大题专项一 直线与圆的方程（讲义）-2026年湖北省（技能高考）二轮复习《数学考纲专题练》.doc

编写说明：2026年湖北省（技能高考）二轮复习《数学考纲专题练》依据《湖北省技能高考文化综合考试大纲》及湖北省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年湖北省（技能高考）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第1个专题，内容为直线与圆的方程。 2026年湖北省（技能高考）《数学考纲专题练》 大题专题01 直线与圆的方程 一、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 31 点与圆的位置关系，弦长公式，直线的方程 15 （1）题型：解答题。 （2）分值：15分。 （3）内容：直线方程、圆的方程、两条直线的位置关系、直线与圆的位置关系、弦长公式。 2024 解答题 31 圆的方程，直线与圆的位置关系 15 2023 解答题 31 直线的方程，圆的方程，直线与圆的位置关系 15 2022 解答题 31 两点间距离公式及中点的坐标公式，直线的倾斜角与斜率，直线方程，两直线位置关系，圆的方程，直线与圆的位置关系 15 2021 解答题 31 直线的方程，两直线交点，圆的方程 15 二、知识梳理 （一）直线 1.直线方程的三种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 __y－y0＝k(x－x0)__ 不含直线x＝x0 斜截式 __y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 其中要求__A2＋B2≠0__ 适用于平面直角坐标系内的所有直线 2.两条直线的位置关系 平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况． (1)两条直线平行 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2． 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)两条直线垂直 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔__A1A2＋B1B2＝0__． 3.两条直线的交点 直线l1和l2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组的解． 相交⇔方程组有__唯一解__； 平行⇔方程组__无解__； 重合⇔方程组有__无数个解__． 4.三种距离公式 (1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝． (2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． (3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝． （二）圆 1．圆的定义及方程 定义 平面内到__定点__的距离等于__定长__的点的集合(轨迹)叫做圆 标准 方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C：__(a，b)__ 半径：__r__ 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心： 半径：r＝____ 2.直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ． 　　　　方法 位置关系　　　　 几何法 代数法 相交 d__＜__r Δ__＞__0 相切 d__＝__r Δ__＝__0 相离 d__＞__r Δ__＜__0 三、经典例题解析 【考试题型】点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、求直线方程、圆的方程、弦长、点到直线的距离公式、求切线方程 【例1】（24-25高三下·湖北·职教高考）已知点，圆的方程为，直线过点与圆相交于两点. (1)求点与圆的位置关系； (2)求弦长的最大值和最小值，并写出最大、最小时直线的一般式方程. 【答案】(1)点在圆内. (2)弦长的最大值为，直线方程为； 弦长的最小值为，直线的方程为. 【分析】（）根据圆的标准方程求出圆心坐标与半径，结合两点间距离公式求出点到圆心的距离即可得解. （）根据圆的性质得出直线过圆心时，弦长最大及时，弦长最小，结合两条直线垂直斜率的关系及直线的点斜式方程即可得解. 【详解】（1）圆：，圆心，半径， 计算点到圆心的距离， 因为，所以点在圆内. （2）当直线过圆心时，弦长最大，最大值为圆的直径，即， 此时直线过和，斜率， 直线方程用点斜式：，整理得， 当时，弦长最小，， 由垂径定理， 又，则直线的斜率， 直线方程用点斜式：，整理得. 综上所述，弦长的最大值为，此时直线的一般式方程为； 弦长的最小值为，此时直线的一般式方程为. 【例2】（21-22高三下·湖北·职教高考）如图，光线从点射到轴上点处，然后被轴反射，记反射光线所在直线为． (1)求的方程； (2)求以线段为直径的圆的方程，并判断该圆与的位置关系． 【答案】(1) (2)，相切 【分析】（1）根据反射光线与入射光线的关系，即可求解. （2）求出圆的标准方程，根据圆心到直线l的距离与半径的关系，即可求解. 【详解】（1）设直线AB的倾斜角为， 则斜率， 所以， 因为直线l是直线AB的反射光线， 所以直线l的倾斜角为，斜率， 又因为直线l过点， 所以直线l的方程为. （2）线段AB的中点坐标为， ， 所以圆的圆心坐标为，半径为， 圆的方程为， 圆心到直线l的距离， 所以直线l与圆相切. 【例3】（23-24高三下·湖北·职教高考）赵州桥是我国现存最早、跨度最大、保存最完整的一座空腹式圆弧形石拱桥.树人职校综合实践小组拟用打印技术制作一个圆弧形石拱桥模型、 一个长方体形状的小船模型，模拟船能否通过石拱桥的情境，其截面图如图1所示. (1)如图2所示，制作的石拱桥模型的跨度|AB|=80cm，圆拱高|OP|=20cm， 以线段AB的中点O为原点，AB所在的直线为轴建立平面直角坐标系.试求该石拱桥模型中的圆弧所在圆的方程； (2)若制作的小船模型的宽为60cm，高为9cm，试判断该小船能否通过（1）中的石拱桥.请说明理由. 【答案】(1). (2)能通过，理由见详解. 【分析】（）根据题意结合坐标系可写出各点的坐标并设出圆心坐标，由两点间的距离公式表示出，可得出圆心坐标和半径长，即可得出圆的方程. （）根据题意将问题转化到平面直角坐标系中，通过解方程可得小船可通过石拱桥的最大高度为，而小船的高为，所以小船可以通过. 【详解】（1） 由题意可知，，， 设圆弧所在圆的圆心为，半径为， 则，， 所以， 解得，所以，， 所以圆弧所在圆的圆心为，半径为， 所以圆弧所在圆的方程为. （2） 设小船模型的下底边为，则，， 将代入圆的方程中得， 解得或（舍）， 因为小船模型的高为，， 所以该小船能通过（1）中的石拱桥. 【例4】（22-23高二下·湖北襄阳·期末）已知圆：，直线过点，且圆心到直线的距离为1． (1)求出圆的圆心和半径，并判断直线和圆的位置关系； (2)求直线的方程． 【答案】(1)圆心坐标为；半径为；直线和圆相交 (2)或 【分析】（1）根据题意，将圆的一般方程转化为标准方程，即可求出圆心坐标和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系，即可判断直线和圆的位置关系； （2）根据题意，分类讨论直线斜率是否存在两种情况，结合圆心到直线的距离，即可求得直线的方程. 【详解】（1）因为圆：， 化成标准方程为， 所以圆心坐标为，半径为； 因为圆心到直线的距离为1，又， 所以直线和圆相交； （2）当该直线l的斜率不存在时， 过点的直线方程为， 圆心到直线的距离为1，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k， 过点且斜率k的直线方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 两边平方得，即，解得， 所以直线l的方程为，即； 综上所述，直线l的方程为或. 【例5】（17-18高三·湖北·一模）解答下列问题： (1)设直线l经过点，且平行于直线，求直线l的方程及横截距； (2)过圆外一点向圆作切线，求切线的方程． 【答案】(1)；4 (2)或 【分析】（1）根据直线平行求出直线l的斜率，再将点代入点斜式中整理即可求解； （2）当斜率不存在时，过点的直线为；当斜率存在时，根据切线到圆心的距离等于半径列式即可求解. 【详解】（1）直线的斜率为， 直线l与直线平行， 所以直线l的斜率为， 将点，斜率为代入点斜式方程中为， 整理为， 所以直线l的方程为； 令解得， 所以直线l横截距为4. （2）圆化为标准方程为， 则圆心坐标为，半径为1， 当斜率不存在时，过点的直线为， 此时圆心到直线的距离为1， 所以直线与圆相切； 当斜率存在时，设切线方程为， 即， 依题意得，圆心到直线得距离等于半径，即 ，解得， 所以切线方程为. 综上所述：切线方程为或. 四、练习 一、解答题 1．已知定点和，直线l经过点且和直线MN平行. (1)求直线l的方程； (2)求以为圆心且与直线l相切的圆N的方程. 2．已知点和点是圆直径的两个端点． (1)求圆的标准方程； (2)过点A作圆的切线，求切线的方程． 3．已知圆C的方程为，直线l的方程为，且圆C与直线l相切. (1)求圆C的标准方程； (2)若圆C与y轴相交于点，求两点间的距离. 4． 已知圆，判断过点与圆C有几条切线，并求切线方程． 5．已知圆和直线，点是圆上的动点. (1)求圆的圆心坐标及半径； (2)求点到直线的距离的最小值. 6．已知，直线l经过定点． (1)求以为直径的圆C的标准方程； (2)若直线l被圆C截得的弦长为8，求直线l的方程． 7．已知圆的方程为 (1)求的取值范围； (2)若圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），求的值； (3)在（2）的条件下，求以为直径的圆的方程． 8．已知圆经过，，三点． (1)求圆的方程； (2)求轴被圆截得的弦长． 9．已知圆的圆心坐标为，半径为，直线：．求： (1)圆的标准方程； (2)圆上一动点到直线的距离的最小值，并求取得最小值时点的坐标． 10．已知直线l过点和，直线平行于l且过点. (1)求的一般式方程； (2)设圆C与相切，且圆心为l与x轴的交点，求圆C的一般方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) 【分析】（1）先求出直线MN斜率，再用点斜式求直线l的方程即可. （2）先求点到直线的距离，即为半径，再由圆心和半径写出圆的方程即可. 【详解】（1）∵，，∴， 直线l和直线MN平行,即， 又直线l经过点， 所以直线l的方程为， 即. （2）点到直线的距离为 ， ∵所求的圆是以为圆心且与直线l相切， ∴所求圆的半径为. ∴以为圆心且与直线l相切的圆N的方程为 . 2．(1) (2) 【分析】（1）由A、B的坐标可得中点C的坐标，进而可得以AB为直径的圆的半径r的大小，即可求出圆的标准方程. （2）由点的坐标可知直线AC的斜率，进而可求出切线的斜率，即可求出过点A的切线方程. 【详解】（1）由题意线段AB的中点坐标为，即， 半径， 所以圆的标准方程为. （2）因为，直线AC与切线互相垂直，所以切线的斜率为， 所以切线过点A的方程为，即. 3．(1) (2)2 【分析】（1）根据直线到切线的距离等于半径求值即可. （2）令求出点的坐标，再由两点之间的距离公式求值即可. 【详解】（1）由一般方程配方得， ，所以圆心坐标为， 故圆心到切线的距离为， ，故半径为， 则圆的方程为. （2）已知， 因为圆C与y轴相交，故令，则， 得，解得或， 则交点为和， 所以两交点距离为. 4．有2条切线；或 【分析】根据点与圆的位置关系判断有几条切线，再利用过圆外一点求切线方程的方法计算即可得解. 【详解】圆，点， 因为， 所以点A在圆外，过点A与圆C有两条切线． 若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k， 则切线方程为，即． 因为圆心到切线的距离等于半径，半径为1， 所以，即， 所以，解得， 所以切线方程，即． 若直线斜率不存在，则直线方程为， 此时圆心到直线距离也为1， 这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是． 综上，所求切线方程为或． 5．(1)圆心坐标，半径为3. (2)1 【分析】（1）由圆的方程确定圆心和半径即可. （2）由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由最小距离为求值即可. 【详解】（1）由圆， 化为， 所以圆的圆心坐标，半径为3. （2）由（1）可知圆的圆心坐标，半径为3， 由直线， 所以圆心到直线的距离4， 所以点到直线的距离的最小值为. 6．(1) (2)或 【分析】（1）利用中点坐标公式与距离公式求得圆的圆心与半径，从而得解； （2）利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，进而利用点线距离公式即可得解. 【详解】（1）因为， 所以中点的坐标为，即圆心为， 又圆的半径， 所以圆C的标准方程为. （2）当直线斜率存在时设直线l的方程为，即， 又圆心到直线l的距离， 即，解得：， 所以直线l的方程为； 又当直线斜率不存在时，直线，直线到圆心的距离为2，符合题意； 所以直线l的方程为：或 7．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据方程表示圆的方程进行求解即可. （2）将圆的方程与直线方程联立，再根据韦达定理以及求解即可. （3）根据（2）问的结果以及中点坐标公式、再根据距离公式求解即可. 【详解】（1）由题意可知：， . . （2）设，则， 化简得：. 因为，解得. 则， . . 即，得. （3）设所求圆的圆心为，半径为. 由（2）中可知. ， . 8．(1) (2)8 【分析】（1）设圆的方程为，再将三点代入求解即可. （2）根据弦长公式求值即可. 【详解】（1）设圆的方程为． 因为圆经过， 则 解得，，， 则圆的方程为． 即. （2）由（1）可得圆的圆心，半径． 因为圆的圆心， 所以圆到轴的距离， 因为圆的半径， 所以轴被圆截得的弦长为． 9．(1) (2)当点的坐标为时，点到直线的距离最小，最小值为 【分析】（1）根据圆心和半径写出圆的方程即可. （2）首先由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由到直线的距离的最小值为求出最小值，再由此时点与圆心的连线与直线垂直即可解答. 【详解】（1）由圆的圆心坐标为，半径为， 得圆的标准方程为. （2）已知圆心坐标为，直线：， 则圆心到直线的距离，半径为， 所以动点到直线的距离的最小值为， 设过圆心且与直线垂直的直线方程为， 则，解得， 所以该直线方程为， 所以联立方程组 即， 解得或 所以点的坐标为或， 当点的坐标为时，点到直线的距离， 当点的坐标为时，点到直线的距离， 综上，点的坐标为时，点到直线的距离最小，最小值为． 10．(1) (2) 【分析】（1）由两点坐标求得直线的斜率，进而得到的斜率，再利用点斜式即可得求得直线的方程，从而得解； （2）先由题意求得圆的圆心坐标，再利用直线与圆相切求得圆的半径，从而求得圆的标准方程，进而得解. 【详解】（1）由直线过点和，得的斜率， 由与平行，得的斜率为，又过点， 所以的点斜式方程为， 故的一般式方程为. （2）因为是直线上的点，则为与轴的交点， 又圆的圆心为与轴的交点，得圆心坐标为， 又与相切，得圆的半径， 所以圆的标准方程为， 故圆的一般方程为. 6 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $