周测评(十八) 复数-【衡水真题密卷】2025-2026学年高一下册数学学科素养周测评

2025—2026学年度高 卷题 数学 本试卷总分100分 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共 24分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 2 3 答案 1.已知复数之=1+3i(i为虚数单位)， 则乏的虚部为 A.-3 B.-√3i C.-1 D.-i 2.已知复数之=2，m为实数，则实数m的 Γ2+i 值为 A.-1 B.-4 C.1 D.4 3.在复平面内，复数之对应的向量OZ= (1,2),则之一3= A.2√2 B.√5 C.3 D.2 4.在复数范围内，方程x2-5x|+6=0的 解的个数为 A.2 B.4 C.6 D.8 高一学科素养周测评（十 你只管劳力，剩下的交给时间 学科素养周测评（十八） ·复数 ,考试时间40分钟。 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共 12分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 5 6 答案 5.设之=1一i,则 A.x2=2 B.+i=2 之2 C.= D.之-之=z-2 6.已知复数之1，之2满足之1=cos十i·sina, z2=cosB十i·sinB,且|之1-之2|=√2，则 () A.之1之2|=1 B.1x1十之2=3 C.若a=0,则cosB=0 D.a-B=+exk∈D 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共 12分。 7.已知之=i2o25(1十i)一a为纯虚数，则实 数a的值为 8.设复数之= + 1-2i ,其 中i为虚数单位，则乏在复平面内对应的 点是 ,x= ()数学第1页（共2页） 四、解答题：本题共2小题，共52分。解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.(22分)若复数之=(m2十m一6)十(m2 m一2)i,当实数m为何值时， (1)之是实数； (2)之在复平面内对应的点位于第二 象限. 高一学科素养周测评（十八 10.（30分)现定义“n维形态复数之m”:之m= cosn0+isin n0,其中i为虚数单位，n∈ N*,0≠0. (1)当日=时，证明：“2维形态复数”是 “1维形态复数”的平方. (2)若“2维形态复数”与“3维形态复 数”相等，求simg+）的值。 )数学第2页（共2页）真题密卷 四、解答题 9.解：(l)由正弦定理得3 sin Asin C=sinC· (cos A+1), 又sinC>0,故W3sinA-cosA=1, 所以sm(A-)=安 (5分) 因为在△ABC中，0<A<π， 所以-百<A-音<否则A-吾-看故A=子 (11分) (2)因为S△Aac=2 besin A=9,3,所以bc=36, (15分) 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A,即a2=b2 +c2-bc=(b+c)2-3bc, 即a2=(18-a)2-108,解得a=6. (22分) 10.解：(1)因为a(sinB+cosB)=c, 由正弦定理得sinA(sinB十cosB)=sinC, (5分) 在△ABC中，sinC=sin(A+B), 则有sinA(sinB+cosB)=sin(A+B), 所以sin Asin B+sin Acos B=sin Acos B+ cos Asin B, 2025一2026学年度高一 数学· 一、选择题 1.A【解析】因为复数之=1十√3i,所以乏=1-√3i, 即之的虚部为一√5. 2-mi(2-mi)(2-i) 2.A【解析】由题意得之= 2+i(2+i)(2-i) 4-(2m+2)i-m=4-m_(2m+2i为实数，所 5 5 5 以-2m+2=0,解得m=-1. 5 3.A【解析】由题意得之=1+2i,所以|之-3|= |1+2i-3-|-2+2i=√/（-2)2+22=2√2. 4.C【解析】设x=a十bi(a,b∈R),则原方程即 为(a+bi)2-5√a2+b2+6=0, a-62-5a2+6+6=0故 a=士2， 得 或 2ab=0, b=0 ·8 学科素养周测评 即sin Asin B=cos Asin B,又B∈(0，π)，所以 sin B>0, 所以sinA=cosA,所以tanA=1,又A∈(0， ,所以A=子 (15分) (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A, 则有5=b2+2-2b,解得b=3或b=一1（舍去）. (20分) 因为D为BC的中点，所以市-多（店 +AC), 所以AD-子+a衣+2，d) -x2+9+2xx3×号)-， 所以AD=7 2 (30分) 学科素养周测评（十八） 复数 |a=±3，a=0, 6=0或 所以x=士2，x=士3，x= b=士1， 士i,故方程x2一5|x|十6=0的解的个数为6. 二、选择题 5.AC【解析】对于A,由之=1-i,得之=1+i,所 以之之=(1-i)(1+i)=1-=2,故A正确；对于 B,z+zi=1-i+(1+i)i=1-i+i+i=0,故B 错误；对于C,|之|2=2,2=(1十i)2=1+2i+2 2 =2i,所以之=i,故C正确：对于D,2-=1- i-(1+i)=-2i,而2-2=1+i-2=-1+i =一1一i,故D错误 6.ACD【解析】由题意，之1一z2=(cosa一cosB)十 i (sin a-sin B),(cos a-cos B)2+(sin a-sin B)2 ·数学· 参考答案及解析 =2,即2-2(cos acos B-+sin asin B)=2,得cos(a 之是实数， (5分) =0,故a一日=2十kxk∈D,放D正确21= 则m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.（10分) m2+m-6<0, (cosa+i·sina)(cosB+i·sinB)=cos acosβ (2)由题意可得 (15分) m2-m-2>0, -sin asin B+i(cos asin B+sin acos B)= 解得-3<m<-1, cos(a十B)+i·sin(a+B),所以z1z2|= 即m的取值范围为(-3，一1). (22分) √cos(a十β)十sin(a十B)=1,故A正确；由于 10.D证明：当0=至时，.=os子a十isin子a, z1+z2=(cosa+cosB)+i(sina十sinβ)， √2 则z1=c0s 4+isin4=a+i), 故z1+z2|=√(cosa+cosB)2+(sina+sinB)2 (6分) √2+2(cos Cos B+sin asin B)=√/2+2cos(a-B) g4=os+ini 72 =√2，故B错误；因为cos(a一B)=0,若a=0,则 因为之？= 21+i)= 21+2i+)=i= cos(一B)=0,即cosB=0,故C正确. 之2，故“2维形态复数”是“1维形态复数”的平方. 三、填空题 (12分) 7.一1【解析】因为i4=1,所以之=i2o25(1十i)一a (2)解：因为“2维形态复数”与“3维形态复数” 相等，所以cos20+isin20=cos30+isin30, =i4×56+1(1+i)-a=i(1十i)-a=i-1-a, (14分) 因为复数之为纯虚数，所以一1一a=0,即a=一1. 所以 (cos 20=cos 30, &,1:2【解标】周为品a sin 20=sin 30, 由cos20=cos30,得30=20+2kπ(k∈Z)或30 2i=-i, √2+i(w2+i)(1+2i)3i +20=2kπ(k∈Z), 2 =i, -√2i(1-√2i)(1+√2i)3 由sin20=sin30,得30=20+2kπ(k∈Z)或30 所以(+（恒 +20=2kπ+π(k∈Z), (20分) =(-i)4×506十 1-2 由于两个方程同时成立，故30=20+2kπ (k∈Z),即0=2kπ(k∈Z), 4×505+3=1一i,乏=1十i,则之在复平面内对应的 点是(1,1)，1z|=√2. 所以nlb+)-nek+》=m子-层 四、解答题 (30分) 9.解：(1)因为之=(m2+m-6)+(m2-m-2)i,且 2025一2026学年度高一学科素养周测评（十九） 数学·基本立体图形、立体图形的直观图 一、选择题 1.D【解析】由图可知，该几何体是由一个球和 一个棱柱构成的组合体」 2.C【解析】如图，作平面直角坐标系xAy,AD D 在x轴上，且AD=2,AB在y轴上，且AB=2, ·9