专题4.3.2 独立性检验（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第二册

本讲义聚焦“独立性检验”核心知识点，系统梳理2×2列联表的结构与数据读取方法，逐步过渡到独立性检验统计量公式的应用，最终落实基于小概率值的独立判断规则，构建从数据整理到统计推断的完整学习支架。 该资料以药物效果、消费者偏好等实际案例为情境，引导学生用数学眼光观察现实问题中的关联，通过分层题型（列联表补全、卡方计算、实际应用等）训练逻辑推理的数学思维，用数据表格与统计语言精准表达关系。课中辅助教师实施分层教学，课后助力学生通过变式练习巩固知识，查漏补缺。

专题4.3.2 独立性检验 教学目标 1.理解2×2列联表的结构，能准确读取和填写表格数据； 2.牢记独立性检验的统计量公式，会代入数据计算； 3.掌握基于小概率值的检验规则，能判断两变量是否独立。 教学重难点 重点：2×2列联表的应用、检验统计量计算、独立性判断规则； 难点：统计量计算的准确性、检验规则的理解与规范应用。 知识点01 2×2列联表 设X，Y为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下： 总计 a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d 知识点02 独立性检验 ①利用随机变量(也可表示为)(其中为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验； ②基于小概率值的检验规则： 当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立 【即学即练】 1．为了考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了200次动物试验，得到如下列联表： 药物A 疾病B 合计 患病 未患病 服用 100 未服用 40 60 100 合计 200 在服用药物A的动物中，患病的频率为0.2. (1)求x，y； (2)依据小概率值的独立性检验，是否认为服用药物A对预防疾病B有效? 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 题型01 2×2列联表 【例1】一个列联表如下： 合计 35 45 7 合计 73 则表中，的值分别是    （   ） A．10，38 B．17，45 C．10，45 D．17，38 【例2】下面是一个2×2列联表： 项目 y1 y2 总计 x1 a 21 70 x2 5 c 30 总计 b d 100 则由上表可得 . 【变式1-1】如下是一个列联表，则 . y1 y2 总计 x1 a 35 45 x2 7 b n 总计 m 73 s 【变式1-2】下表是、两班关于选择“物理”作为“加三学科”的意愿的列联表，请根据已有数据完善表格. 单位：人 类别 愿意选择“物理” 不愿意选择“物理” 总计 班 20 42 班 16 总计 44 【变式1-3】某电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否对打乒乓球感兴趣进行调查，随机调查了高于40岁的60人，不高于40岁的40人，根据样本数据绘制等高堆积条形图如图所示，写出2×2列联表． 题型02 卡方的计算 【例3】为调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下列联表： 性别 晚上 白天 总计 女 30 男 30 总计 40 90 则的值最接近（附：，）（   ） A．18 B．11 C．8 D．6 【例4】已知某校为提高学生课外锻炼的积极性，开展了丰富的课外活动，为了解学生对开展的课外活动的满意程度，该校随机抽取了350人进行调查，整理得到如下列联表，则认为该校学生对课外活动的满意情况与性别有关联的把握为（    ） 性别 满意情况 满意 不满意 总计 男 150 100 250 女 50 50 100 总计 200 150 350 A．5% B．90% C．95% D．99% 【变式2-1】交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站．为调查编号为10和11两个站点的乘客对调图的满意度是否有差异，在这两个站点多次乘坐列车的旅客中，随机抽取100名旅客，并得出如下列联表，则的值约为（    ） 车站编号 满意度 满意 不满意 总计 10 28 12 40 11 57 3 60 总计 85 15 100 A．6.923 B．7.851 C．10.635 D．11.765 【变式2-2】下面是一个2×2列联表： X Y 合计 10 30 70 80 合计 20 110 附：，其中 则 (保留小数点后3位) 【变式2-3】某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20，则下列结论正确的是（   ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中． A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C．根据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D．是否接受去外地长时间出差与性别无关 题型03 独立性检验解决实际问题 【例5】近几年，新能源汽车的更新换代越来越引起人们的关注.某新能源车企想了解年轻司机与中老年司机对新能源车和燃油车的喜好程度，随机抽取了1000名司机，得到的列联表如下： 偏好新能源车 偏好燃油车 总计 年轻司机 300 200 500 中老年司机 200 300 500 总计 500 500 1000 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为司机对两种汽车的偏好与年龄有关联？ (2)该新能源车企生产的一款汽车在2025年上半年每个月的销量（千辆）与月份线性相关，数据如下： 月份 1 2 3 4 5 6 销量（千辆） 0.8 0.9 1.1 1.1 1.3 1.4 求关于的线性回归方程. 参考公式及数据：. ，其中. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【例6】近年来水产品消费呈上升趋势，为了解男､女消费者对水产品类型的偏好情况，随机调查了男､女消费者各100名，得到如下列联表： 男消费者 女消费者 合计 喜欢粗加工水产品 65 40 105 喜欢深加工水产品 35 60 95 合计 100 100 200 (1)从调查的消费者中任选一人，记事件“此人是女性”为，事件“此人喜欢深加工水产品”为，求和； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对水产品类型的偏好与性别有关？ 附：. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【变式3-1】为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校举办了“青春心向党，建功新时代”的团史知识竞赛，100名学生的得分情况如下表： 得分 男生 3 7 15 9 6 女生 4 18 28 6 4 规定得分不低于80分的学生可获得“团史学习之星”荣誉称号.请完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为学生获得“团史学习之星”荣誉称号与性别有关？ 未获得荣誉称号 获得荣誉称号 合计 男生 女生 合计 附：. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【变式3-2】随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果： 职业 买食品时是否看营养说明 合计 不看营养说明 看营养说明 从事与医疗相关行业 12 28 40 从事与医疗无关行业 18 22 40 合计 30 50 80 依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？ 参考公式： 独立性检验中常用小概率值和相应临界值： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【变式3-3】为考察国产14纳米光刻机和进口14纳米光刻机的光刻效果，随机抽取了500台14纳米光刻机，对两种光刻机的良品、次品进行对比，得到如下列联表： 良品 次品 合计 国产14纳米光刻机 170 80 进口14纳米光刻机 150 100 250 合计 180 500 (1)求，的值，并以频率估计概率，估计国产14纳米光刻机的次品率； (2)根据小概率值的独立性检验，能否判断国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量有差异? 附：，其中为样本容量. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 题型04 独立性检验中的参数与最值问题 【例7】某医疗研究机构为了解某种地方性疾病与当地居民的生活习惯（生活习惯分良好和不够良好）的关系，现从该地区随机抽取名居民，统计数据如下： 生活习惯 合计 良好 不够良好 患有该疾病居民 0.6n 1.4n 2n 未患有该疾病居民 1.2n 0.8n 2n 合计 1.8n 2.2n 4n 若根据小概率值的独立性检验，分析发现居民是否患有该疾病与生活习惯有关联，则从该地区抽取居民人数至少为（    ） 附：，． A．60 B．76 C．80 D．100 【例8】某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为（    ） 附： 0.050 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 A．60 B．65 C．70 D．75 【变式4-1】针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断不成立，此推断犯错误率不超过，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 【变式4-2】校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数的.若依据小概率值的独立性检验认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（   ）人. 附表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中，，. A．20 B．30 C．35 D．40 【变式4-3】针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有（    ） 参考数据及公式如下：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A．12人 B．11人 C．10人 D．18人 一、单选题 1．在性别与吃零食这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（    ） ①若的观测值为，我们有的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性； ②从独立性检验可知有的把握认为吃零食与性别有关系时，我们说某人吃零食，那么此人是女性的可能性为； ③若从统计量中求出有的把握认为吃零食与性别有关系，是指有的可能性使得出的判断出现错误. A．①② B．①③ C．②③ D．③ 2．每年的毕业季都是高校毕业生求职和公司招聘最忙碌的时候，甲和乙两家公司今年分别提供了2个和3个不同的职位，一共收到了100份简历，具体数据如下表． 公司 求职者（专业/性别） 文史/男 文史/女 理工/男 理工/女 甲 10 10 20 10 乙 15 20 10 5 0.400 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0.708 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 分析毕业生的选择意愿与性别的关联知，对应的的观测值；分析毕业生的选择意愿与专业的关联知，的观测值．则下列说法中正确的是（    ）． A．有99.9%的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联 B．毕业生在选择甲、乙公司时，选择意愿与专业的关联性比与性别的关联性更大 C．理工专业的毕业生更倾向于选择乙公司 D．女性毕业生更倾向于选择甲公司 3．根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据小概率值（）的独立性检验，则（    ） A．变量与不独立 B．变量与独立 C．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 4．为了了解疾病A是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：则认为疾病A与性别有关的把握约为（   ） 患疾病A 不患疾病A 总计 男 20 5 25 女 10 15 25 总计 30 20 50 A． B． C． D． 5．某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用列联表计算得的观测值. 附表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（    ） A． B． C． D． 6．某校团委对“喜欢吃水果和学生性别是否有关”进行了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢吃水果的人数占被调查的男生人数的，女生喜欢吃水果的人数占被调查的女生人数的，若有的把握认为喜欢吃水果和学生性别有关，则被调查的男生至少有（    ）(参考数据：) A．30人 B．24人 C．18人 D．12人 二、多选题 7．某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（   ） 年龄 周平均使用时间 超过4小时 不超过4小时 总计 不超过40岁 54 b 72 40岁以上 c d 总计 72 120 附：，． （1）当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； （2）当时，有90%的把握判断变量A，B有关联； （3）当时，有99%的把握判断变量A，B有关联； （4）当时，有99.9%的把握判断变量A，B有关联． A． B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为 C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 8．某中学为更好地开展素质教育，现对选修外出研学课程是否和性别有关进行调查，其中被调查的男生和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的，女生中选修外出研学课程的人数占女生总人数的．若依据的独立性检验认为选修外出研学课程与性别有关，依据的独立性检验认为选修外出研学课程与性别无关，则调查的男生可能有（    ） 附： 0.05 0.01 3.841 6.635 ，其中． A．150人 B．220人 C．300人 D．350人 三、填空题 9．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如表： 专业 性别 非统计专业 统计专业 男 13 10 女 7 20 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到，因为，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性最大为 ． 10．随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，该市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120，则中老年游客评分等级良好的有 人．根据独立性检验，游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年） （填“有关”或“无关”）． 11．为落实五育并举，同时增强高中生的综合素质，某校领导计划利用课间时间开展足球社团活动，为了使该活动顺利开展，了解学生是否对足球感兴趣与性别的关系，现从某年级的学生中随机抽取了男、女同学各50名，整理得到下列列联表： 性别 兴趣爱好 感兴趣 不感兴趣 总计 男 50 女 50 总计 80 20 100 使得“有但没有的把握认为男、女同学对足球感兴趣有差异”的的一个值为 ． 四、解答题 12．某公司新开发了一款游戏软件，为了解该游戏软件在青年男性和青年女性中的使用体验，机构进行了一项调查，统计结果如下表（单位：人）. 使用人数体验 青年男性使用人数 青年女性使用人数 总计 较好 200 一般 100 总计 (1)求出，的值； (2)依据小概率值的独立性检验，请判断该游戏软件的使用体验在青年男性和青年女性中是否存在差异. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 13．某中学为探究“周末使用手机时长是否影响学业成绩”，随机调查100名学生，得到部分统计数据如下表： 学业成绩 使用手机小时 使用手机小时 良好 20 不良好 40 记事件“学业成绩良好且使用手机小时”，事件“学业成绩不良好且使用手机小时”，已知事件的频率是事件的频率的3倍. (1)求表中的，的值； (2)记使用手机小时的学生中学业成绩良好的概率为，求的估计值； (3)根据上述数据，请画出列联表，并判断是否有95%的把握认为“周末使用手机时长”与“学业成绩”有关？请说明理由. 参考数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 14．某市自从启动对“车不让人行为”处罚以来，斑马线前机动车抢行不文明行为得以根本改变，但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频繁发生，带来了较大的交通安全隐患，同时也使机动车的通畅率降低.该市交警部门在某十字路口根据以往的检测数据，得到行人闯红灯的概率约为0.4，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯情况得到如下列联表： 30岁及以下 30岁以上 总计 闯红灯 60 未闯红灯 80 总计 200 近期，为了整顿“行人闯红灯”这一项不文明及违法行为，交警部门在该十字路口对闯红灯行人试行经济处罚，了研究不同处罚金额的效果，交警部门在试行四种不同处罚金额（5元、10元、15元、20元）的情形下，每种情形均随机抽取200人进行调查，统计了闯红灯的人数，汇总如下表： 处罚金额（单位：元） 5 10 15 20 闯红灯的人数 50 40 20 0 将统计数据所得频率作为概率，完成下列问题. (1)将列联表填写完整（不需写出填写过程），并根据表中数据分析，在未对闯红灯行人试行经济处罚前，是否有的把握认为闯红灯与年龄有关？ (2)当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率比不进行处罚降低多少？ (3)结合调查结果，谈谈如何治理行人闯红灯现象. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3.2 独立性检验 教学目标 1.理解2×2列联表的结构，能准确读取和填写表格数据； 2.牢记独立性检验的统计量公式，会代入数据计算； 3.掌握基于小概率值的检验规则，能判断两变量是否独立。 教学重难点 重点：2×2列联表的应用、检验统计量计算、独立性判断规则； 难点：统计量计算的准确性、检验规则的理解与规范应用。 知识点01 2×2列联表 设X，Y为两个变量，它们的取值分别为和，其样本频数列联表(列联表)如下： 总计 a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d 知识点02 独立性检验 ①利用随机变量(也可表示为)(其中为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验； ②基于小概率值的检验规则： 当时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立 【即学即练】 1．为了考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了200次动物试验，得到如下列联表： 药物A 疾病B 合计 患病 未患病 服用 100 未服用 40 60 100 合计 200 在服用药物A的动物中，患病的频率为0.2. (1)求x，y； (2)依据小概率值的独立性检验，是否认为服用药物A对预防疾病B有效? 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)，； (2)能认为服用药物A对预防疾病B有效. 【分析】 【详解】（1）服用药物A的动物中，患病的频率为0.2， 故，解得， 故； （2）能认为服用药物A对预防疾病B有效.理由如下： 零假设：药物A对预防疾病B无效， 由列联表可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过， 依据小概率值的独立性检验，能认为服用药物A对预防疾病B有效. 题型01 2×2列联表 【例1】一个列联表如下： 合计 35 45 7 合计 73 则表中，的值分别是    （   ） A．10，38 B．17，45 C．10，45 D．17，38 【答案】B 【详解】由，得． 由，得． 由，得． 由，得． 故选：B 【例2】下面是一个2×2列联表： 项目 y1 y2 总计 x1 a 21 70 x2 5 c 30 总计 b d 100 则由上表可得 . 【答案】74 【详解】由题意知，所以. 故答案为：. 【变式1-1】如下是一个列联表，则 . y1 y2 总计 x1 a 35 45 x2 7 b n 总计 m 73 s 【答案】90 【详解】由表格有， 故答案为：. 【变式1-2】下表是、两班关于选择“物理”作为“加三学科”的意愿的列联表，请根据已有数据完善表格. 单位：人 类别 愿意选择“物理” 不愿意选择“物理” 总计 班 20 42 班 16 总计 44 【答案】 【详解】根据已知条件得出， 又因为，所以，所以， 所以. 所以. 【变式1-3】某电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否对打乒乓球感兴趣进行调查，随机调查了高于40岁的60人，不高于40岁的40人，根据样本数据绘制等高堆积条形图如图所示，写出2×2列联表． 【答案】答案见解析 【详解】根据题意，高于40岁的60人中，感兴趣的人占了，为人.不感兴趣的也是30人. 不高于40岁的40人中，感兴趣的占了，为28人.不感兴趣的为12人. 则作出列联表如下： 感兴趣 不感兴趣 合计 高于40岁 30 30 60 不高于40岁 28 12 40 合计 58 42 100 题型02 卡方的计算 【例3】为调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下列联表： 性别 晚上 白天 总计 女 30 男 30 总计 40 90 则的值最接近（附：，）（   ） A．18 B．11 C．8 D．6 【答案】B 【详解】由题意可得列联表： 性别 晚上 白天 总计 女 30 20 50 男 10 30 40 总计 40 50 90 所以， 所以的值最接近11， 故选：B 【例4】已知某校为提高学生课外锻炼的积极性，开展了丰富的课外活动，为了解学生对开展的课外活动的满意程度，该校随机抽取了350人进行调查，整理得到如下列联表，则认为该校学生对课外活动的满意情况与性别有关联的把握为（    ） 性别 满意情况 满意 不满意 总计 男 150 100 250 女 50 50 100 总计 200 150 350 A．5% B．90% C．95% D．99% 【答案】B 【详解】根据题表中数据，得到， 故有的把握认为该校学生对课外活动的满意情况与性别有关联． 故选：B 【变式2-1】交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站．为调查编号为10和11两个站点的乘客对调图的满意度是否有差异，在这两个站点多次乘坐列车的旅客中，随机抽取100名旅客，并得出如下列联表，则的值约为（    ） 车站编号 满意度 满意 不满意 总计 10 28 12 40 11 57 3 60 总计 85 15 100 A．6.923 B．7.851 C．10.635 D．11.765 【答案】D 【详解】． 故选：D. 【变式2-2】下面是一个2×2列联表： X Y 合计 10 30 70 80 合计 20 110 附：，其中 则 (保留小数点后3位) 【答案】 【详解】先完成2×2列联表如下： X Y 合计 10 20 30 10 70 80 合计 20 90 110 则. 故答案为：. 【变式2-3】某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20，则下列结论正确的是（   ） 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中． A．依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B．依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C．根据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D．是否接受去外地长时间出差与性别无关 【答案】B 【详解】由题意，列出列联表： 接受 不接受 合计 男 40 60 100 女 20 80 100 合计 60 140 200 零假设为：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关， 所以， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005. 故选：B. 题型03 独立性检验解决实际问题 【例5】近几年，新能源汽车的更新换代越来越引起人们的关注.某新能源车企想了解年轻司机与中老年司机对新能源车和燃油车的喜好程度，随机抽取了1000名司机，得到的列联表如下： 偏好新能源车 偏好燃油车 总计 年轻司机 300 200 500 中老年司机 200 300 500 总计 500 500 1000 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为司机对两种汽车的偏好与年龄有关联？ (2)该新能源车企生产的一款汽车在2025年上半年每个月的销量（千辆）与月份线性相关，数据如下： 月份 1 2 3 4 5 6 销量（千辆） 0.8 0.9 1.1 1.1 1.3 1.4 求关于的线性回归方程. 参考公式及数据：. ，其中. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)依据小概率值的独立性检验，认为司机对两种汽车的偏好与年龄有关联，此推断犯错误的概率不超过0.001. (2) 【分析】 【详解】（1）零假设为 ：司机的年龄与偏好相互独立，即司机对两种汽车的偏好与年龄无关. 由已知列联表，计算可得： ， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为司机对两种汽车的偏好与年龄有关联，此推断犯错的概率不超过0.001. （2）由题可知：，. . . 所以，. 关于的线性回归方程为：. 【例6】近年来水产品消费呈上升趋势，为了解男､女消费者对水产品类型的偏好情况，随机调查了男､女消费者各100名，得到如下列联表： 男消费者 女消费者 合计 喜欢粗加工水产品 65 40 105 喜欢深加工水产品 35 60 95 合计 100 100 200 (1)从调查的消费者中任选一人，记事件“此人是女性”为，事件“此人喜欢深加工水产品”为，求和； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对水产品类型的偏好与性别有关？ 附：. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)， (2)能认为消费者对水产品类型的偏好与性别有关 【分析】 【详解】（1）由题意知女消费者有100名，故， 喜欢深加工水产品的消费者有95人，故， 女消费者中喜欢深加工水产品的人有60人，故, 故; （2）零假设：消费者对水产品类型的偏好与性别无关， 则， 由此可推断零假设不成立， 则依据小概率值的独立性检验，能认为消费者对水产品类型的偏好与性别有关. 【变式3-1】为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校举办了“青春心向党，建功新时代”的团史知识竞赛，100名学生的得分情况如下表： 得分 男生 3 7 15 9 6 女生 4 18 28 6 4 规定得分不低于80分的学生可获得“团史学习之星”荣誉称号.请完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为学生获得“团史学习之星”荣誉称号与性别有关？ 未获得荣誉称号 获得荣誉称号 合计 男生 女生 合计 附：. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】列联表见解析，没有99%的把握认为学生获得“团史学习之星”荣誉称号与性别有关. 【详解】由题意， 未获得荣誉称号 获得荣誉称号 合计 男生 25 15 40 女生 50 10 60 合计 75 25 100 ， ∴没有99%的把握认为学生获得“团史学习之星”荣誉称号与性别有关. 【变式3-2】随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果： 职业 买食品时是否看营养说明 合计 不看营养说明 看营养说明 从事与医疗相关行业 12 28 40 从事与医疗无关行业 18 22 40 合计 30 50 80 依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？ 参考公式： 独立性检验中常用小概率值和相应临界值： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】不能推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异 【详解】由题意，零假设为：职业与看营养说明相互独立，即两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异， 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， ∴可以认为成立， 即不能认为两个群体在购买食品时是否看营养说明有差异. 【变式3-3】为考察国产14纳米光刻机和进口14纳米光刻机的光刻效果，随机抽取了500台14纳米光刻机，对两种光刻机的良品、次品进行对比，得到如下列联表： 良品 次品 合计 国产14纳米光刻机 170 80 进口14纳米光刻机 150 100 250 合计 180 500 (1)求，的值，并以频率估计概率，估计国产14纳米光刻机的次品率； (2)根据小概率值的独立性检验，能否判断国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量有差异? 附：，其中为样本容量. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)，， (2)根据小概率值的独立性检验，国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量无差异. 【分析】 【详解】（1）由题意得，. 样品中，国产14纳米光刻机次品的频率为， 所以国产14纳米光刻机的次品率约为. （2）零假设：国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量无差异， 根据列联表中的数据，经计算得到： . 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量无差异. 题型04 独立性检验中的参数与最值问题 【例7】某医疗研究机构为了解某种地方性疾病与当地居民的生活习惯（生活习惯分良好和不够良好）的关系，现从该地区随机抽取名居民，统计数据如下： 生活习惯 合计 良好 不够良好 患有该疾病居民 0.6n 1.4n 2n 未患有该疾病居民 1.2n 0.8n 2n 合计 1.8n 2.2n 4n 若根据小概率值的独立性检验，分析发现居民是否患有该疾病与生活习惯有关联，则从该地区抽取居民人数至少为（    ） 附：，． A．60 B．76 C．80 D．100 【答案】C 【详解】，又，所以，且，，，均为整数，所以的最小值为20，则从该地区抽取居民人数至少为80． 故选：C 【例8】某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为（    ） 附： 0.050 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 A．60 B．65 C．70 D．75 【答案】C 【详解】设男生总人数为，依题意可得列联表如下： 每周平均体育运动时间超过4小时的人数 每周平均体育运动时间不超过4小时 合计 男生人数 女生人数 合计 若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关， 则， 解得，则被抽取的男生人数至少为70人. 故选：C. 【变式4-1】针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断不成立，此推断犯错误率不超过，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】根据题意，不妨设男生中喜欢短视频的人数为人，男生中不喜欢短视频的人数为人，女生中喜欢短视频的人数为人，女生中不喜欢短视频的人数为人. 所以可得列联表如下： 喜欢短视频人数 不喜欢短视频人数 合计 男生人数                女生人数                合计                于是， 由于推断不成立，此推断犯错误率不超过， 所以依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知，解得，且，于是最小值为. 故选：C 【变式4-2】校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数的.若依据小概率值的独立性检验认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（   ）人. 附表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中，，. A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】A 【详解】设总人数为，则男生选学生物学的人数为，女生选学生物学的人数为， 则列联表为： 男生 女生 合计 选生物学 不选生物学 合计 m m 2m 因此， 即，又为的倍数，所以男生最少有人. 故选：A 【变式4-3】针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有（    ） 参考数据及公式如下：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A．12人 B．11人 C．10人 D．18人 【答案】A 【详解】设男生人数为，则女生人数为,依题意可得列联表如下： 性别 追星 合计 喜欢追星 不喜欢追星 男生 女生 合计 若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则， 由，解得， 因为，为整数，所以若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关， 则x至少为12，即男生至少有12人. 故选：A. 一、单选题 1．在性别与吃零食这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（    ） ①若的观测值为，我们有的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性； ②从独立性检验可知有的把握认为吃零食与性别有关系时，我们说某人吃零食，那么此人是女性的可能性为； ③若从统计量中求出有的把握认为吃零食与性别有关系，是指有的可能性使得出的判断出现错误. A．①② B．①③ C．②③ D．③ 【答案】D 【详解】①若的观测值为，我们有的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性，故①不正确； ②独立性检验是用来考察两个分类变量是否具有关联性，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度， 而不是给出事件的概率，故②不正确； ③若从统计量中求出有的把握认为吃零食与性别有关系，是指有的可能性使得出的判断出现错误，③正确。 故选：D 2．每年的毕业季都是高校毕业生求职和公司招聘最忙碌的时候，甲和乙两家公司今年分别提供了2个和3个不同的职位，一共收到了100份简历，具体数据如下表． 公司 求职者（专业/性别） 文史/男 文史/女 理工/男 理工/女 甲 10 10 20 10 乙 15 20 10 5 0.400 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0.708 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 分析毕业生的选择意愿与性别的关联知，对应的的观测值；分析毕业生的选择意愿与专业的关联知，的观测值．则下列说法中正确的是（    ）． A．有99.9%的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联 B．毕业生在选择甲、乙公司时，选择意愿与专业的关联性比与性别的关联性更大 C．理工专业的毕业生更倾向于选择乙公司 D．女性毕业生更倾向于选择甲公司 【答案】B 【详解】对于A，与专业关联的的观测值，明显大干7.879，小于10.828， 所以有99.5%的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联，故A不正确． 对于B，因为，故B正确． 对于CD，根据表中数据可知，理工专业的毕业生更倾向于选择甲公司，女性毕业生更倾向于选择乙公司，故C，D均不正确， 故选：B． 3．根据分类变量与的观测数据，计算得到，依据小概率值（）的独立性检验，则（    ） A．变量与不独立 B．变量与独立 C．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 【答案】B 【详解】因为，所以在显著性水平下， 没有充分证据拒绝原假设，因此我们认为变量与是独立的， 故选：B 4．为了了解疾病A是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：则认为疾病A与性别有关的把握约为（   ） 患疾病A 不患疾病A 总计 男 20 5 25 女 10 15 25 总计 30 20 50 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由公式得， 故有的把握认为疾病A与性别有关， 故选：C． 5．某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用列联表计算得的观测值. 附表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知观测值，所以对照题中的附表可作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过的结论. 故选：B 6．某校团委对“喜欢吃水果和学生性别是否有关”进行了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢吃水果的人数占被调查的男生人数的，女生喜欢吃水果的人数占被调查的女生人数的，若有的把握认为喜欢吃水果和学生性别有关，则被调查的男生至少有（    ）(参考数据：) A．30人 B．24人 C．18人 D．12人 【答案】C 【详解】设被调查的男生人数为，则被调查的女生人数为，得到列联表如下： 学生性别 喜欢吃水果情况 喜欢 不喜欢 总计 男生 女生 总计 则，解得， 又因为男、女生人数均为整数，所以被调查的男生至少有18人． 故选：C 二、多选题 7．某人工智能研究实验室开发出一款全新的聊天机器人，该实验室对使用该款聊天机器人的120位用户进行调研，得到的调研数据如下表所示，则（   ） 年龄 周平均使用时间 超过4小时 不超过4小时 总计 不超过40岁 54 b 72 40岁以上 c d 总计 72 120 附：，． （1）当时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； （2）当时，有90%的把握判断变量A，B有关联； （3）当时，有99%的把握判断变量A，B有关联； （4）当时，有99.9%的把握判断变量A，B有关联． A． B．用样本估计总体，每位使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间超过4小时的概率为 C．没有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 D．有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关 【答案】BD 【详解】不超过40岁且周平均使用时间不超过4小时的； 40岁以上且周平均使用时间超过4小时的； 40岁以上的总计为， 故40岁以上且周平均使用时间不超过4小时的. 选项A：，A错误； 选项B：周平均使用时间超过4小时的样本数为72， 总样本数120，概率为，B正确； 年龄 周平均使用时间 超过4小时 不超过4小时 总计 不超过40岁 54 18 72 40岁以上 18 30 48 总计 72 48 120 ， 因， 故有99.9%的把握判断使用该款聊天机器人的用户周平均使用时间是否超过4小时与年龄有关. 所以C选项错误，D选项正确. 故选：BD 8．某中学为更好地开展素质教育，现对选修外出研学课程是否和性别有关进行调查，其中被调查的男生和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的，女生中选修外出研学课程的人数占女生总人数的．若依据的独立性检验认为选修外出研学课程与性别有关，依据的独立性检验认为选修外出研学课程与性别无关，则调查的男生可能有（    ） 附： 0.05 0.01 3.841 6.635 ，其中． A．150人 B．220人 C．300人 D．350人 【答案】BC 【详解】设男生和女生人数均为，根据题意可得列联表如下： 男生 女生 合计 选修外出研学课程 不选修外出研学课程 合计 零假设为：选修外出研学课程与性别无关， 则， ∵依据的独立性检验认为选修外出研学课程与性别有关，依据的独立性检验认为选修外出研学课程与性别无关， ∴，解得， 则． 故选：BC． 三、填空题 9．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如表： 专业 性别 非统计专业 统计专业 男 13 10 女 7 20 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到，因为，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性最大为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以依据小概率值的独立性检验，认为主修统计专业与性别有关，出错的可能性最大为. 其中临界值表如下： 故答案为：. 10．随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，该市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120，则中老年游客评分等级良好的有 人．根据独立性检验，游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年） （填“有关”或“无关”）． 【答案】 50 有关 【详解】由频率分布直方图可知，，解得， 则青年游客评分等级良好的有（人），所以中老年游客评分等级良好的有（人）．由上可得如下列联表， 评分等级是否良好 年龄段 青年游客 中老年游客 总计 评分等级良好 70 50 120 评分等级非良好 30 50 80 总计 100 100 200 可得，则认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关． 故答案为：50；有关. 11．为落实五育并举，同时增强高中生的综合素质，某校领导计划利用课间时间开展足球社团活动，为了使该活动顺利开展，了解学生是否对足球感兴趣与性别的关系，现从某年级的学生中随机抽取了男、女同学各50名，整理得到下列列联表： 性别 兴趣爱好 感兴趣 不感兴趣 总计 男 50 女 50 总计 80 20 100 使得“有但没有的把握认为男、女同学对足球感兴趣有差异”的的一个值为 ． 【答案】35（或36或44或45，答案不唯一） 【详解】易知，依题意可知， 解得或， 又，，， 则，. 得或，故的可能取值为35，36，44，45. 故答案为：35（或36或44或45，答案不唯一） 四、解答题 12．某公司新开发了一款游戏软件，为了解该游戏软件在青年男性和青年女性中的使用体验，机构进行了一项调查，统计结果如下表（单位：人）. 使用人数体验 青年男性使用人数 青年女性使用人数 总计 较好 200 一般 100 总计 (1)求出，的值； (2)依据小概率值的独立性检验，请判断该游戏软件的使用体验在青年男性和青年女性中是否存在差异. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) (2)存在差异 【分析】 【详解】（1）由题意，得，解得. （2）由（1）得， 使用人数体验 青年男性使用人数 青年女性使用人数 总计 较好 120 80 200 一般 30 70 100 总计 150 150 300 零假设为：该游戏软件的使用体验在青年男性和青年女性中不存在差异， 由题意计算得，， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即可以判断，该游戏软件的使用体验在青年男性和青年女性中存在差异. 13．某中学为探究“周末使用手机时长是否影响学业成绩”，随机调查100名学生，得到部分统计数据如下表： 学业成绩 使用手机小时 使用手机小时 良好 20 不良好 40 记事件“学业成绩良好且使用手机小时”，事件“学业成绩不良好且使用手机小时”，已知事件的频率是事件的频率的3倍. (1)求表中的，的值； (2)记使用手机小时的学生中学业成绩良好的概率为，求的估计值； (3)根据上述数据，请画出列联表，并判断是否有95%的把握认为“周末使用手机时长”与“学业成绩”有关？请说明理由. 参考数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，. (2) (3)有，理由见解析 【分析】 【详解】（1）由样本容量为，得，即. 又事件A的频率是事件B的频率的3倍，所以，即. 故，. （2）因为在样本中用手机小时的学生中学业成绩良好的频率为， 根据用样本频率估计总体频率，估计总体中用手机小时的学生中学业成绩良好的频率为， 再由频率估计概率，故用手机小时的学生中学业成绩良好的概率为. 故的估计值为. （3）设假设：周末使用手机时长与学业成绩相互独立.由题得列联表： 学业成绩 使用手机小时 使用手机小时 合计 良好 30 20 50 不良好 10 40 50 合计 40 60 100 可知，，，，，. 所以 故假设不成立，有95%的把握认为“周末使用手机时长”与“学业成绩”有关 14．某市自从启动对“车不让人行为”处罚以来，斑马线前机动车抢行不文明行为得以根本改变，但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频繁发生，带来了较大的交通安全隐患，同时也使机动车的通畅率降低.该市交警部门在某十字路口根据以往的检测数据，得到行人闯红灯的概率约为0.4，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯情况得到如下列联表： 30岁及以下 30岁以上 总计 闯红灯 60 未闯红灯 80 总计 200 近期，为了整顿“行人闯红灯”这一项不文明及违法行为，交警部门在该十字路口对闯红灯行人试行经济处罚，了研究不同处罚金额的效果，交警部门在试行四种不同处罚金额（5元、10元、15元、20元）的情形下，每种情形均随机抽取200人进行调查，统计了闯红灯的人数，汇总如下表： 处罚金额（单位：元） 5 10 15 20 闯红灯的人数 50 40 20 0 将统计数据所得频率作为概率，完成下列问题. (1)将列联表填写完整（不需写出填写过程），并根据表中数据分析，在未对闯红灯行人试行经济处罚前，是否有的把握认为闯红灯与年龄有关？ (2)当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率比不进行处罚降低多少？ (3)结合调查结果，谈谈如何治理行人闯红灯现象. 【答案】(1)列联表见解析；有的把握认为闯红灯与年龄有关 (2)0.2 (3)答案见解析 【分析】 【详解】（1）列联表如下： 30岁及以下 30岁以上 总计 闯红灯 20 60 80 未闯红灯 80 40 120 总计 100 100 200 零假设：假设闯红灯与年龄无关， 由表中数据可得. ，假设不成立，即有的把握认为闯红灯与年龄有关； （2）未进行处罚前，行人闯红灯的概率约为0.4， 当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率约为， 所以当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率比不进行处罚降低0.2； （3）①根据调查数据显示，行人闯红灯与年龄有明显关系， 所以可以针对30岁以上人群开展“道路安全”宣传教育； ②由于试行经济处罚可以明显降低行人闯红灯的概率， 所以可以进行适当经济处罚来降低行人闯红灯的概率. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $