精品解析：山东省济南第一中学2025-2026学年高二上学期1月学情检测数学试题

济南一中2024级高二上学期1月份学情检测 数学试题 说明：本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，共11题，第Ⅱ卷为第3页至第4页，共8题.请将答案按要求填写在答题纸相应位置，答在其它位置无效，考试结束后将答题卡上交.试题满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列满足，（），则（ ） A. 3 B. 5 C. 11 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】由递推关系逐项求解即得. 【详解】因为，（）， 所以， . 故选：D. 2. 设 ，则 （ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】因为，∴，解得 ∴， ∴ 故选：C． 3. 双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（ ） A. 13 B. 1或13 C. 10 D. 4或10 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线焦距可求出a的值，结合题意判断M点位置，利用双曲线定义即可求得答案. 【详解】由题意知双曲线：，焦距为10， 故，则， 由，，得或， 结合，则M在双曲线左支上， 由于，故， 故选：A 4. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，即可求解. 【详解】因为直线与平行， 所以，即， 因为直线与直线的距离为， 所以，即，解得或（舍去）， 故． 故选：C. 5. 已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 【答案】A 【解析】 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 6. 直线与轴、抛物线分别交于点、点，是圆上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，可得出，，利用点、、、四点共线且点、线段上时，取得最小值，数形结合可得出结果. 【详解】如下图所示： 抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线的定义可得， 设圆心为，， 当且仅当、、、四点共线且点、在线段上时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用： （1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题； （2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 7. 如图，在四面体ABCD中，，且，点满足，则直线CE与AD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，则，，求出，，则根据即可求解. 【详解】不妨设，， 则，， 由，则， 于是， 在中，由余弦定理，，则， 设直线与所成角为，则， 故选：B． 8. 已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点P是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据椭圆与双曲线的定义可得，从而可得，于是可得的取值范围. 【详解】设椭圆与双曲线的焦距为，则， 由椭圆与双曲线的定义得，可得， 因为，所以，即， 则，故，且，则 所以， 由于函数在上为增函数，所以， 则，故的取值范围是. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（ ） A. 向量是的一个单位向量 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间单位向量的坐标运算来判断A，利用空间向量的模的坐标运算来判断B，利用空间向量夹角为钝角的充要条件来判断C，利用投影向量计算来判断D. 【详解】由的单位向量是，故A错误； 由，，可得，故B正确； 由为钝角，则， 又当，则且，故C错误； 由在上的投影向量为，故D正确； 故选：BD. 10. 已知直线与圆恒有两个不同的公共点，则下列叙述正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 半径的取值范围是 C. 当时，线段长的最小值为 D. 当时，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用合并参数可求直线所过定点，利用点在圆内可求半径范围，利用垂直关系可求长的最小值，利用点到直线的距离可判断D. 【详解】由直线l：，可化为， 由方程组，解得，即直线过定点，A正确； 因为直线与圆总有两个公共点，得点在圆内部， 所以，解得，B不正确； 当时，圆的方程为，得圆心， 所以，可得线段长的最小值为，C正确； 当时，圆的方程为，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个， 所以到直线的距离为2，所以，D正确. 故选：ACD 11. 如图，已知抛物线的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 （直线 的倾斜角为锐角）与抛物线 相交于 两点（A在 轴的上方，在 轴的下方），过点 A作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线 的准线相交于点 ，则（ ） A. 当直线 的斜率为1时， B. 若，则直线的斜率为2 C. 存在直线 使得 D. 若，则直线 的倾斜角为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抛物线的焦点弦的性质一一计算即可. 【详解】易知，可设，设， 与抛物线方程联立得， 则， 对于A项，当直线 的斜率为1时，此时， 由抛物线定义可知，故A正确； 易知是直角三角形，若， 则， 又，所以为等边三角形，即，此时，故B错误； 由上可知 ， 即，故C错误； 若， 又知，所以， 则，即直线 的倾斜角为 ，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的各项均为正数，若，则_______. 【答案】 【解析】 分析】设公差，借助等差数列基本量计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为， 则有，即， 化简得，解得或， 又等差数列的各项均为正数，故，故， 则. 故答案为：. 13. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】将表示为圆上的点与点的连线的斜率，然后设出切线方程为，结合图形求出结果即可. 【详解】圆的方程为，即，圆心为，半径， 则表示圆上的点与点的连线的斜率， 过点作圆的切线方程， 显然，切线斜率存在，设切线方程为，即． 则，解得， 所以的取值范围为． 故答案为：. 14. 记球为体积为1的正方体的内切球，为平面与球交线上一动点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知正方体的棱长为1，球的半径，点的轨迹为圆，记圆心为，构建合适的空间直角坐标系得出相关点的坐标，应用向量法求点到平面的距离，进而确定圆的半径，并求出，利用点与圆的位置关系求的最小值. 【详解】由题意，得正方体的棱长为1，球的半径，点的轨迹为圆，记圆心为， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为，则，令，可得， 故点到平面的距离为， 故圆的半径， 由得，， 故， 故的最小值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，设，. （1）求； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的坐标表示，和空间向量数量积的坐标表示，结合公式求出结果即可. （2）根据空间向量垂直的性质，和空间向量数量积的坐标表示，列出方程，求出结果即可. 小问1详解】 由题意得，，， 所以，， 可得，，， 所以. 【小问2详解】 由题意得，， 因为，所以， 即，解得或. 16. 已知数列的前项和，. （1）求的通项公式； （2）是否存在正整数，使成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）不存在，过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据计算； （2）将通项公式代入化简求. 【小问1详解】 ， 则时，， 两式作差得， 又符合上式，故； 【小问2详解】 假设存在正整数，使成立，即， 化简得，得或，均不是正整数， 故不存在正整数，使成立. 17. 已知圆经过点，圆心在曲线上，且直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1） （2）与 【解析】 【分析】（1）设出圆心，再由垂径定理中的直角三角形三边关系列出方程，即可得解； （2）分斜率不存在与斜率存在两种情况讨论，使圆心到直线的距离等于半径即可. 【小问1详解】 设圆心，设圆心到直线的距离为，直线被圆截得的弦长为，由，可得， 整理得：，解得或（舍去）. 故圆心，圆上一点，半径， 故圆的方程为：. 【小问2详解】 当过的直线的斜率不存在时，此时直线方程为， 圆心到直线的距离，故是圆的切线； 当过的直线的斜率存在时，可设切线为， 可化成一般式，圆心到该直线的距离为2，即， 整理得，解得，此时切线， 化成一般式得. 综上所述，过点作圆的切线方程为与. 18. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，，是的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）点在棱上，且直线与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据即可证明平面； （2）由点到平面距离的向量表示公式，代入数据即可求解； （3）由直线与底面所成角的正弦值为可求出，然后根据两平面的法向量求所成角的余弦值即可. 【小问1详解】 连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，所以， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，， 因为是的中点，所以， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则， 又因为平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，，，所以， 且平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离. 【小问3详解】 由题意知，底面的法向量为， 因为，， 且，，所以， 所以由题意知：， 解得：，所以， 因为，设平面的一个法向量为， 则，即，取， 所以， 又平面与平面夹角为锐角， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，，分别为左右焦点，过的直线分别交双曲线左支于A，B两点，当轴时，. （1）求双曲线G的方程； （2）过点A作直线的垂线，垂足为D. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 【答案】（1） （2）（i）证明过程见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）求出渐近线方程，根据垂直关系得到方程，求出，再根据通径长得到方程，求出，得到答案； （2）（i）设过的直线方程为，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，并得到，，表达出直线的方程，由对称性分析可知直线过的定点在轴上，又，从而求出，故直线过定点； （ii）在（i）基础上，得到，换元得到，，根据单调性求出最值. 【小问1详解】 的两渐近线方程为， 由题意得，故， ，中，令得，故， 又，故，结合得， 所以双曲线G的方程为； 【小问2详解】 由题意得，故， 过的直线分别交双曲线左支于A，B两点，故过的直线斜率不为0， 设过的直线方程为，联立得， 设，， 故，， 需满足，解得， ，故直线的斜率为，直线方程为， 由对称性分析可知直线过的定点在轴上， 故中，令得 ， 又，将其代入上式中得， 故直线过定点； （ii），由于直线过定点，， 其中， 所以 ， 令，因为，所以，故，， 所以，由于在上单调递减， 故在上单调递增，故当时，取得最小值， 最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南一中2024级高二上学期1月份学情检测 数学试题 说明：本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，共11题，第Ⅱ卷为第3页至第4页，共8题.请将答案按要求填写在答题纸相应位置，答在其它位置无效，考试结束后将答题卡上交.试题满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列满足，（），则（ ） A. 3 B. 5 C. 11 D. 13 2. 设 ，则 （ ） A. 3 B. C. D. 3. 双曲线：，焦距为10，左右焦点分别为，，M为E上一点满足，则（ ） A. 13 B. 1或13 C. 10 D. 4或10 4. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 12 D. 14 5. 已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 6. 直线与轴、抛物线分别交于点、点，是圆上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四面体ABCD中，，且，点满足，则直线CE与AD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线有相同左、右焦点，，若点P是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（ ） A. 向量是的一个单位向量 B. 若，则 C. 若为钝角，则 D. 若在上的投影向量为，则 10. 已知直线与圆恒有两个不同公共点，则下列叙述正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 半径的取值范围是 C. 当时，线段长的最小值为 D. 当时，圆上到直线距离为2的点恰好有三个，则 11. 如图，已知抛物线的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 （直线 的倾斜角为锐角）与抛物线 相交于 两点（A在 轴的上方，在 轴的下方），过点 A作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线 的准线相交于点 ，则（ ） A. 当直线 斜率为1时， B. 若，则直线的斜率为2 C. 存在直线 使得 D. 若，则直线 的倾斜角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的各项均为正数，若，则_______. 13. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是_______. 14. 记球为体积为1的正方体的内切球，为平面与球交线上一动点，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，设，. （1）求； （2）若，求实数值. 16. 已知数列的前项和，. （1）求的通项公式； （2）是否存在正整数，使成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 17. 已知圆经过点，圆心在曲线上，且直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 18. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，，是的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）点在棱上，且直线与底面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，，分别为左右焦点，过的直线分别交双曲线左支于A，B两点，当轴时，. （1）求双曲线G的方程； （2）过点A作直线的垂线，垂足为D. （i）求证：直线过定点； （ii）求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $