精品解析：内蒙古自治区通辽市开鲁县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年第一学期期末质量监测 九年级数学 范围：九年级上、下册第二十一~二十七章 注意事项：1.本试卷共4页，满分100分，考试时间90分钟． 2.作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 3. 如图，点A，B，C在上，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 已知正五边形与正五边形的相似比为，则它们的面积比为（ ） A. B. C. D. 6. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 其图象经过点 B. 其图象位于第二、四象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时， 7. 一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管件的直径为，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽为，则水的最大深度为（ ） A. B. C. D. 8. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：m）与小球的运动时间（单位：s）之间的关系式是（）．有下列结论错误的是（） A. 小球从抛出到落地需要 B. 小球运动时和时的高度一样 C. 小球运动时的高度小于运动时的高度 D. 小球运动中高度可以是 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为_________． 10. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的宽是多少步？”设这块矩形田地的宽为x步，则根据题意可列方程为_________． 11. 视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，导致两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度（度）与车速成反比例函数关系，它的函数图象如图所示，当车速为时，视野角度为_____度． 12. 如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. （1）解方程：． （2）如图，中，点在边上，连接，，，．求证：． 14. 为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看． （1）甲同学选择A电影概率为________； （2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 15. 如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点的对应点为点，点的对应点为点，点落在线段的延长线上． （1）补全旋转后的图形； （2）若，，连接，求的长． 16. 如图，一次函数图象与反比例函数的图象分别交于点A、B，且点A的横坐标为，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出满足x的取值范围； （3）连接，求的面积． 17. 如图，中，，是角平分线，O是上一点，经过点A、M的分别交于点E、F． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的半径． 18. 如图，抛物线经过坐标轴上三点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）是直线上方抛物线上一动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期末质量监测 九年级数学 范围：九年级上、下册第二十一~二十七章 注意事项：1.本试卷共4页，满分100分，考试时间90分钟． 2.作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，本题依据中心对称图形的定义（平面内一个图形绕某点旋转后与自身重合，则该图形为中心对称图形），对四个选项逐一分析判断即可． 【详解】解：选项A的图形，将其绕任意一点旋转后，旋转后的图形无法与原图形重合，因此选项A不是中心对称图形； 选项B的图形，将其绕任意一点旋转后，旋转后的图形无法与原图形重合， 因此选项B不是中心对称图形。 选项C的图形，将其绕任意一点旋转后，旋转后的图形无法与原图形重合， 因此选项C不是中心对称图形。 选项D的图形，将其绕中心位置旋转后，旋转后的图形能与原图形重合， 因此选项D是中心对称图形． 故选：D． 2. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能会发生的事件是随机事件，据此判定即可求解，理解以上定义是解题的关键． 【详解】解：A. 旭日东升是必然事件； B. 画饼充饥是不可能事件； C. 守株待兔是随机事件； D. 竹篮打水是不可能事件； 故选：C． 3. 如图，点A，B，C在上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理． 用圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选B． 4. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，此题比较简单，需要同学们熟练掌握． 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解的一元一次方程． 详解】解：把代入方程可得， 解得， 故选：A． 5. 已知正五边形与正五边形的相似比为，则它们的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质；相似多边形的面积比等于相似比的平方，据此即可解答． 【详解】解：∵正五边形与正五边形的相似比为，即 ， ∴ 面积比 ． 故选：C． 6. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 其图象经过点 B. 其图象位于第二、四象限 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质， 根据反比例函数的性质，当时，图象位于第二、四象限，且在每个象限内 y 随 x 的增大而增大．通过代入计算和性质判断各选项． 【详解】解：∵ 反比例函数为，， ∴ 图象在第二、四象限，且在每个象限内 y 随 x 的增大而增大． 对于A：当时，，∴ 点在图象上，A正确，不符合题意． 对于B：∵，∴ 图象位于第二、四象限，B正确，不符合题意． 对于C：∵且，∴ y 随 x 的增大而增大，C正确，不符合题意． 对于D：当时，若，则，但，∴，故不成立，D不正确，符合题意． 故选D． 7. 一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管件的直径为，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽为，则水的最大深度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解题关键是掌握以上两个定理． 连接，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由垂径定理得，， ∵管件的直径为， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：B． 8. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：m）与小球的运动时间（单位：s）之间的关系式是（）．有下列结论错误的是（） A. 小球从抛出到落地需要 B. 小球运动时和时的高度一样 C. 小球运动时的高度小于运动时的高度 D. 小球运动中的高度可以是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查实际问题与二次函数；通过计算落地时间验证A，计算和的高度验证B，计算和的高度验证C，通过判别式验证D是否可能． 【详解】解：∵落地时， ∴， 即， 解得或， ∵为抛出时刻， ∴落地时间，故A正确； 当时，， 当时，， ∴h相同，故B正确； 当时，， 当时，， ∵， ∴C正确； 设，则， 即， ， ∴方程无实数解，高度不可能为，故D错误． 综上，错误结论是D． 故选：D． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中点关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标分别互为相反数，列出方程求解． 【详解】解：因为点与点关于原点对称， 所以点的横坐标与点的横坐标互为相反数，点的纵坐标与点的纵坐标互为相反数， 所以，． 解得，， 所以． 故答案为． 10. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的宽是多少步？”设这块矩形田地的宽为x步，则根据题意可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 设宽为x步，则长为步，根据矩形面积公式列方程． 【详解】解：设宽为x步，则长为步．由题意， 得． 故答案． 11. 视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，导致两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度（度）与车速成反比例函数关系，它的函数图象如图所示，当车速为时，视野角度为_____度． 【答案】40 【解析】 【分析】题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例关系的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 首先根据题意，可得视野角度（度）与车速成反比例函数关系，用待定系数法可得反比例函数的关系式；代入进一步求解可得答案． 【详解】解：设视野角度（度）与车速的函数关系式为， 把点代入得：， 解得：， ∴视野角度（度）与车速的函数关系式为， 当时，， 即当车速为时，视野角度为40度． 故答案为：40 12. 如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式，平行四边形性质，含三角形的性质，正确将阴影面积进行组合是解决问题的关键．由题意，利用计算即可． 【详解】解：过A作， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， 设长度为，则，在中，由勾股定理得： 解得：， ， ， 则，， ， ． 故答案：． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. （1）解方程：． （2）如图，在中，点在边上，连接，，，．求证：． 【答案】 （1），； （2）证明过程见解析． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，三角形相似的判定． （1）对原方程进行整理，用因式分解法解方程即可； （2）由已知可得，可得，结合，即可证得结论． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，． （2）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 14. 为了弘扬社会主义核心价值观，学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有共3部电影，甲、乙2位同学分别从中任意选择1部电影观看． （1）甲同学选择A电影的概率为________； （2）求甲、乙2位同学选择不同电影的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）首先根据题意画出树状图或列表格，然后由树状图或列表格求得所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 现有共3部电影， 甲同学选择A部电影的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 用树状图或利用表格列出所有等可能的结果： 甲同学选择电影 乙同学选择电影 A B C A B C 那么总结果有9种，甲、乙2位同学选择不同电影的结果有6种， （甲、乙2位同学选择不同电影）． 15. 如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点的对应点为点，点的对应点为点，点落在线段的延长线上． （1）补全旋转后的图形； （2）若，，连接，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形，理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据旋转的性质，以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接、即可； （2）由旋转的性质可得，，，进而求出，利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由旋转的性质可得，，， ， ， ． 16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点A、B，且点A的横坐标为，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出满足的x的取值范围； （3）连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题． （1）将代入求得点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）求出的长，进而根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ∵反比例函数的图象过点A， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：点A的横坐标为，点B的横坐标为4， 由函数图象可知，时，或； 【小问3详解】 解：当时，， ∴， ∵点B的横坐标为4， ∴． 17. 如图，中，，是角平分线，O是上一点，经过点A、M的分别交于点E、F． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点． （1）连接，根据角平分线以及等边对等角得到，继而得到，则，即可证明； （2）连接，证明即可； （3）根据（2）中的结论求解即可． 【小问1详解】 证明：连接 ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知，，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 18. 如图，抛物线经过坐标轴上三点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）是直线上方抛物线上一动点，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）当时，的面积有最大值4，此时 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）求出、点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，设，则，可得，当时，的面积有最大值4，此时； （3）根据题意，设，结合，，根据平行四边形对角线交点坐标，利用中点坐标公式列方程组求解即可求点坐标． 【小问1详解】 解：抛物线经过坐标轴上三点， 将代入得，解得， 抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的函数解析式为， 将代入得，解得， 直线的函数解析式为， 过点作轴交于点，如图所示： 设，则， ， ， 由图像开口向下，当时，的面积有最大值4，此时； 【小问3详解】 解：存在点，使得四边形是平行四边形． ， 抛物线的对称轴为直线， 由题知，， 设， 当四边形是平行四边形时，为平行四边形的对角线，则，解得， ． 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，涉及待定系数法确定函数、二次函数最值、平行四边形性质及中点坐标公式等知识，熟练掌握二次函数的图像及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $