＋∠OBA＝90°， 即PB⊥OB． ∵OB是☉O的半径，∴PB是☉O的切线． 答图 (2)连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，☉O的半径为2 ，求BC的长． (2)解：如答图． ∵☉O的半径为2，∴OB＝2，AC＝4． ∵OP∥BC，∴∠OBC＝∠BOP． ∵OC＝OB，∴∠C＝∠OBC，∴∠C＝∠BOP． 又∵∠ABC＝∠PBO＝90°， ∴△ABC∽△PBO， ∴，即，∴BC＝2． 答图 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，以点O为圆心，OC的长为半径作圆与AB相切于点D，连接CD． (1)求证：∠ABC＝2∠ACD； (1)证明：连接OD． ∵AB与☉O相切于点D，∴OD⊥AB， ∴∠ADO＝∠ODB＝90°． 又∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠COD＝180°． ∵∠AOD＋∠COD＝180°，∴∠ABC＝∠AOD． 易知∠AOD＝2∠ACD，∴∠ABC＝2∠ACD． (2)若AC＝8，BC＝6，求☉O的半径． (2)解：设☉O的半径为r，则OD＝OC＝r，OA＝8－r． 在Rt△ACB中， ∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝10． ∵∠OAD＝∠BAC，∠ADO＝∠ACB＝90°， ∴△AOD∽△ABC，∴，即， 解得r＝3，即☉O的半径为3． 4．(2025·石嘴山质量监测模拟)如图，AB是☉O的直径，E为AB延长线上一点，DE与☉O相切于点C，F为线段OA上一点，AC，DF相交于点G，且DG＝DC，连接OC． (1)求证：DF⊥AB； (1)证明：∵DE是☉O的切线， ∴∠DCO＝90°，∴∠DCG＋∠ACO＝90°． ∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG． ∵∠DGC＝∠AGF，∴∠DCG＝∠AGF． ∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠A＋∠AGF＝90°， ∴∠AFG＝90°，∴DF⊥AB． (2)若☉O的半径为6，F为线段OA的中点，CE＝8，求． (2)解：由(1)知∠OCE＝90°． ∵OC＝6，CE＝8， ∴在Rt△OCE中，OE＝＝10． ∵OA＝6，F为线段OA的中点，∴OF＝OA＝3，∴EF＝13． ∵∠OCE＝∠DFE＝90°，∠E＝∠E，∴△OCE∽△DFE， ∴． 5．(2025·银川唐徕中学三模)如图，☉O是△ABC的外接圆，AB为☉O的直径，过点C作☉O的切线CD交BA的延长线于点D，E为上一点，且，连接AE． (1)求证：DC∥AE； (1)证明：如答图，连接OC，交AE于点G． ∵CD为☉O的切线，∴∠OCD＝90°． ∵ ，∴OC⊥AE， ∴∠AGO＝90°，∴∠AGO＝∠OCD＝90°， ∴DC∥AE． 答图 (2)若EF垂直平分OB，DA＝6，求图中阴影部分的面积． (2)解：如答图，连接OE，BE． ∵EF垂直平分OB，∴OE＝BE，OF＝BF． ∵OE＝OB，∴△OEB为等边三角形， ∴∠BOE＝60°，∴∠AOE＝120°． ∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝30°． ∵DC∥AE，∴∠D＝∠OAE＝30°． ∵∠OCD＝90°，∴OD＝2OC＝OA＋AD． ∵OA＝OC，DA＝6，∴OC＝OA＝AD＝6，∴OE＝OB＝6，∴OF＝BF＝OB＝3， ∴在Rt△OFE中EF＝＝3， ∴S阴影＝S扇形AOE－S△OAE＝OA·EF＝12π－×6×3＝12π－9． 答图 $