【大题专项】专题2 直线与圆的位置关系（B卷·能力提升）--2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第2个专题，内容为直线与圆的位置关系. 。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》大题专项 专题2 直线与圆的位置关系 （B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 1. 若直线与圆相切，求的值． 【答案】 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、已知点到直线距离求参数 【分析】根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】把圆化为标准方程：. 即圆心为，. ∵直线与圆相切， ∴圆心到直线的距离等于半径， 即， 整理得：，即, 解得, 2. 求半径为1，圆心在第一象限，且分别与轴和直线相切的圆的方程. 【答案】或 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、已知点到直线距离求参数 【分析】根据直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，圆的标准方程即可求解. 【详解】由半径为1，圆心在第一象限，且分别与轴相切可设，圆心为：. 则圆的标准方程为：. 因为圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离即为半径：，解得或. 所以所求圆的方程为：或. 3. 已知圆C：. (1)求a的取值范围； (2)若，求圆C的圆心坐标和半径； (3)若直线与圆C相切，求a的值. 【答案】(1) (2)圆心坐标为，半径为2 (3)0 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由标准方程确定圆心和半径、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】（1）根据配方法得到半径，再根据半径大于0，求解a的取值范围即可. （2）将代入，再求圆的标准方程，即可求解圆心和半径. （3）根据直线与圆的位置关系，根据点到直线的距离求解半径即a的值即可. 【详解】（1）因为圆配方得：， 由得：. 即a的取值范围为： . （2）当时，圆的方程为：， 此时，圆心坐标为，半径. （3）由题意，圆心C，半径， 圆心到直线的距离为：， 因为直线与圆相切，所以：， 解得：. 4. 已知圆上有两点、，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与直线垂直，且与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、已知直线垂直求参数、由距离求参数或点的坐标 【分析】（1）根据题意假设圆心的坐标，再利用半径相等得到关于的方程，进而得解； （2）先求得直线AB的斜率，进而利用两直线垂直求得直线的斜率，再利用直线与圆相切的性质求得参数，从而得解. 【详解】（1）因为圆的圆心在直线上，设圆心坐标为， 易知圆心到的距离相等， 所以，解得，即圆心为， 则半径， 故圆的标准方程为：. （2）依题意，得直线AB的斜率为， 因为，故直线的斜率为， 设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以，解得， 故直线的方程为：或. 5. 已知圆的圆心坐标为，且经过原点．求： (1)圆的标准方程； (2)过点且与圆相切的直线方程． 【答案】(1) (2) 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）求出半径，再根据圆的标准方程求解即可. （2）根据直线与圆相切的性质求解即可. 【详解】（1）圆心为，半径等于圆心到原点的距离，即. 圆的标准方程为：. （2）设切线方程为，即. 圆心到切线的距离等于半径，即：. 解得，切线方程为，即. 斜率不存在时，直线与圆不相切. 6. 已知两点和，线段为圆的直径. (1)求圆的标准方程； (2)若斜率为2的直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、过圆外一点的圆的切线方程、求平面直角坐标系中两点间的距离、线段中点的坐标 【分析】（1）首先由中点坐标公式和两点之间的距离公式求出的中点和长度，再由圆的标准方程公式即可解答. （2）设直线的方程为，再由圆心到切线的距离等于半径列方程求解即可. 【详解】（1）已知两点和， 则线段的中点为，即圆心为， 且， 所以，则圆的标准方程为. （2）设直线的方程为，即， 且圆心为，， 则圆心到直线的距离为， 即，解得或， 所以直线的方程为或. 7. 已知圆心在x轴上的圆C过点，与直线垂直的直线l与圆C相切于点P，求： (1)直线l的方程； (2)圆C的标准方程. 【答案】(1) (2). 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）根据直线垂直设方程，再带入点的坐标求解即可； （2）解法一：设圆的方程，根据直线与圆相切，半径等于圆心到直线的距离求解即可； 解法二：根据圆心与切点所在直线与切线垂直，进而根据斜率求得圆心，进而得到半径，即可求解得到方程. 【详解】（1）直线l与直线垂直， 可设直线l的方程为， 因为直线l过点点，，所以有，解得， 所以直线l的方程为. （2）解法一： 由圆心在x轴上，可设圆C的圆心坐标为，半径为r， 所以其标准方程为， 圆心到直线l的距离为， 因为圆C与直线l相切于点，所以有 将②式代入①式得， 解得， 将代入②式得， 所以圆C的标准方程为. 解法二： 设所求圆C的圆心坐标为，半径为r， 所以其标准方程为， 由过切点的半径CP与切线l垂直，其斜率乘积为得 ， 解得，所以圆心坐标为， 半径， 所以圆C的标准方程为. 8. 在平面直角坐标系中，圆经过两点和，且圆心在轴上. (1)圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】点与圆的位置关系求参数、已知点到直线距离求参数、过圆外一点的圆的切线方程、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）设圆心坐标得到圆的标准方程，代入圆上点的坐标，即可求解. （2）分析切线斜率存在与否，若存在，则设其点斜式方程，根据圆心到到切线的距离为半径，即可求解. 【详解】（1）设圆心坐标为，圆的半径为，圆的标准方程为， 又圆经过两点和， 代入得到，解得， 所以圆的标准方程为. （2）若过点的切线斜率不存在，则是圆的切线， 若过点的切线斜率存在，设切线方程为，即 则圆心到直线的距离为， 化简得，得到， 切线方程为，即， 所以过点作圆的切线方程为或. 9. 已知圆关于直线对称，且过点和原点．求： (1)圆的标准方程； (2)过点，且与圆相切的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求圆的一般方程、过圆外一点的圆的切线方程、已知点到直线距离求参数、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）设圆的一般方程，根据圆心在直线上及过点和原点，列方程组可求解； （2）讨论直线斜率是否存在，计算圆心到直线距离解得直线方程. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆过点和原点， 所以； 因为圆关于直线对称， 所以圆心在直线上， 所以，即， 将两方程（组）联立，解得，， 所以圆，其标准方程为； （2）由（1）知圆的圆心为，半径， 当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时，圆心到的距离等于半径2，故与圆相切； 当过点的直线的斜率存在时，设直线方程为， 即， 由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离为，解得， 故直线方程为. 综上所述，所求直线方程为或. 10. 已知圆，T为圆上的点. 以T为切点的切线经过点，. (1)求圆的半径r； (2)若T为第一象限内的点，求T的坐标. 【答案】(1) (2) 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、由标准方程确定圆心和半径、求直线与圆交点的坐标、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）根据题意，结合切线的性质，可得，根据圆的标准方程求得圆心坐标，结合勾股定理，即可求得圆的半径; （2）根据题意，可设出切线的方程，结合圆心到斜线的距离等于半径，即可求得切线的斜率，继而得到切线方程，与圆的方程联立方程组，即可求得切点的坐标. 【详解】（1）    由题意，连接,则, 所以， 因为圆， 所以圆心为，又点，， 所以， 所以，解得； （2）由题意，切线PT的斜率一定存在，又过点， 故可设切线PT的方程为，即， 所以圆心到切线的距离， 又T为第一象限内的点，所以， 所以或（舍） 所以切线PT的方程为， 由，消元化简得， 解得， 故点T的坐标为. 11. 已知的三个顶点坐标分别为、、．求： (1)的外接圆的标准方程； (2)过点且与圆相切的直线方程． 【答案】(1) (2)或. 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）由坐标可得，圆心在轴上，设圆心坐标为，由半径相等列方程解出，即可写出圆的标准方程； （2）根据切线斜率是否存在分类讨论，再结合直线与圆相切的性质求解即可. 【详解】（1）由、， 可得的外接圆圆心在轴上，可设圆心坐标为，半径为， 又，可得，即， 解得，， 所以的外接圆的标准方程为 （2）当所求切线斜率存在时， 可设过点的切线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 方程两边平方，化简可得，解得， 此时，所求切线方程为，即， 当所求切线斜率不存在时，此时过点的直线为， 圆心到直线的距离为，所以也是所求切线； 综上，所求切线方程为或. 12. 在平面直角坐标系中，点，圆. (1)求的取值范围，并求出圆心坐标； (2)若圆的半径为1，过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】(1)的取值范围，圆心坐标为； (2)，或. 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、过圆外一点的圆的切线方程、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】（1）利用配方法进行求解即可； （2）根据圆的切线性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】（1）由， 因为该方程表示圆， 所以有， 因此的取值范围，圆心坐标为； （2）若圆的半径为1，则有， 当过的切线不存在斜率时，方程为，此时，该方程无实根，不符合题意， 当过的切线存在斜率时，设为，方程为， 若圆的半径为1，则有，或， 即，或， 所以切线的方程为，或. 13. 已知圆：. (1)求圆心的坐标及半径的大小； (2)已知直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)圆心的坐标为，半径. (2)或或或. 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】（1）利用圆的一般方程直接求解； （2）利用直线与圆的相切则有圆心到直线的距离等于圆的半径求解. 【详解】（1）圆心的坐标为，半径. （2）（i）若直线过坐标原点，要与圆相切，显然斜率存在， 设，所以圆心到直线的距离为， 整理得，解得， 所以直线的方程为或； （ii）若直线不过坐标原点，设方程为，即， 所以圆心到直线的距离为，解得，或， 综上直线的方程为或或或. 14. 已知圆经过两点和，且圆心在轴上. (1)圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）根据题意设出圆心坐标，则，据此即可求解； （2）由题可知点为圆外一点，分情况讨论进而求解. 【详解】（1）设圆心，则， ， ，，圆心， 圆的标准方程为：. （2）点在圆外，故切线有两条， 当斜率不存在时，直线，不合题意； 当斜率存在时，设直线方程为，即：， 圆心到直线的距离：， 或， 故切线方程为：或. 15. 设圆有一弦被点平分. (1)求这弦所在直线的方程； (2)求与这条弦平行且与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）根据与圆的垂直关系先找到斜率，再带入点求直线方程. （2）根据点到直线的距离判断直线与圆的位置关系，再根据平行关系求另一条直线. 【详解】（1）设圆的圆心为C 则C点坐标为圆的半径, ∵弦AB被平分, ∴, ∵, ∴ ∴弦所在的直线AB的方程为, （2）∵且圆的半径, 故直线为圆的一条切线. 与平行的直线的斜率, ∵，且过点, 故直线所在的方程为, 解交点为和, 故斜率且与圆相切与点的直线方程为: 16. 已知圆：，直线：． (1)判断直线与圆的位置关系； (2)过直线上的一点作圆的切线，求切线长的最小值． 【答案】(1)相离 (2)4 【知识点】判断直线与圆的位置关系、切线长及与切线有关的长度、面积等问题、圆的一般方程与标准方程之间的互化、由圆心到直线的距离求值或最值 【分析】（1）求出圆的圆心以及半径，再将圆心到直线的距离与半径进行比较求解即可. （2）根据切线长公式进行分析求解即可. 【详解】（1）圆：转化为标准方程为， 所以圆心坐标为，半径， 且圆心到直线的距离， ∴直线和圆相离． （2）由于切线长， ∴当取最小值时，切线长最短， 而， ∴切线长的最小值． 17. 已知圆C的方程为（m为常数），圆心坐标为. (1)求m的值及这个圆的半径； (2)直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程. 【答案】(1)， (2)或 【知识点】直线的一般式方程及辨析、由直线与圆的位置关系求参数、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程即可求m的值及这个圆的半径； （2）分类讨论斜率存在于斜率不存在两种情况，当斜率存在时利用圆心到之间距离为半径可求，当斜率不存在时圆心与直线横坐标差为半径即可. 【详解】（1）方程，， 即， 因为圆心坐标为，所以，， 半径，. （2）①当的斜率存在时，可设切线方程为， 化为一般式方程为. 由直线与圆相切得，化简得， 解得：， 所以切线方程为，即.. ②当切线的斜率不存在时，直线，，符合题意. 综合①，②可知所求切线方程为或. 18. 已知点，，圆C经过A，B两点且周长最小． (1)求圆C的标准方程； (2)求经过点且与圆C相切的直线l的方程； (3)已知点，，点P是圆C上的动点，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3)2 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、线段中点的坐标、过圆外一点的圆的切线方程、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）当AB为圆C的直径时，圆C的周长最小，即可求出圆心C的坐标和半径r，故可得出圆C的标准方程. （2）分两种情况进行讨论:直线l的斜率不存在以及直线l的斜率存在，由圆心到直线的距离即可求解斜率. （3）易知点O，M，圆心C都在y轴上，以及OM的长，所以可判断出当轴时，的面积取得最大值，故可求出答案. 【详解】（1）当AB为圆C的直径时，圆C的周长最小， 所以圆心C的坐标为，即， 半径， 所以圆C的标准方程为. （2）当直线l的斜率不存在时:， 与圆C相切，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设:，即. 由题意得圆心到直线距离为，，即， 解得. 所以， 综上，直线l的方程为或. （3）由题意知， 点O，M，圆心C都在y轴上，点P是圆C上的动点，所以当轴时， 的面积取得最大值，此时. 故，. 19. 已知圆：，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求两个切点的坐标． 【答案】(1) (2)和 【知识点】由圆心到直线的距离求值或最值、过圆外一点的圆的切线方程、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）先根据圆的标准方程得到圆心，结合圆心到切线的距离为半径，即可解得. （2）设定切线方程，将切线方程代入圆的标准方程，即可解得. 【详解】（1）圆：的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 又圆与直线相切，所以， 即圆的标准方程为. （2）若过点的切线斜率不存在时，此时直线方程为，到圆心的距离为， 此直线与圆相离，故不成立， 若过点的切线斜率存在时，设为，切线方程为，即 圆心到切线的距离， 可化为，解得， 所以两条切线方程为和， 将代入圆方程，可化为， 解得，即， 所以切点坐标为， 将代入圆方程，可化为， 解得，即， 所以切点坐标为， 综上，两个切点的坐标分别为和. 20. 已知圆：和点． (1)若，过点作圆的切线，且切点为，求的值； (2)若过点有且只有一条直线与圆相切，求该切线的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】判断点与圆的位置关系、已知两点求斜率、切线长及与切线有关的长度、面积等问题、求平面直角坐标系中两点间的距离 【分析】（1）由圆的标准方程得到圆心和半径，根据两点间距离公式，即可解得. （2）分析点在圆上，代入圆方程得到，根据点坐标得到切线斜率，即可解得. 【详解】（1）圆的方程为， 可得圆心，半径， 当时，点的坐标为， ，点在圆外， 因为 为圆的切线，所以，即是直角三角形， 其中，， 所以. （2）过点有且只有一条直线与圆相切，说明点在圆上， 将点代入圆的方程，可得， 解得，即点的坐标为或， 当时，则，即切线的斜率， 所以切线方程为，整理得， 当时，则，即切线的斜率， 所以切线方程为，整理得， 综上，切线方程为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《山西省对口升学数学考试大纲》及山西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山西省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》的第2个专题，内容为直线与圆的位置关系. 。 2026版山西省（对口升学）《数学考纲专题练》大题专项 专题2 直线与圆的位置关系 （B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 1. 若直线与圆相切，求的值． 2. 求半径为1，圆心在第一象限，且分别与轴和直线相切的圆的方程. 3. 已知圆C：. (1)求a的取值范围； (2)若，求圆C的圆心坐标和半径； (3)若直线与圆C相切，求a的值. 4. 已知圆上有两点、，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与直线垂直，且与圆相切，求直线的方程. 5. 已知圆的圆心坐标为，且经过原点．求： (1)圆的标准方程； (2)过点且与圆相切的直线方程． 6. 已知两点和，线段为圆的直径. (1)求圆的标准方程； (2)若斜率为2的直线与圆相切，求直线的方程. 7. 已知圆心在x轴上的圆C过点，与直线垂直的直线l与圆C相切于点P，求： (1)直线l的方程； (2)圆C的标准方程. 8. 在平面直角坐标系中，圆经过两点和，且圆心在轴上. (1)圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程. 9. 已知圆关于直线对称，且过点和原点．求： (1)圆的标准方程； (2)过点，且与圆相切的直线方程． 10. 已知圆，T为圆上的点. 以T为切点的切线经过点，. (1)求圆的半径r； (2)若T为第一象限内的点，求T的坐标. 11. 已知的三个顶点坐标分别为、、．求： (1)的外接圆的标准方程； (2)过点且与圆相切的直线方程． 12. 在平面直角坐标系中，点，圆. (1)求的取值范围，并求出圆心坐标； (2)若圆的半径为1，过点作圆的切线，求切线的方程. 13. 已知圆：. (1)求圆心的坐标及半径的大小； (2)已知直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程. 14. 已知圆经过两点和，且圆心在轴上. (1)圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程. 15. 设圆有一弦被点平分. (1)求这弦所在直线的方程； (2)求与这条弦平行且与圆相切的直线方程. 16. 已知圆：，直线：． (1)判断直线与圆的位置关系； (2)过直线上的一点作圆的切线，求切线长的最小值． 17. 已知圆C的方程为（m为常数），圆心坐标为. (1)求m的值及这个圆的半径； (2)直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程. 18. 已知点，，圆C经过A，B两点且周长最小． (1)求圆C的标准方程； (2)求经过点且与圆C相切的直线l的方程； (3)已知点，，点P是圆C上的动点，求的面积的最大值． 19. 已知圆：，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求两个切点的坐标． 20. 已知圆：和点． (1)若，过点作圆的切线，且切点为，求的值； (2)若过点有且只有一条直线与圆相切，求该切线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $