大题专项二 数列（讲义）-2026年湖北省（技能高考）二轮复习《数学考纲专题练》.doc

编写说明：2026年湖北省（技能高考）二轮复习《数学考纲专题练》依据《湖北省技能高考文化综合考试大纲》及湖北省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年湖北省（技能高考）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第2个专题，内容为数列。 2026年湖北省（技能高考）《数学考纲专题练》 大题专题02 数列 一、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 32 等差数列前n项和、一元二次函数求最值、不等式的缩放 15 （1）题型：解答题。 （2）分值：15分。 （3）内容：等差数列、等比数列通项公式、前n项和公式、不等式的求解。 2024 解答题 32 等差数列、等比数列通项公式、前n项和公式 15 2023 解答题 32 等差数列、等比数列通项公式、前n项和公式、不等式求解 15 2022 解答题 32 等差数列通项公式、等比数列的通项公式、等比数列前n项和公式、不等式求解 15 2021 解答题 30 等差数列、等比数列通项公式、前n项和公式 15 二、知识梳理 （一）an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn， 则an＝ （二） 常见数列的通项公式 (1)自然数列：1,2,3,4，…，an＝n. (2)奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1. (3)偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n. (4)平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2. (5)2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n. (6)乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)． (7)正整数的倒数列：1，，，，…，an＝. (8)重复数串列：9,99,999,9 999，…，an＝10n－1. (9)符号数列：－1,1，－1,1，…或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1. （三）等差数列 1. 等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 定义的表达式为_an＋1－an＝d(n∈N*)__. (2)等差中项 如果a，A，b成等差数列， 那么_A__叫做a与b的等差中项且_A＝. (3)通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (4)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝ 2. 等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.特别地，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝_ap＋aq__. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为_kd__. (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (4)数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2. （四）等比数列 1. 等比数列的概念 (1)等比数列的定义 符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab>0时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个． 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. (2)前n项和公式：Sn＝ 3.等比数列的主要性质 设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*，特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)． (3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列． (4)三个数成等比数列可设三数为，b，bq，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为，，bq，bq3. 三、经典例题解析 【考试题型1】等差数列、等比数列通项公式、前n项和公式 【例1】解答下列问题： (1)写出数列的一个通项公式； (2)在等差数列中，，求的前15项和； (3)设为等比数列的前n项和，且，求的通项公式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用观察法得到数列的通项公式，从而得解； （2）利用等差数列的通项公式得到关于的方程组，解之即可得解； （3）利用与的关系式得到，进而求得公比，再利用等比数列的通项公式与求和公式求得，从而得解. 【详解】（1）观察数列，可知数列的分子部分依次为从2开始的偶数，可记为， 数列的分母部分依次为的指数幂，可记为， 所以该数列的一个通项公式为. （2）依题意，设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得， 故. （3）依题意，设等比数列的公比为， 因为，两式相减得， 则，所以， 由，得，解得， 故的通项公式为. 【例2】(1)是等差数列的前项和，已知，且，求该数列的通项公式； (2)在等比数列中，已知，且，求该数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的前n项和概念和通项公式即可求解. （2）根据已知条件和等比数列的通项公式求出首项和公比，再代入等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由于， 得， 即， 解得， 因此 . （2）设等比数列的公比为q， 由于， 得，即， 解得， 因此. 【考试题型2】解数列不等式 【例3】设是等差数列的前项和，数列是等比数列，，，． (1)求数列的通项公式； (2)在①，②这两个条件中任选一个，问是否存在正整数，使得且？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)选①，存在；选②不存在 【分析】（1）设等比数列的公比为，利用通项公式，可求和，据此可求解； （2）设等差数列的公差为，求出通项公式后，利用且，解不等式组可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，，，则 ，解得， 所以数列的通项公式； （2）设等差数列的公差为， 若选①，由，可得 ，解得， 所以数列的通项公式. 假设存在正整数，使得且，则有 且，即且， 所以，解得， 所以存在正整数，使得且. 选②，由，，可得 ，解得， 所以数列的通项公式. 假设存在正整数，使得且，则有 且，即且， 所以，解得，此不等式组无解， 故不存在符合题意的正整数. 【例4】已知等比数列的前项和为，且、、成等差数列，． (1)求的通项公式； (2)是否存在正整数，使得？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；11 【分析】（1）根据题意，结合等差中项的性质，可得，结合等比数列的通项公式与前n项和，即可化简求出公比， 继而求出首项，即可求解； （2）根据题意，结合等比数列的前n项和公式，代入即可求解. 【详解】（1）因为、、成等差数列， 所以， 即， 所以，即， 解得(舍)或， 又， 所以，即， 解得， 故的通项公式； （2）存在， 由（1）知，， 所以， 若，则为奇数，， 所以，又为奇数， 所以，即， 所以， 即最小为11． 【考试题型3】求新数列的前n项和 【例5】（1）已知等差数列的前项和为，且，求的值； （2）设数列与的通项公式分别为和，求数列的前n项和. 【答案】（1）;（2） 【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式与等差中项的利用求解即可. （2）利用分组求和求解. 【详解】（1）因为等差数列中，. 所以. （2）因为. 所以数列是首项为2，公差为2的等差数列. 数列是首项为1，公比为2的等比数列. 所以 . 【例6】（1）已知无穷数列的前5项依次为，写出的一个通项公式. （2）在等比数列中，，求的通项公式及前6项和. （3）在等差数列中，，求的通项公式及前n项和. 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】（1）利用观察法找出数列的规律，从而得解； （2）利用等比数列的通项公式求得基本量，再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得解； （3）利用等差数列的通项公式求得基本量，再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得解. 【详解】（1）， ， . （2）设该等比数列的公比为， 由，得，解得， 又，即，解得， . （3）设该等差数列的公差为， 因为， 所以，解得， ，. 四、练习 一、解答题 1．(1)已知等差数列的前n项和为，求该数列的通项公式； (2)在等比数列中，设，且，求该数列的公比. 2．在等比数列中，已知，，求： (1)数列的通项公式； (2)数列前10项的和． 3． 在等比数列中，已知，，求数列的通项公式． 4．已知数列的首项为2，且．求： (1)和的值； (2)数列的通项公式． 5．已知是一个等差数列，且． (1)求的通项； (2)求的前项和． 6．在等差数列中，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 7．已知等差数列的前项和为，已知，，求 (1)求等差数列的通项公式和前项和公式； (2)当前项和时，求的最小值. 8．在等差数列中，，； (1)求和通项公式； (2)求. 9．已知等差数列中，. (1)设公差，求数列的通项公式； (2)若数列的前项和为，且，求. 10．已知数列是一个等差数列，且，. (1)求的通项； (2)设，，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) 【分析】（1）利用可求； （2）利用等比数列通项公式求公比即可. 【详解】（1），， ， ，当时满足通项公式； 该数列的通项公式为； （2），，两式相加得； 设公比为，有，，则， ，. 2．(1) (2)682 【分析】（1）利用等比数列的概念，求出基本量，即可求解. （1）利用等比数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以， 解得， 所以. （2）. 3．或 【分析】直接利用等比数列的通项公式，求出结果即可. 【详解】设公比为q的等比数列中，，， 所以， 化简得：， 解得：或2， 当时，， 当时，. 4．(1),． (2) 【分析】（1）根据已知的递推公式，将代入可求得，再将代入可求得。 （2）由可知该数列为等差数列，根据等差数列通项公式可求得最终答案。 【详解】（1）首项,且, ,, 故,. （2）由得, 数列是首项,公差的等差数列． 由得. 故数列的通项公式为. 5．(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质以及求得等差数列的公差及的值，即可求解. （2）根据（1）得到的的通项以及等差数列前n项和的定义，即可求解. 【详解】（1）因为是一个等差数列，且， 设数列的公差为d， 则， 所以， 所以的通项为. （2）因为， 所以. 6．(1) (2) 【分析】（1）首先求出等差数列的公差，再求出首项，进而得到通项公式. （2）根据（1），求出通项公式，再证明为等差数列，进而得到. 【详解】（1）因为数列为等差数列，且， 所以公差，首项， 所以数列的通项公式为， 即. （2）因为， 所以， 所以数列是以为首项，4为公差的等差数列. 所以数列的前项和. 7．(1)， (2)6 【分析】（1）根据等差数列的性质建立方程组求得数列得首项和公差，再由等差数列通项公式和求和公式即可解得. （2）根据第（1）问中得到的前项和公式列出不等式，解一元二次不等式即可解得. 【详解】（1）设该数列的首项为，公差为， ，， ，， ， 故. （2），， ，或， 又，故的最小值为6. 8．(1)， (2)240 【分析】（1）依题意，由等差数列的通项公式列方程组求解； （2）根据的正负去绝对值，然后利用等差数列的求和公式求解. 【详解】（1）依题意，在等差数列中，，， 则，解得，， ∴. （2）∵， ∴当时，；当时，； 且， . 9．(1) (2). 【分析】（1）由等差数列的通项公式计算即可求解. （2）代入等差数列的前n项和公式计算即可. 【详解】（1）由已知，得， 所以，， 即. （2）由已知，即， 得，即， 得方程组， 解方程组，得， 即得， 所以. 10．(1) (2) 【分析】（1）由条件中的两项的值得到等差数列的方程组并求解，再代等差数列通项公式求解即可. （2）由及对数性质逐步得到，再代等差数列前项和公式求解即可. 【详解】（1）设的公差为，由已知条件可得：， 解得，， 所以. （2）∵，∴， ∴， ∴ . 6 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $