寒假作业11 角度中的动态问题（巩固培优）（积累运用+巩固提升5大题型+能力培优+创新题型）七年级数学新教材人教版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 角度中的动态问题 角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 1．（25-26七年级上·浙江杭州·校考期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示）；(3)从图2的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 2.（24-25七年级上·广东汕头·期末）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺（其中）的顶点放在夹角为的两条直线、的交点处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点顺时针旋转（即）． (1)如图2，若，则______，_____； (2)若射线是的角平分线，且．①当旋转到图3的位置，若，求的度数；②在旋转过程中，若，且，则此时的值． 题型2旋转中的‌定值模型 3．（24-25七年级上·广东汕头·期末）如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转．(1)当射线，重合时，______，(2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 4.（24-25七年级上·山西运城·期末）活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线上，45°角的顶点与60°的顶点重合于点，斜边与直角边在直线上，然后将直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，_________，_________； (2)“希望”小组同学发现：当时，是的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，为定值．请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由． 题型3旋转中的存在性模型（探究型） 5．（24-25七年级上·上海·期末）已知，射线在的内部，射线，分别是和的角平分线．    (1)如图1，若，求的度数；(2)请从下面，两题中任选一题作答，我选择　题． ．如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为　　． ．若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数． 6.（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）点O为直线上一点，过点O作射线，使，平分（如图1）． 将一直角三角板的直角顶点放在点O处，设直角三角板两直角边分别为、（，）． 边在射线上． (1)在图1中， ；(2)如图2所示，将直角三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当与垂直时，则旋转时间t的值为多少秒？(3)将直角三角板绕点O顺时针旋转，当在内部运动时，请直接写出此时与的数量关系． 7.（24-25七年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转．    (1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则________； (2)如图3，A、O、B三点共线，且，平分，求大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为________； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线）．请帮助乐乐求出运动过程中与的数量关系． 题型4旋转中的分类讨论模型 8．（25-26七年级上·辽宁营口·校考期末）数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”． (1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由；(2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度；(3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由． 9.（24-25七年级上·上海黄浦·期末）如图1，点A为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点A处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．    (1)将三角板绕点A逆时针旋转，若恰好平分（如图2），则 °； (2)将三角板绕点A在直线上方逆时针旋转，当落在内部，且时，则 °；(3)将图1中的三角板和射线同时绕点A，分别以每秒和每秒的速度顺时针分别旋转一周后停止，求第几秒时，射线恰好与射线成角？ 题型5旋转中的新定义模型 10．（23-24七年级上·浙江台州·期末）定义：当射线在内部，时，我们称为射线在内的角值，记作．如图1，若，，则，则． (1)如图1，射线在内部，若，则_________；若，则__________；(2)如图2，已知，射线，分别从射线和同时开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点逆时针旋转，当射线旋转到射线时，射线，停止旋转．设运动时间为秒．①若射线，的运动速度均为每秒，试用含的式子表示和，并直接写出它们的数量关系；②若射线，的运动速度分别为每秒和，射线到达射线后立即以原速返回，则当为何值时，? (3)如图3，在钟面内有三条射线，和，分别指向12点，4点，8点．射线，同时从射线开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点逆时针旋转，同时到射线停止旋转．设，当射线运动到的内部时，请用含的式子表示． 11.（24-25七年级下·浙江金华·开学考试）定义：如果两个角相差，则称这两个角互为“优角”，也可以说一个角是另一个角的优角．现有一副三角板按图所示摆放，其中、、三点共线，我们可以说和都是的优角． (1)在图中，的优角有______个． (2)如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至． ①当旋转的角度为何值时，与互为优角？ ②如图，作的角平分线，是否存在这样的，使得，这两个角都是同一个角的优角．若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 1．（24-25七年级上·河北·阶段练习）题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 2．（24-25七年级下·重庆巫山·期中）如图，点O在直线上，过O作射线，一块三角板的直角顶点与点O重合，边在射线上，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　） A．5 B．6 C．5或23 D．6或24 3．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（   ） A．当值为秒时， B．当时，两射线的旋转时间一定为秒 C．整个运动过程中，不存在的情况 D．当值为秒时，射线恰好平分 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一条射线，将一把直角三角尺的直角顶点放在处，，将绕着点按每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，分别作出、的角平分线、．在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为（   ）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角） A． B． C．或 D．或 5．（24-25·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为．其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 7．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分，，将三角板绕点旋转（旋转过程中与均指大于且小于的角）将三角板绕点旋转一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 8．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线分别平分、，当时， ． 9．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，已知，将绕点旋转，使射线的夹角为，平分，，，则的度数为 （用含的代数式表示）．    10．（24-245七年级上·河北唐山·期中）如图，已知，当绕着点旋转且在内部时， ． 1．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ． 2.（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点出发在内引射线，满足，若平，求的度数；(3)如图3所示，若，射线，射线分别从出发，并分别以每秒1D和每秒20的速度绕着点逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为秒．当，求的值． 3.（24-25七年级上·山东临沂·期末）【探究与实践】如下三角板，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧． 【问题发现】（1）保持三角板不动，将三角板绕点旋转至如图2所示的位置，则 ① ；② ． 【问题探究】（2）若三角板按每秒的速度绕点逆时针方向旋转，同时三角板按每秒的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，旋转时间为秒钟． ①计算为何值时，与重合；②计算（用含的代数式表示）． 【问题解决】（3）保持三角板不动，将三角板绕点逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，直接写出的大小． 4.（24-25七年级上·湖北十堰·期末）已知 与互补，将绕点O逆时针旋转．    (1)若①如图1，当时， ； ②将绕点O逆时针旋转至，求与的度数； (2)将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的度数是否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由． 5.（24-25·江苏南京·七年级校考期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角） （1）图中一定有　 　个直角；当t＝2时，∠MON的度数为　 　，∠BON的度数为　 　； （2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值； （3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值． 6.（24-25七年级上·河北承德·期末）已知，作射线，再分别作和的平分线，．(1)如图1，当平分时，求的度数． (2)如图2，嘉嘉说：“若在内旋转，因为和的度数不能确定，所以的度数不能计算．”琪琪说：“你说得不对，的度数能算．且的度数不变．”请你判断嘉嘉和琪琪谁的说法正确，并说明理由．(3)当射线在外绕点旋转且为钝角时，在备用图中画出图形、并探究的度数．（不必写出过程） 7.（24-25七年级上·湖南湘西·期末）解决一个问题往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】（1）如图（1），已知，，为的平分线，则的度数为 ；（直接写出答案，不要求写解答过程） 【探索归纳】（2）如图（1），若，，为的平分线，猜想的度数（用含m，n的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】（3）如图（2），若，，，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当某一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．求运动几秒时，、、这三条射线会第一次出现其中某一条射线是另外两条射线夹角的平分线？ 8.（24-25七年级上·福建厦门·期末）定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线的“双倍和谐线”． (1)如图1，射线是不是射线，的“双倍和谐线”？并说明理由． (2)如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线与射线重合时，运动停止． ①当射线是射线的“双倍和谐线”时，求t的值． ②若在射线旋转的同时，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分，当射线位于射线左侧且射线是射线的“双倍和谐线”时，求的度数． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 角度中的动态问题 角度旋转模型解题步骤： ①找——根据题意找到目标角度；②表——表示出目标角度： 1）角度一边动另一边不动，角度变大：目标角=起始角+速度×时间； 2）角度一边动另一边不动，角度变小：目标角=起始角—速度×时间； 3）角度一边动另一边不动，角度先变小后变大。 变小：目标角=起始角—速度×时间；变大：目标角=速度×时间—起始角 ③列——根据题意列方程求解。 注：①注意题中是否确定旋转方向，未确定时要分顺时针与逆时针分类讨论；②注意旋转角度取值范围。 一副三角板有两个，一个是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一个是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋转中隐藏的条件就是上面所说的这几个特殊角的角度。 总之不管这个角如何旋转，它的角度大小是不变的，旋转的度数就是组成角的两条射线旋转的度数（角平分线也旋转了同样的度数）。抓住这些等量关系是解题的关键，三角板只是把具体的度数隐藏了起来。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型1旋转中的角度的和差倍分模型（求值模型） 1．（25-26七年级上·浙江杭州·校考期末）如图1，已知，，在内，在内，绕点O旋转，在旋转过程中始终有，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____°； (2)从图2中的位置绕点O顺时针旋转，求、的度数．（用 n的代数式表示）；(3)从图2的位置绕点 O逆时针旋转（且），求的度数． 【答案】(1)100(2)，(3) 【分析】本题考查角的数量关系，数形结合是解答本题关键．（1）根据可得答案；（2）先分别表示出，，根据，求解即可；（3）分二种情况：①当时，②当时，画出图形计算即可． 【详解】（1）∵，，∴， ∴；故答案为：100； （2）如图，∵，，， ∴，， ∵，， ∴，； （3）①当时，如图， ∵，∴，， ∵，， ∴； ②当时，如图， ∵，∴，， ∴． 综上所述：的度数为． 2（24-25七年级上·广东汕头·期末）如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺（其中）的顶点放在夹角为的两条直线、的交点处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点顺时针旋转（即）． (1)如图2，若，则______，_____； (2)若射线是的角平分线，且． ①当旋转到图3的位置，若，求的度数； ②在旋转过程中，若，且，则此时的值． 【答案】(1)；(2)①；②的值为或 【详解】（1）解：由题意得， ∵，∴； ∵，∴， 故答案为：；； （2）解：①∵，，∴， ∵射线是的角平分线，∴，即， 又∵，∴，∴； ②当位于内部时，∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴； 当位于内部时，如图， ∵，，∴， ∵平分，∴，， ∴，， ∵，∴，解得， 综上所述，若，β的值为或． 题型2旋转中的‌定值模型 3．（24-25七年级上·广东汕头·期末）如图，，角的顶点互相重合，将绕点旋转．(1)当射线，重合时，______，(2)在绕点旋转的过程中，若射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线，则的度数为______； (3)在绕点旋转的过程中，若射线始终在的内部． ①普于思考的小明发现，在旋转过程中，的值为定值，请你求出这个定值； ②作和的平分线，，在旋转过程中的值是否发生变化？若不变，请求出这个定值，若变化，请求出变化的范围． 【答案】(1)(2)或或(3)①；②度数不发生变化，为定值，理由见解析 【详解】（1）解：∵，， ∴当射线，重合时，，故答案为：； （2）解：如图2-1所示，当是的角平分线时，则； 如图2-2所示，当是的角平分线时，则； 如图2-3所示，当是的角平分线时，则； 综上所述，的度数为或或； （3）解：①如图所示，∵，， ∴， ∴； ②度数不发生变化，为定值，理由如下： ∵，，∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴． 4.（24-25七年级上·山西运城·期末）活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线上，45°角的顶点与60°的顶点重合于点，斜边与直角边在直线上，然后将直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，_________，_________； (2)“希望”小组同学发现：当时，是的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，为定值．请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)，(2)见解析(3)正确，； 【详解】（1）解：， ，故答案为：，． （2）解：直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转，当时， ，则, ∵,∴是的角平分线． （3）解：正确，； 直角三角板旋转至如图③的位置时， ，，． 题型3旋转中的存在性模型（探究型） 5．（24-25七年级上·上海·期末）已知，射线在的内部，射线，分别是和的角平分线．    (1)如图1，若，求的度数；(2)请从下面，两题中任选一题作答，我选择　题． ．如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为　　． ．若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数． 【答案】(1)(2)选择A: ；选择B：∠EOF的度数是或 【详解】（1）解：，，， ，分别是和的角平分线， ，，； （2）解：选择题．，分别是和的角平分线， ，， ；故答案为：； 选择题．①射线，只有1个在外面，如图3①，      ． ②射线，个都在外面，如图3②， ． 故的度数是或． 6.（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）点O为直线上一点，过点O作射线，使，平分（如图1）． 将一直角三角板的直角顶点放在点O处，设直角三角板两直角边分别为、（，）． 边在射线上． (1)在图1中， ；(2)如图2所示，将直角三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当与垂直时，则旋转时间t的值为多少秒？(3)将直角三角板绕点O顺时针旋转，当在内部运动时，请直接写出此时与的数量关系． 【答案】(1)；(2)或时与垂直；(3) 【详解】（1）解：∵，∴， ∵平分，∴； （2）解：由题意可得， ①当在之内时，由（1）得，， ∵，∴，即：，解得：， ②当旋转超过时，如图， ， ∵，∴，即：，解得：， 综上所述：或时与垂直； （3）解：由题意可得，如图所示， 设，∵， ∴， ，∴． 7.（24-25七年级上·广东茂名·阶段练习）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转．    (1)如图2，A、O、B三点共线，点C、D重合，，则________； (2)如图3，A、O、B三点共线，且，平分，求大小； (3)第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然A、O、B三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为________； (4)第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线）．请帮助乐乐求出运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)90(2)(3) (4)当时，；当时， 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线，∴， ∵，∴，故答案为：90； （2）解：∵，设，， ∵平分，∴， ∵A，O，B三点共线，∴，∴，解得：， ∴ （3）解：这个定值是，理由：∵，设，则， ∴，， ∴， ∴小田的发现是正确的，这个定值是；故答案为： ； （4）解：∵，平分， ∴，， 设运动时间为，则，∴， 当点，，A三点共线时，； ∴当时，，，∴； 当时，，，∴， 综上，当时，；当时，． 题型4旋转中的分类讨论模型 8．（25-26七年级上·辽宁营口·校考期末）数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”． (1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由；(2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度；(3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见详解(2)9或6或12(3)或或，理由见详解 【详解】（1）解：是，理由如下：∵点C为线段的中点，∴，∴， 则线段的中点是这条线段的“幸福点”； （2）∵点C为线段的“幸福点”，，∴，或，或； 当，则；当，则，解得； 当，则，解得，那么； 综上所述，线段的长度9或6或12； （3）根据题意得，，则，， 当重合时，，解得，∴射线与射线运动时间为， ∵射线是以射线、为边构成角的“幸福线”， ∴，或，或， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，t为或或时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”． 9.（24-25七年级上·上海黄浦·期末）如图1，点A为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点A处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．    (1)将三角板绕点A逆时针旋转，若恰好平分（如图2），则 °； (2)将三角板绕点A在直线上方逆时针旋转，当落在内部，且时，则 °；(3)将图1中的三角板和射线同时绕点A，分别以每秒和每秒的速度顺时针分别旋转一周后停止，求第几秒时，射线恰好与射线成角？ 【答案】(1)22.5(2)144(3)第5秒或25秒或142.5秒或172.5秒 【详解】（1）解：∵，∴， ∵平分，∴， ∵，∴；故答案为：22.5； （2）解：如图3，设，则，       由（1）知：，∴，∴， ∴，故答案为：144； （3）解：三角板运动时间为：，射线运动时间为：， 设运动时间为t秒，当射线与重合时，如图4，有，∴； 当射线恰好与射线成角时，存在以下三种情况： ①当时，如图5，有，  ∴； ②当时，如图6，有，∴；       ③后，射线停止，三角板继续旋转， 有（如图7）或（如图8），∴和； 综上，第5秒或25秒或142.5秒或172.5秒时，射线恰好与射线成角． 题型5旋转中的新定义模型 10．（23-24七年级上·浙江台州·期末）定义：当射线在内部，时，我们称为射线在内的角值，记作．如图1，若，，则，则． (1)如图1，射线在内部，若，则_________；若，则__________；(2)如图2，已知，射线，分别从射线和同时开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点逆时针旋转，当射线旋转到射线时，射线，停止旋转．设运动时间为秒．①若射线，的运动速度均为每秒，试用含的式子表示和，并直接写出它们的数量关系；②若射线，的运动速度分别为每秒和，射线到达射线后立即以原速返回，则当为何值时，? (3)如图3，在钟面内有三条射线，和，分别指向12点，4点，8点．射线，同时从射线开始旋转，其中射线绕点顺时针旋转，射线绕点逆时针旋转，同时到射线停止旋转．设，当射线运动到的内部时，请用含的式子表示． 【答案】(1)，(2)①；②的值为3或7(3) 【详解】（1）解：依题意，∵射线在内部，若，则； ∵，∴； （2）解：①由题意可知，． ，，． ，， ．． ②运动到时，，停止运动，，． 当时，，，． ，若，则，解得． 当时，，， 同理可由，解得．综上，的值为3或7． （3）解：由射线所对应的时间可知． ，同时到射线停止旋转，的速度是的2倍，， ，，． 当射线运动到内部时，，， ． 11.（24-25七年级下·浙江金华·开学考试）定义：如果两个角相差，则称这两个角互为“优角”，也可以说一个角是另一个角的优角．现有一副三角板按图所示摆放，其中、、三点共线，我们可以说和都是的优角． (1)在图中，的优角有______个． (2)如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至． ①当旋转的角度为何值时，与互为优角？ ②如图，作的角平分线，是否存在这样的，使得，这两个角都是同一个角的优角．若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2)①或；②或或 【详解】（1）解：由题意可得，，，， ∴，，， ∴的优角为或， ∴、、是的优角，其他角不是的优角， ∴在图中，的优角有个，故答案为：； （2）解：①由（）得，，由旋转得，∴， 当与互为优角时，可列出方程：， ∴或，解得或； ②∵，的角平分线是， ∴，， 根据优角的定义可得，同角的优角要么相等，要么相差． 当时，（），，解得． （），，解得（舍）或（舍）． 当时，（），，解得． （），，解得或（舍）． 综上所述，，或． 1．（24-25七年级上·河北·阶段练习）题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【详解】解：由题意，可知：，∴， 当两个三角板不重合时，如图：则：， 当两个三角板有重合部分时，如图：∵，∴， ∴，∴；故甲、乙答案合在一起才完整；故选C． 2．（24-25七年级下·重庆巫山·期中）如图，点O在直线上，过O作射线，一块三角板的直角顶点与点O重合，边在射线上，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　） A．5 B．6 C．5或23 D．6或24 【答案】D 【详解】解：∵，∴， 如图，平分，当旋转到直线上时，满足题意， ∴． ∵，， ∴．根据题意得：或， 解得：或，∴t的值为6或24．故选：D． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（   ） A．当值为秒时， B．当时，两射线的旋转时间一定为秒 C．整个运动过程中，不存在的情况 D．当值为秒时，射线恰好平分 【答案】D 【详解】解：当秒时，顺时针旋转，逆时针旋转， 此时，故A选项错误，不符合题意； ∵，当时，有，， 则有，即，解得：， 当时，有，， 则有，即，解得：， 当时，有，， 则有，即，解得：， 两射线的旋转时间为秒或秒或秒时，故B选项错误，不符合题意； ∵，当时，有，， 则有，即，解得：， 当时，有，， 则有，即，解得：， 整个运动过程中，存在的情况，故C选项错误，不符合题意； 当秒时，，， ，恰好平分，故D选项正确，符合题意．故选：D． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一条射线，将一把直角三角尺的直角顶点放在处，，将绕着点按每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，分别作出、的角平分线、．在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为（   ）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：①如图，当时，∵，∴， ∵平分，∴， ∴，即：，解得：； ②如图，当时，∵，∴， ∵平分，∴，∴，解得：， 综上所述，在旋转过程中，当或中有一条射线与平行时，的值为秒或秒，故选：C． 5．（24-25·重庆开州·七年级统考期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为．其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】①如图可得，所以平分，①正确； ②当时，设，∵平分，∴， ∴ ，， ∴， 当时，设，∵平分，∴， ∴，∴， ∴，∴，故②正确； ③时，时，时故③正确； ④当时，当时，故④错误； 综上所述，正确的结论为①②③；故选：C． 6．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】或 【详解】解：∵，，是的两条三分线， ∴， ①当，如图， 如原图所示：，所以； ②当时，如图， 则，所以，．故答案为：或． 7．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，将直角三角板的直角顶点落在直线上，射线平分，，将三角板绕点旋转（旋转过程中与均指大于且小于的角）将三角板绕点旋转一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】或 【详解】解：当在上方时，如图， ∵，∴，， ∵平分，∴， ∴； 当在下方时，如图，∵，∴， ∵平分，∴， ∵，∴； ∴的度数为或，故答案为：或． 8．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线分别平分、，当时， ． 【答案】/12度 【分析】分两种情况讨论：当点E在直线上方时，当点E在直线下方时，用含x的式子分别表示出和，再由，建立关于x的方程，即可求解． 【详解】解：设， 当点E在直线上方时，则， ∵平分，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，解得：，即； 当点E在直线下方时，则， ∵平分，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，解得：，此时， ∴此情况不存在，舍去；故答案为： 9．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，已知，将绕点旋转，使射线的夹角为，平分，，，则的度数为 （用含的代数式表示）．    【答案】或 【详解】解：如图，当在外部时，由题意可得：，   ，  ， ，， 平分，， ； 如图，当在内部时，由题意可得：， ，， 平分，， ； 综上所述：的度数为或，故答案为：或． 10．（24-245七年级上·河北唐山·期中）如图，已知，当绕着点旋转且在内部时， ． 【答案】/150度 【分析】本题主要考查了平面图形中角的计算，设，求出，，是解题的关键． 【详解】解：设，∵， ∴，， ∴．故答案为：． 1．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，于点，，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，，则与之间的数量关系为 ． 【答案】或 【详解】解：由题意，得：的运动时间为：秒，的运动时间为：秒； ∴运动的时间相同；设运动时间为秒，则：， ∵，∴， 当时：， ∴，，∴，∴， ∴，即：； 当，在上方时：如图，， ∴，， ∴，∴，∴，即：； 当，在下方时：如图2，， ∴，， ∴，∴，∴，即：； 综上：与之间的数量关系为或；故答案为：或． 2.（24-25七年级上·湖南岳阳·期末）已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点出发在内引射线，满足，若平，求的度数；(3)如图3所示，若，射线，射线分别从出发，并分别以每秒1D和每秒20的速度绕着点逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为秒．当，求的值． 【答案】(1)(2)(3)当时， 【详解】（1）解：，，， 平分，平分，，， ，，； （2）解：，，，， ，， 平分，，； （3）解：，，， ， ，，，， ， ，，，∴当时候，． 3.（24-25七年级上·山东临沂·期末）【探究与实践】如下三角板，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧． 【问题发现】（1）保持三角板不动，将三角板绕点旋转至如图2所示的位置，则 ① ；② ． 【问题探究】（2）若三角板按每秒的速度绕点逆时针方向旋转，同时三角板按每秒的速度也绕点逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，旋转时间为秒钟． ①计算为何值时，与重合；②计算（用含的代数式表示）． 【问题解决】（3）保持三角板不动，将三角板绕点逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，直接写出的大小． 【答案】（1）①；②；（2）①；②；（3）或 【详解】解：（1）①， 故答案为：； ②， ；故答案为：； （2）①设旋转时间为秒，则，， 当与相遇时，，解得：； ②如图，因为，， 所以； （3）设绕点逆时针旋转，时，如图， ，，， 平分，， ，平分，， ，； ②时，如图，，，， 平分，， ，平分，， .综上，或. 4.（24-25七年级上·湖北十堰·期末）已知 与互补，将绕点O逆时针旋转．    (1)若①如图1，当时， ； ②将绕点O逆时针旋转至，求与的度数； (2)将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的度数是否随之的改变而改变？若不改变，请求出这个度数；若改变，请说明理由． 【答案】(1)①150；②，或，(2)不改变，其度数为 【详解】（1）①∵，∴， ∵，，∴，故答案为150； ②(Ⅰ)当在内部时（如图1），设，则， ， 由得，，解得， ∴， ∴；       (Ⅱ) 当在内部时（如图2）， 设，则， 由得，，解得， ，， ∴； （2）不改变，其度数为．设，由条件知，分四种情况： ⅰ)当在内部时（如图3），  ， ，， ∴； ⅱ) 当在内部时（如图4），  ， ，∴； ⅲ)当在内部时（如图5），  ， ，∴； ⅳ)当在外部时（如图6），  ； 综上所述，在旋转过程中，的度数不改变，其度数为． 5.（24-25·江苏南京·七年级校考期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角） （1）图中一定有　 　个直角；当t＝2时，∠MON的度数为　 　，∠BON的度数为　 　； （2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值； （3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值． 【答案】(1)4；144°，114°；(2)t的值为10s；(3)当射线OM在∠COB内部，且是定值时，t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3 【详解】（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD， ∴∠AOC＝∠AOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD＝90°，∴图中一定有4个直角； 当t＝2时，∠BOM＝30°，∠NON＝24°， ∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，∠BON＝90°+24°＝114°；故答案为：4；144°，114°； （2）如图所示，∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°， ∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD， ∴∠COE＝∠COM＝（15t﹣90°），∠DOF＝∠DON＝×12t， ∵当∠EOF为直角时，∠COE+∠DOF＝90°， ∴（15t﹣90°）＝×12t，解得t＝10，∴当∠EOF为直角时，t的值为10s； （3）当∠MON＝180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，∴15t+90°+12t＝180°，解得t＝， 当∠BOM＝90°时，15t＝90°，解得t＝6， ①如图所示，当0＜t＜时，∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t ∴＝，（不是定值） ②如图所示，当＜t＜6时，∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t， ∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t， ∴＝=3，（是定值） 综上所述，当射线OM在∠COB内部，且是定值时， t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3． 6.（24-25七年级上·河北承德·期末）已知，作射线，再分别作和的平分线，．(1)如图1，当平分时，求的度数． (2)如图2，嘉嘉说：“若在内旋转，因为和的度数不能确定，所以的度数不能计算．”琪琪说：“你说得不对，的度数能算．且的度数不变．”请你判断嘉嘉和琪琪谁的说法正确，并说明理由．(3)当射线在外绕点旋转且为钝角时，在备用图中画出图形、并探究的度数．（不必写出过程） 【答案】(1)(2)琪琪的说法正确，嘉嘉的说法不正确，理由见解析(3)为或 【详解】（1）解：∵，分别平分和， ∴，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴， ∴，∴； （2）解：琪琪的说法正确，嘉嘉的说法不正确，理由如下： ∵平分，平分，∴，， ∴； （3）解：设旋转角为，①当时，如图， ∵平分，平分，∴． ∵，，∴； ②当时，在的下方，如图， ∵平分，平分，∴． ∵，， ∴；综上分析可知：或． 7.（24-25七年级上·湖南湘西·期末）解决一个问题往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】（1）如图（1），已知，，为的平分线，则的度数为 ；（直接写出答案，不要求写解答过程） 【探索归纳】（2）如图（1），若，，为的平分线，猜想的度数（用含m，n的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】（3）如图（2），若，，，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当某一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．求运动几秒时，、、这三条射线会第一次出现其中某一条射线是另外两条射线夹角的平分线？ 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）经过秒时，第一次出现其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线 【详解】解：（1）∵，，∴， ∵为的角平分线，∴， ∴，故答案为：； （2）∵，，∴， ∵为的角平分线，∴， ∴，故答案为：； （3）解：设运动时间为t，延长到E，由题意知，旋转了，旋转了，旋转了， ，， ∴，，， ∴经过9秒射线与直线重合，经过8秒射线与直线重合，经过4秒射线与直线重合， ∴总运动时间为4秒， ①当为，夹角的角平分线，即平分，此时， ∴，，解得：（舍去）； ②当为，夹角的角平分线，即平分，， ∴，∴ 解得：； ∴运动秒时，、、这三条射线会第一次出现其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线． 8.（24-25七年级上·福建厦门·期末）定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线的“双倍和谐线”． (1)如图1，射线是不是射线，的“双倍和谐线”？并说明理由． (2)如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线与射线重合时，运动停止． ①当射线是射线的“双倍和谐线”时，求t的值． ②若在射线旋转的同时，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分，当射线位于射线左侧且射线是射线的“双倍和谐线”时，求的度数． 【答案】(1)射线是射线，的“双倍和谐线”，理由见解析 (2)①当射线是射线、的“双倍和谐线”时，t的值为或；②当射线是射线、的“双倍和谐线”时，的度数为或 【详解】（1）是，∵平分，∴， ∴射线与射线形成的角是射线与射线组成的角的2倍， ∴射线是射线，的“双倍和谐线”； （2）①解：由题意得：，， ∵射线是射线，的“双倍和谐线”，∴或， 如图所示：当时，则：，解得：； 如图所示：当时，则：，解得：； 综上，射线是射线，的“双倍和谐线”时，t的值为或； ②解：由题意得：，，，， ∵当射线与射线重合时，运动停止，∴此时， ∴，解得：．∴当秒时，运动停止，此时， ∵射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”， ∴或， （i）如图所示：当时， 即：， 则：，解得：，∴； （ii）如图所示：当时，即：， 则：，解得：，∴； 综上，当射线是射线、的“双倍和谐线”时，的度数为或． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $