【大题专项】专题2 直线与圆的位置关系（讲义）-2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第2个专题，内容为直线与圆的位置关系. 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》大题专项 专题2 直线与圆的位置关系 一、考纲解读 内容 要求 难易度 说明 直线与圆的位置关系 1. 理解直线与圆的位置关系的判定，理解直线与圆相切的含义 C A对应容易；B对应较易；C对应较难；D对应难。 2.会求圆的切线方程及切线长 C 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 解答题 23 直线与圆相切时参数的取值（根据圆心到直线的距离等于半径列方程） 7 （1）题型：解答题 （2）分值：6-7分 （3）内容：重点考直线与圆相切的条件与应用以及求圆的切线方程 2024 解答题 21 圆的切线方程 6 2023 解答题 22 直线与圆相切的条件及应用（圆的标准方程、圆心到直线的距离公式，直线与圆相切时距离等于半径） 6 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年山西省对口招生考试解答题仍然以直线与圆相切的知识点考查。备考时重点放在直线与圆相切的判断及相切时求有关参数、求圆的切线方程以及切线长等问题。具体考点可能涉及如下内容： · 直线与圆相切的判定及相切时求参数值 · 求圆的切线方程与切线长 四、知识梳理 （一）（一）直线与圆的位置关系及判定 1．直线与圆的位置关系及判定方法 (1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下： 位置 相交 相切 相离 交点个数 两个 一个 零个 图形 d与r的关系 d<r d=r d>r 方程组解的情况 有两组不 同的解 仅有一组解 无解 (2)直线与圆的位置关系的判定方法 ①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即Δ=0，则直线与圆相切；若无实数解，即Δ<0，则直线与圆相离. ②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. （二）圆的切线与切线方程 1．自一点引圆的切线的条数： (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2．求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程： (1)求法：先求切点与圆心连线的斜率，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果或不存在，则由图形可直接得切线方程. (2)重要结论： ①经过圆上一点的切线方程为. ②经过圆上一点的切线方程为 . ③经过圆上一点的切线方程为 五、10分钟小测验 1. 过点作圆的切线l，求切线l的方程 2.求过点且与圆：相切的直线方程. 参考答案 1.【答案】 【分析】当直线斜率不存在时，直线方程为：，由圆心到直线的距离等于半径判断；当直线的斜率存在时：设直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为：， 圆心到直线的距离为，不成立； 当直线的斜率存在时：设直线方程为，即， 圆心到直线的距离等于半径为：， 解得，所以直线方程为：， 即. 2.【答案】或 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线方程. 【详解】圆：即，圆心为，半径， 当切线的斜率不存在时，直线恰好与圆相切； 当切线的斜率存在时，设切线为，即，则， 解得，所求切线方程为， 综上可得过点与圆相切的直线方程为或. 故答案为：或 六、经典例题解析 （一）圆的切线问题 【考试题型1】过圆上一点的切线问题 【例1】（2024年·山西省对口升学考试数学真题）求过圆上的点，且与圆相切的直线的方程 【答案】. 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程、由标准方程确定圆心和半径 【分析】首先判断点在圆上，求出圆心与半径，再根据斜率公式求出，得出切线的斜率，结合点求出直线方程即可. 【详解】将点代入中得，所以点在圆上. 因为圆心的坐标为，所以斜率 则切线的斜率为 因此切线的方程为， 化简得： 【例2】（2024届·山西省中职生对口升学第五届沃米杯高三一模）过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】. 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、过圆上一点的圆的切线方程、由标准方程确定圆心和半径 【分析】首先判断点在圆上，再将圆化为标准方程，求出圆心与半径，再根据斜率公式求出，得出切线的斜率，结合点求出直线方程即可. 【详解】将点代入中得，所以点在圆上. 将转化为标准方程为， 即圆心的坐标为，所以斜率， 则切线的斜率为， 因此切线的方程为， 化简得. 【例3】（2021届·浙江省温州市高职单独考试第二次模拟）已知圆C的圆心坐标为，且过点． (1)求圆C的标准方程； (2)求过点的圆的切线方程． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】求平面直角坐标系中两点间的距离、由两条直线垂直求方程、过圆上一点的圆的切线方程、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）根据圆心到圆上一点的距离等于半径即可求解； （2）由圆的方程可知点在圆上，则直线与切线垂直，根据直线垂直的条件即可求得切线方程. 【详解】（1）因为圆C的圆心坐标为，且过点 所以圆C的半径为， 则圆C的标准方程为； （2）因为， 所以点在圆上，则过点的切线只有一条， 因为，所以圆的切线的斜率为， 所以圆的切线方程为，即． 【考试题型2】过圆外一点的切线问题 【例4】（2025届·山西省中等职业学校高三下学期第三次对口升学模拟联考）已知点在圆外，经过点作圆的切线，求切线方程. 【答案】或 【知识点】已知点到直线距离求参数、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】根据题意判断得所求切线斜率存在，再利用圆的切线的性质与点线距离公式得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 依题意，易知过点的圆的切线的斜率存在， 设所求切线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 即，解得或， 所以或， 即所求切线方程为或. 【例5】（2025届·浙江省职教高考高三下学期第三次模拟）过点作圆的切线，求： (1)圆的圆心坐标和半径； (2)切线的方程． 【答案】(1)圆心坐标；半径5 (2)或 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、过圆外一点的圆的切线方程、由标准方程确定圆心和半径 【分析】（1）根据题意，先将圆的一般式方程化为标准方程，即可求得圆心坐标和半径； （2）根据题意，可分类讨论当切线斜率存在与不存在两种情况，结合直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于半径，即可求解. 【详解】（1）圆的方程可化为， 圆心坐标，半径． （2）由题意，可分两种情况： ①当过点的切线斜率不存在时，切线方程为，即， 此时圆心到直线的距离为5，符合题意； ②当过点的切线斜率存在时， 设切线方程为，即． 圆心到切线的距离等于半径， ，即， ， ，则切线方程为，即． 综上所述，切线的方程为或． 【例6】（2024届·山西省朔州市晋阳中学职教高三高考最后六次实战考试）已知圆，求与直线平行的圆C的切线方程. 【答案】或 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径、已知点到直线距离求参数 【分析】将圆的方程化为标准式，求出圆心和半径，利用平行关系设切线方程为，根据圆心到切线的距离等于半径，列方程可求解. 【详解】因为圆， 即， 所以圆心坐标为，半径. 设与直线平行的直线方程为. 因为与圆相切， 所以圆心到直线的距离，即． 所以，解得或 所以所求的切线方程为或. 【考试题型3】直线与圆相切时求参数问题 【例7】（2023年·山西省对口升学考试数学真题）已知圆与直线相切，求的值. 【答案】 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】将圆的一般方程转化成标准方程，然后求出圆心、半径，再根据直线与圆相切时，列等式求解即可. 【详解】圆转化为标准方程， 圆心，半径， 直线与圆相切，， ，解得. 【例8】（2025年·山西省中等职业学校毕业生对口升学招生文化课统一考试数学试题）已知圆的方程为，直线方程为且它与轴的负半轴有交点，求为何值时，圆与直线相切. 【答案】 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、求点到直线的距离、求直线交点坐标、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据直线与圆相切列方程求得，结合直线与轴负半轴有交点得出答案. 【详解】由题得圆心，半径， 直线化为一般式为， 圆心到直线的距离为， 直线与圆相切， ，，解得或， 又直线与轴负半轴有交点，且直线与轴的交点为， ，即， 所以. 【例9】（2015年·山西省对口升学考试数学试卷）已知直线与圆相切，求常数的值. 【答案】22或 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、已知两点求斜率 【分析】解法一：由直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解即可. 解法二：先求出直线与x轴的交点，再利用直线斜率的定义列式即可求解c的值. 解法三：联立直线与圆的方程，消y得到关于x的一元二次方程，由判别式为0求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为5， 解法一：根据直线与圆相切的关系知， 圆心到切线的距离为该圆的半径5， 圆心到直线的距离可得， 整理得，解得或. 解法二：由直线可知其斜率为， 令，解得，则与轴的交点坐标为， 再由圆方程可知其是以为圆心，5为半径所形成的圆， 故圆与直线的位置关系见下图， 从圆心向直线作垂线，则形成两个直角三角形，. 由斜率的定义知：，，则， 同理， 故，， 故或. 解法三：将直线和圆联立，得， 将①式代入②式，整理得， 由于直线与圆相切，故上式只有唯一解， 所以， 即，解得或. 【考试题型4】切线长问题 【例10】（2024届·内蒙古五原县高级职业中学高三下学期模拟）已知圆的半径为，圆心在直线上，圆被直线截得的弦长为 (1)求圆的方程； (2)若圆的圆心在第一象限，过点作圆的切线，切点为，求直线的方程及的长． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、由直线与圆的位置关系求参数、切线长及与切线有关的长度、面积等问题、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）设出圆心坐标及圆的方程，利用点到直线距离公式结合弦长公式求出参数即可求圆的方程； （2）利用圆心在第一象限得到圆的方程，设出切线方程，利用圆心到切线的距离为半径求出切线方程，然后利用点到圆心的距离，，半径构成直角三角形求出即可. 【详解】（1）因为圆心在直线上，可设圆心，圆的半径为， 可设圆的方程为， 由弦长公式可知，则，，即圆心到直线距离为， 即，则， 故圆心为，， 则圆的方程为或； （2）如图所示， 因为圆的圆心在第一象限，则圆的方程为， 因为点， 圆心到点距离为， 则点在圆外，从点出发可做两条切线， 若切线斜率不存在则过点的直线为， 而圆心到此直线的距离为，此直线与圆相交， 故过切点的两条切线斜率必存在， 可设切线方程为，即， 则圆心到直线距离，即， ，解得或， 则切线方程为或， 因为切线垂直于过切点的半径，所以点到圆心的距离，，半径构成直角三角形， 而点到圆心的距离为公共斜边，且半径相等， 则两个直线三角形为全等三角形，则值固定， 点到圆心的距离为，， 则.    七、专题归纳小结 直线与圆相切时的切线问题 1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。 （1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条； （2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况 【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。 2、求过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程； 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $