专题7.4 平行线的概念（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级下册

本讲义聚焦平行线的概念这一核心知识点，系统梳理从定义（同一平面内不相交的直线）到画法（一落二靠三移四画步骤），再到平行公理（过直线外一点有且只有一条平行线）及推论（平行于同一直线的两直线平行）的完整学习支架，构建从概念理解到操作应用的递进脉络。 资料通过“即学即练”即时巩固、分层题型（如柱体中平行棱判断、生活实例辨析）设计，培养学生几何直观与空间观念，结合作图题与推理题发展推理意识。课中助力教师分层教学，课后通过多样化练习帮助学生查漏补缺，强化用数学眼光观察现实世界的能力。

专题7.4 平行线的概念 教学目标 1. 掌握平行线的定义并能够判断平行线； 2. 掌握平行线的画法能够画已知直线的平行线； 3. 掌握平行公理及其推论，并能够熟练运用。 教学重难点 1. 重点 （1）平行线的概念及其画法； （2）平行线的基本事实及其推论。 2. 难点 （1）平行线的画法； （2）平行线的基本事实的理解及其推论。 知识点01 平行线的定义 1. 平行线的定义： 在同一平面内， 的两条直线叫做平行线。 若直线平行于直线，则记作 ，读作 。 注意：一定要在同一平面内；且一定要是直线且永不相交。 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种，相交与平行。 【即学即练1】 1．在同一平面内，两直线可能的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．相交、平行或垂直 【即学即练2】 2．在长方体中，对任意一条棱，与它平行的棱共有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 知识点02 平行线的画法 1. 过已知点作已知直线的平行线的画法的具体步骤： 一落：把三角板的一边落在已知直线上。 二靠：紧靠三角板的另一边放一直尺。 三移：沿直尺移动三角板，使原来落在已知直线上的边经过已知点。 四画：沿原来落在已知直线上的边画直线。即为已知直线的平行线。 【即学即练1】 3．如图所示，在∠AOB内有一点P． （1）过P画l1∥OA； （2）过P画l2∥OB； （3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？ 知识点03 平行线的基本事实及其推论 1. 平行线的基本事实： 经过直线外一点， 条直线与这条直线平行。 强调：①这一点必须在直线外，不能再直线上。②有且只有即为存在且唯一。 2. 平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。即若，则 。 拓展：如果两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线相互平行。即垂直于同一直线的两直线平行。 【即学即练1】 4．如图，过点P作直线l的平行线，可作的平行线有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【即学即练2】 5．如图是一个可折叠衣架，AB是地平线，当PM∥AB，PN∥AB时，就可以确定点N，P，M在同一直线上，这样判定的依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【即学即练3】 6．三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是（　　） A．a与c相交 B．a与c平行 C．a与c重合 D．无法确定 题型01 判断两直线的位置关系 【典例1】同一平面内不重合的两条直线的位置关系有（　　） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行 【变式1】已知直线m、n，下列图形中属于两直线平行的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】平面上两条直线的位置关系是　 　 或　 　 ． 【变式3】如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 题型02 判断柱体中平行的棱 【典例1】如图，在正方体ABCD﹣EFGH中，下列各棱与棱AB平行的是（　　） A．BC B．CG C．EH D．HG 【变式1】如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与BC平行的棱是　 ． 【变式2】如图所示，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，与棱AD平行的棱有 　 　 条． 题型03 画平行线 【典例1】在下面的方格纸中经过点C画与线段AB互相平行的直线l1，再经过点B画一条与线段AB垂直的直线l2． 【变式1】作图题：（只保留作图痕迹）如图，在方格纸中，有两条线段AB、BC．利用方格纸完成以下操作： （1）过点A作BC的平行线； （2）过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D； （3）过点B作AB的垂线． 【变式2】已知方格纸上点O和线段AB，根据下列要求画图： （1）画直线OA； （2）过B点画直线OA的垂线，垂足为D； （3）取线段AB的中点E，过点E画BD的平行线，交AO于点F． 题型04 平行线的基本事实及其推论 【典例1】如图，在直线l外任取一点Q，过点Q画直线l的平行线，可画出的平行线有（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【变式1】如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【变式2】a，b，c是三条直线，如果a∥b，b∥c，那么（　　） A．a∥b B．a∥c C．a＝c D．以上全不对 【变式3】a、b、c、d为互不重合的四条直线，则下列推理中正确的是（　　） A．因为a∥b，b∥c，所以d∥c B．因为a∥d，b∥c，所以d∥c C．因为a∥d，b∥d，所以a∥b D．因为a∥d，a∥b，所以c∥d 1．下列生活实例中：①交通道路上的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列四边形中，AB不平行于CD的是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法错误的个数（　　） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； ④直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知直线OA，P是平面内任意一点，过点P画一条直线与OA平行，则这样的直线（　　） A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在 5．如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则m+n的值为（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 6．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（　　） A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．没有确定关系 7．如图，同一平面内经过直线l外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线至少有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 8．连接伊斯兰两大圣地的高速铁路——麦麦高铁，不仅为沙特数百万国民的出行提供便利，更是以中国铁建为代表的“中国队”在海外参与高速铁路建设的又一重要见证．在修建铁路轨道时；工人师傅想要保证两条铁轨平行，通常通过测量两条铁轨与枕木是否垂直来判断，其原理是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．垂直于同一直线的两直线平行 C．平行于同一直线的两直线平行 D．垂线段最短 9．如图1为一长方体水果箱，图2为其模型，则模型中与AG平行的棱共有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 10．下列说法正确的是（　　） A．a、b、c是直线，若a⊥b，b∥c，则a∥c B．a、b、c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．a、b、c是直线，若a∥b，b⊥c，则a∥c D．a、b、c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c 11．直线AB与CD平行可记作： ． 12．在同一平面内，直线L1与L2满足下列条件： （1）L1与L2没有公共点，则L1与L2　 　 ； （2）L1与L2有且只有一个公共点，则L1与L2　 　 ； （3）L1与L2有两个公共点，则L1与L2　 　 ． 13．已知直线EF及其外一点B，过B点作AB∥EF，过B点作BC∥EF，点A，C分别为直线AB，BC上任意一点，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是 　 　 ． 14．如图，在正方体中，与线段AB平行的线段有 　 　 条． 15．在同一平面内，直线a、b、c中，若a⊥b，b∥c，则a、c的位置关系是 ． 16．读下列语句，并画出图形． 点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P且与直线AB垂直． 17．一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放．如果把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题： （1）找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来； （2）找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来； （3）找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并求出它们的度数．（不包括直角尺自身所成的角） 18．（1）补全如图的图形，使之成为长方体ABCD﹣EFGH的直观图； （2）与棱AB平行的棱是 ． （3）若这个长方体框架的长、宽、高分别是4分米、3分米和5分米，则需要多少分米的铁丝才能搭成这样的框架？（接缝处忽略不计） 19．如图，在6×4的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都在格点上．连接点A、B得线段AB． （1）连接C、D、E、F中的任意两点，共可得　 　 条线段，在图中画出来； （2）在（1）中所连得的线段中，与AB平行的线段是 ； （3）用三角尺或量角器度量、检验，AB及（1）中所连得的线段中，互相垂直的线段有几对？（请用“⊥”表示出来） ． 20．探索与发现： （1）若直线a1⊥a2，a2∥a3，则直线a1与a3的位置关系是 ，请说明理由． （2）若直线a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，则直线a1与a4的位置关系是 （直接填结论，不需要证明） （3）现在有2011条直线a1，a2，a3，…，a2011，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，请你探索直线a1与a2011的位置关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.4 平行线的概念 教学目标 1. 掌握平行线的定义并能够判断平行线； 2. 掌握平行线的画法能够画已知直线的平行线； 3. 掌握平行公理及其推论，并能够熟练运用。 教学重难点 1. 重点 （1）平行线的概念及其画法； （2）平行线的基本事实及其推论。 2. 难点 （1）平行线的画法； （2）平行线的基本事实的理解及其推论。 知识点01 平行线的定义 1. 平行线的定义： 在同一平面内， 永不相交 的两条直线叫做平行线。 若直线平行于直线，则记作 ，读作 平行于 。 注意：一定要在同一平面内；且一定要是直线且永不相交。 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种，相交与平行。 【即学即练1】 1．在同一平面内，两直线可能的位置关系是（　　） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．相交、平行或垂直 【答案】C 【解答】解：平面内，两直线的位置关系是相交或平行（其中，垂直是相交的特例）． 故选：C． 【即学即练2】 2．在长方体中，对任意一条棱，与它平行的棱共有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解答】解：由题意知，在长方体中，对任意一条棱，与它平行的棱共有3条， 故选：C． 知识点02 平行线的画法 1. 过已知点作已知直线的平行线的画法的具体步骤： 一落：把三角板的一边落在已知直线上。 二靠：紧靠三角板的另一边放一直尺。 三移：沿直尺移动三角板，使原来落在已知直线上的边经过已知点。 四画：沿原来落在已知直线上的边画直线。即为已知直线的平行线。 【即学即练1】 3．如图所示，在∠AOB内有一点P． （1）过P画l1∥OA； （2）过P画l2∥OB； （3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（2）如图所示， （3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补． 知识点03 平行线的基本事实及其推论 1. 平行线的基本事实： 经过直线外一点， 有且只有1 条直线与这条直线平行。 强调：①这一点必须在直线外，不能再直线上。②有且只有即为存在且唯一。 2. 平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。即若，则 ∥ 。 拓展：如果两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线相互平行。即垂直于同一直线的两直线平行。 【即学即练1】 4．如图，过点P作直线l的平行线，可作的平行线有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】A 【解答】解，由平行线性质知：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴过点P作直线l的平行线，可作的平行线有1条， 则如图中的直线y为可作的平行线， ． 故选：A． 【即学即练2】 5．如图是一个可折叠衣架，AB是地平线，当PM∥AB，PN∥AB时，就可以确定点N，P，M在同一直线上，这样判定的依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【解答】解：根据平行公理可得：依据是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故选：D． 【即学即练3】 6．三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是（　　） A．a与c相交 B．a与c平行 C．a与c重合 D．无法确定 【答案】B 【解答】解：∵a∥b，b∥c， ∴a∥c， ∴a与c平行， 故选：B． 题型01 判断两直线的位置关系 【典例1】同一平面内不重合的两条直线的位置关系有（　　） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行 【答案】B 【解答】解：同一平面内的两直线只有相交与平行两种位置关系． 故选：B． 【变式1】已知直线m、n，下列图形中属于两直线平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A．观察图形可知：直线m和n相交，故此选项不符合题意； B．观察图形可知直线m，直线n互相平行，故此选项符合题意； C．观察图形可知直线m⊥n，故此选项不符合题意； D．观察图形可知：直线m和n相交，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】平面上两条直线的位置关系是　相交　 或　平行　 ． 【答案】相交；平行 【解答】解：在同一平面内不重合的两条直线，有两种位置关系：相交或平行． 故填相交、平行． 【变式3】如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：观察图形可知，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行． 故选：A． 题型02 判断柱体中平行的棱 【典例1】如图，在正方体ABCD﹣EFGH中，下列各棱与棱AB平行的是（　　） A．BC B．CG C．EH D．HG 【答案】D 【解答】解：结合图形可知，与棱AB平行的棱有CD，EF，GH． 故选：D． 【变式1】如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与BC平行的棱是　棱AD，棱EH，棱FG ． 【答案】棱AD，棱EH，棱FG 【解答】解：在长方体ABCD﹣EFGH中，与BC平行的棱是棱AD，棱EH，棱FG， 故答案为：棱AD，棱EH，棱FG． 【变式2】如图所示，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，与棱AD平行的棱有 　3　 条． 【答案】3． 【解答】解：与棱AD平行的棱有：BC，B′C′，A′D′，共有3条． 故答案为：3． 题型03 画平行线 【典例1】在下面的方格纸中经过点C画与线段AB互相平行的直线l1，再经过点B画一条与线段AB垂直的直线l2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示， 【变式1】作图题：（只保留作图痕迹）如图，在方格纸中，有两条线段AB、BC．利用方格纸完成以下操作： （1）过点A作BC的平行线； （2）过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D； （3）过点B作AB的垂线． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图， （1）A所在的横线就是满足条件的直线，即AE就是所求； （2）在直线AE上，到A距离是5个格长的点就是D，则CD就是所求与AB平行的直线； （3）取AE上D右边的点F，过B，F作直线，就是所求． 【变式2】已知方格纸上点O和线段AB，根据下列要求画图： （1）画直线OA； （2）过B点画直线OA的垂线，垂足为D； （3）取线段AB的中点E，过点E画BD的平行线，交AO于点F． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）作法：连接OA，②作直线AO； （2）作法：过正方形AHGB的对角线BH的端点画直线交AG于点D； （3）作法：取线段AD的中点F，过E、F画直线． 题型04 平行线的基本事实及其推论 【典例1】如图，在直线l外任取一点Q，过点Q画直线l的平行线，可画出的平行线有（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【解答】解：过直线l外一点Q画直线l的平行线，只能画一条， 故选：B． 【变式1】如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【解答】解：∵MC∥AB，NC∥AB， ∴点M，C，N在同一条直线上（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）， ∴A，B，C选项的理由错误，D选项的理由正确， 故选：D． 【变式2】a，b，c是三条直线，如果a∥b，b∥c，那么（　　） A．a∥b B．a∥c C．a＝c D．以上全不对 【答案】B 【解答】解：∵a∥b，b∥c， ∴a∥c， 故选：B． 【变式3】a、b、c、d为互不重合的四条直线，则下列推理中正确的是（　　） A．因为a∥b，b∥c，所以d∥c B．因为a∥d，b∥c，所以d∥c C．因为a∥d，b∥d，所以a∥b D．因为a∥d，a∥b，所以c∥d 【答案】C 【解答】解：A、应为：因为a∥b，b∥c，所以a∥c，故本选项错误； B、由a∥d，b∥c无法得到d∥c，故本选项错误； C、因为a∥d，b∥d，所以a∥b正确，故本选项正确； D、应为：因为a∥d，a∥b，所以b∥d，故本选项错误． 故选：C． 1．下列生活实例中：①交通道路上的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：属于平行线的有：①③④，共3个， 故选：C． 2．下列四边形中，AB不平行于CD的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为A、B、C都是特殊的四边形，正确； 故选：D． 3．下列说法错误的个数（　　） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； ④直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，不符合题意； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，符合题意； ③在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，原说法错误，符合题意； ④直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，原说法错误，符合题意． 故说法错误的有3个． 故选：C． 4．已知直线OA，P是平面内任意一点，过点P画一条直线与OA平行，则这样的直线（　　） A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在 【答案】D 【解答】解：如果P在直线OA上，过点P不能画与OA平行的直线， 如果P在直线OA外，过点P只能画一条直线与OA平行， ∴这样的直线有一条或不存在． 故选：D． 5．如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则m+n的值为（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】C 【解答】解：∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，以及在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可知m＝1，n＝1， ∴m+n＝2， 故选：C． 6．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（　　） A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．没有确定关系 【答案】B 【解答】解：如图，∵a∥b，a⊥c， ∴c⊥b， 又∵b⊥d， ∴c∥d． 故选：B． 7．如图，同一平面内经过直线l外一点O的四条直线中，与直线l相交的直线至少有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解答】解：∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴过直线l外一点O的四条直线中，最多只有一条直线与l平行， ∴与直线l相交的直线至少有3条， 故选：C． 8．连接伊斯兰两大圣地的高速铁路——麦麦高铁，不仅为沙特数百万国民的出行提供便利，更是以中国铁建为代表的“中国队”在海外参与高速铁路建设的又一重要见证．在修建铁路轨道时；工人师傅想要保证两条铁轨平行，通常通过测量两条铁轨与枕木是否垂直来判断，其原理是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．垂直于同一直线的两直线平行 C．平行于同一直线的两直线平行 D．垂线段最短 【答案】B 【解答】解：其原理是：“垂直于同一直线的两直线平行”． 故选：B． 9．如图1为一长方体水果箱，图2为其模型，则模型中与AG平行的棱共有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解答】解：由题意可知：AG∥CE，AG∥BH，CE∥DF， ∴AG∥BH∥CE∥DF． 故选：C． 10．下列说法正确的是（　　） A．a、b、c是直线，若a⊥b，b∥c，则a∥c B．a、b、c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．a、b、c是直线，若a∥b，b⊥c，则a∥c D．a、b、c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c 【答案】D 【解答】解：A、∵a⊥b，b∥c， ∴a⊥c，故本选项错误； B、在同一平面内，当a⊥b，b⊥c时，a∥c，故本选项错误； C、当a∥b，b⊥c时，a⊥c，故本选项错误； D、当a∥b，b∥c时，a∥c，故选项正确； 故选：D． 11．直线AB与CD平行可记作：AB∥CD ． 【答案】AB∥CD． 【解答】解：直线AB与CD平行可记作：AB∥CD． 故答案为：AB∥CD． 12．在同一平面内，直线L1与L2满足下列条件： （1）L1与L2没有公共点，则L1与L2　平行　 ； （2）L1与L2有且只有一个公共点，则L1与L2　相交　 ； （3）L1与L2有两个公共点，则L1与L2　重合　 ． 【答案】平行；相交；重合 【解答】解：（1）L1与L2没有公共点，则L1与L2平行． （2）L1与L2有且只有一个公共点，则L1与L2相交． （3）L1与L2有两个公共点，则L1与L2重合． 13．已知直线EF及其外一点B，过B点作AB∥EF，过B点作BC∥EF，点A，C分别为直线AB，BC上任意一点，那么A，B，C三点一定在同一条直线上，依据是 　过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行　 ． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【解答】解：∵点B为直线EF外的一点，且AB∥EF，BC∥EF，（已知） ∴A，B，C三点一定在同一条直线上．（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 14．如图，在正方体中，与线段AB平行的线段有 　3　 条． 【答案】3． 【解答】解：与AB平行的线段是：DC、EF； 与CD平行的线段是：HG， 所以与AB线段平行的线段有：EF、HG、DC． 故答案为：3． 15．在同一平面内，直线a、b、c中，若a⊥b，b∥c，则a、c的位置关系是c⊥a ． 【答案】c⊥a 【解答】解：∵c∥b，a⊥b， ∴c⊥a． 故答案为c⊥a 16．读下列语句，并画出图形． 点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P且与直线AB垂直． 【答案】图形见解答． 【解答】解：如图所示： ． 17．一副透明的直角三角尺，按如图所示的位置摆放．如果把三角尺的每条边看成线段，请根据图形解答下列问题： （1）找出图中一对互相平行的线段，并用符号表示出来； （2）找出图中一对互相垂直的线段，并用符号表示出来； （3）找出图中的一个钝角、一个直角和一个锐角，用符号把它们表示出来，并求出它们的度数．（不包括直角尺自身所成的角） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：此题答案不唯一，只要答案正确即可得分． （1）如：DE∥CB，DF∥CB，FE∥CB． （2）如：ED⊥AC，FD⊥AC，FD⊥AD． （3）如：钝角：∠GFD＝135°，∠CGB＝∠FGE＝105°． 直角有：∠ADE＝90°． 如：锐角∠GCB＝30°，∠AFD＝45°，∠CGF＝75°． 18．（1）补全如图的图形，使之成为长方体ABCD﹣EFGH的直观图； （2）与棱AB平行的棱是 CD和EF和GH ． （3）若这个长方体框架的长、宽、高分别是4分米、3分米和5分米，则需要多少分米的铁丝才能搭成这样的框架？（接缝处忽略不计） 【答案】（1）见解答；（2）CD和EF和GH．（3）48分米． 【解答】解：（1）如图所示： （2）与棱AB平行的棱是CD和EF和GH． 故答案为：CD和EF和GH． （3）（4+3+5）×4 ＝12×4 ＝48（分米）． 答：需要48分米的铁丝才能搭成这样的框架． 19．如图，在6×4的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都在格点上．连接点A、B得线段AB． （1）连接C、D、E、F中的任意两点，共可得　6　 条线段，在图中画出来； （2）在（1）中所连得的线段中，与AB平行的线段是FD ； （3）用三角尺或量角器度量、检验，AB及（1）中所连得的线段中，互相垂直的线段有几对？（请用“⊥”表示出来）CD⊥CE，DF⊥DE，AB⊥DE ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1所示，连接C、D、E、F中的任意两点，共可得6条线段； 故答案为：6； （2）与线段AB平行的线段是FD； 故答案为：FD； （3）互相垂直的线段有：CD⊥CE，DF⊥DE，AB⊥DE； 故互相垂直的线段有3对， 故答案为：CD⊥CE，DF⊥DE，AB⊥DE． 20．探索与发现： （1）若直线a1⊥a2，a2∥a3，则直线a1与a3的位置关系是 a1⊥a3 ，请说明理由． （2）若直线a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，则直线a1与a4的位置关系是 a1∥a4 （直接填结论，不需要证明） （3）现在有2011条直线a1，a2，a3，…，a2011，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，请你探索直线a1与a2011的位置关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）a1⊥a3． 理由如下：如图1，∵a1⊥a2， ∴∠1＝90°， ∵a2∥a3， ∴∠2＝∠1＝90°， ∴a1⊥a3； （2）同（1）的解法，如图2，直线a1与a4的位置关系是：a1∥a4； （3）直线a1与a3的位置关系是：a1⊥a2⊥a3， 直线a1与a4的位置关系是：a1∥a4∥a5， 以四次为一个循环，⊥，⊥，∥，∥以此类推，a1∥a2009，a1⊥a2010，所以直线a1与a2011的位置关系是：a1⊥a2011． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $