第9章 平面向量（复习课件）数学苏教版必修第二册

单元复习课件 第9章 平面向量 苏教版必修第二册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握平面向量核心知识：理解平面向量的概念、表示方法，熟练掌握向量的模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等相关概念，能准确区分不同类型的向量。 2.深化向量运算理解：熟练掌握平面向量的线性运算及数量积的定义、运算律，能灵活运用这些运算解决向量的化简、求值问题。 3.探究平面向量的性质与应用：掌握平面向量共线、垂直的充要条件，并判断向量的位置关系；理解平面向量的投影概念，结合向量数量积解决与长度、角度相关的问题。 4.培养数学思维与转化能力：在学习过程中，体会数形结合思想、转化与化归思想在向量问题中的应用，通过对比、归纳等方法总结向量知识的内在逻辑。 单元学习目标 实际背景 向量的概念 向量的运算及其几何意义 向量的加、减运算及其几何意义 向量的数乘运算及其几何意义 向量的数量积及其几何意义 平面向量基本定理及坐标表示 平面向量的应用 单元知识图谱 一、平面向量的概念 1 数量与向量 在数学中,把既有大小又有方向的量叫做向量（向量不能比较大小），而把只有 大小没有方向的量称为数量（数量可以比较大小）. 2 向量的二要素 向量由大小与方向两个要素组成.向量的大小是代数特征,方向是几何特征. 思考： 给出下列物理量：①质量；②路程；③密度；④功;⑤时间. 它们是向量吗？为什么？ 提示 它们不是向量，因为质量、路程、密度、功、时间只有大小没有方向 考点串讲 一、平面向量的概念 3 向量的长度 向量的大小称为向量的长度（或称模），记作.向量 的长度在数值 上等于线段 的长度,因此向量的长度（【易错点】向量不能比较大小，但向量的长 度可以比较大小）是非负实数. 4 两种特殊的向量 零向量：长度为0的向量，记作 （印刷用黑体，书写用 ，注意区分）. （【对比理解】注意0与的区别及联系，0是一个实数，是一个向量，且有 ） 单位向量：长度等于1个单位长度的向量. 考点串讲 特别提醒 向量相关概念的理解 1.定义中的零向量、单位向量都是只限制长度，不确定方向.其实，任何向量都 具有大小和方向，零向量的方向是任意的，而单位向量在平面上每个方向上都存在着. 2.当有向线段的起点与终点重合时， . 3.在平面内，将所有单位向量的起点平移到同一点，它们的终点可构成一个半 径为1个单位长度的圆. 一、平面向量的概念 考点串讲 7 二、相等向量与共线向量 1 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行，记作 ． 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量,都有 . 2 相等向量 （1）长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量与相等，记作 . （2）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段 的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向 量完全由它的模和方向确定. （3）零向量与零向量相等，即 . . . 考点串讲 8 3 共线向量 由于向量与起点无关，因此向量是可以自由平 行移动的.也就是说，任一组平行向量都可以平移到 同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量. 如图（1），,, 是一组平行向量，任作 提示 表示共线（平行）向量的有向线段可以在同一条直线上，也可以在平行的直线上. 一条与所在直线平行的直线，在上任取一点，则可在上分别作出 , , ，如图（2）. 二、相等向量与共线向量 考点串讲 9 4 用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 （1）利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且 相等（【关键点】需说明向量所在的直线无公共点）． （2）利用向量共线可以证明直线与直线平行. （3）利用向量可以判断图形的形状（如平行四边形、等腰三角形等）、证明多 点共线（【小结论】若,则,, 三点共线）等． . . . . . . . . . . 二、相等向量与共线向量 考点串讲 10 特别提醒 对共线（平行）向量的四个提醒 1. 理解平行向量的概念时，需注意，平行向量和平行直线是有区别的，平行直 线不包括重合的情况，而平行向量是可以共线的． 2. 共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含 义．实际上，共线（平行）向量有以下四种情况： 显然共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量. . . 二、相等向量与共线向量 考点串讲 11 3.对共线向量的讨论，要考虑方向、长度，尤其不能忘记对零向量的讨论 . 4.向量相等具有传递性，即若,,则 .而向量的平行不具有传递性， 即若,,未必有.因为零向量平行于任意向量，那么当时，, 可以 是任意向量，所以与不一定平行.但若，则必有, .因此，解 答问题时要看清题目中是任意向量还是任意非零向量. . . . . 二、相等向量与共线向量 考点串讲 12 三、向量的线性运算（加、减、数乘） 1 向量加法的定义及两个重要法则：___________、_______________ 三角形法则 平行四边形法则 法则 三角形法则 平行四边形法则 两向量位置关 系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的 情况 两向量起点、 终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起 点，即“首尾相接,首尾连” 两向量起点相同，即应用 前提是“共起点” 考点串讲 13 2 向量加上的相反向量,叫做与的差，即 （【文字理解】减 去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，两个向量的差仍是一个向量）.求两个 向量差的运算叫做向量的减法. 向量减法的三角形法则 如图，已知向量, ,在平面内任取一点 ，作， ，则 （【易混点】强调了差向量 的“箭头”指向被减向量）.即 可以表示为从向 （ 作非零向量,的差向量 ,可以简记为“共起点,连终点,指向被减”.） 量的终点指向向量 的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 三、向量的线性运算（加、减） 考点串讲 14 三、向量的线性运算（加、减） 特别提醒1.向量加法的多边形法则是向量加法的三角形法则的推 广，是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，强调的也是 “首尾相接,首尾连”． 2. 当首尾依次相接的向量构成封闭的“向量链”时，各向量 的和为0．如图，在边形 中，有 特别地，在中，,在四边形 中， . +… .运用以上结论也可以判断一个图形是 否为封闭图形． 考点串讲 15 三、向量的线性运算（加、减） 向量形式的绝对值三角不等式 当向量，不共线时，作，，则 , 根据三角形的三边关系，有 ． 当与同向共线或， 中至少有一个为零向量时，此时 ； 当与反向共线或，中至少有一个为零向量时， 不妨设 ，此时 . 考点串讲 16 故对于任意向量，，总有 ①． 由于 ，所以 ， 即 ②． 将①②两式结合起来，即 （【对比理解】结合三 角形中两边之差小于第三边，两边之和大于第三边理解），我们称之为向量形式的 绝对值三角不等式. 三、向量的线性运算（加、减） 考点串讲 17 四、向量的线性运算（数乘） 向量的数乘运算 一般地，我们规定实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘 （运算结果为向量）,记作 ，它的长度与方向规定如下： （1） ； （2）当时，的方向与 的方向相同； 当时，的方向与 的方向相反. 由（1）可知，当时，;（【详解释】当时,;当 时， .注意结果是零向量，而非实数0.即零乘任何向量的结果为零向量，任意实数 乘零向量的结果为零向量） 考点串讲 向量的数乘的运算律 设 , 为实数，那么（1）； 类比实数的乘法运算进行理解,同 时， （2）；（3） . 特别地，我们有, . 四、向量的线性运算（数乘） 特别提醒（1）实数与向量可以相乘，但不能相加减，如, 均没有意义. （2）对于非零向量,当时，即表示与同向的单位向量；当 时，即表示与 反向的单位向量. （3）向量的数乘运算类似于代数多项式的运算.主要是“合并同类项”“提取公因 式”，但这里的“同类项”及“公因式”指的是向量，实数指的是向量的系数. 考点串讲 三点共线的性质定理 根据向量共线的性质定理及三点共线的判定定理不难得到三点共线的性质定理. 若平面内三点，，共线，为不同于，，的任意一点，设 , 则存在实数 , 使得 . 事实上，若三点，，共线，则一定存在实数使得 .即 ,从而，令, ，则 . 综上，我们得到如下的三点共线定理:已知平面内三点,,,为不同于,, 的 任意一点，,，三点共线当且仅当存在实数 , 使得 ,且 注意是存在 , ，且,并非一定有.如,为线段 的三 等分点时，, , 不唯一，当 在直线 外时，则一定有 . 四、向量的线性运算（数乘） 考点串讲 两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做向量 与的数量积（或内积），记作 （【易错点】不能表示为或 ），即 （【抓重点】两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，其 符号由夹角的余弦值决定）． 由数量积的定义可知， .该式常称为向量的夹角公式，用于求两向量 的夹角.规定:零向量与任一向量的数量积为0，即 ． . . . . . . 五、向量的数量积 考点串讲 五、向量的数量积 我们可以在平面内任取一点，作,.过点 作直线的垂线， 垂足为，则就是向量在向量 上的投影向量. 知识剖析 （1）公式：在上的投影向量为 ，是向量. （2）区别：在上的投影向量（与向量共线）与在 上的投影向量 （与向量 共线）一般是不同的． （3）在上的投影向量的长度为 ，是非负实数． （4）数量积的等价理解：与的数量积等于在上的投影向量与 的数量积.#1.3.3 投影与投影向量 考点串讲 六、平面向量基本定理 对平面向量基本定理的理解 （1）平面向量基本定理包括两个方面的内容：一是存在性，即存在实数, , 使.二是唯一性，即对任一向量，存在唯一一对实数， ，使 . （2）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量,都可以构成基向量.同 一非零向量在不同基底下的分解式是不同的. （3）任一向量都可以由同一个基底唯一表示，即基底给定时，分解形式唯一. ,是被,, 唯一确定的数值. （4）若｛,是表示同一平面内所有向量的一个基底，则当与 共线时， ;当与共线时，;当时， .#1.1.1.4 . . . . . . 考点串讲 七、平面向量运算的坐标表示 两个向量和（差）的坐标表示 设，，则， ，所以 ，即 .同理可得 . 这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. 求任一向量的坐标 已知，，坐标原点为 ， 则， ,所以 . 考点串讲 七、平面向量运算的坐标表示 平面向量共线的坐标表示 设,，其中.我们知道，， 共线的充要条件是存在 实数 ,使.如果用坐标表示，可写为，即消去 , 得.这就是说，向量，共线的充要条件是 （还可以写成 ,即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例）. 知识剖析 当,时,,此时也成立,即对任意向量, 都 有： . . . 考点串讲 七、平面向量运算的坐标表示 平面向量数量积的坐标表示 设 ，，因为， ，所以 .又 , ,，所以 （依据是, 为单位正交向量,则 ， ）.这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 知识剖析 若已知两向量的模与夹角，则可直接利用公式, 求解； 若已知两向量的坐标，则可选用公式 求解. . . . . . . 考点串讲 七、平面向量运算的坐标表示 平面向量长度（模）的坐标表示 若，则,或 . 其含义是：向量的长度（模）等于向量 的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为， ，那么 ， （实质为平面直角坐标系中两 点间的距离的运算）. 知识剖析 向量的模的坐标表示与两点间距离公式的联系 向量的模即向量的长度，其大小等于平面直角坐标系中两点间的距离，如 ,则在平面直角坐标系中，一定存在点，使得 , ,即为点到原点的距离.同样，若, ， 则,,即为， 两点间 的距离. . . . . 考点串讲 题型一、平面向量的概念 2 【例1】[多选题]下列说法正确的是( ) AC A.向量与向量 的长度相等 B.有向线段就是向量，向量就是有向线段 C.零向量的方向是不确定的 D.单位向量的方向是任意的 【解析】向量与向量的长度都等于线段 的长度，故A正确； 有向线段是向量的几何表示，二者并不相同，故B不正确； 零向量的方向是任意的，因此零向量的方向是不确定的，故C正确； 单位向量有无数个，它们的长度相等，但方向不一定相同（单位向量的方向并不是 任意的），每个方向上都有单位向量，故D不正确． . . 题型剖析 题型一、平面向量的概念 [2025广东东莞月考]下列说法正确的是( ) C A.向量的模是一个正实数 B.零向量没有方向 C.单位向量的模等于1个单位长度 D.向量就是有向线段 【解析】 对于A，零向量的模等于零，故A错误；对于B，零向量有方向， 其方向是任意的，故B错误；对于C，根据单位向量的定义可知C正确；对 于D，有向线段只是表示向量的一种表示形式，向量可以自由移动，有向 线段不可以自由移动，所以两者不同，故D错误.故选C. 变式训练 题型二、相等向量与共线向量 2 (2025·湖北省黄冈市期中)下列命题中正确的是( ) D A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B.若，则， 不是共线向量 C.零向量没有方向 D.若，是两个平行向量，则， 也是共线向量 【解析】对于A，两个向量大小相等，方向相同即为相等向量，A错误； 对于B，若向量，的模相等，且方向相反，满足，但， 是共线向量，B错误； 对于C，零向量的方向是任意的，C错误； 对于D，平行向量又称共线向量，D正确. 题型剖析 题型二、相等向量与共线向量 2 （多选）[2025辽宁大连期中]关于平面向量，下列说法正确的是( ) BD A.若，则 B.若，则 C.若,，则 D.若,，则 【解析】 对于A，向量不能比较大小，故A错误；对于B，若 ，则 ，故B正确；对于C，若，则,，但与 不一定平行， 故C错误；对于D，若,，则 ，故D正确. 变式训练 2 如图，点是平行四边形 两条对角线的交点，则下列等式一定成立 的是( ) C A. B. C. D. 【解析】 A . B . C √ . D . 三、向量的线性运算（加、减） 题型剖析 2 三、向量的线性运算（加、减） 对于不等式 ，给出下列四个结论： ①不等式左端的不等号“ ”只能在时取“ ”； ②不等式左端的不等号“ ”只能在与均为非零向量且不共线时取“ ”； ③不等式右端的不等号“ ”只能在与均为非零向量且同向共线时取“ ”； ④不等式右端的不等号“ ”只能在与均为非零向量且不共线时取“ ”． 其中正确的结论有( ) A A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 题型剖析 三、向量的线性运算（加、减） 【解析】当时, 也成立，故①不正确； 当,时， 也成立，故②不正确； 当,至少有一个为 时， 也成立，故③不正确； 当与反向共线时， 也成立，故④不正确. 所以正确的结论有0个. 题型剖析 三、向量的线性运算（加、减） （多选）[2024四川绵阳南山中学期中]下列各式中，化简后是零向量的 是( ) ACD A. B. C. D. 【解析】 A √ . B . C √ . D √ . 变式训练 2 [2024广东东莞中学段考]已知向量，满足， ， 则 的取值范围为_______. ， 【解析】 因为 ，所以 ，当且仅当， 反向时，等号 成立，当且仅当， 同向时， 等号成立.所以的取值范围为， . 三、向量的线性运算（加、减） 变式训练 题型四、向量的线性运算（数乘） 2 [多选题]已知, 为两个非零向量，下列说法中正确的是( ) A.与的方向相同，且的模是 的模的2倍 B.与的方向相反，且的模是的模的 C.表示与向量 同向的单位向量 D.与 是一对相反向量 【解析】，与的方向相同，且, 正确, ,与的方向相同，且,又，与 的方向相反，且 ,与的方向相反，且的模是的模的, 正确. 且的模为1, 正确. 与是一对相反向量，与是一对相反向量， 与 为相等向量, 不正确. ABC 题型剖析 题型四、向量的线性运算（数乘） 2 已知,,三点共线,为直线外任意一点,若,则 ( ) 【解析】由于,,三点共线,所以向量, 在同一直线上,由向量共线定理 可知,必定存在实数 使 , 即 , 所以 , 故, ,即 . 由三点共线的性质定理可知， . B A. B.1 C.2 D. 题型剖析 题型四、向量的线性运算（数乘） 2 (2025·山西省运城市期末)若是 所在平面内的一点，且满足 ，则 的形状为( ) D A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 【解析】 ， , ， 以， 为邻边所作的平行四边形为矩形. ． 为直角三角形（【失分点】因为不一定等于,所以 不一定为等 腰直角三角形）． . . . . 题型剖析 .若将例15题设中的条件“, ”改为“ ,”，则点的轨迹一定通过 的( ) B A.外心 B.重心 C.垂心 D.内心 【解析】由,，得，则 与 的边 上的中线对应向量共线， 又由，知点的轨迹通过 的重心. 题型四、向量的线性运算（数乘） 题型剖析 题型四、向量的线性运算（数乘） [教材改编](2025·广东省华师附中南海实验高级 中学期中)如图，在中，,,是 的中点，是的中点，则 ( ) A. B. C. D. D 【解析】 （利用中点向量公式）,,是的中点， 是 的中点, . （利用向量的加减法法则） . 变式训练 题型四、向量的线性运算（数乘） 在中，为的中点，为线段上一点，若，则实数 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】如图D 6.2.3-1，为 的中点， ,且为线段上一点，,解得 . 变式训练 题型五、向量的数量积 2 如图所示，在平行四边形中，已知，， ， ，则 ( ) B A.12 B.22 C.24 D.72 【解析】由，得， ， . 因为 ，所以 ， 即 .又，，所以 . 题型剖析 题型五、向量的数量积 2 (2025·江苏省宿迁市期中)已知单位向量与的夹角为，若与 垂直， 则实数 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意得 , 若与垂直,则，解得 . 题型剖析 题型五、向量的数量积 2 (2025·江苏省扬州市第一中学月考)在中， ， ，，，，则 的最大值为( ) C A. B. C.1 D.2 【解析】由题可知,, . 则 （之所以选择用，表示和 ,是因为 可以利用已知条件 ，即 ） （转化为熟悉的函数知 识求解，当时，式子取得最大值） . 则 的最大值为1. . . . . . . 题型剖析 题型五、向量的数量积 (2025·广东省汕头市期末)已知，，与的夹角为 ，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由 . 故选C. 变式训练 题型五、向量的数量积 (2025·江西省南昌市质检)在边长为1的正三角形中，设, , 则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】第一步：将,用, 表示出来 如图6.2.4-9,, , . 第二步：将转化为， 间的运算 . 变式训练 题型五、向量的数量积 (2025· 湖南省张家界市民族中学月考)半径为4的圆上有三点,, ，满足 ，点是圆内一点，则 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 【解析】如图6.2.4-13，设与交于点 ，由 ，得,所以四边形 是平行四边形， 又,所以四边形是菱形，且 ，则 , , 由图可知, , 而 , 变式训练 题型六、平面向量基本定理 2 如图所示，在中,是的中点，且,与相交于点 ， 设，，试用基底｛,｝表示向量 . 题型剖析 题型六、平面向量基本定理 2 【解析】 由题知,由,,三点共线，可设，则 . 由是中点，得.由,,三点共线，可设 ，则 . 由平面向量基本定理中的唯一性得 解得所以 . 题型剖析 题型六、平面向量基本定理 2 易得， ， 由，，三点共线可知，存在实数使得 （三点共线的 性质定理） . 由，，三点共线可知，存在实数使得 . 所以 ， 由于{, }为基底， . . . . 所以解得 所以 . . . 题型剖析 题型六、平面向量基本定理 2 (2025·河南省信阳市息县模拟)如图，在中，是的中点， 是 的中点，若，其中,，则 的值为__. 题型剖析 题型六、平面向量基本定理 2 【解析】 因为 ①, ②, 所以由得 ， 由得 . 又，所以 ，故 . 题型剖析 题型六、平面向量基本定理 2 设，，则 ， ， 所以 . 由平行四边形法则知 ，根据平面向量基本定理中的唯一性， 得 两式相加得，解得 . 题型剖析 题型六、平面向量基本定理 (2025·广东省广州市天河外国语学校月考)若, 是平面内的一个基底，则下列 四组向量中能作为平面向量的基底的是( ) D A., B.{, C., D.{, 【解析】对于A,因为 ，向量共线，所以不能作为基底； 对于B,因为 ，向量共线，所以不能作为基底； 对于C,因为 ，向量共线，所以不能作为基底； 对于D,因为与 不共线（可使用反证法证明），所以能作为基底． . . 变式训练 题型六、平面向量基本定理 (2025·湖南省岳阳县第一中学期末)如图，在 中，为边上的中线，为 的中点，若 ，则实数对 ( ) A A. B. C. D. 【解析】因为在中，为边上的中线，为 的 中点，所以 , 又,故, . 变式训练 题型六、平面向量基本定理 如图，在中，, . （1）,求 的值； 【答案】 ,又 , 所以,,故 . （2）若,,试用,表示 . 【答案】因为, , 所以 , 故 . 变式训练 题型七、平面向量运算的坐标表示 2 判断下列各对向量是否垂直: （1）, ; 【解析】,与 垂直. （2）, . 【解析】,与 不垂直. 思考：已知，与 垂直的单位向量的坐标是什么？ 提示 设与垂直的单位向量的坐标是， 与垂直的单位向量的坐标是 ，其中正负号表示不同的方向. 题型剖析 题型七、平面向量运算的坐标表示 2 (2025·四川省南充高级中学月考)向量，，则在 上的投 影向量为( ) D A. B. C. D. 【解析】在上的投影向量为 . 题型剖析 题型七、平面向量运算的坐标表示 2 已知，，且 ． （1）用表示数量积 ； 【解析】由，得 （将所给的向量的线 性组合的模平方是常见的解题方法）, , . 又, ， 故 , , . . . 题型剖析 题型七、平面向量运算的坐标表示 2 （2）求的最小值，并求出此时与 的夹角． 【解析】由（1）得,当且仅当,即 时等号成立.的最小值为 . 设此时与的夹角为 ,则 . 又, . 思路点拨 本题是平面向量的数量积与三角函数的综合问题，由 ，易知 ，根据所给模的等式，两边平 方就可以解决问题． 题型剖析 题型七、平面向量运算的坐标表示 2 (2025·陕西省榆林市第十四中学月考)已知向量，,且与 的 夹角为钝角，则实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 【解析】与的夹角为钝角， ， 即， . 又当与反向时，夹角为 ， 即（当与的夹角为 时,也满足 ,但不符合题意，应舍 去），则，解得 . 由于与的夹角为钝角，故应排除与反向共线的情况，即排除，则实数 的取值范围为 . . . 题型剖析 题型七、平面向量运算的坐标表示 根据向量共线、垂直求参数的值 (2025·北京二中期中)已知向量， ，若 与共线，则 ( ) A A. B.2 C. D. 【解析】 由已知条件可得 ， ． 与共线，，即， . 注意到向量，不共线，因此可以将, 视为基底， 于是有（与共线的本质是对应的系数成比例），即 . . . 变式训练 题型七、平面向量运算的坐标表示 已知平面内的三点，，，若，则 ( ) A A.6 B. C.3 D. 【解析】由题意得，， ， ，，解得 ． (2025·山东省济南市期中)已知向量,,,若 , 则 ( ) C A. B. C. D.2 【解析】， ， ，解得 . 变式训练 1.如图，梯形中， ，点分别是的中点，且，设，，以，为基底表示向量，，。 【解析】∵ ，且 ，∴ ∵ ， ∴ 又 ∵ 且 ， ∴ 针对训练 2.如图，在中，，是上的一点，若 ，则实数 的值为 【解析】设 ， 则 ∵ 和共线，∴ ∴ 针对训练 3.已知点，，，，则向量在方向上的投影为（ ） A. B. C. D. 【解析】 ∵ ， 向量 在 上的投影为 针对训练 4.已知平面向量 ，满足 ，且，则向量 与向量 的夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 【解析】 ∵ 平面向量，满足 ，且， ∴ ， 解得 针对训练 5.已知向量，，，且，则， 分别为（ ） 【解析】 ∵ ，， ∴， ∴ ， ，所以， ，解得 A. B. C. D. 针对训练 6. 已知向量 ，且， 与 的夹角为 ，， 。 （1）求证：； （2）若 ，求 的值； （3）若 ，求 的值； （4）若 与 的夹角为 ，求 的值。 针对训练 【解析】 （1）∵ ， 与 的夹角为 ， ∴ 所以 （2）由得 ， 即 ∵ ，， ∴ ， ∴ ， 即0，所以或 针对训练 （3）由 知 ，即 ， 即 ∵ ，， ∴ ， ∴ ，所以 针对训练 （4）由前面解答可知 ，， 而 ， 所以 ， 因为，由 得 ， 化简得 ，所以 或 ， 经检验知 不成立，故 针对训练 本章我们主要学习了向量的概念、表示及运算，平面向量基本定理，向量共线、垂直的条件，向量在几何和物理问题中的简单应用．学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行类比．而从一维情形下向量共线定理，到二维情形下平面向量基本定理，进而今后推广到三维情形下空间向 量基本定理，又可进行类比．向量是数形结合的载体． 课堂总结 感谢聆听! $