重难点07 等差数列5考点（期末真题汇编，广东专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第二册

重难点07 等差数列 5大高频考点概览 考点01 等差数列的概念与判定 考点02 等差数列的性质 考点03 等差数列的通项公式 考点04 等差数列的前n项和的计算 考点05 等差数列的前n项和的性质 地 城 考点01 等差数列的概念与判定 1．（多选）（2025春•湛江期末）已知数列满足，则下列说法中正确的是　　 A．若，，则是等差数列 B．若，，则是等差数列 C．若，，则是等比数列 D．若，，则是等比数列 【解答】解：数列满足， 对于，当时， 若，则，，，，， 事实上，， ，即是常数数列， ，，数列是等差数列，故正确； 对于，当时，若，，， 数列不是等差数列，故错误； 对于，当时，若，，， 不是等比数列，故错误； 对于，当时，有， ，，即， ， 是等比数列， 若，，则是等比数列，故正确； 故选：． 地 城 考点02 等差数列的性质 2．（多选）（2024秋•广东期末）记等差数列的前项和为，已知，其中，，为实数，则　　 A． B．若单调递增，则 C．若，则 D．若，则 【解答】解：等差数列的前项和为，已知， 由①，可得：当时，； 当时，②， 由①②：， 因是等差数列，则时，． 对于，易得，故正确； 对于，数列的通项公式为：， 它是关于的一次函数，故当单调递增时，必有，即正确； 对于，当时，，则，故错误； 对于，由得，由可得，则，故正确． 故选：． 3．（2024秋•深圳期末）已知数列，，，成等差数列，，，成等比数列，则的值是（　　） A． B． C． D．1 【解答】解：依题意，数列，，，成等差数列，，，成等比数列， 则，，所以． 故选：． 4．（2024秋•梅州期末）在等差数列中，，，则（　　） A． B．0 C．3 D．6 【解答】解：在等差数列中，，， ， 解得，． 则． 故选：． 5．（2025春•潮州期末）已知等差数列中，，则 　　 ． 【解答】解：由题可得：， 故． 故答案为：6． 6．（2024秋•龙岗区校级期末）在等差数列中，，，则（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【解答】解：，， 则，则． 故选：． 地 城 考点03 等差数列的通项公式 7．（2024秋•天河区期末）在等差数列中，，，则公差（　　） A． B． C．1 D．2 【解答】解：根据题意，在等差数列中，， 则， 又由，则． 故选：． 8．（2024秋•深圳期末）已知等差数列的公差为，若，则（　　） A．1 B．6 C． D． 【解答】解：根据题意，等差数列中，公差， 又由，则． 故选：． 9．（2024秋•惠州期末）已知为等差数列，，，则等于（　　） A．7 B．6 C． D． 【解答】解：由等差数列的性质可得： ， 解得． 故选：． 10．（2025春•福田区校级期末）已知是公差不为零的等差数列，，若，，成等比数列，则（　　） A． B． C．16 D．18 【解答】解：是公差不为0的等差数列，，，，成等比数列， 设公差为，则，即， 整理得， 解得或（舍， ． 故选：． 11．（2025春•深圳期末）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第10项为 　　． 【解答】解：设该二阶等差数列为，由前4项为1，3，7，13，即，，，， 由二阶等差数列的定义可知，，，，， 所以数列是以为首项，公差的等差数列， 即， 所以，，，，， 将所有上式累加可得， 所以． 即所求数列的第10项为91． 故答案为：91． 地 城 考点04 等差数列的前n项和的计算 12．（2024秋•潮州期末）等差数列中，，则的前9项和为 　　． 【解答】解：因为，所以， 又因为在等差数列中，， 所以，即， 所以． 故答案为：90． 13．（2024秋•宝安区期末）设是等差数列的前项和，若，，则 　　． 【解答】解：因为等差数列中，，， 所以，， 则． 故答案为：28． 14．（2025春•湛江期末）记为等差数列的前项和，若，则　　 A．30 B．40 C．50 D．60 【解答】解：由等差数列的性质可得：， 则． 故选：． 15．（2025春•越秀区期末）设等差数列的前项和为，若，，则（　　） A．20 B．18 C．16 D．15 【解答】解：根据题意，等差数列中，设其公差为， 若，则有， 变形可得， 又由，则， 故． 故选：． 16．（2025春•广州期末）已知等差数列的前项和为，且，公差，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由已知，， 故，错误；，错误；，正确，错误． 故选：． 地 城 考点05 等差数列的前n项和的性质 17．（2024秋•深圳校级期末）设等差数列的前项和为，若，，则等于　　 A．9 B．11 C．13 D．25 【解答】解：设公差为，，， 因为，， 所以． 故选：． 18．（2025春•深圳校级期末）记为等差数列的前项和，若，，则（　　） A．255 B．127 C．66 D．39 【解答】解：由等差数列的性质知，为等差数列，设公差为， 因为，，所以， 则，所以． 故选：． 19．（2025春•佛山期末）已知为等差数列的前项和，，，则（　　） A． B． C．3 D．6 【解答】解：为等差数列的前项和，，， ， 解得，， 则． 故选：． 20．（2024秋•东莞市期末）已知是等差数列的前项和，若，则（　　） A．52 B．104 C．208 D．416 【解答】解：是等差数列的前项和，， 由等差数列前项和公式得： ． 故选：． 21．（2025春•龙岗区校级期末）已知等差数列的前15项和，则　　 A．7 B．15 C．6 D．8 【解答】解：设等差数列的等差为，前15项的和， ，即， 则． 故选：． 22．（2024秋•广东校级期末）设等差数列的前项和为，若，，，则等于　　 A．8 B．7 C．6 D．5 【解答】解：法一：，， 所以公差， ， ，，因此不能为0， 得， 所以，解得， 法二：等差数列的前项和为，即有数列成等差数列， 则，，成等差数列， 可得， 即有， 解得． 法三：由等差数列的求和公式可得， ，， 可得，， 解得． 故选：． 23．（多选）（2024秋•深圳校级期末）等差数列的前项和为，公差为，若，，则　　 A． B． C．当时，取得最大值 D．当时，取得最大值 【解答】解：， 所以，，故， 当时，取得最大值．故正确，错误． 故选：． 24．（2024秋•广州期末）已知等差数列的前项和为，，，则　　 A．当时，最大 B．当时，最小 C．数列中存在最大项，且最大项为 D．数列中存在最小项 【解答】解：设等差数列的公差为， ，则，即， 又，解得， 对为等差数列，则可设， 由二次函数可知不存在最大值，故错误； 对：因为，则有： 当时，，故； 当时，，故； 当时，，；故错误； 对、，则数列为递减数列， 且，， 所以对，，均有；对，，均有， 所以中，最大，无最小项，故正确，错误． 故选：． 25．（多选）（2024秋•广东校级期末）设等差数列的前项和为，公差为，已知，，则下列说法正确的是　　 A．的最小值为 B．满足的最小值是14 C．满足的最大值是14 D．数列的最小项为第8项 【解答】解：等差数列中，，， 所以，，，， 故时，取得最小值，正确； ，， 则满足的最小值是14，正确，错误； 因为数列的前7项为负，从第8项开始为正数，且，，，为负，，，，为正， 所以时，，当时，，且随着的增大而增大，当时，， 故时，最小，正确． 故选：． 26．（多选）（2024秋•深圳期末）记为等差数列的前项和，若，且，则　　 A． B．的公差为负数 C． D．当或8时，取得最大值 【解答】解：为等差数列的前项和，，且， 设等差数列的公差为，首项， 则， ，解得， ，故错误，正确； ， ，，故错误； ，，是中最大的项，故正确． 故选：． 27．（多选）（2025春•揭阳期末）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是　　 A． B． C．是递减数列 D．若，则的最大值是11 【解答】解：公差不为0的等差数列中，且，， 解得，，，错误； 则，正确； ， 所以，显然递减，正确； 若，则，解得，即的最大值为10，错误． 故选：． 28．（多选）（2025春•茂名期末）等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是　　 A． B．数列的第10项为 C．数列的前项和 D．的最大值为8 【解答】解：等差数列的前项和为，，， 对于，设数列的公差为， 则，， 解得，． ，，故正确； 对于，由，，则数列的第10项，故错误； 对于，由，得， 数列的前项和为： ， 数列的前项和为，故正确； 对于，， 当时，的最大值为9，故错误． 故选：． 29．（多选）（2024秋•深圳校级期末）已知数列满足，是前项和，则下列说法正确的是　　 A．数列是公差为的等差数列 B．当取得最大值时， C．数列的前项和是， D．数列也是首项为9，公差为等差数列 【解答】解：数列满足，是前项和， 由，则， 所以数列是公差为的等差数列，故对； 所以，， 当时，当取得最大值时，故对； 取时，，而，故错； 由，所以， 所以，且，所以数列也是首项为9，公差为等差数列，故对． 故选：． 30．（多选）（2024秋•龙岗区校级期末）首项为正数，公差的等差数列，其前项和为，则下列命题中正确的有　　 A．若，则是严格增数列 B．数列一定是等差数列 C．若，则使的最大的为22 D．若为常数），则 【解答】解：根据题意，等差数列，设其公差为， 依次分析选项： 对于，因为，则，，， 是严格增数列，正确； 对于，等差数列，其前项和为，则， 所以， 所以， 所以数列一定是等差数列，故正确； 对于，由， 知且，故， 故等差数列首项，公差， 即数列为递减数列，当时，；当时，． ，， 且当时，， 故使的最大的为21，故项错误； 对于，由可得，， 当时，， 因为为等差数列，所以，故， 故，满足关系， 所以，故正确． 故选：． 31．（2024秋•深圳期末）已知等差数列的前项和为，若，则使得成立的正整数的最大值为（　　） A．20 B．21 C．22 D．23 【解答】解：设公差为，由， 知，，即，，所以公差． 又， ， 所以使得成立的正整数的最大值为21． 故选：． 32．（2025春•广东期末）已知等差数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：令，此时，但， ，，显然不是递增数列， 所以“”不是“为递增数列”的充分条件； 若为递增数列，则，所以， 即，所以， 所以“”是“为递增数列”的必要条件， 所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件． 故选：． 33．（2024秋•深圳校级期末）已知为等差数列的前项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最大值时的为8；④满足成立的最大值为17．其中正确命题的序号为（　　） A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 【解答】解：等差数列的前项和，为其公差，且， 由，即存在最大值，故，①③对； 可得，所以，②错； 可知， 所以满足成立的最大值为15，④错． 故选：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点07 等差数列 5大高频考点概览 考点01 等差数列的概念与判定 考点02 等差数列的性质 考点03 等差数列的通项公式 考点04 等差数列的前n项和的计算 考点05 等差数列的前n项和的性质 地 城 考点01 等差数列的概念与判定 1．（多选）（2025春•湛江期末）已知数列满足，则下列说法中正确的是　　 A．若，，则是等差数列 B．若，，则是等差数列 C．若，，则是等比数列 D．若，，则是等比数列 地 城 考点02 等差数列的性质 2．（多选）（2024秋•广东期末）记等差数列的前项和为，已知，其中，，为实数，则　　 A． B．若单调递增，则 C．若，则 D．若，则 3．（2024秋•深圳期末）已知数列，，，成等差数列，，，成等比数列，则的值是（　　） A． B． C． D．1 4．（2024秋•梅州期末）在等差数列中，，，则（　　） A． B．0 C．3 D．6 5．（2025春•潮州期末）已知等差数列中，，则 　　 ． 6．（2024秋•龙岗区校级期末）在等差数列中，，，则（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 地 城 考点03 等差数列的通项公式 7．（2024秋•天河区期末）在等差数列中，，，则公差（　　） A． B． C．1 D．2 8．（2024秋•深圳期末）已知等差数列的公差为，若，则（　　） A．1 B．6 C． D． 9．（2024秋•惠州期末）已知为等差数列，，，则等于（　　） A．7 B．6 C． D． 10．（2025春•福田区校级期末）已知是公差不为零的等差数列，，若，，成等比数列，则（　　） A． B． C．16 D．18 11．（2025春•深圳期末）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第10项为 　　． 地 城 考点04 等差数列的前n项和的计算 12．（2024秋•潮州期末）等差数列中，，则的前9项和为 　　． 13．（2024秋•宝安区期末）设是等差数列的前项和，若，，则 　　． 14．（2025春•湛江期末）记为等差数列的前项和，若，则　　 A．30 B．40 C．50 D．60 15．（2025春•越秀区期末）设等差数列的前项和为，若，，则（　　） A．20 B．18 C．16 D．15 16．（2025春•广州期末）已知等差数列的前项和为，且，公差，则（　　） A． B． C． D． 地 城 考点05 等差数列的前n项和的性质 17．（2024秋•深圳校级期末）设等差数列的前项和为，若，，则等于　　 A．9 B．11 C．13 D．25 18．（2025春•深圳校级期末）记为等差数列的前项和，若，，则（　　） A．255 B．127 C．66 D．39 19．（2025春•佛山期末）已知为等差数列的前项和，，，则（　　） A． B． C．3 D．6 20．（2024秋•东莞市期末）已知是等差数列的前项和，若，则（　　） A．52 B．104 C．208 D．416 21．（2025春•龙岗区校级期末）已知等差数列的前15项和，则　　 A．7 B．15 C．6 D．8 22．（2024秋•广东校级期末）设等差数列的前项和为，若，，，则等于　　 A．8 B．7 C．6 D．5 23．（多选）（2024秋•深圳校级期末）等差数列的前项和为，公差为，若，，则　　 A． B． C．当时，取得最大值 D．当时，取得最大值 24．（2024秋•广州期末）已知等差数列的前项和为，，，则　　 A．当时，最大 B．当时，最小 C．数列中存在最大项，且最大项为 D．数列中存在最小项 25．（多选）（2024秋•广东校级期末）设等差数列的前项和为，公差为，已知，，则下列说法正确的是　　 A．的最小值为 B．满足的最小值是14 C．满足的最大值是14 D．数列的最小项为第8项 26．（多选）（2024秋•深圳期末）记为等差数列的前项和，若，且，则　　 A． B．的公差为负数 C． D．当或8时，取得最大值 27．（多选）（2025春•揭阳期末）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是　　 A． B． C．是递减数列 D．若，则的最大值是11 28．（多选）（2025春•茂名期末）等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是　　 A． B．数列的第10项为 C．数列的前项和 D．的最大值为8 29．（多选）（2024秋•深圳校级期末）已知数列满足，是前项和，则下列说法正确的是　　 A．数列是公差为的等差数列 B．当取得最大值时， C．数列的前项和是， D．数列也是首项为9，公差为等差数列 30．（多选）（2024秋•龙岗区校级期末）首项为正数，公差的等差数列，其前项和为，则下列命题中正确的有　　 A．若，则是严格增数列 B．数列一定是等差数列 C．若，则使的最大的为22 D．若为常数），则 31．（2024秋•深圳期末）已知等差数列的前项和为，若，则使得成立的正整数的最大值为（　　） A．20 B．21 C．22 D．23 故选：． 32．（2025春•广东期末）已知等差数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 33．（2024秋•深圳校级期末）已知为等差数列的前项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③使得取得最大值时的为8；④满足成立的最大值为17．其中正确命题的序号为（　　） A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②④ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $