重难点06 抛物线及其标准方程6考点（期末真题汇编，广东专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

重难点06 抛物线及其标准方程 6大高频考点概览 考点01 抛物线的焦点与准线 考点02 抛物线的焦点弦及焦半径 考点03 直线与抛物线的位置关系及公共点的个数 考点04 直线与抛物线的综合 考点05 抛物线的弦长问题 考点06 抛物线的定点问题 地 城 考点01 抛物线的焦点与准线 1．（2025春•湛江期末）抛物线的焦点坐标是　　 A． B． C． D． 2．（2025春•深圳期末）抛物线的准线方程是　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•清远期末）已知抛物线的准线方程是，则的值为　　 A．2 B．4 C． D． 4．（2024秋•宝安区期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的坐标为，则（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2024秋•广东校级期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 6．（多选）（2025春•深圳校级期末）已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，点，在抛物线上，直线，分别与交于，，直线与抛物线交于另一点，则　　 A．的坐标为 B． C． D． 地 城 考点02 抛物线的焦点弦及焦半径 7．（2024秋•深圳期末）设为抛物线的焦点，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则（　　） A． B． C． D． 8．（2024秋•广州期末）斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（　　） A．8 B． C． D．4 9．（2024秋•湛江期末）已知抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，若，则（　　） A．4 B． C．8 D． 10．（多选）（2024秋•广东校级期末）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点，在抛物线上，若，则　　 A．的坐标为 B． C． D． 11．（2024秋•阳江期末）已知抛物线的焦点为，在上，若以为直径的圆与轴相切于点，则 　　． 12．（2024秋•深圳期末）已知抛物线焦点为，抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，则　　． 13．（2024秋•揭阳期末）已知是抛物线上的一个点，是抛物线的焦点，为坐标原点，若，则 　　． 14．（2024秋•惠州期末）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，若点的横坐标为3，则等于 　　． 地 城 考点03 直线与抛物线的位置关系及公共点的个数 15．（2025春•罗湖区期末）在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（　　） A． B． C． D． 16．（2024秋•肇庆期末）过抛物线的焦点的直线交于，两点点在点上方），若，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 地 城 考点04 直线与抛物线的综合 17．（2024秋•深圳校级期末）已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，若使得成立的点的横坐标为3，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 18．（2024秋•罗湖区校级期末）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 19．（多选）（2024秋•深圳期末）已知抛物线的焦点为，过的一条直线交于，两点，过作直线的垂线，垂足为，过且与直线垂直的直线交于点，则（　　） A． B． C． D． 20．（多选）（2024秋•广州期末）已知为抛物线的焦点，过的直线与交于，两点，，为的中点，过作轴的垂线，垂足为．设抛物线的准线与轴交于点，且四边形为菱形，则　　 A．准线的方程为 B． C．为钝角 D．△为钝角三角形 21．（多选）（2024秋•龙岗区校级期末）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则　　 A． B． C．以为直径的圆与相切 D．△为等腰三角形 22．（多选）（2024秋•佛山期末）已知抛物线和椭圆有相同的焦点，且交于，两点，的准线与交于，两点，则　　 A．存在，使△为等边三角形 B．存在，使四边形为正方形 C．任意，点总在圆外 D．任意，椭圆上任一点总在圆外 23．（多选）（2025春•龙岗区校级期末）设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是　　 A． B． C．存在直线，使得 D．对任意直线， 24．（多选）（2024秋•潮州期末）设为坐标原点，抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，则　　 A． B．以为直径的圆与轴相切 C． D．三角形的面积为 25．（多选）（2024秋•广东校级期末）已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是　　 A． B．若为△的中线，则 C．存在直线使得 D．对于任意直线，都有 26．（多选）（2024秋•天河区期末）已知动点在抛物线上，过点向轴作垂线段，垂线段的中点的轨迹为曲线，、是曲线上的两点，则　　 A．曲线的方程为 B．若，则直线过定点 C．若直线过点，点的纵坐标为1，则 D．若直线过点，连接、分别交直线点、，则 27．（多选）（2024秋•深圳期末）设为坐标原点，直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点（点在轴上方），与的准线交于点，下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 28．（多选）（2024秋•广州期末）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，，，两点，则　　 A．的准线方程为 B．直线与相切 C． D． 29．（多选）（2024秋•广东期末）已知抛物线的焦点为，过点作斜率不为0的直线与只有1个交点，过点作与平行的直线与交于，两点，则　　 A．的斜率为 B． C． D．△的面积为2 30．（多选）（2024秋•广州校级期末）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则　　 A． B． C．以为直径的圆与相切 D． 31．（2024秋•新会区校级期末）已知抛物线的焦点为，，过点作直线的垂线，垂足为，点是抛物线上的动点，则 （1）抛物线的准线方程为 　　． （2）的最小值为 　　． 32．（2024秋•深圳校级期末）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，为与的一个公共点． （1）求，的方程； （2）过点的直线交于，两点，交于，两点，若，求的方程． 33．（2024秋•清远期末）如图，已知直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，且． （1）求抛物线的方程； （2）若直线与直线关于轴对称，试在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短，并求出最短距离． 34．（2024秋•潮州期末）设为抛物线的焦点，为的准线与轴的交点，且直线过点． （1）若与有且仅有一个公共点，求直线的方程； （2）若与交于，两点，且，求△的面积． 35．（2024秋•广东校级期末）已知直线与抛物线交于，两点，，为坐标原点． （1）求； （2）过点作直线交抛物线于，两点，且点是线段的中点，求三角形的面积． 36．（2024秋•新会区校级期末）对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决以下问题： 如图，已知抛物线的图象与轴交于、两点，且过点． （1）求抛物线的解析式和点坐标； （2）若将抛物线的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线的图象． ①设为抛物线上任意一点，轴于点，求的最小值； ②直线过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点，证明：以为直径的圆与抛物线的准线相切． 37．（2024秋•广东校级期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且过点的直线与相切于点，． （1）求抛物线的方程． （2）设过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，点在与之间． 证明：轴平分． 记△的面积为，△的面积为，求的取值范围． 地 城 考点05 抛物线的弦长问题 38．（2024秋•汕头期末）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点，在上，且，则的方程为（　　） A． B． C． D． 39．（2024秋•深圳期末）已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，若，则△的面积为（　　） A． B． C． D． 40．（多选）（2024秋•深圳校级期末）已知抛物线的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，，，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（　　） A．抛物线的焦点坐标是 B． C．若，则 D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 41．（2024秋•广东期末）已知点是抛物线上一点，为的焦点，且． （1）求的准线方程； （2）若点位于第一象限，求在点处的切线的方程． 地 城 考点06 抛物线的定点问题 42．（2024秋•电白区期末）如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于，与，，当时，为的中点． （1）求抛物线的方程； （2）若，证明：； （3）若直线过点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点06 抛物线及其标准方程 6大高频考点概览 考点01 抛物线的焦点与准线 考点02 抛物线的焦点弦及焦半径 考点03 直线与抛物线的位置关系及公共点的个数 考点04 直线与抛物线的综合 考点05 抛物线的弦长问题 考点06 抛物线的定点问题 地 城 考点01 抛物线的焦点与准线 1．（2025春•湛江期末）抛物线的焦点坐标是　　 A． B． C． D． 【解答】解：抛物线的标准方程为：，，则抛物线的焦点坐标． 故选：． 2．（2025春•深圳期末）抛物线的准线方程是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由抛物线可得：，， 因此抛物线的准线方程是． 故选：． 3．（2024秋•清远期末）已知抛物线的准线方程是，则的值为　　 A．2 B．4 C． D． 【解答】解：抛物线的准线方程是，则的值：4． 故选：． 4．（2024秋•宝安区期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的坐标为，则（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：设，，，， 因为点，在抛物线上，可得，两式作差可得． 因为线段中点的坐标为，所以，解得． 故选：． 5．（2024秋•广东校级期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：依题意可知抛物线的准线方程为， 点到准线的距离为， 根据抛物线的定义可知点与抛物线焦点的距离就是点与抛物线准线的距离， 点与抛物线焦点的距离为5， 故选：． 6．（多选）（2025春•深圳校级期末）已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，点，在抛物线上，直线，分别与交于，，直线与抛物线交于另一点，则　　 A．的坐标为 B． C． D． 【解答】解：对于，由抛物线，可得，所以， 且焦点在轴正半轴上，则焦点，所以错误； 对于，由抛物线的方程得， 由定义可得，所以正确； 对于，直线，的方程分别为，， 分别与联立得，， 所以，所以正确； 对于，联立，得，解得， 所以， 由，所以错误． 故选：． 地 城 考点02 抛物线的焦点弦及焦半径 7．（2024秋•深圳期末）设为抛物线的焦点，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设为抛物线的焦点，过上一点作其准线的垂线，垂足为， 设，， 由抛物线的定义可得， 所以，； 不妨设， 则， 所以． 故选：． 8．（2024秋•广州期末）斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，则线段的长为（　　） A．8 B． C． D．4 【解答】解：由题意可得抛物线方程为， 则焦点坐标为， 则直线方程为， 联立， 消可得：， 设，，，， 则， 即线段的长为． 故选：． 9．（2024秋•湛江期末）已知抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，若，则（　　） A．4 B． C．8 D． 【解答】解：已知抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且， 则抛物线的准线方程为， 依题意，， 所以． 故选：． 10．（多选）（2024秋•广东校级期末）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点，在抛物线上，若，则　　 A．的坐标为 B． C． D． 【解答】解：由抛物线， 可得， 所以，且焦点在轴正半轴上， 则焦点， 所以错误； 由抛物线的定义，可得， 解得， 所以正确； 由， 可得， 所以， 则， 所以正确； 由， 所以正确． 故选：． 11．（2024秋•阳江期末）已知抛物线的焦点为，在上，若以为直径的圆与轴相切于点，则 　　． 【解答】解：抛物线的焦点为，在上，若以为直径的圆与轴相切于点，可知圆的圆心在的直线上，并且圆心到，距离相等，所以圆的圆心，半径为1， 则． 故答案为：2． 12．（2024秋•深圳期末）已知抛物线焦点为，抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，则　　． 【解答】解：抛物线焦点为， 点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离， 点到坐标原点的距离等于该点到焦点的距离， ，解得． 故答案为：2． 13．（2024秋•揭阳期末）已知是抛物线上的一个点，是抛物线的焦点，为坐标原点，若，则 　　． 【解答】解：设， 因为， 则， 则， 则， 则 ． 故答案为：． 14．（2024秋•惠州期末）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，若点的横坐标为3，则等于 　　． 【解答】解：抛物线的焦点为，准线方程为， 过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，点的横坐标为3， 不妨设是第一象限的点，则等于点到准线的距离，等于． 故答案为：4． 地 城 考点03 直线与抛物线的位置关系及公共点的个数 15．（2025春•罗湖区期末）在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知：， 因为，且，可知为锐角， 则，． 设，，则， 则， 整理可得， 解得或（舍去）， 所以的横坐标为． 故选：． 16．（2024秋•肇庆期末）过抛物线的焦点的直线交于，两点点在点上方），若，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为抛物线的焦点为，， 又过抛物线的焦点的直线交于，两点点在点上方），且， 所以直线的斜率存在，所以设直线方程为，，，，， 联立，可得， 所以， 所以， 因为，可得与， 解得， 所以方程为． 故选：． 地 城 考点04 直线与抛物线的综合 17．（2024秋•深圳校级期末）已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，若使得成立的点的横坐标为3，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点， 则， 又使得成立的点的横坐标为3， 则直线的斜率显然存在， 不妨设直线的方程为，， 联立， 消可得：， 则， 又成立的点的横坐标为3， 则， 即， 即， 则， 则， 则四边形的面积为． 故选：． 18．（2024秋•罗湖区校级期末）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则直线的斜率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图所示过点作轴，令， 因为是抛物线的焦点，与轴正向的夹角为， 所以由抛物线的性质得，解得， 所以，因为在直角三角形中，，，， 所以， 所以直线斜率． 故选：． 19．（多选）（2024秋•深圳期末）已知抛物线的焦点为，过的一条直线交于，两点，过作直线的垂线，垂足为，过且与直线垂直的直线交于点，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对于，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故正确； 对于，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，，则， 又，，所以△△， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为△的斜边，则，故错误； 对于，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，，，， 联立，得， 易知△，则，， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故正确； 对于，在△与△中，， 所以△△，则，即， 同理， ， ， 所以， 则，故正确． 故选：． 20．（多选）（2024秋•广州期末）已知为抛物线的焦点，过的直线与交于，两点，，为的中点，过作轴的垂线，垂足为．设抛物线的准线与轴交于点，且四边形为菱形，则　　 A．准线的方程为 B． C．为钝角 D．△为钝角三角形 【解答】解：不妨设点在第一象限， 对于选项：易知， 因为四边形为菱形， 所以， 因为点为的中点， 所以， 解得， 则抛物线的标准方程为，准线的方程为，故选项错误； 对于选项：在△中，， 所以， 即直线的倾斜角为， 易知抛物线的焦点， 所以直线的方程为， 设，，，， 联立，消去并整理得， 解得或， 即，， 所以，， 则，故选项正确； 对于选项：易知， 所以，， 则， 因为， 所以为锐角，故选项错误； 对于选项：在△中，， 所以， 此时，， 所以， 可得为钝角， 则△为钝角三角形，故选项正确． 故选：． 21．（多选）（2024秋•龙岗区校级期末）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则　　 A． B． C．以为直径的圆与相切 D．△为等腰三角形 【解答】解：由直线，令，解得，所以抛物线的焦点， 中，可得，解得，所以选项错误； 中，可得抛物线方程为，准线为，设，，，， 由直线，可得， 联立，整理可得：，可得， 所以， 由抛物线的性质可得，所以选项正确； 中，由上述分析可知的中点的横坐标为， 所以中点到直线的距离， 而以为的圆的半径， 所以以为直径的圆与相切，所以选项正确； 中，由可得，， 可得，， 设，，， 可得，，， 所以△不是等腰三角形，选项错误． 故选：． 22．（多选）（2024秋•佛山期末）已知抛物线和椭圆有相同的焦点，且交于，两点，的准线与交于，两点，则　　 A．存在，使△为等边三角形 B．存在，使四边形为正方形 C．任意，点总在圆外 D．任意，椭圆上任一点总在圆外 【解答】解：根据题意，椭圆：， ，所以焦点， 则抛物线，准线方程为， 设椭圆左焦点为，准线过点， 若△为等边三角形，即， ，解得，故正确； 根据椭圆、抛物线的对称性，若四边形为正方形， 则，所以直线方程为， 代入抛物线方程，得，，此时，矛盾，错误； 根据题意，又由抛物线定义，， 所以任意，点总在圆外，正确； 设椭圆上任意一点，根据椭圆定义， 则，而， 所以，所以点在圆外，正确． 故选：． 23．（多选）（2025春•龙岗区校级期末）设抛物线的焦点为，过的直线交于、，过且垂直于的直线交于，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，则正确的结论是　　 A． B． C．存在直线，使得 D．对任意直线， 【解答】解： 对于选项，当直线的斜率不存在时，为中点，满足； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，，，，， 联立，消去，得， △，则， 因为，， 因此， 过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为， 因此， 过垂直于的直线方程为， 当时，代入，， 因此， 因此， 因为， 因此，故选项正确； 对于选项，由题意可知，，则， 又，，因此△△， 因此，同理， 又， 因此，即， 显然为△的斜边，则，故选项错误； 对于选项，在△与△中，， 因此△△，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 因此，即； 因此存在直线，使得，故选项正确； 对于选项，，，因此， 因此， 因为，，，， 因此，因为，因此， ，因此， 同理， 令，则，因为， 则，因此， 因此， 因此， 其中， 因此， 其中 ， 同理， 因此，故选项正确． 故选：． 24．（多选）（2024秋•潮州期末）设为坐标原点，抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，则　　 A． B．以为直径的圆与轴相切 C． D．三角形的面积为 【解答】解：对于，因为抛物线的焦点为，所以，所以，故正确； 对于，由选项得物线的方程为．设，，，． 所以的中点为，所以点到轴的距离为， 因为直径，所以半径，所以， 所以以为直径的圆与轴相切，故正确； 对于，联立，消去并化简得，所以， 因为直线过抛物线的焦点， 所以，故正确； 对于，直线，即， 点到直线的距离为， 所以三角形的面积为，故错误． 故选：． 25．（多选）（2024秋•广东校级期末）已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是　　 A． B．若为△的中线，则 C．存在直线使得 D．对于任意直线，都有 【解答】解：根据题意，，， 设直线，令，，，都在第一象限， 联立抛物线，那么，且根的判别式△，即，那么， 那么直线的斜率为，所以， 当轴时，此时，此时的斜率为， 要使直线与抛物线有两个交点，那么，因此，所以选项正确， 因此根据韦达定理可得，， 根据韦达定理可得， 如图所示， 如果为△的中线，那么，结合，可得， 因此，因此，进而，那么，，所以选项正确； 对于：若，过作准线的垂线，垂足为，即， 即△为等腰直角三角形， 此时，即，，所以， 所以，所以，所以，则此时，为同一点，不合题设，故错误； 对于，，而， 结合，可得，即恒成立，故正确． 故选：． 26．（多选）（2024秋•天河区期末）已知动点在抛物线上，过点向轴作垂线段，垂线段的中点的轨迹为曲线，、是曲线上的两点，则　　 A．曲线的方程为 B．若，则直线过定点 C．若直线过点，点的纵坐标为1，则 D．若直线过点，连接、分别交直线点、，则 【解答】解：设垂线段的中点为，则，又在抛物线上， 所以，化简可得曲线的方程为，所以选项正确； 设直线为，，，，， 联立，可得， 所以，， 所以， 若，则，解得， 所以直线过定点，，所以选项错误； 若直线过点，点的纵坐标为1，则，， 所以，所以，所以选项正确； 若直线过点，则，，， 又直线为，令，可得， 同理可得，又， 所以，， 所以，所以，所以选项正确． 故选：． 27．（多选）（2024秋•深圳期末）设为坐标原点，直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点（点在轴上方），与的准线交于点，下列说法正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：易知抛物线焦点，， 因为直线经过抛物线的焦点， 所以， 解得，故选项正确； 因为抛物线的方程为，准线方程为， 将代入直线方程中， 解得， 即，， 又， 所以，故选项正确； 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 所以，故选项错误； 因为， 又点在轴上方， 解得，， 即，， 所以，， 则，故选项正确． 故选：． 28．（多选）（2024秋•广州期末）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于，，，两点，则　　 A．的准线方程为 B．直线与相切 C． D． 【解答】解：点在抛物线上，，解得， 抛物线方程为，准线方程为，故错误； 直线的斜率为，方程为， 代，得， 则△， 直线与相切，故正确； 设直线的方程为，联立，得， 则，故正确； 由，得，， 线段的中点坐标为， 由，得△，即或， 线段的垂直平分线方程为， 令，得， ， ， 又， ， 由或，得， ， ，故正确． 故选：． 29．（多选）（2024秋•广东期末）已知抛物线的焦点为，过点作斜率不为0的直线与只有1个交点，过点作与平行的直线与交于，两点，则　　 A．的斜率为 B． C． D．△的面积为2 【解答】解：设直线方程为，由消去得，△， 解得，，点， 对于，的斜率，正确； 对于，，正确； 对于，由对称性不妨令点，则直线， 由消去得，设，，，， 则，，， 点到直线的距离，△的面积，错误，正确． 故选：． 30．（多选）（2024秋•广州校级期末）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则　　 A． B． C．以为直径的圆与相切 D． 【解答】解：直线过抛物线的焦点，可得，则，所以错误； 抛物线方程为，准线的方程为， 直线与抛物线交于，两点， 设，，，，直线方程代入抛物线方程消去，可得， 则，所以，所以错误； ，的中点的横坐标，中点到抛物线的准线的距离为， 则以为直径的圆与相切，所以正确； 点到直线的距离，所以正确． 故选：． 31．（2024秋•新会区校级期末）已知抛物线的焦点为，，过点作直线的垂线，垂足为，点是抛物线上的动点，则 （1）抛物线的准线方程为 　　． （2）的最小值为 　　． 【解答】解：（1）由抛物线，得，，， 抛物线的准线方程为． （2）由直线方程，得， 直线过定点，连结，则， 由题意知点在以为直径的圆上，设， 点的轨迹方程为（不包含点， 记圆的圆心为， 过点，，分别作准线的垂线，垂足分别为，，，连接， 则， 当且仅当，，，四点共线且点在中间时等号同时成立， 的最小值． 故答案为：；． 32．（2024秋•深圳校级期末）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，为与的一个公共点． （1）求，的方程； （2）过点的直线交于，两点，交于，两点，若，求的方程． 【解答】解：（1）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，为与的一个公共点， 将代入得， 则的方程为， 其焦点坐标为， 因为也是椭圆的一个焦点， 所以①； 又过点， 所以②， 联立①②得， 所以，， 故的方程为． （2）当直线斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不合要求， 故直线的斜率不为0，设方程为， 联立与， 可得， 则△， 设，，，， 故，， 则， 故， 联立与， 可得， 则△， 设，，，， 则， 则， 所以， 解得， 所以直线方程为． 33．（2024秋•清远期末）如图，已知直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，且． （1）求抛物线的方程； （2）若直线与直线关于轴对称，试在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短，并求出最短距离． 【解答】解：（1）联立消去并整理得， 设，，，，则，， 所以， 因为， 所以， 解得， 所以抛物线的方程为． （2）由题知，直线的方程为， 令直线平行于直线，且与抛物线相切，则切点即为点． 设直线的方程为， 联立消去并整理得， 令．解得， 所以，解得，所以． 所以点的坐标为，最短距离为． 34．（2024秋•潮州期末）设为抛物线的焦点，为的准线与轴的交点，且直线过点． （1）若与有且仅有一个公共点，求直线的方程； （2）若与交于，两点，且，求△的面积． 【解答】解：（1）易知，， 若直线与轴垂直， 此时直线的方程为， 则直线与只有一个交点； 若直线与轴不垂直， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 因为直线与抛物线有且仅有一个公共点， 所以△， 解得， 此时的方程为或， 综上所述，满足条件的直线的方程为或或； （2）若与交于，两点， 由（1）得△， 解得， 设，， 由韦达定理得，， 因为， 所以， 因为，， 所以， 整理得， 因为，， 解得． 则△的面积． 35．（2024秋•广东校级期末）已知直线与抛物线交于，两点，，为坐标原点． （1）求； （2）过点作直线交抛物线于，两点，且点是线段的中点，求三角形的面积． 【解答】解：（1）设，，，， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得，， 所以， 解得或（舍去）， 所以； （2）设，，，， 易知，， 两式作差得， 因为中点坐标为， 所以，， 所以， 即， 可得直线的方程为， 即， 所以直线过抛物线的焦点， 弦长， 又点到直线的距离为． 则． 36．（2024秋•新会区校级期末）对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决以下问题： 如图，已知抛物线的图象与轴交于、两点，且过点． （1）求抛物线的解析式和点坐标； （2）若将抛物线的图象向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到抛物线的图象． ①设为抛物线上任意一点，轴于点，求的最小值； ②直线过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点，证明：以为直径的圆与抛物线的准线相切． 【解答】解：（1）把代入得：，解得， 所以抛物线的解析式为； 在中，令得，或，所以． （2）①根据题意，抛物线解析式为， 所以抛物线的焦点为，准线为， 设抛物线的焦点为，延长交直线于点，连接、，交抛物线于点，如图： 由抛物线焦点和准线的性质可得， ， 因为， 所以， 因为， 所以点与点重合时的值最小，此时的值最小， 因为，，，，， 所以的最小值为． ②证明：设直线的解析式为， 由，得或， 不妨设，， 以为直径的圆，圆心为的中点即，， 抛物线的准线为，以为直径的圆圆心到准线的距离为， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相切． 37．（2024秋•广东校级期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且过点的直线与相切于点，． （1）求抛物线的方程． （2）设过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，点在与之间． 证明：轴平分． 记△的面积为，△的面积为，求的取值范围． 【解答】（1）解：由已知得，设，，由已知得直线的斜率恒不为0， 故可设． 联立，得， 由△，解得， 则，． ，，解得，即抛物线的方程为； （2）证明：如图， 由已知得直线的斜率恒不为0，故设的方程为，，，，， 由（1）得． 联立，得， 则，， ， 故轴平分； 解：由可知直线与关于轴对称，则点，关于轴对称，则，． 不妨设，点在与之间，，， ，， 则，令，则， 令，则，解得；由，则，解得． 则在上单调递增，在上单调递减，可得， 故的取值范围为． 地 城 考点05 抛物线的弦长问题 38．（2024秋•汕头期末）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点，在上，且，则的方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由抛物线的定义，可知， 又， 则， 则， 即， 由点，在上， 得， 即， 又， 则． 所以的方程为． 故选：． 39．（2024秋•深圳期末）已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，若，则△的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点， 则， 由题意不妨设直线的方程为， 联立， 则， 设，，，， 则， 又， 则， 则， 则△的面积为． 故选：． 40．（多选）（2024秋•深圳校级期末）已知抛物线的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，，，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（　　） A．抛物线的焦点坐标是 B． C．若，则 D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 【解答】解：已知抛物线的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，，，两点，为弦的中点， 对选项，抛物线的焦点到准线的距离是4， 所以， 则， 故正确． 对选项，当直线的斜率不存在时， 则， 所以， 当直线的斜率存在时，设， 得：， 所以． 故正确． 对选项，，故错误． 对选项， 过，，分别向准线作垂线，垂足为，，， 因为，， 所以， 即以为直径的圆与的准线相切， 故正确． 故选：． 41．（2024秋•广东期末）已知点是抛物线上一点，为的焦点，且． （1）求的准线方程； （2）若点位于第一象限，求在点处的切线的方程． 【解答】解：（1）已知点是抛物线上一点，为的焦点， 又． 则， 所以， 可得， 所以的准线方程为． （2）因为点在抛物线上， 所以， 又位于第一象限， 所以， 所以， 过点的直线与相切， 若直线斜率不存在，不符合题意； 设直线， 联立， 得， 当时，△， 即， 即， 当时，， 又与抛物线相交，不符合题意； 所以的方程为， 即． 地 城 考点06 抛物线的定点问题 42．（2024秋•电白区期末）如图，已知抛物线，过点作斜率为，的直线，，分别交抛物线于，与，，当时，为的中点． （1）求抛物线的方程； （2）若，证明：； （3）若直线过点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标． 【解答】解：（1）当时，直线的方程为， 设，，，， 联立，消去并整理得， 因为的中点， 所以， 解得， 则抛物线方程为； （2）证明：因为，， 设的方程为，直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得，， 所以 ， 因为，， 所以， 同理得， 因为， 所以， 因为， 所以， 则； （3）证明：设直线的方程为， 因为直线过点， 所以，① 设，，，， 直线的方程为， 因为直线过点， 所以，② 直线的方程为， 联立①②，可得， 所以， 此时直线的方程为， 即． 则直线恒过点． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $