精品解析：安徽省六安第一中学2025-2026学年高三上学期第五次月考（1月）数学试题

六安一中2026届高三年级第五次月考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别明确集合，再根据并集的概念求解即可. 【详解】集合． 由得，所以， 故． 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以所求的否定是：，. 故选：B 3. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出所求圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设点关于直线的对称点为，且直线的斜率为， 所以，解得，即所求圆圆心坐标为， 故圆关于直线对称的圆的方程为. 故选：D. 4. 如图为函数在上的图象，则的解析式只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，结合函数在给定区间上的符号，利用排除法求解即可． 【详解】对于B.的定义域为R，且 ，故为偶函数； 对于D.的定义域为R，且 ，故为偶函数； 由图象，可知为奇函数，故排除B、D； 对于A.当时，则，而，此时，由图像知道排除A； 故选：C. 5. 已知角，，的对边分别为，，，，为上一点，且，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积运算化简条件式可得，结合基本不等式运算得解. 【详解】由，则， ，即， 整理得， ，又， ，即， ，当且仅当时，等号成立， 所以最大值为8. 故选：D. 6. 如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，设，由椭圆的定义分别表示出，，，再在和中，由勾股定理得到关系可得. 【详解】 连接，设，则，，， 因为，所以在中，由勾股定理得， 即，① 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 将代入①式得，整理得， 所以离心率. 故选：D 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得及，展开并联立可解得，然后利用两角差的余弦公式求解. 【详解】∵，， ∴， ∴，即，即①， ∵，∴②， 联立①②解得， ∴. 故选：A. 8. 已知数列满足，，，则 ①是递增数列；②；③；④． 其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作差法即可判断单调性，根据整数和单调性即可判断，结合累乘法得到即可判断，结合裂项相消法求和即可判断. 【详解】对于①：易知，否则与矛盾，由，得， 所以，所以数列是递增数列，故①正确； 对于②：由①的判断知，所以，由，得， 所以， 当时，，因此，故②正确； 对于③：由，得， 由于，当时，，所以，故时， ， 所以，故③错误； 对于④：由，得，即， 所以 ，故④正确． 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知直线，圆，则（ ） A. 动直线经过定点 B. 圆心到直线的最大距离为 C. 当直线与圆有两个不同的交点时， D. 圆与圆有两条公切线 【答案】BCD 【解析】 【分析】将直线方程进行变换为，解方程组可判断A；设， 易知当时，圆心到直线的距离最大，再由斜率关系和点斜式可得B；由圆心到直线的距离小于半径可得C；利用两圆心间距离可判断D. 【详解】对于A：将直线方程进行变换可得， 则有，解得. 所以直线经过定点，所以A错误； 对于B：圆的方程变换为，设， 易知当时，圆心到直线的距离最大，最大距离为， 直线斜率为，所以直线的斜率为，此时，所以B正确； 对于C：当直线与圆相交时，圆心到直线的距离， 化简得，解得，C正确； 对于D：两圆心间距离，由可知圆与圆相交，所以有两条公切线，D正确； 故选：BCD. 10. 已知双曲线：的上、下焦点分别为，，，为双曲线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 若，则或33 B. 若在双曲线的上支，，则的最小值为 C. 存在点，，使得 D. 该双曲线存在以为中点的弦 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及双曲线上的点到焦点的最小距离即可判断出选项A；根据双曲线的定义对所求代数式进行变形，即可求出的最小值，判断出选项B；设出直线方程及点的坐标，与双曲线联立，得到，即可判断出选项C；结合中点坐标公式，利用作差法求出直线斜率，进而得到直线方程，证出该直线与双曲线两2个交点即可判断出选项D. 【详解】选项A：由双曲线的定义知，若，解得或33， 但，故，所以A错误； 选项B：， 当、、共线时，等号成立，所以B正确； 对于C：当直线斜率不存在时，即点，关于轴对称， 因为双曲线的渐近线方程为，，结合正切函数性质可知，此时，不满足题意. 当直线斜率存在时，设直线的方程为，，， 与双曲线联立整理得， 则，. 若，则，所以，即. 又 ， 所以. 因为，所以（矛盾）， 所以不存在点，，使得，故C错误； 选项D：设，若为AB中点，则， 因为，在上，所以，， 两式相减得，即， 也即， 所以， 所以直线方程为， 与双曲线方程联立，消去，整理得， 此时，即直线与双曲线有2个交点，所以D正确. 故选：BD. 11. 正方体棱长为2，分别为、的中点，分别为线段、上的动点，为所在平面内的动点，则下列结论中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面交于点，则 C. 若为中点，与平面所成的角相等，则面积的最大值为 D. 若点到平面的距离等于的长，则点轨迹为椭圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据锥体的体积的求法判断A的真假；根据平面的性质确定点的位置，判断B的真假；分析点在平面的轨迹，再求面积的最大值，判断C的真假；利用椭圆的第二定义，判断D的真假. 【详解】如图： 对于A：设点到平面的距离为， 则，且， 又，所以与点到平面的距离相等，故， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B：如图1，延长交的延长线于点，连接交于点，则点为平面与的交点． 因为，，所以四边形为平行四边形，所以． 又，所以，故，故B错误； 对于C：易知为与平面所成的角，为与平面所成的角，由为中点，知， 以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 如图： 设， 则， 可得点的轨迹方程为：（）， 所以，故C正确； 对于D: 方法一：以为原点建立空间直角坐标系， 如图： , 设平面的一个法向量为，则，取. 设，则， 所以点到平面的距离， 因为，所以点轨迹为椭圆. 方法二：作，垂足为，作，垂足为，连接， 如图： 设，则，，所以点轨迹为椭圆. 故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 是虚数单位，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模． 【详解】． 【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题. 13. 经过点，并且与圆相切的直线方程是______. 【答案】或． 【解析】 【分析】求出圆心和半径，判断斜率不存在的直线是否是切线，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求得参数值，进而得切线方程． 【详解】圆标准方程是，圆心为，半径为1． 易知直线与圆相切， 设斜率存在的切线方程为，即， 由，解得，切线方程为，即． 故答案为：或． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方）．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后在新图形中对应点记为，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设折叠前，表示折叠后点的坐标，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合建立关系，求出，即得的值. 【详解】折叠后仍以轴为轴，轴原位置仍为轴，折叠后轴的正方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 折叠前设，易得，设直线 由得， 折叠后 化简得，即. 因，则可得，即. 又，则，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小： （2）若的周长为，求的边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和代换，再利用诱导公式和正弦定理角化边，即可得； （2）由题可得，利用余弦定理可得，再利用等面积公式即可求出高. 【小问1详解】 因为， 所以， 结合正弦定理可得，即， 可得，因为，所以. 【小问2详解】 因为的周长为，所以，所以， 在中，由余弦定理得，所以 又的面积，设边上的高为，所以 ，解得. 16. 在五面体中，平面，平面． （1）求证：； （2）若，点D到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质得，结合线面平行的判定与性质，证得. （2）通过等体积法确定线段长度，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求得两平面夹角的余弦值. 小问1详解】 平面，平面，， 平面，平面，平面， 平面平面，平面，. 【小问2详解】 平面，，平面，平面，， 又平面，平面，， 又，平面，平面， ，， ，即， ，即，， 以D为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， ， 设平面的法向量为， ， ，令，则， 取平面的一个法向量为 设平面与平面的夹角为， ，即平面与平面夹角的余弦值为． 17. 记数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设m为整数，且对任意，，求m的最小值． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）由数列与的关系可得，再结合等比数列的通项可得解； （2）利用错位相减法求出，结合范围即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，故， 且不满足上式， 故数列的通项公式为 【小问2详解】 设，则， 当时，， 故， 于是． 整理可得，所以， 又，所以符合题设条件的m的最小值为7． 18. 已知，动点到点的距离比到直线：的距离小，记动点的轨迹为，为上三个不同的点． （1）求的方程； （2）若，且为的垂心，求的面积； （3）若，，交于点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）判断出点的轨迹为抛物线，设出抛物线标准方程，求出值即可. （2）根据抛物线焦半径公式求出点为坐标，得到轴，结合垂心得到，坐标，即可求出三角形面积. （3）设出直线方程，与抛物线联立，结合求出直线所过定点，得到点的轨迹，进而求出最小值. 【小问1详解】 因为动点到点的距离比到直线的距离小， 则点到点的距离与到直线的距离相等， 根据抛物线的定义，点的轨迹是抛物线，且其焦点为， 设该抛物线的标准方程为， 所以，可得，所以的方程为. 【小问2详解】 根据抛物线焦半径公式可得， 又，所以，则，即点为原点， 因为为的垂心，点在轴上，所以，即轴， 设，则， 由，得，解得， 从而的面积为. 【小问3详解】 由题意易知直线斜率不为，斜率均存在. 设：，，，， ，同理， 因为，所以，即. 由，整理得，所以，， 则，即， 所以：，过定点. 设，由题知，所以在以为直径的圆上， 圆心为，半径为. 又，所以，此时. 19. 记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. （1）已知和在上“2次缠绕”，设，求的值； （2）设，若和在实数集上“3次缠绕”，求的取值范围； （3）记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义列出不等式求解即可； （2）令，将问题转化为存在互异的三个正数，使得，求导得，再对合理分类讨论即可； （3）取，令，则，且，即可证明存在. 【小问1详解】 由和在上“2次缠绕”知存在，使得，当且仅当时等号成立 因为，当和时，， 对任意，当且仅当和时，等号成立， 所以． 【小问2详解】 设，因为和在上“3次缠绕”， 所以存在互异的三个数，使得，当且仅当时等号成立， 所以是的三个零点． 注意到，所以是的一个零点． ，令 ①当时，在上单调递增，是的唯一零点，不合题意． ②当时，，在上单调递减，是的唯一零点，不合题意． ③当时，，则关于的方程存在两个不相等的根，不妨令， 当时，单调递减；当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，因为， 设，因为， 所以在上递减，所以，即，所以存在． 又，，所以存在． 所以存在互异的三个数，使得恒成立，当且仅当时等号成立，即时，和在上“3次缠绕”， 综上，的取值范围是． 【小问3详解】 取，设， 令， 显然，且， 当且仅当时，等号成立． 所以对任意，存在， 其中，使得，且和在上“次缠绕”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安一中2026届高三年级第五次月考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 3. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A B. C. D. 4. 如图为函数在上的图象，则的解析式只可能是（ ） A. B. C D. 5. 已知角，，的对边分别为，，，，为上一点，且，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，，则 ①是递增数列；②；③；④． 其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知直线，圆，则（ ） A. 动直线经过定点 B. 圆心到直线的最大距离为 C. 当直线与圆有两个不同的交点时， D. 圆与圆有两条公切线 10. 已知双曲线：的上、下焦点分别为，，，为双曲线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 若，则或33 B. 若在双曲线的上支，，则的最小值为 C. 存在点，，使得 D. 该双曲线存在以为中点的弦 11. 正方体棱长为2，分别为、的中点，分别为线段、上的动点，为所在平面内的动点，则下列结论中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面交于点，则 C. 若为中点，与平面所成的角相等，则面积的最大值为 D. 若点到平面的距离等于的长，则点轨迹为椭圆 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 是虚数单位，则的值为__________. 13. 经过点，并且与圆相切的直线方程是______. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方）．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后在新图形中对应点记为，若，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小： （2）若的周长为，求的边上的高. 16. 在五面体中，平面，平面． （1）求证：； （2）若，点D到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 记数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设m为整数，且对任意，，求m的最小值． 18. 已知，动点到点的距离比到直线：的距离小，记动点的轨迹为，为上三个不同的点． （1）求的方程； （2）若，且为的垂心，求的面积； （3）若，，交于点，求最小值． 19. 记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. （1）已知和在上“2次缠绕”，设，求的值； （2）设，若和在实数集上“3次缠绕”，求取值范围； （3）记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $