24.2.2　直线和圆的位置关系 第3课时 课件2025-2026学年人教版数学九年级上册

24.2　点和圆、直线和圆的位置关系 单击此处编辑母版文本样式 24.2.2　直线和圆的位置关系 第3课时　切线长定理 单击此处编辑母版文本样式 1.知道切线长的概念,三角形的内切圆、内心的概念. 2.探索切线长定理,并会利用切线长定理解决问题. 3.会画出三角形的内切圆,会利用三角形内心的性质解题. ◎重点:切线长定理及其应用;三角形的内心及其性质. ◎难点:切线长定理的综合应用. 学习目标 单击此处编辑母版文本样式 用一双筷子夹起一个乒乓球,由筷子和乒乓球抽象出几何图形,指出这与本节课所学习的知识有关,引入课题. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 切线长的概念    认真阅读课本本课时第一自然段,理解“切线长”的概念,并解决下面的问题. 切线和切线长有什么不同? 答:切线是直线,不可度量;切线长是指线段的长度. 单击此处编辑母版文本样式 切线长定理*     认真阅读课本本课时“探究”及其下面的证明过程,按照其中的活动要求操作,解决下面的问题. (1)回答“探究”中提出的问题. 答:PA=PB,∠APO=∠BPO. 单击此处编辑母版文本样式 (2)说一说在证明“切线长定理”时,主要用到了哪些定理? 答:切线的性质定理——连半径,得垂直;用“HL”证明直角三角形全等;全等三角形的对应边相等、对应角相等. 单击此处编辑母版文本样式 归纳总结　从圆外一点可以引圆的　　条切线,它们的切线长　 　,这一点和圆心的连线　 　两条切线的夹角.  温馨提示　切线长定理的几何语言:∵PA,PB切☉O于点A,B,∴PA=PB,∠APO=∠BPO. 两 相等 平分 单击此处编辑母版文本样式 切线长定理的应用 1.如图,PA,PB是☉O的两条切线,切点为A,B,BC为☉O的直径,连接AB,AC,OP. 求证:(1)∠APB=2∠ABC. (2)AC∥OP. 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 证明:(1)∵PA,PB是☉O的两条切线, ∴∠APO=∠BPO=∠APB,PA=PB, ∴PO⊥AB, ∴∠ABP+∠BPO=90°. ∵PB是☉O的切线,∴OB⊥PB,∴∠ABP+∠ABC=90°, ∴∠ABC=∠BPO=∠APB,即∠APB=2∠ABC. 单击此处编辑母版文本样式 (2)∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=90°,即AC⊥AB. 由(1)可知PO⊥AB,∴AC∥OP. 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 1.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,∠OAB=38°,则∠P=　 　 °.  76 单击此处编辑母版文本样式 2.如图,边长为1的正方形ABCD的边AB是☉O的直径,CF是☉O的切线,E为切点,点F在AD上,BE是☉O的弦,求△CDF的面积. 单击此处编辑母版文本样式 解:设AF=x. ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠DAB=90°,∴DA⊥AB,∴AD是☉O的切线. ∵CF是☉O的切线,E为切点,∴EF=AF=x,∴FD=1-x. ∵CB⊥AB, ∴CB 为☉O 的切线, ∴CB=CE, ∴CF=CE+EF=CB+EF=1+x. 单击此处编辑母版文本样式 在Rt△CDF中,由勾股定理得到CF2=CD2+DF2, 即(1+x)2=1+(1-x)2, 解得x=, ∴DF=1-x=, ∴S△CDF=×1×=. 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　切线长定理包括　 　相等和　 　相等两个结论.当连接切线长定理中的两个切点时,可得等腰三角形、垂径定理等,所以利用切线长定理可以证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系等.  线段 角 单击此处编辑母版文本样式 直角三角形内切圆半径的求法 2.如图,直角三角形的直角边为a、b,斜边为c,内切圆的半径为r,与三边分别切于点D,E,F,请用直角三角形的三边长a,b,c表示内切圆半径r. 单击此处编辑母版文本样式 解:如图,连接OD、OE.∵☉O是△ABC的内切圆,∴OD⊥BC,OE⊥AC. ∵∠C=90°且CD=CE,∴四边形ODCE是正方形,∴CD=CE=r, ∴BD=BC-CD=a-r,AE=AC-CE=b-r. 由切线长定理可得BF=BD=a-r,AF=AE=b-r, ∴(a-r)+(b-r)=c,整理得r=. 单击此处编辑母版文本样式 变式演练　 1.△ABC的内切圆☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=18 cm,BC=28 cm,CA=26 cm,求AF,BD,CE的长. 单击此处编辑母版文本样式 解:根据切线长定理,得 AE=AF,BF=BD,CE=CD. 设AF=AE=x cm, 则CE=CD=(26-x)cm,BF=BD=(18-x)cm. ∵BC=28 cm, ∴(18-x)+(26-x)=28,解得x=8, ∴AF=8 cm,BD=10 cm,CE=18 cm. 单击此处编辑母版文本样式 2.如图,在△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F. (1)连接OA,OB,则∠AOB=　　　　.  (2)若BD=6,AD=4,求☉O的半径r. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)135°.　提示:∵☉O是△ABC的内切圆, ∴O为△ACB的内心, ∴∠OBA=∠ABC,∠OAB=∠CAB. ∵∠C=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°, ∴∠OBA+∠OAB=×90°=45°, ∴∠AOB=180°-∠45°=135°,故答案为135°. 单击此处编辑母版文本样式 (2)如图,连接EO,FO. ∵☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F, ∴OE⊥BC,OF⊥AC,BD=BE,AD=AF,EC=CF. 又∵∠C=90°, ∴四边形ECFO是矩形. 又∵EO=FO, ∴矩形OECF是正方形. 单击此处编辑母版文本样式 设EO=x,则EC=CF=x. 在Rt△ABC中, BC2+AC2=AB2, 故(x+6)2+(x+4)2=102, 解得x1=2,x2=-12(不合题意,舍去), 即☉O的半径r为2. 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　若直角三角形的直角边为a、b,斜边为c,则这个直角三角形的内切圆的半径可以表示为　 　.   r=或r= 单击此处编辑母版文本样式 1如图,△ABC的内切圆☉O与各边相切于点D,E,F,若∠EOD=∠FOD=135°,则△ABC是 ( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D 分层作业 单击此处编辑母版文本样式 2若点O到△ABC的三条边的距离相等,则点O是△ABC的　 　心.  3如图,PA,PB分别切☉O于点A,B,E是☉O上一点,且∠AEB=60°,则∠P=　 　度.  内 60 单击此处编辑母版文本样式 4如图,AB,AC与☉O相切于B,C,∠A=50°,P是圆上异于B,C的一动点,则∠BPC的度数是　 　.  65°或115° 单击此处编辑母版文本样式 5《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有下列问题“今有勾八步,股十五步.问勾中容圆径几何?”其意思是今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形(如图)能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?( ) A.3步 B.5步 C.6步 D.8步 C 单击此处编辑母版文本样式 6 如图,边长为a的正△ABC内有一边长为b的内接正△DEF,则△AEF的内切圆半径为  　.  (a-b) 单击此处编辑母版文本样式 7如图,已知△ABC的内切圆☉O分别和边BC,AC,AB相切于点D,E,F,且AF=2,BD=7,CE=4. (1)求△ABC的三边长. (2)如果P为上一点,过点P作☉O的切线,交AB于点M,交BC于点N,求△BMN的周长. 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)AB=AF+BF=AF+BD=9,BC=BD+CD=BD+CE=11,AC=AE+CE=AF+CE=6. (2)BM+MN+BN=BM+MP+NP+BN=BM+MF+BN+ND=BF+BD=2BD=14. 单击此处编辑母版文本样式 END 感谢观看 下节课再会 单击此处编辑母版文本样式 33 $