4.3.1 平面向量的直角坐标及其运算（教学课件）--北师大版《数学 拓展模块一上册》《上好课》

4.3.1 平面向量的直角 坐标及其运算 第四章 平面向量 北师大版 拓展模块一 上册 学习目标 1.掌握向量坐标与点坐标的对应关系，能根据向量的几何表示，正确写出其直角坐标； 2.会运用坐标运算规则，计算向量的加减、数乘结果； 3.在从几何形式向坐标形式转化的向量运算过程中，深化数学抽象与数学运算的核心素养，增强对向量 “数形结合” 特点的学习兴趣。 目 录 教学引入 01 新知讲授 02 学以致用 03 课堂练习 04 课堂小结 05 4.3.1 平面向量的直角坐标及其运算 教学引入 教学引入 同学们，在学习本节课的新知识前，请观察以下动画的形成过程： 思考： 请结合之前所学习的知识点，回答由指向所形成的线段称为什么？ 教学引入 分析： 动画中展示的是有向线段的形成过程。我们知道，在几何上，向量可以用有向线段表示，而有向线段是具有起点和终点的。 那么，在平面直角坐标系内，每一个向量是否也可以像平面内的任意点那样，与有序实数对建立对应关系呢？ 起点 终点 教学引入 分析： 如图，在平面直角坐标系中，分别在轴和轴上取单位向量，，使其起点均为原点，方向分别与轴、轴的正向相同。 分析： 为以原点为起点的向量，点的坐标为，则，,由向量加法的三角形法则，可知 . 教学引入 新知讲授 4.3.1 平面向量的直角坐标及其运算 新知讲授 如图，在平面直角坐标系中，分别在轴和轴上取单位向量 ，使其起点均为原点，方向分别与轴、轴的正向相同. 设是平面直角坐标系中的任意一个向量，我们以原点为起点，作向量 ，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为点，． 1.平面向量的直角坐标 新知讲授 显然向量 与共线，向量 与共线，则存在唯一的一个实数，使得 ；存在唯一的一个实数，使得．而，由向量加法的三角形法则，可知 =,即 ① 新知讲授 式①中的叫作平面直角坐标系的基本单位向量，式①叫作向量关于基本单位向量的分解式. 式①中的是唯一确定的，所以我们把有序实数对叫作向量的坐标，记作． ① 新知讲授 其中叫作向量的横坐标,叫作向量的纵坐标．显然: ． 由以上定义可知：向量 的坐标数值就是点的坐标． 在平面直角坐标系中，以原点为起点，作向量 ，则点的位置由向量唯一确定，设 ，则向量 的坐标就是点的坐标．反过来，点的坐标就是向量的坐标． 因此，平面内任何一个向量都可以用一有序实数对唯一表示． 新知讲授 对比辨析 请同学们思考： 点坐标与向量坐标都是坐标，那两者是否有什么区别？ （1）写法上，点坐标没有“=”，如点；向量坐标有“=”，如。 (1)写法上： 点坐标没有“=”，如点；向量坐标有“=”，如 。 对比辨析 (2)理解上: 点坐标可以理解为一个静态的概念，如点可以理解为一个物体静止在平面直角坐标系的位置； 而 可以理解为一个物体从点出发，按照先横后纵的规则运动到点的运动轨迹，即从点出发先沿轴正方向运动1个单位长度(向量的横坐标为1)，再沿轴正方向运动2个单位长度(向量的纵坐标为2)，到达点。 案例分析 新知讲授 在平面直角坐标系中，设，，则 ． 所以． 1.平面向量的运算法则 类似可以得到． 这就是说，两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 又设，为一实数，则，即． 新知讲授 1.平面向量的运算法则 这就是说，实数与向量乘积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应的坐标． 案例分析 案例分析 案例分析 案例分析 案例分析 小提示： 如图，一般地，在平面直角坐标系中，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 新知速记 1.平面向量的直角坐标如何表示？ (叫作向量的横坐标,叫作向量的纵坐标). 2.平面向量的运算法则？ 学以致用 4.3.1 平面向量的直角坐标及其运算 学以致用 学以致用 知识回顾 1. 平面向量的直角坐标如何表示？ 2. 点坐标与向量坐标有什么区别？ 3. 平面向量的运算法则是什么？ 同学们，我们完成了平面向量的直角坐标及其运算，接下来咱们一起快速回顾一下刚学的内容，大家可以踊跃举手回答： 师生交流 拓展思考互动 同学们，咱们刚学完平面向量的直角坐标及其运算，生活里很多“定位、规划路线”的场景，都得靠这招把“方向+大小”转化成具体的坐标来计算！ 咱们来思考个问题： 生活里为什么没法直接用‘东+北’这种模糊描述来算实际位置？ 答案： 描述实际位置得用坐标把方向和距离变成数字，才能算准确”“东对应x轴、北对应y轴，这样数值能算清楚”。 课堂练习 4.3.1 平面向量的直角坐标及其运算 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂练习 课堂小结 4.3.1 平面向量的直角坐标及其运算 课堂小结 向量关于基本单位向量的分解式： 向量的坐标 作业布置 (1)整理本节课的知识点； (2)完成课后练习； (3)回顾课堂知识点并查缺补漏。 【解析】 ；；； ； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】如图，用基本单位向量，表示向量，，，，，并写出它们的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】设，，求下列向量的坐标. （1）； （2）； （3）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）. （2）. （3）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 如图，作向量. 则有，，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】在平面直角坐标系中，已知两点，，求向量的坐标. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 解法一根据向量加法. . 解法二根据向量减法. . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 解法一:设点的坐标为，则， 所以，即点的坐标为. 解法二:设点的坐标为，， 所以.所以解得 即点的坐标为。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题】已知向量，若，点的坐标为，求点的坐标. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知点，，，求： (1)向量、、的坐标； (2)向量用和表示. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 （1）点，，，则， ，. （2）由平面向量的加法法则可知，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习】已知向量，，．求满足的实数的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为向量，，， 由得，即 则，解得. 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习1】已知向量，，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 ， 故选：C． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习2】已知向量，，且，则的值分别为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 已知向量，， 则， 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习3】在中，点是的中点，若，则（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为点是的中点，所以.所以. 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习4】若，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 设点的坐标为，则， 即，解得，． 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习5】已知点，则（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 因为点， ． 故选：D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【练习6】已知点，若，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【解析】 设，因为，所以，又因为，所以，即，解得，所以点的坐标为. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $