8.4.1 提公因式法-【学海风暴】2024-2025学年新教材七年级下册数学同步备课（沪科版2024 安徽专版）

8.4因式分解 8.4.1提公因式法 香便圆毯理 1.因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作因式分解，也叫作把这个多项式分解 因式. 2.公因式的概念：如果一个多项式的每一项都含有一个相同因式，m就叫作各项的公因式 3.提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式 乘积的形式，这种因式分解的方法叫作提公因式法.一般用字母表示为ma十mb十mc=m(a十b十c). 已课内基础闯关 B.(y-x)(a-b-c) 知识点①因式分解的概念 C.-(x-y)(a+b-c) D.-(y-x)(a+b-c) 1.(2024宿州萧县期末)下列各式从左到右的 8.因式分解： 变形中，属于因式分解的是 (1)(2024陕西A卷)a2-ab= A.(x+y)(x-y)=x2-y2 (2)(2024菏泽)x2y+2xy= B.a2+1=a(a+1） 9.把下列各式分解因式： (1)-5ab3+20ab-5ab: C.6ab=2a·3b D.2mn2+mn=mn(2n+1) 2.若多项式x2一n.x一21可以分解为(x十3)(x 一7)，则m的值为 (2)(x+y)(x-y)-(x+y)2; 知识点② 公因式的概念 3.多项式a2一2a的公因式是 A.a B.a2 C.2a D.-2a 4.单项式6a3b与9ab3的公因式是 ( (3)8a(x-y)2-4(y-x)3. A.a2b B.3ab C.3a26 D.18ab 5.多项式a2b+4ab-2a3bc的公因式是 ( A.2a262c B.2a2b C.a?b D.4ab2c 10.(1)已知a+b=2,ab=2,求2ab+2ab2 知识点③运用提公因式法分解因式 的值； 6.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的 是 ( A.x2-y B.x2-2x C.x2+y2 D.x2-xy+y2 变式题本质相同：逆向思维 7.把-a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)分解因 若实数a,b满足a+b=5,ab+ab 式，正确的结果是 一10，则ab的值为 A.(x-y)(-a-b+c) 46 七年级数学HK版 2x+y=3, :15.102一9×1010能被91整除吗？请说明 (2)已知方程组 求代数式 5.x-3y=-2, 理由. (2x+y)(2x-3y)+3x(2x+y)的值 16.一个长方形的长与宽分别为a,b.若该长方 形的周长为14，面积为5，求3ab2+6a3b +3a2b4的值. 课外拓展提高 11.(2024合肥瑶海区一模)下列因式分解正确 的是 A.a2b-2ab-a(ab-2b) B.-a2b+2ab=-ab(a+2) C.ab-ab2=ab(1-b2) D.-a2b+ab2=-ab(a-b) 12.整式a(a2-1)-a2+1的值 综合能力提升 A.不是负数 B.恒为正数 17.运算能力阅读下列因式分解的过程，再回 C.恒为负数 D.符号不确定 答所提出的问题：1十x+x(x+1)十x(x+ 13.已知3mn+3m=n十2，其中m和n是整 1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+ 数，则下列结论正确的是 ( x)2(1+x)=(1+x)3. A.3m十n=-2 B.3m十n=1 (1)上述分解因式的方法是 C.mn=2 业a-号 (2)分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2 14.简便计算： 十…十x(x十1)2025的结果是 (1)21×3.14+62×3.14+1.7×31.4; (3)利用(2)中结论计算：5+52+53+… 十52025」 (2)20253-20252-2024 20253+20252-20261 下册第8章 47△=2-2×(1-是)(1+2)(1+2)》 =2-2×(1-2)(1+) =2-2×(1-六) =2-2+2×2品 第3课时乘法公式的应用 1.C 2.解：设这个正方形原来的边长为xcm,增加后边长为(x 2)cm. 根据题意，得(x十2)2-x2=24,解得x=5. 故这个正方形原来的边长为5cm. 变式题解：原来的面积为4a·4a=16a(m), 改造后的面积为(4a-2)(4a十2)=(16a-4)m2 因为16a2-(16a2-4)=4(m2), 所以与原来的面积相比减少了，减少了4m. 3.(1)4(2)4 4.解：(1)(a十b)2=(a-b)2+4ab (2)由(1)，得(a十b)2=a2-2ab+b+4ab, 所以ab=a+b,a+b),所以g=p+,p+2 2 2 把D+g=20,p+g=6代入上式，得pg=6,20=8, 2 故题图②中阴影部分的面积为2X号p0=pg=8. 阶段综合训练整式的运算及化简求值 1.D2.D 3.解：(1)原式=6a26十2b-6=6ab2十6， (2)原式=xy·4x2y2-xiy3=4x5y3-xiy2=3x5y3 (3)原式=x2+2xy-(xy十y2-3x2-3xy) =x+2xy+2xy-y2+3x2 =4x2+4xy-y. (4)原式=2a2十a-4a-2-(a2+a-5a-5) =2a2-3a-2-(a2-4a-5) =2a2-3a-2-a2+4a+5 =a十a+3. 4.解：(1)原式=(4m2-4m+1)-(4m2-1) =4m2-4m+1-4m2+1 =-4m十2. (2)原式=4x2+4xy十y+x2-y2-5x2+5xy =9xy. 5.解：(1)原式=(100+3)(100-3)-(100-1)2 =1002-9-1002+200-1 =190. (2)原式= 要×()”×（会）“×(-8) =-25×(停×) =-25X1山 =-25. 3)原式=(1-)(1+2)(1-号)(1+号)…(1 )(1+0)(1-)(1+00) =×号×号×号×…×器××盟×1删 = 6.解：(1)原式=m2+4m十4+2m2-2m-m十1-(m2-1) =m2+4m+4+2m2-2m-m+1-m2+1 =2m2+m+6. 当=-3时，原式=2×9-3十6=21， (2)原式=4x2-12x十9+x2-4-3x2+12x=2x2+5 当x=(-之)1+(x-2024)°=-2+1=-1时，原式=2 ×1+5=7. (3)原式=a2-3ab+2a2-2b2-a2+4ab-4b=2a2+ab 662. 当a=合6=1时，原式=2x -6=-6. (4)原式=(2x+3y)2-(2x-3y)(2x+3y) =4x2+12xy+9y2+9y2-4x2 =18y2+12xy. 当x=-3,y=2时，原式=18×22+12×(-3)×2=0. 7.解：(1)去括号，得9x2-5x-9x2十1=51 移项、合并同类项，得一5x=50, 系数化成1，得x=-10. (2)将原方程化为(x-2)2十(x一4)(x十4)=(2x一3)(x+1), 去括号，得x2-4x十4十x2-16=2x2-x-3, 移项、合并同类项，得一3x=9, 系数化成1，得x=一3. 8.解：(1)(8+3×8+1)289 (2)n(n+1)(n十2)(n+3)+1=(2+3n+1)2.理由如下： 等式左边=[n(n十3)][(n+1)(n十2)]+1=(n2+3n)(n十 3n+2)+1=n+3n3+2n2+3n3+9n2+6n+1=n+6n3+ 11n2+6+1, 等式右边=(n2十3n十1)2=(n2+1)2+2×3n(n2十1)十9n =n+2m2+1+6n3+6n+9n2=n+6n3+11n2+6n+1, 所以等式左边=等式右边 8.4因式分解 8.4.1提公因式法 1.D2.43.A4.C5.C6.B7.B 8.(1)a(a-b)(2)xy(x+2) 9.解：(1)原式=-5ab(ab2-4b+1). (2)原式=(x十y)[x-y-(x+y)] =-2y(x十y). (3)原式=8a(x-y)2+4(x-y) =4(x-y)2(2a十x-y). 10.解：(1)原式=2ab(a十b) 把a十b=2,ab=2代入，得原式=2×2×2=8， 变式题一2 (2)原式=(2x十y)(2x-3y+3x)=(2x十y)(5x-3y). 把2x十y=3,5x-3y=-2代入，得原式=3X(-2)=-6. 11.D12.A13.A 14.解：(1)原式=3.14×(21+62+17) =3.14×100=314. )原式-8器×88-8器 =2024×(20252-1) 2026×(20252-1) 1012 =1013 15.解：能.理由如下： 因为1012-9×1010=101×(102-9)=100×91， 所以102-9×10能被91整除. 16.解：根据题意，得2(a十b)=14,ab=5, 所以a+b=7. 因为3a6+6a3b+3a2b =3a2b2 (a2+2ab+b2) =3(ab)2(a十b)2 将a+b=7,ab=5代入，得原式=3×52×72=3675. 下册参考答案 169 17.解：(1)提公因式法 (2)(1十x)2026 (3)原式=×4X(6+5:十5+…十5m) =1×(4X5+4X52+4X53十…+4X525) 4 ×1+4+4X5+4X5+4X行+十4X5m) 4 =×1+4)w-号 4 =528s-5 4 8.4.2公式法 第1课时直接用公式法分解因式 1.A2.A 3.(1)(x+3)(x-3)(2)(x+5y)(x-5y)(3)(5+2xy)(5 -2xy) 4.解：(1)原式=(xy十1十xy-1)(xy+1-xy十1)=4xy. (2)原式=(x2-9)(x2十9) =(x-3)(x十3)(x2十9) 5.D 61+126r-20:8()月 (4)(5.x+3y) 7.解：(1)原式=(x2-9)2=(x-3)2(x十3)2 (2)原式=(x2十4十4x)(x2+4-4x)=(x+2)(x-2)2 8.B9.2510.12 11.解：(1)不正确，最后结果应为(x一2) (2)设a2-2a=m, 原式=m(m十2)十1 =m2十2m+1 =(m十1)2 =(a2-2a+1)9 =(a-1), 第2课时综合运用提公因式法与公式法分解因式 1.A2.A3.(1)3a(a+2)(a-2)(2)a(b+1) 4.解：(1)原式=2a(x2-4)=2a(x-2)(x+2) (2)原式=-a(a-2a+1)=-a(a-1)2. (3)原式=(a-b)(a2-b)=(a十b)(a-b)2 (4)原式=(a+b)[9+6(a+b)+(a+b)2] =(a+b)(3十a+b)2 5.解：(1)原式=x2(x2-4)=x2(x十2)(x-2) 当x=3时，原式=32×(3十2)×(3-2)=9×5×1=45. (2)原式=2[(a-1)2-6(a-1)+9] =2(a-1-3) =2(a-4)2 当a=2时，原式=2×(2-4)2=2×4=8. 6.D7.C8.34009.(x-y)(a+x-y) 10.解：(1)①x2-2xy=x(x-2y). ②x2-4y2=(x+2y)(x-2y). ③x2-4xy+4y2=(x-2y)2. (2)示例：选择A 因为①十②=③， 所以x(x-2y)+(x+2y)(x-2y)=(x-2y)2, 即x(x-2y)+(x+2y)(x-2y)-(x-2y)2=0. 因式分解，得(x-2y)(x十4y)=0, 所以x一2y=0或x十4y=0, 解得x=2y或x=-4y. 第3课时运用分组分解法分解因式 1.C2.C变式题B 3.(1)(x+y)(x-≈)(2)(x+y)(x-y-2)(3)(a-b+ 2)(a-b-2) 4.解：(1)原式=(9a2-b)+(6a-2b) =(3a+b)(3a-b)+2(3a-b) 170 七年级数学HK版 =(3a-b)(3a+b+2) (2)原式=x2-(m2+4mn十4n2) =x2-(m+2n)2 =(x+m+2n)(x-m-2n). (3)原式=(x2+4a2+4ax)-(y+b2-2by) =(x十2a)2-(y-b)2 =(x+2a+y-b)(x+2a-y+b) 5.解：(1)原式=x2+6x十9-4 =(x十3)2-4 =(x+3十2)(x+3-2) =(x+1)(x十5). (2)原式=x2-7x-x十7 =x(x-7)-(x-7) =(x-1)(x-7). (3)原式=x2十(9-2)x-9×2 =(x+9)(x-2). 6.解：(1)原式=a3+十a2-a2+1 =a(a+1)-(a+1)(a-1) =(a+1)(a2-a+1). (2)原式=a十4a2十4-4a =(a2+2)2-(2a)2 =(a2+2+2a)(a2+2-2a). 7.B8.C9.(1)2(2)0 10.解：根据题意，得|m十4|十(n2-2n十1)=0，即m十4|十(n一 1)=0所以T解得{，4， n-1=0. 所以原式=x2十4y2十4xy-1=(x+2y)2-1=(x+2y +1)(x+2y-1). 11.解：拆项法：x3一4x2十6x-4 =(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4) =x2(x-2)-2x(x-2)十2(x-2) =(x-2)(x2-2x+2): 先提公因式再拆项：x3一4x2十6x一4 =x(x2-4x+4+2)-4 =x[(x-2)2十2]-4 =x(x-2)2十2x-4 =x(x-2)2+2(x-2) =(x-2)[x(x-2)+2] =(x-2)(x2-2x+2). 12.解：(1)x5-1 =x5-x十x-1 =x(x-1)十(x-1) =x(x-1)(x3+x2+x十1)+(x-1) =(x-1)(x+x3+x2+x+1). (2)(x-1)(x”-1十x-2+x-3+…十x十1) (3)因为76-1=(7-1)(75+7+73十72+7+1)， 所以7+71+7+7+7+1=71 解题方法专题因式分解的常用方法 1.解：(1)原式=(2-n)(2m十3n一n) =(2m-n)(2m+2n) =2(2m-n)(m十n) (2)原式=x(a-b)-y(a-b)+3(a-b) =(a-b)(x-y+3). 2.解：原式=39×37-13×3×3 =39×37-39×27 =39×(37-27) =39×10 =390. 3.解：(1)原式=(m2+5-6) =(m2-1)2 =(m+1)2(m-1)2.