第四章三角形专题课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第四章　三角形 专题　倍长中线法构造全等三角形 方法1　已知中线，直接倍长中线构造 例1　如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，已知AC＝7，AD＝4， 求AB的取值范围. 例1题图 方法分类练 解：如解图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，则 AE＝2AD＝8， 因为AD是△ABC的中线， 所以CD＝BD， 因为∠ADB＝∠EDC， 所以△ABD≌△ECD(SAS)， 所以AB＝EC， 在△ACE中，AE－AC＜EC＜AE＋AC，即8－7＜EC＜8＋7， 所以1＜EC＜15， 所以1＜AB＜15. 例1题解图 练1　如图，在△ABC中，D为BC边上一点，连接AD，已知AC＝ BD，∠CAD＝∠CDA，AE为△ACD的中线，试说明：AB＝2AE. 　练1题图 解：如解图，延长AE至点F，使EF＝AE，连接DF， 因为AE为△ACD的中线， 所以CE＝DE， 在△ACE和△FDE中， 所以△ACE≌△FDE(SAS)， 练1题解图 所以AC＝FD，∠CAE＝∠F， 所以AC∥DF， 所以∠ADF＋∠CAD＝180°， 因为∠CAD＝∠CDA，∠ADB＋∠CDA＝180°， 所以∠ADF＝∠ADB， 因为AC＝BD， 所以FD＝BD， 练1题解图 在△ADF和△ADB中， 所以△ADF≌△ADB(SAS)， 所以AF＝AB， 因为AF＝2AE， 所以AB＝2AE. 练1题解图 方法总结 方法1：当题目中出现中线时，可以直接倍长中线，构造全等三角形解决 问题. 条件：如图①，AD是BC边的中线. 辅助线作法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE. 结论：△ACD≌△EBD. 方法2　已知中点，间接倍长中线构造 例2　如图，在△ABC中，D是BC边的中点，连接AD，在AD上取一点 E，连接BE，若∠BED＝∠CAD＝45°，BE＝AC＝4，求四边形 AEBC的面积. 　例2题图 解：如解图，延长ED至点F，使DF＝DE，连接CF， 因为D是BC边的中点， 所以BD＝CD， 在△BDE和△CDF中， 所以△BDE≌△CDF(SAS)， 所以∠F＝∠BED＝45°，CF＝BE＝4，S△BDE＝S△CDF， 因为∠CAD＝45°， 所以∠ACF＝180°－∠CAD－∠F＝180°－45°－45°＝90°， 所以S四边形AEBC＝S△ACD＋S△BDE＝S△ACD＋S△CDF＝S△ACF ＝ AC·CF＝ ×4×4＝8. 例2题解图 练2　如图，在△ABC和△CDE中，点A在CE边上，AB＝DE，点B， C，D在同一条直线上，且BC＝CD. 试说明：∠BAC＝∠E. 　练2题图 解：如解图，延长EC至点F，使CF＝CE，连接BF，　 在△CDE和△CBF中， 所以△CDE≌△CBF(SAS)， 所以DE＝BF，∠E＝∠F， 因为AB＝DE， 所以AB＝BF， 所以∠BAC＝∠F， 所以∠BAC＝∠E. 练2题解图 方法总结 方法2：当题目中出现中点，可以倍长与中点的连线，构造全等三角形解 决问题. 条件：如图②，D是BC边上的中点. 辅助线作法：延长ED至点F，使DF＝DE，连接CF. 结论：△BDE≌△CDF. 针对训练 1.数学课上，李老师提出一个问题：如图①，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，试探究DE与BC之间的数量关系和位置关系.如图②是小华同学经过思考后，给出的一种添加辅助线的方法：延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，CD. 请你根据小华的方法，写出完整的解题过程. 　第1题图 解：因为E为AC的中点， 所以AE＝CE， 在△AED和△CEF中， 所以△AED≌△CEF(SAS)， 所以AD＝CF，∠ADE＝∠CFE， 所以AD∥CF，所以∠BDC＝∠FCD， 因为D为AB的中点， 所以AD＝DB，所以DB＝CF， 在△BDC和△FCD中， 所以△BDC≌△FCD(SAS)， 所以BC＝FD，∠BCD＝∠FDC， 所以BC∥DE， 因为FD＝2DE， 所以BC＝2DE. 2. 如图，在△ABO和△CDO中，∠AOB＝∠COD＝90°，AO＝OB， OC＝OD，连接AC，BD，E是BD的中点，连接OE. 　第2题图 (1)试说明：OE＝ AC； 解：(1)如解图，延长OE至点F，使EF＝OE，连接BF， 因为E是BD的中点， 所以BE＝DE， 在△BEF和△DEO中， 所以△BEF≌△DEO(SAS)， 第2题解图 第2题解图 所以BF＝DO＝OC，∠FBE＝∠ODE， 所以BF∥OD， 所以∠OBF＝180°－∠BOD， 因为∠AOC＝360°－∠AOB－∠COD－∠BOD＝180°－∠BOD，　 所以∠OBF＝∠AOC， 第2题解图 在△OBF和△AOC中， 所以△OBF≌△AOC(SAS)， 所以OF＝AC， 因为OE＝ OF， 所以OE＝ AC； 第2题解图 ∠AOB＝∠COD＝90°，AO＝OB，OC＝OD，连接AC，BD，E是 BD的中点，连接OE. (2)若S△AOC＝3，AO＝2OC＝4，求四边形ABDC的面积. 解：(2)如解图，由(1)得，△OBF≌△AOC， △BEF≌△DEO，　 所以S△OBF＝S△AOC，S△BEF＝S△DEO， 因为S△OBD＝S△OBE＋S△DEO，S△AOC＝3， 所以S△OBD＝S△OBE＋S△BEF＝S△OBF＝S△AOC＝3， 因为AO＝2OC＝4，AO＝OB，∠AOB＝∠COD＝90°， 第2题解图 所以OC＝OD＝2， 所以S△AOB＝ ×4×4＝8，S△COD＝ ×2×2＝2， 所以S四边形ABDC＝S△AOB＋S△AOC＋S△COD＋S△OBD＝8＋3＋2＋3＝16. $ 第四章　三角形 专题　手拉手问题 一、母题探究练 母题　(教材习题改编)如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝ AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，BD与CE相等吗？请说明理 由. 　母题题图 解：相等，理由如下： 因为∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAE＝∠CAE＋∠DAC，∠BAC ＝∠DAE， 所以∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， 所以△ABD≌△ACE(SAS)， 所以BD＝CE. 探究1　等边三角形有一组线段共线 如图，C是线段BE上一点，在线段BE同侧作等边△ABC与等边 △DCE，连接AE，连接BD交AC于点F，交AE于点H. 求∠DHE的度 数. 　探究1题图 解：因为△ABC和△DCE都是等边三角形， 所以AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， 所以∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中， 所以△BCD≌△ACE(SAS)， 所以∠DBC＝∠EAC， 因为∠AFH＝∠BFC， 所以∠AHB＝∠ACB＝60°， 所以∠DHE＝∠AHB＝60°. 探究2　等腰直角三角形中45°角落在底边上 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且 不与点B，C重合，连接AD，以AD为腰向右作等腰直角三角形ADE， AD＝AE，连接CE. 请判断线段CE与BC的位置关系，并说明理由. 　探究2题图 解：CE⊥BC，理由如下： 因为△ADE是等腰直角三角形，AD＝AE， 所以∠DAE＝90°， 因为∠BAD＝∠BAC－∠DAC，∠CAE＝∠DAE－∠DAC，∠BAC ＝∠DAE＝90°， 所以∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， 所以△ABD≌△ACE(SAS)， 所以∠ABD＝∠ACE， 因为∠ABD＋∠ACB＝90°， 所以∠BCE＝∠ACE＋∠ACB＝∠ABD＋∠ACB＝90°， 即CE⊥BC. 方法总结 (1)满足手拉手的条件 ①两组等腰，共顶点，即AB＝AC，AD＝AE，顶点A重合； ②旋转全等，即△ABD旋转可得△ACE，△ABD≌△ACE. (2)常见图形及结论 ①等边三角形 结论：(ⅰ)△ABD≌△ACE； (ⅱ)BD＝CE； (ⅲ)BD与CE的夹角∠BFC＝60°. ②等腰直角三角形 结论：(ⅰ)△ABD≌△ACE； (ⅱ)BD＝CE； (ⅲ)BD⊥CE，即∠BFC＝90°. 二、针对训练 1. 如图，在等腰△ABE中，AB＝AE，D为线段AE右侧一点，连接 AD，BD，DE，C是BD上一点，连接AC，AC＝AD. 若∠BAE＝ ∠CAD，∠1＋∠2＋∠3＝106°，则∠3的度数为 ⁠. 第1题图 53° 2. 如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝90°，请完成下列问题. (1)如图①，若OC与OB重合，连接AC，∠BAC＝20°，求∠ACD的 度数； 解：(1)由题可知，△AOB和△COD是等腰直角三角形， 所以∠BAO＝45°，∠OCD＝45°， 因为∠BAC＝20°， 所以∠CAO＝∠BAO－∠BAC＝25°， 因为∠AOC＝90°， 所以∠ACO＝90°－∠CAO＝65°， 所以∠ACD＝∠ACO＋∠OCD＝65°＋45°＝110°； 第2题图 在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝ ∠COD＝90°，请完成下列问题. (2)如图②，若OC在△AOB的内部，连接AC，BD，试探究AC与BD之 间的数量关系和位置关系，并说明理由. 解：(2)AC＝BD且AC⊥BD，理由如下： 如解图，延长AC交BD于点G， 因为∠AOB＝∠COD＝90°， 所以∠AOB－∠BOC＝∠COD－∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD. 第2题解图 第2题解图 在△AOC和△BOD中， 所以△AOC≌△BOD(SAS)， 所以AC＝BD，∠OAC＝∠OBD， 所以∠BAG＋∠ABG＝∠BAG＋∠ABO＋∠OBD＝∠BAG＋∠ABO ＋∠OAC， 因为∠BAO＝∠BAG＋∠OAC，∠BAO＋∠ABO＝90°， 所以∠BAG＋∠ABO＋∠OAC＝90°， 所以∠BAG＋∠ABG＝90°， 所以∠AGB＝90°，即AG⊥BD， 综上所述，AC＝BD且AC⊥BD. 3. 在学习全等三角形的知识时，某数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点的等边三角形构成.在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.该兴趣小组对等边△ABC和等边△ADE进行了如下操作： 【观察猜想】(1)如图①，点D在BC边上，且不与点B，C重合，连接 CE，试判断AB与CE的位置关系，并说明理由； 第3题图 解：(1)AB∥CE，理由如下： 因为△ABC，△ADE都是等边三角形， 所以AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°， 因为∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAE＝∠CAE＋∠DAC，　 所以∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， 所以△BAD≌△CAE(SAS)， 所以∠ACE＝∠B＝60°， 所以∠BAC＝∠ACE＝60°， 所以AB∥CE； 【类比探究】(2)如图②，连接CE，BD，BE，若∠AEC＝150°，试说 明：BD⊥DE； 解：(2)因为△ABC和△ADE都是等边三角形， 所以∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC，AD＝AE， 因为∠DAE－∠BAE＝∠BAC－∠BAE， 所以∠DAB＝∠EAC. 在△ABD和△ACE中， 所以△ABD≌△ACE(SAS)， 所以∠ADB＝∠AEC＝150°， 所以∠BDE＝∠ADB－∠ADE＝150°－60°＝90°， 所以BD⊥DE； 【问题解决】(3)如图③，连接BD，CE，且点B，D，E在同一条直线 上，当△BCE是直角三角形时，求∠ABE的度数. 解：(3)分情况讨论： ⅰ.如题图，当∠BCE＝90°时， 因为△ABC是等边三角形， 所以∠ACB＝60°，所以∠ACE＝30°， 易证△ABD≌△ACE， 所以∠ABE＝∠ACE＝30°； ⅱ.如解图，当∠EBC＝90°时. 因为△ABC是等边三角形， 所以∠ABC＝60°，所以∠ABE＝30°； ⅲ.当∠BEC是直角时，不存在. 综上所述，∠ABE的度数为30°. 第3题解图 $ 第四章　三角形 专题　一线三等角问题 一　认识一线三等角 类型1　直角型 1. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，过点C作CD⊥AC，且使CD＝ AC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E. △CED和△ABC全等 吗？请说明理由. 第1题图 解：全等，理由如下： 因为∠B＝90°， 所以∠A＋∠ACB＝90°. 因为CD⊥AC， 所以∠ACB＋∠DCE＝90°， 所以∠DCE＝∠A. 因为DE⊥BC， 所以∠E＝∠B＝90°. 在△CED和△ABC中， 所以△CED≌△ABC(AAS). 类型2　锐角型 2. 如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD， DE，且AD＝DE，若∠B＝∠C＝∠ADE，试说明：AB＝DC. 第2题图 解：因为∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，∠BDA＋∠ADE＋∠CDE ＝180°，∠B＝∠ADE， 所以∠BAD＝∠CDE， 在△ABD和△DCE中， 所以△ABD≌△DCE(AAS)， 所以AB＝DC. 类型3　钝角型 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且 ∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试说明：DE＝BD＋CE. 第3题图 解：因为∠DBA＋∠BAD＋∠BDA＝180°，∠BAD＋∠BAC＋ ∠EAC＝180°，∠BDA＝∠BAC， 所以∠DBA＝∠EAC， 在△ADB和△CEA中， 所以△ADB≌△CEA(AAS)， 所以BD＝AE，AD＝CE， 所以DE＝AE＋AD＝BD＋CE. 方法总结 【认识一线三等角】 三个相等的角的顶点在同一条直线上，其中两个角的一边与该直线重 合，称为一线三等角. 【常见的一线三等角】 1. 直角： 2. 锐角： 3. 钝角： 基本结论： (1)△NMS≌△QSP； (2)当两个三角形在直线异侧时，NQ＝PQ－MN； 当两个三角形在直线同侧时，NQ＝PQ＋MN. 解题步骤： 1. 找等角：同一条直线上存在三个相等的角，如图中的∠1＝∠2＝∠3. 2. 倒角相等：根据平角及内角和定理进行等角代换，得出另一组相 等的角. 3. 证全等：利用“ASA”或“AAS”判定三角形全等，得到 △NMS≌△QSP. 二　应用一线三等角 1. 如图，李伯伯在两边靠墙的空地处规划出一个四边形AOBC菜地种植 不同的菜，其中△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝∠O＝90°，若 OB＝2米，则点C距离围墙OB的距离是 米. 第1题图 2 2. 如图，在△ABC中，CB＝AC，F为AB边上一点，连接CF，D，E 在线段CF上，连接AD，BE. 已知∠BCA＝∠BEF＝∠ADF，试判断 线段BE，AD，ED之间的数量关系，并说明理由. 第2题图 解：AD＝BE＋ED，理由如下： 因为∠BEF＝180°－∠BEC，∠BCE＋∠EBC＝180°－∠BEC， 所以∠BEF＝∠BCE＋∠EBC， 又因为∠BCA＝∠BCE＋∠DCA，∠BEF＝∠BCA， 所以∠DCA＝∠EBC. 因为∠BEF＝∠ADF， 所以∠BEC＝∠CDA. 在△CEB和△ADC中， 所以△CEB≌△ADC(AAS)， 所以BE＝CD，CE＝AD， 因为CE＝CD＋ED， 所以AD＝BE＋ED. 3.【初步探究】(1)如图①，点B，A，C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC，且∠DAE＝90°，AD＝AE，则BC，BD，CE之间的数量关系为 ⁠； 第3题图 BC＝BD＋CE 【解法提示】如解图①，因为DB⊥BC，EC⊥BC，所以∠B＝∠C＝90°，所以∠D＋∠1＝90°，又因为∠1＋∠2＝90°，所以∠D＝∠2，又因为AD＝EA，所以△ABD≌△ECA(AAS)，所以DB＝AC，BA＝CE，所以BC＝BA＋AC＝CE＋DB，即BC＝BD＋CE. 第3题解图① 第3题解图① 【深入探究】(2)如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD， AC⊥DC，过点B作BE⊥CA于点E，若CD＝2，CE＝6，求BE的长； 解：(2)因为AB⊥AD，AC⊥DC，BE⊥CA， 所以∠ACD＝∠BEA＝∠DAB＝90°， 所以∠D＋∠DAC＝90°，∠DAC＋∠EAB＝90°， 所以∠D＝∠EAB， 因为AD＝BA， 所以△ADC≌△BAE(AAS)， 所以BE＝AC，AE＝DC＝2， 因为CE＝6， 所以BE＝AC＝AE＋CE＝2＋6＝8； 【综合应用】(3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，CB＝6，S△ABC＝ 15，以AC为直角边向右侧作一个等腰直角三角形ACD，连接BD，请直 接写出△BCD的面积. 解：(3)△BCD的面积为9或24. 【解法提示】如解图，过点A作AN⊥BC于点N，易证 △ABN≌△ACN，所以BN＝CN＝3，因为S△ABC＝ BC·AN＝15，所 以AN＝5.分情况讨论：ⅰ.如解图②，当∠ACD＝90°时，过点D作 DF⊥BC，交BC的延长线于点F，易证△ANC≌△CFD，所以DF＝ CN＝3，所以S△BCD＝ BC·DF＝ ×6×3＝9； 第3题解图 ⅱ.如解图③，当∠CAD＝90°时，过点D分别作AN，BC的垂线，垂足分别为点G，F，则四边形DFNG为长方形，所以DF＝GN，易证△AGD≌△CNA，所以AG＝CN＝3，所以DF＝GN＝AG＋AN＝3＋5＝8，所以S△BCD＝ BC·DF＝ ×6×8＝24.综上所述，△BCD的面积为9 或24. 第3题解图 $ 第四章　三角形 专题　三角形的高线、角平分线的运用 类型1　等面积法在三角形高线中的应用 1. 如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝6，则△ABC的高AD与BE的比 是(　B　) A. B. C. D. 第1题图 B 2. 如图，在Rt△ABC和Rt△ADC中，∠B＝∠D＝90°，AD交BC于点 E. 已知AE＝5，CE＝3，CD＝ ，求AB的长. 第2题图 解：(关键点：抽离出△AEC，AB是其CE边上的高，CD是其AE边上的 高，根据等面积计算求解) 因为∠B＝∠D＝90°， 所以S△AEC＝ CE·AB＝ AE·CD. 因为AE＝5，CE＝3，CD＝ ， 所以 ×3AB＝ ×5× ，解得AB＝4， 所以AB的长为4. 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，DE⊥AB于点 E，DF⊥AC于点F，BG⊥AC于点G. 试说明：DE＋DF＝BG. 第3题图 解：如解图，连接AD， 则S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， 即 AC·BG＝ AB·DE＋ AC·DF. 因为AB＝AC， 所以DE＋DF＝BG. 第3题解图 类型2　双角平分线问题 4. 如图，∠A＝60°，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BOC 的度数为(　B　) A. 60° B. 120° C. 130° D. 150° 第4题图 B 5. (1)如图①，已知△ABC的两条角平分线AE和BD交于点O，试说明： ∠AOB＝90°＋ ∠C； 　　　　　　　　第5题图 解：(1)由题意得，∠CAB＋∠ABC＝180°－∠C， 因为AE平分∠CAB，BD平分∠ABC， 所以∠OAB＝ ∠CAB，∠OBA＝ ∠ABC， 所以∠OAB＋∠OBA＝ (∠CAB＋∠ABC). 因为∠AOB＝180°－(∠OAB＋∠OBA)，∠CAB＋∠ABC＝180°－ ∠C， 所以∠AOB＝180°－ (180°－∠C)＝90°＋ ∠C； 已知△ABC的两条角平分线AE和BD交于点O，试说明：∠AOB＝90° ＋ ∠C； (2)如图②，已知BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的三等分线(即∠OBC ＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB)，求∠A与∠BOC之间的数量关系. 解：(2)因为BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的三等分线(即∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB)， 所以∠ABC＋∠ACB＝3(∠OBC＋∠OCB). 在△BOC中，∠OBC＋∠OCB＝180°－∠BOC， 在△ABC中，∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－3(180°－ ∠BOC)＝3∠BOC－360°， 所以∠A与∠BOC之间的数量关系为∠A＝3∠BOC－360°. 类型3　角平分线与高线结合问题 6. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC交BD于点 E. 若∠B＝50°，∠ACB＝110°，则∠DAE的度数为 ⁠. 第6题图 30° 7. 如图，在△ABC中，AN平分∠BAC交BC于点N，M是AN延长线上 一点，MO⊥BC于点O. 若∠M＝30°，∠C＝35°，求∠B的度数. 第7题图 解：因为MO⊥BC，∠M＝30°， 所以∠ANB＝∠MNO＝90°－30°＝60°， 所以∠CNA＝180°－∠ANB＝180°－60°＝120°， 因为∠C＝35°， 所以∠CAN＝180°－∠C－∠CNA＝180°－35°－120°＝25°，　 因为AN平分∠BAC， 所以∠CAN＝∠BAN＝25°，即∠BAC＝50°， 所以∠B＝180°－∠C－∠BAC＝180°－35°－50°＝95°. 8. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AE平分∠BAC交 BC于点E，BD与AE相交于点G，AF⊥BC于点F. 若∠BAC＝ ∠ACB＝50°，求∠FAE与∠DGE的度数. 第8题图 解：因为AF⊥BC，所以∠AFC＝90°. 因为∠ACB＝50°， 所以∠FAC＝90°－∠ACB＝90°－50°＝40°. 因为AE平分∠BAC，∠BAC＝50°， 所以∠CAE＝∠BAE＝ ∠BAC＝ ×50°＝25°， 所以∠FAE＝∠FAC－∠CAE＝40°－25°＝15°. 因为∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝180°－50°－50°＝80°， BD平分∠ABC， 所以∠ABD＝ ∠ABC＝ ×80°＝40°， 所以∠BGA＝180°－∠ABD－∠BAE＝180°－40°－25°＝115°， 所以∠DGE＝∠BGA＝115°. 9. 在△ABC中，AB≠AC，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线.若 ∠B＝65°，∠DAE＝10°，求∠C的度数. 解：由题意得，可分两种情况讨论： ⅰ.如解图①，当AD在AE的左侧时，∠DAE＝∠BAE－∠BAD. 因为AE平分∠BAC，AD⊥BC， 所以∠BAE＝ ∠BAC＝ (180°－∠B－∠C)， ∠BAD＝90°－∠B， 所以∠DAE＝ (180°－∠B－∠C)－(90°－∠B)＝ (∠B－∠C)， 所以∠C＝∠B－2∠DAE＝65°－2×10°＝45°； 第9题解图 ⅱ.如解图②，当AD在AE的右侧时，∠DAE＝∠BAD－∠BAE. 因为AE平分∠BAC，AD⊥BC， 所以∠BAE＝ ∠BAC＝ (180°－∠B－∠C)，∠BAD＝90°－ ∠B， 所以∠DAE＝90°－∠B－ (180°－∠B－∠C)＝ (∠C－∠B)， 所以∠C＝∠B＋2∠DAE＝65°＋2×10°＝85°. 综上所述，∠C的度数为45°或85°. 第9题解图 10. 在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC交BC于点E，P是AE上 一点，PD⊥BC于点D. 　　　　　第10题图 (1)如图①，当点P在线段AE上时，请写出∠BAC，∠B，∠DPE之间 的数量关系，并说明理由； 解：(1)∠DPE＝90°－∠B－ ∠BAC. 理由如下： 如解图①，过点A作AF⊥BC于点F. 因为PD⊥BC，所以PD∥AF， 所以∠DPE＝∠FAE. 因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝ ∠BAC. 因为AF⊥BC，所以∠BAF＝90°－∠B， 所以∠FAE＝∠BAF－∠BAE＝90°－∠B－ ∠BAC， 所以∠DPE＝90°－∠B－ ∠BAC； 第10题解图 ∠C＞∠B，AE平分∠BAC交BC于点E，P是AE上一点，PD⊥BC于 点D. (2)如图②，当点P在EA的延长线上时，若∠BAC＝80°，∠B＝26°， 求∠P的度数. 解：(2)如解图②，过点A作AF⊥BC于点F. 因为PD⊥BC，所以PD∥AF， 所以∠P＝∠FAE. 同(1)可知，∠P＝90°－∠B－ ∠BAC＝90°－26°－ ×80°＝ 24°. 第10题解图 $