精品解析：吉林省吉林市外五县各高中2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：选择性必修第一册、选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. 120° C. 150° D. 60° 2. 在等差数列中，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知空间向量与共线，则（ ） A. 0 B. 6 C. -4 D. 4 4. 以为圆心，且过点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在长方体中，（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆E：的上、下顶点与左、右焦点分别为A，B，，，且四边形是正方形，则E的离心率为（ ） A B. C. D. 7. 已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时，的值等于（ ） A 9 B. 10 C. 8 D. 1 8. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列2,0,2,0,…的一个可能的通项公式是（ ） A. B. C. D. 10. 过点且与抛物线恰有一个公共点的直线方程可能为（ ） A B. C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，点P是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点P，使得 C. 的周长的最小值为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，，公比.若，则的值为_____. 13. 已知向量，，，若，，共面，则x等于______． 14. 若，是椭圆：的两个焦点，点，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知抛物线过点. （1）求抛物线的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于A，B两点，求线段的长度. 16. 已知点，，线段是圆的直径. （1）求圆的标准方程； （2）若过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，是等边三角形，且平面平面，点为棱的中点. （1）求证：； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. （1）求和的通项公式； （2）将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 19. 若椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点，若直线经过点且交椭圆于两点，交直线于点，直线的斜率分别为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线关于直线对称，求； （3）探究数量关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：选择性必修第一册、选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. 120° C. 150° D. 60° 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，根据斜率求倾斜角. 【详解】直线可化为， 所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，因为， 所以， 故选：D. 2. 在等差数列中，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的等差中项求得结果. 【详解】在等差数列中，，解得. 故选：C. 3. 已知空间向量与共线，则（ ） A. 0 B. 6 C. -4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量共线坐标表示列方程求解的值，即可得的值. 【详解】因为空间向量与共线，显然， 所以，解得，，所以. 故选:A. 4. 以为圆心，且过点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆心及圆上一点求出半径，再利用圆的标准方程即可求解. 【详解】，所以圆的半径，又以为圆心， 所以圆的标准方程为：. 故选：C 5. 如图，在长方体中，（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为基底，由空间向量的线性运算结合长方体的结构特征进行运算. 【详解】在长方体中，以为基底， 则， 所以. 故选：A. 6. 已知椭圆E：的上、下顶点与左、右焦点分别为A，B，，，且四边形是正方形，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】数形结合得到，结合，求出离心率即可. 【详解】由题意得，故， 又， 则E的离心率为. 故选：B 7. 已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时，的值等于（ ） A. 9 B. 10 C. 8 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得到项的正负，即可得答案； 【详解】令，解得或，所以当或时，， 即当时，，故当时递增，且， 当时，，故当时递减， 当时，，故当时递增， 又，故, 所以取得最小值时的值为9. 故选：A. 8. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，利用勾股定理，结合椭圆、双曲线的定义建立方程组，由半焦距表示出即可求出渐近线方程. 【详解】令线段的垂直平分线与的交点为，显然是的中点，而是的中点， 则，而，因此，， 则，令与的半焦距为， 由，得，于是，解得，则， ，所以的渐近线方程为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列2,0,2,0,…的一个可能的通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】A选项，前4项为：2,0,2,0，A选项符合； B选项，前4项为：2,0,2,0，B选项符合； C选项，前4项为：0,0,0,0，C选项不符合； D选项，前4项为：0,2,0,2，D选项不符合； 故选：AB. 10. 过点且与抛物线恰有一个公共点的直线方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，显然直线符合要求，然后分直线斜率存在与不存在讨论，即可得到结果. 【详解】显然直线与抛物线恰有一个公共点，故A正确； 当直线的斜率不存在时，过点的直线方程为，符合题意，故B正确； 当直线的斜率存在且不为0时，设过点的直线方程为， 由得，所以，解得， 所以直线方程为，即，故C正确. 故选：ABC. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，点P是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点P，使得 C. 的周长的最小值为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】证明平面，结合锥体体积公式判断A；利用直线与圆的位置关系判断B；利用对称求出最小值判断C；利用线面角的定义求解判断D. 【详解】对于A，在正方体中，连接，则，又， 则，而平面，平面，因此平面，又直线， 则点P到平面的距离为定值，面积为定值，因此为定值，A正确； 对于B，在矩形中，，则与以为直径的圆相离， 点在此圆外，因此，B错误； 对于C，，在等腰梯形中，作点F关于的对称点， 连接交于点P，此时取得最小值长，， ，，因此的周长的最小值为，C正确； 对于D，连接，由平面，得是直线与平面所成的角， 则，而正的边长为，因此的最小值为的高， 即，因此，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，，公比.若，则的值为_____. 【答案】6 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式求解. 【详解】因为且，，所以，所以. 故答案为：6. 13. 已知向量，，，若，，共面，则x等于______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理求解作答. 【详解】向量，，，因，，共面，则存在实数使得， 于是得，因此，解得， 所以. 故答案为：1 14. 若，是椭圆：的两个焦点，点，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据椭圆对称性及矩形的性质知四边形为矩形，进而有，再根据椭圆定义、勾股定理求即可. 【详解】由已知及对称性得：四边形为矩形，即， 所以， 由椭圆定义与勾股定理知：，可得． 所以四边形的面积为8. 故答案为：8 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知抛物线过点. （1）求抛物线的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线的焦点作斜率为1的直线，交抛物线于A，B两点，求线段的长度. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线方程和准线方程； （2）在第一问基础上求出直线，与抛物线联立后，得到两根之和，由焦点弦长公式求出答案. 【小问1详解】 过点，，解得， 抛物线，准线方程为； 【小问2详解】 由（1）知，抛物线焦点为， 设直线，，， 由得，则， 则 16. 已知点，，线段是圆的直径. （1）求圆的标准方程； （2）若过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出圆心坐标和半径得解； （2）设直线的方程，求出直线在轴，轴上的截距，根据直线在轴，轴上的截距相等，求得答案. 【小问1详解】 线段是圆的直径，，， 的坐标为，即， 圆的半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 令，解得，令，解得， 又过圆心直线在轴，轴上的截距相等，所以， 解得或， 所以直线的方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，是等边三角形，且平面平面，点为棱中点. （1）求证：； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）取中点，证明，证明平面，由此得，从而再证得平面，最后得证结论成立； （2）以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，确定各点坐标，分别求出平面与平面的一个法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值． 【小问1详解】 如图，取中点，连接，， 因为是中点，所以， 是菱形，则，所以， 又是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以； 【小问2详解】 ，则和都是等边三角形， 连接，则，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 设，则，， 因此有，，，，， 是中点，则， ，，，， 设平面的一个法向量是，则 ，取得， 易知平面的一个法向量是，则 ，取，则， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. （1）求和的通项公式； （2）将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推式采用两式相减的方法可得，再结合等比数列定义即可得的通项公式，由点在函数的图象上，可得，结合等差数列定义可得的通项公式； （2）由题意可得，结合等比数列与等差数列求和公式分组计算即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以当时，， 所以， 所以，所以，又，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， 因为点在函数的图象上，所以，即， 又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以； 【小问2详解】 因为是所有的正偶数，又，所以，所以 . 19. 若椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点，若直线经过点且交椭圆于两点，交直线于点，直线的斜率分别为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线关于直线对称，求； （3）探究的数量关系. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标，可得c值，根据椭圆定义，结合两点间距离公式，可得a值，根据a，b，c的关系，可得，即可得答案. （2）因为直线关于直线对称，所以，设直线的方程为：，与椭圆联立，根据韦达定理，表达式，根据，化简整理，可得k值，进而可得直线l方程，与联立，可得M点坐标，即可得答案. （3）若直线的斜率时，直线的方程为，可得各点坐标，根据斜率值，可猜想，再进行证明，分别求得和表达式，分析即可得证. 【小问1详解】 由题意可知，， ，即， 所以，所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 直线的方程为：， 因直线关于直线对称，所以， 由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为：， 联立方程组：，得：， 设，则， 因为 即， 整理得：， 所以，即，解得， 所以直线的方程为：， 当时，，则， 所以； 【小问3详解】 若直线的斜率时，直线的方程为，所以， 此时，再结合（2），猜想， 证明如下： 直线，所以，则，即， 由（2）知： ， 所以成立， 综上， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $