专题7.7 定义、命题、定理（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级下册

本讲义聚焦初中数学“定义、命题、证明”核心知识点，系统构建从数学对象定义到命题识别、结构分析（题设与结论）、分类（真/假命题），再到定理证明的完整学习支架，形成逻辑递进的知识脉络。 该资料通过“即学即练+典例变式”设计，如命题改写（“对顶角相等”改写成“如果…那么…”形式）和定理证明（利用平行线性质证明角关系），培养学生抽象能力与推理意识。课中助力教师分层教学，课后通过综合练习帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达逻辑关系的能力。

专题7.7 定义、命题、证明 教学目标 1. 掌握命题的定义及其分类，能够熟练的判断命题，真命题，假命题。 2. 能够对命题进行改写，准确的写出命题的题设与结论部分。 3. 能够熟练掌握定理的定义，并对其证明。 教学重难点 1. 重点 （1）命题及其真假命题的判定； （2）定理以及对定理的证明。 2. 难点 （1）对命题的改写； （2）对定理的证明； （3）证明题目的证明过程。 知识点01 定义与命题 1. 定义： 对一些数学对象进行清晰、明确的描述称为数学对象的定义。 2. 命题的定义： 判断一件事情是真或是假的陈述语句，叫做命题。 3. 命题的组成： 命题由 题设 与 结论 两部分组成。 题设 是已知事项， 结论 是由已知事项推出的事项。 4. 命题的改写： 命题通常可以改写成 如果......，那么...... 的形式。如果后面跟题设部分 ，那么后面跟结论部分。 有些题设或结论不明显的命题在改写时，需要调整顺序或者增减词语。 5. 命题的分类： 根据命题判定的真假可以把明天分为 真命题 和 假命题 。 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 假命题：命题中题设成立时，结论不一定成立的命题。 【即学即练1】 1．下列语句表示命题的是（　　） A．作∠A的平分线 B．直角都相等吗？ C．画一条直线 D．内错角不相等 【答案】D 【解答】解：A．作∠A的平分线，表示动作，没有作出判断，不是命题， B．直角都相等吗？表示提问，没有作出判断，不是命题， C．画一条直线，表示动作，没有作出判断，不是命题， D．内错角不相等是命题； 故选：D． 【即学即练2】 2．下列命题中真命题是（　　） A．两个锐角之和为钝角 B．两个锐角之和为锐角 C．钝角大于它的补角 D．锐角小于它的余角 【答案】C 【解答】解：A、两个30°角的和是60°，是锐角，不正确； B、两个80°的角之和是160°，是钝角，不正确； C、钝角大于90°，它的补角小于90°，正确； D、80°锐角的余角是10°，不正确． 故选：C． 【即学即练3】 3．指出下列命题的条件和结论，并改写成”如果…那么…”的形式． （1）绝对值相等的两个数相等． （2）直角三角形的两个锐角互余． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）条件：绝对值相等的两个数，结论：两个数相等； 改写成：”如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”； （2）条件：直角三角形，结论：两个锐角互余； 改写成：”如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余”． 知识点02 定理与证明 1. 定理的定义： 经过推理证实得到的真命题叫做定理。 2. 证明： 一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个过程叫做证明。 【即学即练1】 4．如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③AB∥CD． （1）请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题． （2）在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 【答案】（1）命题1：若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD． 命题2：若∠1＝∠2，AB∥CD，则∠B＝∠C． 命题3：若∠B＝∠C，AB∥CD，则∠1＝∠2． （2）证明见解析． 【解答】解：（1）命题1：若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD． 命题2：若∠1＝∠2，AB∥CD，则∠B＝∠C． 命题3：若∠B＝∠C，AB∥CD，则∠1＝∠2． （2）选择第一种情况： 已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C， 求证：AB∥CD． 证明：如图， ∵∠1＝∠3，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠2， ∴EC∥BF， ∴∠AEC＝∠B， 又∵∠B＝∠C， ∴∠AEC＝∠C， ∴AB∥CD． 题型01 判断命题以及真假命题 【典例1】下列语句不是命题的是（　　） A．对顶角相等 B．连结AB，并延长至点C C．两直线平行，内错角相等 D．等角的补角相等 【答案】B 【解答】解：A、C、D中的语句是命题，故A、C、D不符合题意； B、该语句不是命题，故B符合题意． 故选：B． 【变式1】下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③x2不是负数；④化简a+2（a﹣1）．其中不是命题的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解答】解：①墙是白色的，是命题； ②2加3等于5，是命题； ③x2不是负数，是命题； ④化简a+2（a﹣1），不是命题， 故选：D． 【变式2】下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过直线外一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到直线的距离 【答案】C 【解答】解：A、两条直线被第三条直线所截，只有当两条直线平行时，同位角才相等，不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，符合题意； D、点到直线的距离是垂线段的长度，而不是垂线段本身，不符合题意， 故选：C． 【变式3】下列命题为假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．同旁内角互补 【答案】D 【解答】解：A、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意； B、等角的补角相等，正确，是真命题，不符合题意； C、同位角相等，正确，两直线平行，是真命题，不符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，原命题是假命题，符合题意， 故选：D． 题型02 对命题进行改写 【典例1】把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等　 ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【解答】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯那么⋯”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【变式1】把命题“两直线平行，内错角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 　如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等　 ． 【答案】如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等 【解答】解：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等． 故答案为：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等． 【变式2】将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式，并判断它们是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例． （1）互为相反数的两个数的和为零； （2）同旁内角互补； （3）等角的余角相等． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析． 【解答】解：（1）如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；是真命题； （2）如果两个角是同旁内角，那么它们互补；是假命题， 反例：如图，∠1和∠2是同旁内角， 但两直线不平行，故∠1和∠2不互补； （3）如果两个角相等，那么它们的余角也相等；是真命题． 题型03 对定理进行证明 【典例1】命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果…那么…”的形式：　在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行　 ； （2）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． 已知：如图，b⊥a，c⊥a ．求证：b∥c ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； （2） ∵b⊥a（已知）， ∴∠1＝90°（垂直的定义）， ∵c⊥a（已知）， ∴∠2＝90°（垂直的定义）， ∴∠1＝∠2（等量代换）， ∴b∥c（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：c⊥a，b∥c． 【变式1】已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，①∠B+∠1＝180°，②∠2＝∠3，③AB∥EF；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程． （1）条件：　①②　 ，结论：　③（答案不唯一）　 ；（填序号） （2）证明：　∵∠B+∠1＝180°， ∴AB∥CD， ∵∠2＝∠3， ∴EF∥CD， ∴AB∥EF ． 【答案】（1）①②；③（答案不唯一）； （2）证明见解析． 【解答】解：（1）条件：①②，结论：③， 故答案为：①②；③（答案不唯一）； （2）证明：∵∠B+∠1＝180°， ∴AB∥CD， ∵∠2＝∠3， ∴EF∥CD， ∴AB∥EF． 【变式2】如图，在三角形ABC中，点D在边BC的延长线上，射线CE在∠DCA的内部．给出下列信息：①AB∥CE；②CE平分∠DCA；③∠A＝∠B．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 【答案】见解析部分． 【解答】解：选择①③作为条件，②作为结论．理由如下： ∵AB∥CE， ∴∠A＝∠ECA，∠B＝∠ECD， ∵∠A＝∠B， ∴∠ECA＝∠ECD， ∴CE平分∠DCA； 选择①②作为条件，③作为结论．理由如下： ∵AB∥CE， ∴∠A＝∠ECA，∠B＝∠ECD， ∵CE平分∠DCA， ∴∠ECA＝∠ECD， ∴∠A＝∠B； 选择②③作为条件，①作为结论．理由如下： ∵CE平分∠DCA， ∴∠ECA＝∠ECD， ∵∠A＝∠B，∠A+∠B＝∠ACD＝∠ECD+∠ECA， ∴∠A＝∠ECA＝∠B＝∠ECD， ∴AB∥CE； 【变式3】如图，有下列三个条件：①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C． （1）若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； （2）选择你写的一个真命题写出证明过程． 【答案】（1）①如果DE∥BC，∠1＝∠2，那么∠B＝∠C； ②如果DE∥BC，∠B＝∠C，那么∠1＝∠2； ③如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，那么DE∥BC； （2）证明见解析 【解答】解：（1）一共能组成三个命题， ①如果DE∥BC，∠1＝∠2，那么∠B＝∠C； ②如果DE∥BC，∠B＝∠C，那么∠1＝∠2； ③如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，那么DE∥BC； （2）如果DE∥BC，∠1＝∠2，那么∠B＝∠C，是真命题， 理由如下：∵DE∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C， ∵∠1＝∠2， ∴∠B＝∠C； 如果DE∥BC，∠B＝∠C，那么∠1＝∠2，是真命题， 理由如下：∵DE∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠1＝∠2； 如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，那么DE∥BC，是真命题， 理由如下：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC＝180°， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠BAC， ∴∠B+∠C＝∠1+∠2， ∵∠1＝∠2，∠B＝∠C， ∴∠B＝∠1， ∴DE∥BC． 1．下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③希望明天下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是（　　） A．①②③ B．①②⑤ C．①②④⑤ D．①②④ 【答案】B 【解答】解：①钝角大于90°，是命题； ②两点之间，线段最短，是命题； ③希望明天下雨，不是命题； ④作AD⊥BC，不是命题； ⑤同旁内角不互补，两直线不平行，是命题； 综上可知：①②⑤是命题， 故选：B． 2．下列命题，正确的是（　　） A．绝对值等于本身的数为0 B．倒数等于本身的数有0，1 C．相反数等于本身的数是0 D．如果两个数的平方相等，那么这两个数也相等 【答案】C 【解答】解：绝对值的性质、倒数、相反数的性质、乘方逐项分析判断如下： A、绝对值等于本身的数为非负数，则此项错误，不符合题意； B、倒数等于本身的数有﹣1，1，则此项错误，不符合题意； C、相反数等于本身的数是0，则此项正确，符合题意； D、命题错误，如12＝（﹣1）2＝1，但1≠﹣1，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 3．下列语句是真命题的是（　　） A．同位角相等 B．过一点作直线AB的垂线 C．对顶角相等 D．若x2＞0，则x＞0 【答案】C 【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、过一点作直线AB的垂线，不是命题，不符合题意； C、对顶角相等，是真命题，符合题意； D、若x2＞0，则x＞0或x＜0，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 4．下列命题中，属于真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．若|a|＝|b|，则a＝b C．如果ab＞0，则a＞0，b＞0 D．同位角相等 【答案】A 【解答】解：A、此命题是真命题，故A符合题意； B、若|a|＝|b|，则a＝±b，故B不符合题意； C、有可能a＜0，b＜0，故C不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，故D不符合题意． 故选：A． 5．下列命题中，真命题的是（　　） A．不是对顶角的两个角不相等 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C．若a＞b，则|a|＞|b| D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 【答案】D 【解答】解：A、不是对顶角的两个角可能相等，所以A选项为假命题； B、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以B选项为假命题； C、若a＝0，b＝﹣1，|a|＜|b|，所以C选项为假命题； D、垂直于同一条直线的两直线平行，所以A选项为真命题． 故选：D． 6．下列命题为假命题的是（　　） A．两点之间线段最短 B．不相交的两条直线是平行线 C．互补的两个角的和是平角 D．邻补角的平分线互相垂直 【答案】B 【解答】解：根据相关概念，逐项分析判断如下： A、两点之间线段最短是真命题，故不符合题意； B、不相交的两条直线是平行线是假命题，故符合题意； C、互补的两个角的和是平角是真命题，故不符合题意； D、邻补角的平分线互相垂直是真命题，故不符合题意； 故选：B． 7．下列语句中真命题有（　　） ①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离； ②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； ③若15.62＝243.36，则； ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤如果A地在B地北偏东30°方向20m处，那么B地在A地的南偏西30°方向20m处． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①点到直线的垂线段长度叫做点到直线的距离，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，正确，是真命题，符合题意； ③若15.62＝243.36，则156，正确，是真命题，符合题意； ④平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，是假命题，不符合题意． ⑤如果A地在B地北偏东30°方向20m处，那么B地在A地的南偏西30°方向20m处，是真命题，符合题意； 真命题有3个， 故选：C． 8．对于命题“如果∠1+∠2＞90°，那么∠1、∠2都大于45°”能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝50°，∠2＝50° C．∠1＝45°，∠2＝50° D．∠1＝46°，∠2＝40° 【答案】C 【解答】解：A、∠1＝∠2＝45°时，∠1+∠2＝90°， 不能说明如果∠1+∠2＞90°，那么∠1、∠2都大于45°是假命题，不符合题意； B、∠1＝50°，∠2＝50°时，∠1+∠2＞90°，∠1、∠2都大于45°， 不能说明如果∠1+∠2＞90°，那么∠1、∠2都大于45°是假命题，不符合题意； C、∠1＝45°，∠2＝50°时，∠1+∠2＞90°，∠1、∠2不都大于45°， 说明如果∠1+∠2＞90°，那么∠1、∠2都大于45°是假命题，符合题意； D、∠1＝46°，∠2＝40°时，∠1+∠2＜90°， 不能说明如果∠1+∠2＞90°，那么∠1、∠2都大于45°是假命题，不符合题意； 故选：C． 9．下列例子能说明“相等的角是对顶角”是假命题的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、图中的两个20°的角相等，但不是对顶角，能说明“相等的角是对顶角”是假命题，符合题意； B、图中的两个20°的角相等，是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意； C、图中的两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意； D、图中的两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意； 故选：A． 10．“如果∠1与∠2互余，那么∠1≠∠2”，能说明这个命题是假命题的反例是（　　） A．∠1＝40°，∠2＝50° B．∠1＝40°，∠2＝45° C．∠1＝40°，∠2＝40° D．∠1＝45°，∠2＝45° 【答案】D 【解答】解：A、满足条件∠1+∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误，不符合题意； B、不满足条件∠1+∠2＝90°，故B选项错误，不符合题意； C、不满足条件∠1+∠2＝90°，故C选项错误，不符合题意； D、满足条件∠1+∠2＝90°，不满足结论∠1≠∠2，故D选择正确，符合题意； 故选：D． 11．命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”是　假　 ．命题．（填“真”或“假”） 【答案】假． 【解答】解：命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”缺少了在同一平面内， 故命题是假命题； 故答案是：假． 12．命题“等角的余角相等”的条件是　两个角相等　 ，结论是　它们的余角也相等．　 ． 【答案】两个角相等 它们的余角也相等． 【解答】解：“等角的余角相等”可改写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角相等，那么它们的余角也相等”， 所以条件是：两个角相等；结论是：它们的余角也相等， 故答案为：两个角相等；它们的余角也相等． 13．把命题“两个正数的和仍是正数”写成“如果…那么…”的形式为　如果两个数都是正数，那么这两个数的和仍是正数　 ． 【答案】如果两个数都是正数，那么这两个数的和仍是正数 【解答】解：如果两个数都是正数，那么这两个数的和仍是正数． 故答案为：如果两个数都是正数，那么这两个数的和仍是正数． 14．要说明命题“若a2≥4，则a＞2”是假命题，请举出一个反例：a＝　﹣4（答案不唯一）　 ． 【答案】﹣4（答案不唯一）． 【解答】解：当a＝﹣4时，a2＝16＞4，但不满足a＞2， 故命题“若a2≥4，则a＞2”是假命题， 故答案为：﹣4（答案不唯一）． 15．下列命题：①若﹣5a2mbn与8a4b2是同类项，则m＝2，n＝2；②小华每小时可制作60朵小红花，则他制作小红花的数量与制作时间成反比例关系；③若a3+b3＝0，则a2＝b2；④若m为常数，则含未知数x的代数式|x﹣m|+|x+m|的最小值为2m；⑤若有理数a，b，c满足|a﹣b+c|＝a+b+c，则ab+bc＝0．其中，正确的命题是　①③⑤　 （填序号）． 【答案】①③⑤． 【解答】解：∵若﹣5a2mbn与8a4b2是同类项， ∴2m＝4，n＝2， ∴m＝2，n＝2， ∴①的说法正确； ∵小华每小时可制作60朵小红花，则他制作小红花的数量与制作时间成正比例关系， ∴②的说法不正确； ∵若a3+b3＝0， ∴a，b互为相反数， ∴a2＝b2， ∴③的说法正确； ∵若m为常数，则含未知数x的代数式|x﹣m|+|x+m|的最小值为2|m|， ∴④的说法不正确； ∵若有理数a，b，c满足|a﹣b+c|＝a+b+c， ∴a﹣b+c＝a+b+c或a﹣b+c＝﹣（a+b+c）， ∴b＝0或a+c＝0， ∴ab+bc＝b（a+c）＝0． ∴⑤的说法正确． 综上，正确的命题是①③⑤． 故答案为：①③⑤． 16．如图，有如下三个论断： ①AB∥CD；②∠1＝∠2；③BE∥CF，以其中两个作为条件，另一个论断作为结论，组成一个真命题，并证明． 【答案】若AB∥CD，∠1＝∠2，则BE∥CF．证明见解析部分． 【解答】解：可以选①②⇒③． 即：若AB∥CD，∠1＝∠2，则BE∥CF． 理由：∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠DCB， ∵∠1＝∠2， ∴∠EBC＝∠FCB， ∴BE∥FC． 17．已知命题“如果ab＜0，那么a＞0，b＜0．” （1）写出此命题的题设和结论； （2）判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】（1）题设是：ab＜0，结论是：a＞0，b＜0； （2）此命题是假命题，例如﹣2×3＝﹣6＜0，a＝﹣2＜0，b＝3＞0． 【解答】解：（1）命题的题设是：ab＜0，结论是：a＞0，b＜0； （2）此命题是假命题，例如﹣2×3＝﹣6＜0，a＝﹣2＜0，b＝3＞0． 18．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式：　在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行　 ． （2）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． 已知：如图，a⊥l，b⊥l ． 求证：a∥b ． 【答案】（1）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）b⊥l，a∥b． 【解答】（1）答案为：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）证明：∵a⊥l，b⊥l（已知）， ∴∠1＝∠2＝90°（垂直的定义）， ∴a∥b）（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：b⊥l，a∥b． 19．（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． ①先画出相应的图形，并判断命题的真假； ②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例． （2）如图，已知AD∥BF，AE∥BC，AF∥EC，若∠B＝45°，∠C＝75°，将求∠FAD的过程填写完整． 解：∵AD∥BF， ∴∠B＝∠ADC． ∵AE∥BC， ∴①　∠ADC +∠DAE＝180°． 又∠B＝45°，可解得∠DAE＝（②　135　 ）°． ∵AE∥BC， ∴∠C+∠E＝180°． ∵AF∥EC， ∴∠FAE＝③　∠E ．（④　两直线平行，内错角相等　 此处填推理的依据） 又∠C＝75°，可解得∠FAE＝（⑤　105　 ）°， ∴∠FAD＝360°﹣∠DAE﹣∠FAE＝（⑥　120　 ）°． 【答案】（1）①见解析；真命题；②已知：如图（EF分别交AB，CD于G，H），GI平分∠AGH，HJ平分∠GHD，GI∥HJ，求证：AB∥CD；（2）①∠ADC；②135；③∠E；④两直线平行，内错角相等；⑤105；⑥120． 【解答】解：（1）①如图： 真命题． ②已知：如图（EF分别交AB，CD于G，H），GI平分∠AGH，HJ平分∠GHD，GI∥HJ， 求证：AB∥CD． （2）∵AD∥BF， ∴∠B＝∠ADC， ∵AE∥BC， ∴∠ADC+∠DAE＝180°， 又∠B＝45°，可解得∠DAE＝135°， ∵AE∥BC， ∴∠C+∠E＝180°， ∵AF∥EC， ∴∠FAE＝∠E（两直线平行，内错角相等）， 又∠C＝75°，可解得∠FAE＝105°， ∴∠FAD＝360°﹣∠DAE﹣∠FAE＝120°． 故答案为：①∠ADC；②135；③∠E；④两直线平行，内错角相等；⑤105；⑥120． 20．某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知AB∥DE，BC∥DF，BC与DE交于点G． （1）根据甲同学的作图及题设，求证：∠B＝∠D； （2）乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到∠B≠∠D，根据乙同学的作图，试判断∠B与∠D的数量关系，并说明理由； （3）结合甲乙两位同学的探究过程，请写出正确的命题． 【答案】（1）证明见解析； （2）∠B+∠D＝180°，理由见解析； （3）两边分别平行的两个角相等或互补． 【解答】（1）证明：∵AB∥DE，AC∥DF， ∴∠B＝∠CGE，∠D＝∠CGE， ∴∠B＝∠D； （2）解：∠B+∠D＝180°，理由如下： ∵AB∥DE，BC∥DF， ∴∠B+∠DGB＝180°，∠D＝∠DGB， ∴∠B+∠D＝180°； （3）解：综上所述，两边分别平行的两个角相等或互补． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.7 定义、命题、证明 教学目标 1. 掌握命题的定义及其分类，能够熟练的判断命题，真命题，假命题。 2. 能够对命题进行改写，准确的写出命题的题设与结论部分。 3. 能够熟练掌握定理的定义，并对其证明。 教学重难点 1. 重点 （1）命题及其真假命题的判定； （2）定理以及对定理的证明。 2. 难点 （1）对命题的改写； （2）对定理的证明； （3）证明题目的证明过程。 知识点01 定义与命题 1. 定义： 对一些数学对象进行清晰、明确的描述称为数学对象的定义。 2. 命题的定义： 判断一件事情是真或是假的陈述语句，叫做命题。 3. 命题的组成： 命题由 与 两部分组成。 是已知事项， 是由已知事项推出的事项。 4. 命题的改写： 命题通常可以改写成 的形式。如果后面跟题设部分 ，那么后面跟结论部分。 有些题设或结论不明显的命题在改写时，需要调整顺序或者增减词语。 5. 命题的分类： 根据命题判定的真假可以把明天分为 和 。 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。 假命题：命题中题设成立时，结论不一定成立的命题。 【即学即练1】 1．下列语句表示命题的是（　　） A．作∠A的平分线 B．直角都相等吗？ C．画一条直线 D．内错角不相等 【即学即练2】 2．下列命题中真命题是（　　） A．两个锐角之和为钝角 B．两个锐角之和为锐角 C．钝角大于它的补角 D．锐角小于它的余角 【即学即练3】 3．指出下列命题的条件和结论，并改写成”如果…那么…”的形式． （1）绝对值相等的两个数相等． （2）直角三角形的两个锐角互余． 知识点02 定理与证明 1. 定理的定义： 经过推理证实得到的真命题叫做定理。 2. 证明： 一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个过程叫做证明。 【即学即练1】 4．如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③AB∥CD． （1）请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题． （2）在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 题型01 判断命题以及真假命题 【典例1】下列语句不是命题的是（　　） A．对顶角相等 B．连结AB，并延长至点C C．两直线平行，内错角相等 D．等角的补角相等 【变式1】下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③x2不是负数；④化简a+2（a﹣1）．其中不是命题的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式2】下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过直线外一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到直线的距离 【变式3】下列命题为假命题的是（　　） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．同旁内角互补 题型02 对命题进行改写 【典例1】把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：　 　 ． 【变式1】把命题“两直线平行，内错角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 　 　 ． 【变式2】将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式，并判断它们是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例． （1）互为相反数的两个数的和为零； （2）同旁内角互补； （3）等角的余角相等． 题型03 对定理进行证明 【典例1】命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果…那么…”的形式：　 　 ； （2）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． 已知：如图，b⊥a， ．求证： ． 【变式1】已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，①∠B+∠1＝180°，②∠2＝∠3，③AB∥EF；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程． （1）条件：　 ，结论：　 　 ；（填序号） （2）证明： 【变式2】如图，在三角形ABC中，点D在边BC的延长线上，射线CE在∠DCA的内部．给出下列信息：①AB∥CE；②CE平分∠DCA；③∠A＝∠B．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由． 【变式3】如图，有下列三个条件：①DE∥BC；②∠1＝∠2；③∠B＝∠C． （1）若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来； （2）选择你写的一个真命题写出证明过程． 1．下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③希望明天下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是（　　） A．①②③ B．①②⑤ C．①②④⑤ D．①②④ 2．下列命题，正确的是（　　） A．绝对值等于本身的数为0 B．倒数等于本身的数有0，1 C．相反数等于本身的数是0 D．如果两个数的平方相等，那么这两个数也相等 3．下列语句是真命题的是（　　） A．同位角相等 B．过一点作直线AB的垂线 C．对顶角相等 D．若x2＞0，则x＞0 4．下列命题中，属于真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．若|a|＝|b|，则a＝b C．如果ab＞0，则a＞0，b＞0 D．同位角相等 5．下列命题中，真命题的是（　　） A．不是对顶角的两个角不相等 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C．若a＞b，则|a|＞|b| D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 6．下列命题为假命题的是（　　） A．两点之间线段最短 B．不相交的两条直线是平行线 C．互补的两个角的和是平角 D．邻补角的平分线互相垂直 7．下列语句中真命题有（　　） ①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离； ②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； ③若15.62＝243.36，则； ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤如果A地在B地北偏东30°方向20m处，那么B地在A地的南偏西30°方向20m处． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．对于命题“如果∠1+∠2＞90°，那么∠1、∠2都大于45°”能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝50°，∠2＝50° C．∠1＝45°，∠2＝50° D．∠1＝46°，∠2＝40° 9．下列例子能说明“相等的角是对顶角”是假命题的是（　　） A． B． C． D． 10．“如果∠1与∠2互余，那么∠1≠∠2”，能说明这个命题是假命题的反例是（　　） A．∠1＝40°，∠2＝50° B．∠1＝40°，∠2＝45° C．∠1＝40°，∠2＝40° D．∠1＝45°，∠2＝45° 11．命题“垂直于同一直线的两直线互相平行”是　 　 ．命题．（填“真”或“假”） 12．命题“等角的余角相等”的条件是　 　 ，结论是　 　 ． 13．把命题“两个正数的和仍是正数”写成“如果…那么…”的形式为　 　 ． 14．要说明命题“若a2≥4，则a＞2”是假命题，请举出一个反例：a＝　 　 ． 15．下列命题：①若﹣5a2mbn与8a4b2是同类项，则m＝2，n＝2；②小华每小时可制作60朵小红花，则他制作小红花的数量与制作时间成反比例关系；③若a3+b3＝0，则a2＝b2；④若m为常数，则含未知数x的代数式|x﹣m|+|x+m|的最小值为2m；⑤若有理数a，b，c满足|a﹣b+c|＝a+b+c，则ab+bc＝0．其中，正确的命题是　 　 （填序号）． 16．如图，有如下三个论断： ①AB∥CD；②∠1＝∠2；③BE∥CF，以其中两个作为条件，另一个论断作为结论，组成一个真命题，并证明． 17．已知命题“如果ab＜0，那么a＞0，b＜0．” （1）写出此命题的题设和结论； （2）判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 18．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． （1）请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式：　 　 ． （2）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）． 已知：如图，a⊥l， ． 求证： ． 19．（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． ①先画出相应的图形，并判断命题的真假； ②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例． （2）如图，已知AD∥BF，AE∥BC，AF∥EC，若∠B＝45°，∠C＝75°，将求∠FAD的过程填写完整． 解：∵AD∥BF， ∴∠B＝∠ADC． ∵AE∥BC， ∴①　 +∠DAE＝180°． 又∠B＝45°，可解得∠DAE＝（②　 　 ）°． ∵AE∥BC， ∴∠C+∠E＝180°． ∵AF∥EC， ∴∠FAE＝③　 ．（④ 　 此处填推理的依据） 又∠C＝75°，可解得∠FAE＝（⑤　 　 ）°， ∴∠FAD＝360°﹣∠DAE﹣∠FAE＝（⑥　 　 ）°． 20．某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，并作图如图1所示，已知AB∥DE，BC∥DF，BC与DE交于点G． （1）根据甲同学的作图及题设，求证：∠B＝∠D； （2）乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，并作图如图2所示，题设与甲同学相同，得到∠B≠∠D，根据乙同学的作图，试判断∠B与∠D的数量关系，并说明理由； （3）结合甲乙两位同学的探究过程，请写出正确的命题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $