《和倍问题解题策略》（讲义）-2025-2026学年三年级下册数学人教版

2026年人教版三年级奥数培优讲义-《和倍问题解题策略》 一、学习目标 1.理解和倍问题的核心结构：已知两个或多个数的和与倍数关系，能通过线段图直观分析数量间的对应关系； 2.熟练掌握和倍问题的基本公式，准确计算1倍数（小数）和几倍数（大数）； 3.学会识别并解决带余型、多量型、变形型等和倍拓展题型，提升转化问题的能力； 4.能运用和倍思想解决年龄、物品分配、数量转移等实际问题，强化逻辑推理与数形结合思维； 5.培养多角度分析问题的习惯，掌握“以最小量为基准”的解题技巧。 二、知识梳理 1.和倍问题定义：已知两个或多个数的总和，以及它们之间的倍数关系，求每个数具体是多少的数学问题，是三年级奥数的核心应用题类型。 2.核心分析方法：线段图法 （1）以“1倍数（小数）”为基准，画1段线段表示其数量； （2）几倍数（大数）对应画“倍数段”长度的线段； （3）标注所有线段的总长度（即总和），直观呈现各数量间的倍数与和的关系。 3.基本公式（两数和倍）： （1）小数（1倍数）= 总和 ÷（倍数 + 1） （2）大数（几倍数）= 小数 × 倍数 或 大数 = 总和 - 小数 4.常见拓展题型： （1）带余和倍：大数 = 小数×倍数 + 余数，需先从总和中减去余数，转化为标准和倍； （2）多量和倍：以最小量为1倍数，将所有量用最小量的倍数表示，总和对应“总倍数”个最小量； （3）变形和倍：数量转移后倍数变化，利用“总和不变”的特点，先算转移后的数量，再倒推原数； （4）隐藏和/倍数：需通过已知条件先推导总和或倍数关系，再用公式计算。 三、例题讲解 【例题1】基础型两数和倍问题 学校图书馆共有故事书和科技书120本，故事书的数量是科技书的2倍。故事书和科技书各有多少本？ 解析：用线段图分析，把科技书（小数）看作1倍数，故事书是2倍数，总和对应1+2=3倍数。 小数（科技书）=120÷(2+1)=40（本） 大数（故事书）=40×2=80（本）或120-40=80（本） 答：科技书有40本，故事书有80本。 【跟踪训练1】 1.甲乙两数的和是45，甲数是乙数的4倍，求甲乙两数各是多少？ 2.小明和小红共有铅笔30支，小明的铅笔数是小红的5倍，两人各有多少支铅笔？ 【例题2】带余型和倍问题 果园里苹果树和梨树共有52棵，苹果树的棵数是梨树的3倍多4棵。苹果树和梨树各有多少棵？ 解析：先从总和中减去多余的4棵，转化为标准和倍问题。 调整后的和=52-4=48（棵），此时苹果树是梨树的3倍，总和对应3+1=4倍数。 小数（梨树）=48÷(3+1)=12（棵） 大数（苹果树）=12×3+4=40（棵）或52-12=40（棵） 答：梨树有12棵，苹果树有40棵。 【跟踪训练2】 1.商店里篮球和足球共有38个，篮球的数量是足球的2倍多2个，两种球各有多少个？ 2.甲乙两个仓库共存粮74吨，甲仓库存粮是乙仓库的4倍少6吨，甲乙仓库各存粮多少吨？ 【例题3】多量型和倍问题 三（1）班有语文、数学、英语三种作业本共90本，语文本的数量是数学本的2倍，英语本的数量是数学本的3倍。三种作业本各有多少本？ 解析：以数学本（最小量）为1倍数，语文本是2倍数，英语本是3倍数，总和对应1+2+3=6倍数。 小数（数学本）=90÷(1+2+3)=15（本） 语文本=15×2=30（本） 英语本=15×3=45（本）或90-15-30=45（本） 答：数学本15本，语文本30本，英语本45本。 【跟踪训练3】 1.果园里桃树、杏树、枣树共有84棵，桃树是杏树的2倍，枣树是杏树的4倍，三种树各有多少棵？ 【例题4】变形型和倍问题（数量转移） 甲筐有苹果36个，乙筐有苹果12个，从甲筐拿多少个苹果到乙筐后，甲筐苹果的数量是乙筐的2倍？ 解析：首先，苹果总数不变，转移后总和还是36+12=48（个），此时甲是乙的2倍，总和对应2+1=3倍数。 转移后乙筐数量（小数）=48÷(2+1)=16（个） 需要从甲筐拿到乙筐的数量=16-12=4（个） 答：从甲筐拿4个苹果到乙筐。 【跟踪训练4】 1.小明有卡片45张，小红有卡片15张，小红给小明多少张后，小明的卡片数是小红的5倍？ 2.甲乙两个书架共有书80本，从甲书架拿5本到乙书架后，乙书架的书是甲书架的3倍，原来甲乙书架各有多少本书？ 四、提升练习 1.学校买了排球和篮球共48个，篮球的数量是排球的3倍，两种球各买了多少个？ 2.师徒两人共加工零件56个，师傅加工的零件数是徒弟的3倍多4个，师徒各加工多少个？ 3.甲乙丙三个数的和是81，甲是乙的3倍，丙是乙的5倍，求三个数各是多少？ 4.两个数的和是72，其中一个数是另一个数的8倍，这两个数分别是多少？ 5.幼儿园大班和小班共有小朋友60人，大班人数比小班的2倍少3人，大班和小班各有多少人？ 6.甲有糖果20颗，乙有糖果12颗，甲给乙多少颗后，乙的糖果数是甲的3倍？ 五、模拟赛场（奥数难度） 1.甲乙两人共有钱90元，甲的钱数是乙的2倍，若甲给乙若干元后，甲的钱数是乙的1倍，甲给了乙多少元？ 2.果园里苹果树、梨树、桃树共有102棵，苹果树是梨树的3倍，桃树比梨树多2棵，三种树各有多少棵？ 3.小明和小红共有邮票72张，小明给小红4张后，小明的邮票数是小红的2倍，原来两人各有多少张邮票？ 参考答案及解析 一、跟踪训练答案 【跟踪训练1】 1.乙数：45÷(4+1)=9，甲数：9×4=36或45-9=36 2.小红：30÷(5+1)=5（支），小明：5×5=25（支）或30-5=25（支） 【跟踪训练2】 1.足球：(38-2)÷(2+1)=12（个），篮球：12×2+2=26（个）或38-12=26（个） 2.乙仓库：(74+6)÷(4+1)=16（吨），甲仓库：16×4-6=58（吨）或74-16=58（吨） 【跟踪训练3】 1.杏树：84÷(1+2+4)=12（棵），桃树：12×2=24（棵），枣树：12×4=48（棵） 【跟踪训练4】 1.转移后小红卡片数：(45+15)÷(5+1)=10（张），小红给小明：15-10=5（张） 2.转移后甲书架：80÷(3+1)=20（本），原来甲书架：20+5=25（本），原来乙书架：80-25=55（本） 二、提升练习答案 1.排球：48÷(3+1)=12（个），篮球：12×3=36（个） 2.徒弟：(56-4)÷(3+1)=13（个），师傅：13×3+4=43（个） 3.乙：81÷(1+3+5)=9，甲：9×3=27，丙：9×5=45 4.小数：72÷(8+1)=8，大数：8×8=64 5.小班：(60+3)÷(2+1)=21（人），大班：21×2-3=39（人） 6.转移后甲糖果数：(20+12)÷(3+1)=8（颗），甲给乙：20-8=12（颗） 三、模拟赛场答案及解析 1.答案：15元 解析：原来乙的钱数：90÷(2+1)=30（元），两人钱数相等时各有90÷2=45（元），甲给乙的钱数：45-30=15（元） 2.答案：梨树20棵，苹果树60棵，桃树22棵 解析：先减去桃树多的2棵，总和102-2=100（棵），此时苹果树=3×梨树，桃树=梨树，总和对应1+3+1=5倍数，梨树：100÷5=20（棵），苹果树：20×3=60（棵），桃树：20+2=22（棵） 3.答案：小明52张，小红20张 解析：转移后总和还是72张，此时小明是小红的2倍，小红邮票数：72÷(2+1)=24（张），原来小红：24-4=20（张），原来小明：72-20=52（张） 学科网（北京）股份有限公司 $