2026年中考数学专题提优：实际问题和反比例函数

2026年中考数学专题提优：实际问题和反比例函数 一、单选题 1．电压一定时，经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：）是反比例函数关系，当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 2．小明乘车从县城到怀化，行车的速度和行车时间之间函数图是（    ） A． B． C． D． 3．某工厂现有原材料100吨，每天平均用去x吨，这批原材料能用y天，则y与x之间的函数关系式为(  ) A．y＝100x B．y＝ C．y＝x＋100 D．y＝100－x 4．装卸机往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y（分钟）与装载速度x（吨/分钟）之间的函数关系如图所示．若要求在120分钟内（包括120分钟）装完这批货物，则x的取值范围是（    ）      A． B． C． D． 5．已知一个梯形面积为6，下底长是上底长的3倍，设上底长，高为，那么关于的函数图象是（   ） A．   B．   C．   D．   6．已知多项式x2-kx+1是一个完全平方式,则反比例函数y=的解析式为(　　) A．y= B．y=- C．y=或y=- D．y=或y=- 7．函数y1=x（x≥0），y2=（x＞0）的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点A的坐标为（3，3 ）；②当x＜3时，y2＞y1； ③当x=1时，BC=8；④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．其中正确结论的序号是（　　） A．①③④ B．①②③④ C．②③④ D．①③ 8．反比例函数y＝－的图象上有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（　　） A．y1＜y2＜0 B．y1＜0＜y2 C．y1＞y2＞0 D．y1＞0＞y2 二、填空题 9．一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数，当时，．那么当时，氧气的密度 ． 10．近视镜镜片焦距（米）是镜片度数（度）的某种函数，下表记录了一些数据： （度） … … （米） … … 利用表格中的数据关系计算：当镜片度数为度时，镜片焦距为 米． 11．市煤气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形煤气储存室． （1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？ 解：根据圆柱的体积公式，得： ， 所以S关于d的函数解析式为 ． （2）公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深？ 解：把S＝500代入，得： ， 解得：d＝ （m） 如果把储存室的底面积定为500 m2，施工时应向地下掘进20 m深． 12．已知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是3A，那么此用电器的电阻是 ． 13．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（时）之间的函数关系如图所示（当时，y与x成反比）.则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为 小时 14．小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间（分）与骑车速度（千米/分）关系如图所示．一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需不超过分钟赶到学校，那么他骑车的速度至少是 千米/分． 三、解答题 15．如图，取一根长的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．    (1)求关于的函数表达式． (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 16．学校要制作一块面积为24平方米的矩形宣传牌，小明发现宣传牌的长发生改变时，宽也会随之改变，于是进行了如下探究，设矩形的长为x米，宽为y米． 下表给出了x与y的一些值． 1 2 3 … 24 8 6 … (1)_______，_______； (2)发现是的函数，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)根据以上信息，请你说说随着值的变化值如何变化． 17．某一电路中，电源电压U保持不变，电流I、电压U与电阻R之间满足关系，电流I（单位：）与电阻R（单位：）之间的函数关系如图所示，当电路中的电流不超过时，电路中电阻R的取值范围是什么？ 18．如图，已知正方形OABC的面积为4，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y＝ (x>0，k>0)的图象上，点P(m，n)是函数y＝ (x>0，k>0)的图象上任意一点．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E，F.若设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S.求当S>1时，求m的取值范围． 19．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如上图所示．当时，．当时，求二氧化碳密度的变化范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B A C C B D 1．C 【分析】根据反比例函数的性质，得，解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故选：C． 2．B 【分析】根据路程s、速度v、时间t之间的公式可知，当路程一定时，速度与时间成反比例关系，并且结合实际意义可知，时间t＞0，由此分析即可． 【详解】∵小明乘车从县城到怀化的路程固定，设为s，且， ∴，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查反比例函数的实际引用，理解路程固定时，速度与时间成反比，并且结合实际意义分析是解题关键． 3．B 【详解】试题解析：根据题意可得：   故选B． 4．A 【分析】由题意知，装完货物所需时间y（分钟）与装载速度x（吨/分钟）之间的函数关系是反比例函数关系，且可求得此关系式，求出当时x的值，即装载速度即可确定答案． 【详解】解：由题意，设函数解析式为：， 由图象知，函数过点，把此点坐标代入上式中得：， ∴， 即， 当时，有，解得：； 即当时，在120分钟内（包括120分钟）装完这批货物； 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，理解题意，根据题意求得函数解析式是关键． 5．C 【分析】本题考查了求函数解析式和函数图象的判断，熟练掌握梯形的面积公式是解本题的关键． 根据梯形面积公式即可得出关于的函数解析式，再判断图象即可． 【详解】解：根据题意可得：， 整理得：，其中， 则关于的函数图象是C． 故选：C． 6．C 【分析】首先根据完全平方式的特点算出k的值，再把k的值代入反比例函数y=的解析式中可得答案． 【详解】∵多项式x2-kx+1是一个完全平方式， ∴k=±2， 把k=±2分别代入反比例函数y=的解析式得：y=或y=-， 故选C． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式，以及待定系数法求反比例函数解析式，关键是根据完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2算出k的值． 7．B 【分析】①联立两函数解析式，解方程组，再根据交点A在第一象限即可确定； ②根据函数图象在上方的函数值大于在下方的函数值解答； ③利用两个函数的解析式分别求出x=1时的函数值，相减即可得到BC的长度； ④分别根据一次函数的增减性与反比例函数的增减性进行判断． 【详解】解：①根据题意列解方程组， 解得，． ∴这两个函数在第一象限内的交点A的坐标为（3，3），故①正确； ②根据图象可知，当x＜3时，y1在y2的下方，故y1＜y2，即y2＞y1，故②正确； ③当x=1时，y1=1，y2==9，即点C的坐标为（1，1），点B的坐标为（1，9），所以BC=9-1=8，故③正确； ④由于y1=x（x≥0）的图象自左向右呈上升趋势，故y1随x的增大而增大， y2=（x＞0）的图象自左向右呈下降趋势，故y2随x的增大而减小，故④正确． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，已知自变量求函数值，联立两函数解析式求交点，数形结合利用图象求不等式的解，一次函数与反比例函数的增减性，难度适中． 8．D 【分析】根据反比例函数的增减性即可判断． 【详解】根据反比例函数解析式y＝－可得：函数图象分布在二四象限， 当x>0时，y<0；当x<0时，y>0. 因为x1＜0＜x2 所以y1＞0＞y2 故选D 【点睛】本题考查了反比例函数，解题关键是理解反比例函数的性质． 9． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键．根据题意可设（为质量是定值，且），求出关于的函数解析式，即可得解． 【详解】解：由题意可设（为质量是定值，且）， ， 解得：， ， 当时，， 故答案为：． 10． 【分析】根据表格数据可得近视镜镜片的焦距y(单位:米)与度数x(单位:度)成反比例，依此即可求解； 【详解】根据表格数据可得，100×1= 250×0.4 =400×0.25=500×0.2=100， 所以近视镜镜片的焦距(单位：米)与度数x(单位:度)成反比例， 所以y关于x的函数关系式是：y=， 将x=200代入解析式y=， 得y== 0.5， 故答案为：0.5. 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，求函数值，正确求出函数的解析式是解题的关键. 11． Sd=104 20 【解析】略 12． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意设，利用图中数据求出反比例函数解析式，再结合流过的电流是3A，求出，即可解题． 【详解】解：因为电流I与电阻是反比例函数关系， 设， 由图知，，解得， ， 当流过的电流是3A时， ， 故答案为：． 13． 【分析】分别求出当和时y与x的表达式，再根据血液中药物浓度不低于4微克/毫升求出持续时间即可． 【详解】解：当时，函数为正比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，， ∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时， ∴， 当时，函数为正比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，， ∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时， ∴， ∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升， ∴持续时间为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，根据图象求出一次函数和反比例函数的表达式是解答本题的关键． 14． 【分析】先求出小宇家到学校的距离和函数关系式，再把t=15代入函数关系式即可得到结果． 【详解】解：由图知小宇家到学校的距离是：0.15×20=3（km）， 设函数的解析式为：（t＞0） 又s=3， ∴（t＞0） 当t=15时，（千米/分）． 故答案为：0.2． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 15．(1)关于的函数解析式为 (2)弹簧秤的示数的最小值为 【分析】（1）根据反比例函数的定义，运用待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数图形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意设，把，代入，得， ∴关于的函数解析式为． （2）解：由（1）可知，关于的函数解析式为，，是弹簧秤与中点的距离是，如图所示，    ∵， ∴随的增大而减小， ∴把代入，得， ∴弹簧秤的示数的最小值为． 【点睛】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质是解题的关键． 16．(1)12，4 (2)函数表达式为，自变量的取值范围 (3)随的增大而减小 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意得到y与x之间的函数关系式即可； （3）根据反比例函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 故答案为：12，4； （2）解：设函数表达式为， ， ， 函数表达式为，自变量的取值范围； （3）解：随的增大而减小． 17． 【分析】题目主要考查反比例函数的应用，理解题意，确定函数解析式，然后代入求解，结合图象求解即可． 【详解】解：由图象，可知函数解析式的图象经过点， ∴． ∴I与R的函数解析式为， ∴当时，， 根据图象得：当电路中的电流不得超过时，． 18．m的取值范围m>. 【详解】∵正方形OABC的面积为4,∴OA=AB=2,∴B点坐标为（2,2）, ∵点B在函数y=(x＞0,k＞0)的图象上,∴把B（2,2）代入y=中,得k=4, ∴反比例函数的解析式为y=, ∵P（m,n）在y=上,∴mn=4,∴n=, ∵S=AE•PE+CB•CF,∴S=（m-2）•n+2（2-n）=mn-2n+4-2n=mn-4n+4=8-, ∵S＞1,∴＜7, ∵x＞0,∴m的取值范围m＞. 19．当时，二氧化碳密度的变化范围为 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 先利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数图像上点的坐标特征和性质求解即可． 【详解】解：由题意可设． 当时，， 密度关于体积的函数表达式为．观察函数图象可知，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 当时，二氧化碳密度的变化范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $