22.1.3　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第1课时 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+k的图象和性质，通过“抛物线y=ax²平移后的形状与解析式变化”问题导入，搭建旧知y=ax²与新知y=ax²+k的联系支架，引导学生逐步探究图象平移规律及函数性质。 其亮点在于以几何直观和推理意识为核心，通过对比y=2x²与y=2x²±1的图象，归纳平移规律与函数性质表格，培养学生数学眼光与思维。如“方法归纳交流”总结平移法则，提升应用意识，既帮助学生深化理解，也为教师提供结构化教学资源，提高课堂效率。

九年级·数学·人教版·全一册册 导学案课堂同步导学 22.1.3　二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 单击此处编辑母版文本样式 第1课时　二次函数y=ax2+k的图象和性质 单击此处编辑母版文本样式 1.会作二次函数y=ax2+k的图象,知道抛物线y=ax2+k与y=ax2的关系. 2.能利用y=ax2+k的图象得出其性质. ◎重点:二次函数y=ax2+k的图象和性质. ◎难点:抛物线y=ax2+k与y=ax2的关系. 单击此处编辑母版文本样式 你还记得抛物线y=ax2在平面直角坐标系中的位置吗?如果将这条抛物线向上(或向下)平移k个单位长度,它的形状变化吗?它的解析式会变成什么形式?欢迎大家和老师一同研究. 预习导学 单击此处编辑母版文本样式 二次函数y=ax2+k的图象     请你阅读课本“例2”的内容,思考:抛物线y=ax2+k是通过抛物线y=ax2怎样平移得到的? 单击此处编辑母版文本样式 观察图象:根据例题中的图象,在小组内说一说:抛物线y=2x2+1和y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点坐标. 答:抛物线y=2x2+1的开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,1);抛物线y=2x2-1的开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,-1). 单击此处编辑母版文本样式 对比图象:通过对比例题中的三个图象,说一说抛物线y=2x2+1与y=2x2-1是怎样由抛物线y=2x2平移得到的. 答:把抛物线y=2x2向上平移一个单位长度,就得到抛物线y=2x2+1;把抛物线y=2x2向下平移一个单位长度,就得到抛物线y=2x2-1. 单击此处编辑母版文本样式 二次函数y=ax2+k的性质    根据课本“例2”的图象,说一说函数y=2x2+1和y=2x2-1的增减性. 答:在对称轴的左侧,即x<0时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即x>0时,y随x的增大而增大. 单击此处编辑母版文本样式 归纳总结　从二次函数y=ax2+k的图象可以看出,如果a>0,当x<0时,y随x的增大而　 　;当x>0时,y随x的增大而　 　.如果a<0,当x<0时,y随x的增大而　 　;当x>0时,y随x的增大而　 　.    减小 增大 增大 减小 单击此处编辑母版文本样式 二次函数的图象和性质 1.填表: 合作探究 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　抛物线y=ax2+k的对称轴是　　,顶点坐标是　 　,当a　 　时,开口向上,函数有最　 　值　 　;当a　 　时,开口向下,函数有最　 　值　 　.  y轴 (0,k) >0 小 k <0 大 k 单击此处编辑母版文本样式 二次函数图象的平移 2.抛物线y=-3x2+5是由y=-3x2向　　平移　　个单位长度得到的.  方法归纳交流　当k>0时,把抛物线y=ax2向　　平移　　个单位长度就会得到抛物线y=ax2+k;当k<0时,把抛物线y=ax2向　 　平移　 　个单位长度就会得到抛物线y=ax2+k.  上 5 上 k 下 |k| 单击此处编辑母版文本样式 同一平面直角坐标系中的一次函数和二次函数图象 3.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是( ) A B C D C 单击此处编辑母版文本样式 遇此类问题,可将待定系数分为正负数两种情况,分别画出图象,判断正误;还可以从每个选项中根据图象判断待定系数的取值范围,取值范围一致的可能是正确的. 单击此处编辑母版文本样式 根据二次函数性质比较大小 4.已知点A(-1,y1)、B(-2,y2)在抛物线y=x2-3上,则y1与y2的大小关系是　 　.  y1<y2 单击此处编辑母版文本样式 方法归纳交流　解决这类问题常用的方法: (1)代入计算法:将已知点的坐标代入解析式,计算后比较函数值的大小; (2)图象观察法:画出函数的草图,观察图象,位置高的点对应的函数值　 　;  (3)对称转换法:利用图象的　 　将所有点转换到对称轴的同侧,再利用同侧的增减规律,判定函数值的大小.  大 对称性 单击此处编辑母版文本样式 1将抛物线y=x2向上平移3个单位长度,得到新抛物线的函数解析式为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.y=(x-3)2 B.y=(x+3)2 C.y=x2+3 D.y=x2-3 C 分层作业 单击此处编辑母版文本样式 2下列函数中,当x>0时,y随x的增大而减小的是 ( ) A.y=x-1 B.y=3x2-1 C.y=x2 D.y=-x2+3 D 单击此处编辑母版文本样式 3二次函数y=2x2+t的图象向下平移2个单位长度后经过点(1,3),那么t=　　.  4抛物线y=-2x2-3的开口　 　,对称轴是　 　,顶点坐标是　 　,当x　 　时,y随x的增大而增大,当x　 　时,y随x的增大而减小.  3 向下 y轴 (0,-3) <0 >0 单击此处编辑母版文本样式 5如图,将此图象向上平移2个单位长度.求出平移后的抛物线解析式及它的顶点坐标. 单击此处编辑母版文本样式 解:设原抛物线的解析式为y=ax2,则2=a·32,∴a=, ∴原抛物线解析式为y=x2, 向上平移2个单位长度后为y1=x2+2,顶点坐标为(0,2). 单击此处编辑母版文本样式 6若正比例函数y=mx(m≠0),y随x的增大而减小,则二次函数y=mx2+m的图象大致是 ( ) A 　 B 　 C　 D D 单击此处编辑母版文本样式 7抛物线y=2x2+3上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1≠x2,y1=y2,当x=x1+x2时,y=　 　.  8已知A(-1,y1),B(,y2),C(2,y3)三点都在二次函数y=ax2-1(a>0)的图象上,那么y1,y2,y3的大小关系是　 　.(用“<”连接)  3 y1<y2<y3 单击此处编辑母版文本样式 9如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+3与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=x2于点B,C,则BC的长为　　.  6 单击此处编辑母版文本样式 10若二次函数y=ax2+b的图象的形状与二次函数y=2x2的图象的形状完全相同,且经过点A(-4,-10),则这个二次函数的解析式为　 　.  y=2x2-42或y=-2x2+22 单击此处编辑母版文本样式 11不画出图象,回答下列问题. (1)函数y=3x2+2的图象可以看成是由函数y=3x2的图象通过怎样平移得到的? (2)说出函数y=3x2+2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. (3)函数y=3x2+2的图象有哪些性质? 单击此处编辑母版文本样式 (4)试说明,如果要将函数y=3x2的图象经过适当的平移,得到函数y=3x2-5的图象,那么应该怎样平移? 单击此处编辑母版文本样式 解:(1)向上平移2个单位长度. (2)开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,2). (3)略. (4)向下平移5个单位长度. 单击此处编辑母版文本样式 12在下列平面直角坐标系中画出二次函数y=x2+1与二次函数y=-x2-1的图象,并说明两个函数图象与性质的相同点与不同点. 单击此处编辑母版文本样式 解:函数图象如图所示: 单击此处编辑母版文本样式 共同点:①抛物线的开口大小相同;②对称轴都是y轴;③顶点到x轴的距离相同. 不同点:开口的方向不同,当x>0时,函数y=x2+1随x的增大而增大,函数y=-x2-1随x的增大而减小.   单击此处编辑母版文本样式 END 感谢观看 下节课再会 单击此处编辑母版文本样式 33 $