2026年中考数学专题复习：图形的相似

2026年中考数学专题复习：图形的相似 一、单选题 1．在同一时刻，身高1.5米的小红在阳光下的影长2米，则影长为6米的大树的高是（    ） A．4.5米 B．8米 C．5米 D．5.5米 2．若，其相似比为，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 3．若如图所示的两个四边形相似，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是（     ） A． B． C． D． 5．如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，的面积为3，则的面积为（    ） A．1 B．6 C．9 D．27 6．如图，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，下面的说法中（    ） 与是相似；与的相似比为1：2； 与的周长之比为2：1；． A． B． C． D． 7．下列命题中，假命题是（　　） A．两个正方形一定相似 B．两个菱形一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似 8．如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于 ．    10．已知线段AB长是2，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，则AP长为 ． 11．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC﹣CB运动，到点B停止，过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示，当点P运动5秒时，PD的长是 cm． 12．黄金分割点是指一条线段被分为两部分，使较长部分与整体线段的比值等于较短部分与较长部分的比值的点．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，．已知为2米，则线段的长为 米．（结果保留根号） 13．如图，已知：△ABC中，DE∥BC，AD＝3，DB＝6，AE＝2，则EC＝ . 14．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE＝DC；②∠BOD＝60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是 ． 三、解答题 15．如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°．求证：△EBF∽△FCG．    16．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=60°，∠C=50°，求∠EAD的度数． 17．观察下面两组多边形： (1)在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？ (2)在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 18．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O． （1）过点O作OE⊥BC于点E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于G点，则△ABC与△FGC是位似图形吗？若是，请说出位似中心，并求出位似比；若不是，请说明理由． （2）连接DG交AC于点H，作HI⊥BC于I，试确定的值． 19．如图，为测量学校围墙外直立电线杆的高度，小亮在操场上点处直立高的竹竿，然后退到点处，此时恰好看到竹竿顶端与电线杆顶端重合；小亮又在点处直立高的竹竿，然后退到点处，此时恰好看到竹竿顶端与电线杆顶端重合．小亮的眼睛离地面高度，量得，，，求电线杆的高度．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C C D D B A 1．A 【分析】根据同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似即可得. 【详解】如图，由题意可得： 由相似三角形的性质得：，即 解得：（米） 故选：A. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，理解题意，将问题转化为利用相似三角形的性质求解是解题关键. 2．C 【分析】相似三角形的对应边之比、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 【详解】解：且相似比为 故选：C 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解决本题的关键． 3．C 【分析】根据相似多边形的对应角相等求出∠1的度数，根据四边形内角和等于计算即可． 【详解】解：∵两个四边形相似， ∴， ∵四边形的内角和等于， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等是解题的关键． 4．C 【分析】利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程即可解答． 【详解】解：设P到AB 的距离为x m ABCD， 即 得x= 故选C． 【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握对应高的比等于相似比． 5．D 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念，根据位似图形的概念得到，证明，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：与是位似图形， ，， ， ， ， 的面积为3， 的面积为27， 故选：D． 6．D 【详解】试题解析：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，所以相似， ②△ABC与△DEF是相似图形，且相似比是AB：DE=2：1， ③△ABC与△DEF的周长比等于相似比，即2：1， ④△ABC与△DEF是相似图形，所以对应角相等，即∠BAC=∠EDF． 综上所述，正确的结论是：①③④． 故选D． 7．B 【分析】本题考查了相似形的判定及命题的真假判断，根据相似图形的定义逐项判断即可求解，掌握正方形、菱形、等腰直角三角形和等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故选项是真命题； 、两个菱形的边成比例，但角不一定相等，所以不一定相似，故选项是假命题； 、两个等腰直角三角形的底角都是一定相等，所以一定相似，故选项是真命题； 、两个等边三角形的角都是一定相等，所以一定相似，故选项是真命题； 故选：B． 8．A 【分析】根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF∽△DEC，求出BF，故A错误． 【详解】解：在中，的平分线交于点D，， ∴CD=DF=3，故B正确； ∵DE=5， ∴CE=4， ∵DE//AB， ∴∠ADE=∠DAF， ∵∠CAD=∠BAD， ∴∠CAD=∠ADE， ∴AE=DE=5，故C正确； ∴AC=AE+CE=9，故D正确； ∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°， ∴△BDF∽△DEC，     ∴, ∴，故A错误； 故选：A． 【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，相似三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键． 9． 【详解】∵AB∥CD∥EF， ∴ ， 故答案为． 10． 【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段，得出，代入数据即可得出的长． 【详解】解：是线段上的一点，且满足， ∴， 为线段的黄金分割点，且是较长线段， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；熟练掌握黄金分割点的定义以及黄金比为是解决本题的关键． 11．1.2 【分析】根据图2可判断AC＝3cm，BC＝4cm，则可确定t＝5时BP的值，易证，利用相似三角形的性质即可求出PD． 【详解】解：由图2可得，AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝90°， ∴cm， 当t＝5时，如图所示： 此时AC+CP＝5cm，故BP＝AC+BC﹣AC﹣CP＝2cm， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案是：1.2． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据图2得到AC、BC的长度，此题难度一般． 12．/ 【分析】本题考查了黄金分割，数学常识，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵E为边的黄金分割点，，为2米， ∴米， 故答案为：． 13．4 【分析】DE∥BC，应用平行线分线段成比例的性质，可解答． 【详解】∵△ABC中，DE∥BC， ∴， ∵AD=3，DB=6，AE=2， ∴， ∴EC=4． 故答案为：4 【点睛】本题主要考查平行线分线段分线段成比例定理的理解及运用；找准对应关系，避免错选其他答案． 14．①② 【分析】由两个等边三角形容易证明△DAC≌△BAE，则可得①正确，同时有∠ADC＝∠ABE，利用三角形内角和即可得②正确，再由AB≠AC及AC=AE，得AB≠AE，从而可得∠ABE≠∠AEB，则易得∠DBO≠∠OCE，从而得③不正确． 【详解】∵△ABD、△AEC都是等边三角形， ∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°， ∴∠DAC＝∠BAC＋60°， ∠BAE＝∠BAC＋60°， ∴∠DAC＝∠BAE， ∴△DAC≌△BAE， ∴BE＝DC． ∴∠ADC＝∠ABE， ∵∠BOD＋∠BDO＋∠DBO＝180°， ∴∠BOD＝180°﹣∠BDO﹣∠DBO ＝180°﹣（60°﹣∠ADC）﹣（60°＋∠ABE）＝60°， ∵△DAC≌△BAE， ∴∠ADC＝∠ABE，∠AEB＝∠ACD， ∵∠DBO＝∠ABD＋∠ABE＝60°＋∠ABE，∠OCE＝∠ACE＋∠ACO＝60°＋∠ACD， ∵AE=AC， ∴AB≠AE， ∴∠ABE≠∠AEB， ∵∠AEB＝∠ACD， ∴∠ABE≠∠ACD， ∴∠DBO≠∠OCE， ∴两个三角形的最大角不相等， ∴△BOD不相似于△COE； 即③不正确； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，说明③不正确是本题的难点，许多学生无从下手． 15．见解析 【分析】根据正方形的性质得∠B＝∠C＝90°，再利用等角的余角相等得∠BEF=∠CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到△EBF∽△FCG． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠BEF＋∠BFE＝90°， ∵∠EFG＝90°， ∴∠BFE＋∠CFG＝90°， ∴∠BEF＝∠CFG， ∴△EBF∽△FCG． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解的关键是掌握相似三角形的判定定理． 16．10° 【分析】先利用三角形内角和定理，利用三角形的高，在直角三角形△ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠EAC、再运用两角的差即可得． 【详解】解：∵∠BAC=60°，∠C=50° ∵AD是高， ∴∠ADC=90°， ∴∠DAC=180°-90°-∠C=40°， ∵AE是角平分线， ∴∠EAC=30° ∴∠EAD=∠DAC-∠EAC=40°-30°=10° 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义．解题关键是利用三角形的高求出∠DAC，角平分线的性质解出∠EAC，熟悉运用两角的和差. 17．(1)不相似，见解析； (2)是相似图形，见解析． 【分析】本题主要考查相似多边形的概念，根据相似图形的概念可知，必须满足两个条件：①两个多边形的对应角相等；②两个多边形的对应边成比例； （1）根据相似多边形的概念判断即可； （2）根据相似多边形的概念判断即可． 【详解】（1）解：∵矩形和矩形， ∴矩形的四个角都是直角，即相等， ∵，， ∴矩形和矩形不相似； （2）∵多边形和多边形都是各边相等，各角相等的正六边形， ∴它们各角相等，且各边成比例，是相似图形． 18．（1）是位似图形，位似中心是点C，位似比为3；（2）． 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理证明△ABC∽△FGC，根据位似变换的概念和位似中心的概念解答即可，根据相似三角形的性质求出两个三角形的相似比，得到位似比； （2）根据相似三角形的性质进行计算即可． 【详解】（1）∵FG⊥BC，AB⊥BC， ∴FG∥AB， ∴△ABC∽△FGC， ∵△ABC与△FGC对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或重合， ∴△ABC与△FGC是位似图形，位似中心是点C， ∵BO=OD，OE∥CD， ∴， ∴， ∴， ∴， 则△ABC与△FGC的位似比为3； （2）由（1）得，，FG∥CD， ∴， ∴，又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念、位似比的计算，相似三角形的判定和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 19． 【分析】利用相似三角形的对应边成比例可得相关的两个比例式，求得的长，加上1.5即为的高． 【详解】解：∵ ∴四边形均为矩形， ∴，，， ∴ 又∵ ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ． 即 ∴ 且 ∴． 答：电线杆的高度为. 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用；解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $